Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Analisa Kestabilan Routh
Pengantar Materi Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen
Pengantar Konsep Stabil
Materi Prosedur Kestbilan Routh
Contoh Soal Ringkasan Latihan Asesmen
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
• Masalah terpenting dalam sistem pengendalian linier berhubungan dengan kestabilan. •Suatu sistem pengendalian dikatakan stabil jika dan hanya jika semua kutub loop tertutup berada pada sebelah kiri bidang s. •Kriteria kestabilan Routh memungkinkan kita untuk menentukan jumlah kutub loop tertutup yang berada pada bidang sebelah kanan bidang s .
Asesmen
Pengantar
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Konsep Stabil
• Sistem pengendalian stabil semua Pole loop tertutup berada pada setengah sebelah kiri bidang s. • CLTF sistem linier :
C ( s) b0 s m b1s m1 .... bm1s bm B( s) n n 1 R( s) a0 s a1s .... an1s an A( s) ai , bi adalah konstanta , m < n
Pole loop tertutup diperoleh dengan memfaktorkan polinomial A(s) • Pers. karakteristik : a0 s n a1s n1 .... an1s an 0
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Kestabilan Routh
• Memberi informasi apakah terdapat akar positip pada persamaan polinomial s tanpa pemecahan atau pemfaktoran.
• Informasi tentang kestabilan mutlak dapat diperoleh secara langsung dari koefisien persamaan karakteristik
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Prosedur Kestabilan Routh
1. Tulis persamaan karakteristik sistem :
a 0 s n a 1s n 1 .... a n 1s a n 0
Anggap bahwa dihilangkan.
a n 0 sehingga terdapat akar nol yang
2. Pastikan bahwa semua koefisien harus positip. Jika terdapat koefisien nol atau negatif terdapat akar atau akar imajiner yang mempunyai bagian real positip. Dalam hal ini, sistem tidak stabil.
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Prosedur Kestabilan Routh 3. Jika semua koefisien positip, susun koefisien polinomial dalam baris dan kolom sesuai pola berikut ini :
sn
a0
a2
a4
a6
...
sn-1
a1
a3
a5
a7
...
sn-2
b1
b2
b3
b4
...
sn-3
c1
c2
c3
c4
...
sn-4
d1
d2
d3
d4
...
...
...
...
s2
e1
e2
s1
f1
s0
g1
...
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Prosedur Kestabilan Routh
• Koefisien b1, b2, b3, ...., dan seterusnya dihitung sebagai berikut :
a 1a 2 a 0 a 3 b1 a1
a 1a 4 a 0 a 5 b2 a1
a 1a 6 a 0 a 7 b3 a1
dan seterusnya sampai semua sisa nol • Pola yang sama digunakan untuk perhitungan c’s, d’s, e’s dan seterusnya.
b1a 3 a 1 b 2 c1 b1 dst…
b1a 5 a 1 b 3 c2 b1
b1 a 7 a 1 b 4 c3 b1
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Prosedur Kestabilan Routh
c1 b 2 b 1 c 2 d1 c1
c1 b 3 b 1 c 3 d2 c1
dst…
• Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap. • Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga (triangular) 4. Jumlah akar persamaan karakteristik dengan bagian real positip sama dengan jumlah perubahan tanda dari koefisien kolom pertama.
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Harus diperhatikan bahwa nilai yang tepat pada kolom pertama tidak dipentingkan, hanya perubahan tanda yang harus diperhatikan. Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil, adalah semua koefisien pada kolom pertama mempunyai tanda positif.
Asesmen
Materi
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Soal 1 Gunakan kriteria kestabilan Routh untuk polinomial orde tiga berikut,
a0 s 3 a1 s 2 a2 s a3 0 agar semua koefisien positif.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Penyelesaian Susunan koefisien adalah sebagai berikut, s3 s2 s1 s0
a0 a1 + a1 a 2 a0 a3 a1 a3
a2 a3 a3
Syarat agar semua koefisien pada kolom pertama menjadi positif haruslah a1a 2 a0 a3 , dan sistem akan stabil.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Soal 2 Perhatikan persamaan polinomial berikut,
s 2s 3s 4s 5 0 4
3
2
Periksa dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh. Penyelesaian
Keadaan Khusus. (1). Apabila suku kolom pertama dalam suatu baris adalah nol, tetapi suku lainya tidak nol atau tidak terdapat suku lain maka suku nol ini diganti dengan bilangan positif yang sangat kecil agar array dapat dihitung.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Soal 3 Perhatikan fungsi alih berikut,
R(s)
+
-
K ss 2 s 1s 2
C(s)
Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh, cari harga K agar sistem stabil.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Penyelesaian CLTF :
Cs K 2 R s ss s 1s 2 K
Persamaan karakteristik : Susunan koefisiennya : s4
1
s3
3
2
s2
7/3
K
s
9 2 K 7
s0
K
3
K 0
s 4 3s 3 3s 2 2s K 0
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Penyelesaian
14 K0 Sistem stabil : 9 Apabila K =14 9 , maka sistem menjadi berisolasi dan secara matematis osilasi tersebut pada amplitudo tetap.
Asesmen
Contoh Soal
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
1. Kriteria kestabilan Routh memberi informasi tentang kestabilan mutlak suatu sistem pengendalian berdasarkan koefisien persamaan karakteristik 2. Penerapan kriteria kestabilan Routh memungkinkan kita menentukan pengaruh perubahan satu atau dua parameter sistem dengan menentukan nilai yang menyebabkan sistem tidak stabil
Asesmen
Ringkasan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Periksa kondisi kestabilan persamaan polinomial berikut,
s 4 10s 3 35s 2 50s 24 0
s 4 4s 3 7s 2 22s 24 0 Periksa 2 kondisi kestabilan persamaan polinomial berikut,
s 5s 20s 24 0 4
Dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh.
Assessment Asesmen
Latihan
Pengantar
Materi
Contoh Soal
Ringkasan
Latihan
Asesmen
Asesmen
Pengantar
