Hangtan II. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29

Hangtan II. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29.

A hang terjedése gázokban

• Bevezetés • Egyszerusítések ˝ • Jelölések • Alapveto˝ összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között

• A hullámegyenlet • A hangsebesség

A hang terjedése gázokban

gázokban

• Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben

2 / 32

Bevezetés A hang terjedése gázokban


A hang longitudinális hullámként terjed gázokban. Most ennek a terjedésnek a részletes leírásával foglalkozunk. Cél: a nagy léptékekben megmérheto˝ mennyiségek (pl. hangintenzitás, frekvencia) és a mikroszkopikus, közvetlenül ˝ nehezen mérheto˝ mennyiségek (pl. a levegorészek elmozdulása, a hang által létrehozott nyomásváltozás) közötti kapcsolat.

• A hullámegyenlet • A hangsebesség gázokban


3 / 32

Bevezetés A hang terjedése gázokban


A hang longitudinális hullámként terjed gázokban. Most ennek a terjedésnek a részletes leírásával foglalkozunk. Cél: a nagy léptékekben megmérheto˝ mennyiségek (pl. hangintenzitás, frekvencia) és a mikroszkopikus, közvetlenül ˝ nehezen mérheto˝ mennyiségek (pl. a levegorészek elmozdulása, a hang által létrehozott nyomásváltozás) közötti kapcsolat.



A gáz nyugalmi állapotát jellemzi az egyensúlyi nyomás, sur ˝ uség, ˝ ˝ homérséklet és az, hogy a gáz nyugalomban van. A hang terjedése során a nyomás, sur ˝ uség, ˝ stb. kissé megváltoznak. Sejtés: a változások kicsik a nyugalmi értékekhez képest. ˝ (Ha nem így lenne, a hang látható hatásokat okozna a levegoben.)

3 / 32

Egyszerusítések ˝ A hang terjedése gázokban


Csak a síkhullám esettel foglalkozunk. (Bármilyen hullám kis része jól közelítheto˝ ezzel.) ˝ x-tengely: terjedési irányban. x-re merolegesen semmi sem változik, ezért mindent x függvényeként adunk meg.

p = p0

∆x0


x


x p = p0 + ∆p(x, t)

ξ(x, t)

∆x(x, t)

˝ Az ábrán jelölt levegorétegek mozgását vizsgáljuk. 4 / 32

Jelölések A hang terjedése gázokban

p = p0

∆x0


x


x


p = p0 + ∆p(x, t)

ξ(x, t)

∆x(x, t)

• ∆x0 : rétegek nyugalmi vastagsága ˝ • ∆x(x,t): torzuló réteg vastagsága az x helyen, t idoben • ξ(x,t): az eredetileg x helyen levo˝ gázrész elmozdulása az

egyensúlyi helyzethez képest • p0 : nyugalmi állapot nyomása ˝ • p(x,t) = p0 + ∆p(x,t): a nyomás hely és idofüggése

5 / 32

Alapveto˝ összefüggések A hang terjedése gázokban


˝ a gázrétegek sebessége és gyorsulása: ξ(x,t)-bol

∂ξ(x,t) v(x,t) = ∂t

∂ 2 ξ(x,t) a(x,t) = ∂t2

˝ álló Fontos! Nem a gáz részecskéinek, hanem sok gázrészecskébol rétegnek a mozgásáról van szó.



6 / 32

Alapveto˝ összefüggések A hang terjedése gázokban


˝ a gázrétegek sebessége és gyorsulása: ξ(x,t)-bol

∂ξ(x,t) v(x,t) = ∂t

∂ 2 ξ(x,t) a(x,t) = ∂t2

˝ álló Fontos! Nem a gáz részecskéinek, hanem sok gázrészecskébol rétegnek a mozgásáról van szó.


Egy gázréteg tömege végig ugyanaz, mint kezdetben:


∆m = ∆x0 A̺0 = ∆xA̺ ahol A a vizsgált keresztmetszet nagysága, ̺0 a gáz nyugalmi, ̺ pedig a pillanatnyi sur ˝ usége. ˝

6 / 32

A gázrétegek mozgásegyenlete ˝ Egy gázrétegre a szomszédos gázrétegek nyomása gyakorol erot:

p(x + ∆x,t) − p(x,t) ∆xA F = p(x,t)A − p(x + ∆x)A = − ∆x Mivel ∆x kicsi, ezért jó közelítéssel:

F =−

∂p(x,t) ∆xA ∂x

7 / 32

A gázrétegek mozgásegyenlete ˝ Egy gázrétegre a szomszédos gázrétegek nyomása gyakorol erot:

p(x + ∆x,t) − p(x,t) ∆xA F = p(x,t)A − p(x + ∆x)A = − ∆x Mivel ∆x kicsi, ezért jó közelítéssel:

F =−

∂p(x,t) ∆xA ∂x

Newton II. törvény szerint:

∂p(x,t) F = ∆ma(x,t) = − ∆xA. ∂x A gyorsulás és a gázréteg tömegének fenti kifejezéseivel:

∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∆xA̺ =− ∆xA ∂t2 ∂x

⇒

∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ̺ =− ∂t2 ∂x 7 / 32

Kapcsolat a térfogat és a nyomás között A sur ˝ usödés-ritkulás ˝ gyors: adiabatikus változások: pV κ =állandó, ahol κ a ˝ gáz specifikus fajhohányadosa. (Termodinamika.)

p(x,t)V (x,t)κ = p(x,t)(∆x(x,t)A)κ = állandó Mivel A állandó:

p(x,t)(∆x(x,t))κ = p0 (∆x0 )κ

8 / 32



p(x,t)(∆x(x,t))κ = p0 (∆x0 )κ ∆x0 x ξ(x + ∆x0 , t)

ξ(x, t) x

∆x(x,t) = ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) p(x,t) ∆x0

p(x,t) 1 +

ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) ∆x0

κ

κ

= p0

= p0

∆x0 + ξ(x + ∆x0 , t) − ξ(x, t) 8 / 32



p(x,t)(∆x(x,t))κ = p0 (∆x0 )κ ∆x0 x ξ(x + ∆x0 , t)

ξ(x, t) x ∆x0 + ξ(x + ∆x0 , t) − ξ(x, t)

∆x(x,t) = ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) ∆x0 + ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) p(x,t) ∆x0

p(x,t) 1 +

ξ(x + ∆x0 ,t) − ξ(x,t) ∆x0

∂ξ(x,t) p(x,t) 1 + ∂x

κ

κ

κ

= p0

= p0

= p0 8 / 32

A hullámegyenlet A hang terjedése gázokban


Kicsi nyomásváltozások: |∆p(x,t)| ≪ p0 és |∂ξ/∂x| ≪ 1. Ezért:

∂ξ(x,t) 1+ ∂x

κ

∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x



9 / 32





alapján:

∂ξ(x,t) (p0 + ∆p(x,t)) 1 + κ ∂x

• Érdekességek

Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben

∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x

p(x,t) = p0 + ∆p(x,t) és p(x,t) (1 + ∂ξ(x,t)/∂x)κ = p0

gázokban

A harmonikus hanghullám leírása

∂ξ(x,t) 1+ ∂x

κ

azaz

1+

∆p(x,t) p0

1+κ

∂ξ(x,t) ∂x

= p0

=1

9 / 32





alapján:

∂ξ(x,t) (p0 + ∆p(x,t)) 1 + κ ∂x

• Érdekességek


∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x


gázokban


∂ξ(x,t) 1+ ∂x

κ

azaz

1+

∆p(x,t) p0

1+κ

∂ξ(x,t) ∂x

= p0

=1

Egyszeru˝ átalakításokkal:

∂ξ(x,t) ∆p(x,t) ∂ξ(x,t) ∆p(x,t) + =0 +κ ·κ p0 dx p0 dx 9 / 32





alapján:

∂ξ(x,t) (p0 + ∆p(x,t)) 1 + κ ∂x

• Érdekességek


∂ξ(x,t) ≈1+κ ∂x


gázokban


∂ξ(x,t) 1+ ∂x

κ

azaz

1+

∆p(x,t) p0

1+κ

∂ξ(x,t) ∂x

= p0

=1

Egyszeru˝ átalakításokkal:

∂ξ(x,t) ∆p(x,t) ∂ξ(x,t) ∆p(x,t) + =0 +κ ·κ p0 dx p0 dx Az utolsó tag elhanyagolható: (két kicsi tag szorzata) 9 / 32

A hullámegyenlet (folyt

∂ξ(x,t) ∆p(x,t) = −κp0 ∂x és a korábban kapott

∂p(x,t) ∂ 2 ξ(x,t) =− ̺ ∂t2 ∂x alapján:

∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∂(p0 + ∆p(x,t)) ∂ 2 ξ(x,t) ̺ =− =− = κp0 2 ∂t ∂x ∂x ∂x2

10 / 32




∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∂(p0 + ∆p(x,t)) ∂ 2 ξ(x,t) ̺ =− =− = κp0 2 ∂t ∂x ∂x ∂x2 ̺ ≈ ̺0 miatt: (kis változások) ∂ 2 ξ(x,t) κp0 ∂ 2 ξ(x,t) = 2 ∂t ̺0 ∂x2

10 / 32




∂ 2 ξ(x,t) ∂p(x,t) ∂(p0 + ∆p(x,t)) ∂ 2 ξ(x,t) ̺ =− =− = κp0 2 ∂t ∂x ∂x ∂x2 ̺ ≈ ̺0 miatt: (kis változások) ∂ 2 ξ(x,t) κp0 ∂ 2 ξ(x,t) = 2 ∂t ̺0 ∂x2 Ez egy hullámegyenlet. Megoldása: ξ(x,t) = f (x ± ct), ahol

c=

r

κp0 ̺0

a terjedési sebeség. 10 / 32

A hangsebesség gázokban A hang terjedése gázokban



• Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása

˝ oekben ˝ Az eloz kapott c = állapotegyenlete, azaz

p

κp0 /̺0 összefüggés az ideális gázok

pV =

m RT µ

alapján átírható:

c=

s

κ

RT µ

˝ (R = 8,31 J/(mol K) az univerzális gázállandó, T a homérséklet (kelvinben), µ a gáz átlagos móltömege kg/mol-ban.)


11 / 32

A hangsebesség gázokban A hang terjedése gázokban




˝ oekben ˝ Az eloz kapott c = állapotegyenlete, azaz

p

κp0 /̺0 összefüggés az ideális gázok

pV =

m RT µ

alapján átírható:

c=

s

κ

RT µ

˝ (R = 8,31 J/(mol K) az univerzális gázállandó, T a homérséklet (kelvinben), µ a gáz átlagos móltömege kg/mol-ban.) Hosszú levezetés után egyszeru˝ eredményt kaptunk. ˝ ez levezetheto˝ volt. Jegyezzük meg: a fizika alaptörvényeibol

11 / 32

Két példa A hang terjedése gázokban

• Bevezetés • Egyszerusítések ˝ • Jelölések • Alapveto˝

˝ Példa: Ellenorizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levego˝ adatainak felhasználásával!

összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között



12 / 32




• Érdekességek

˝ Példa: Ellenorizzük, valóban az ismert 330 m/s körüli sebességet kapjuk-e a levego˝ adatainak felhasználásával! Megoldás: A levego˝ adatai: κ = 1,4, µ = 29 g/mol=0,029 kg/mol. T = 273 K esetén:

c=

s

8,31 · 273 m 1,4 · = 330,9 0,029 s

A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben

12 / 32






c=

s

8,31 · 273 m 1,4 · = 330,9 0,029 s

Példa: Mekkora a hang terjedési sebessége 273 K-en tiszta H2 gázban? A hidrogéngáz esetén κ = 1,4 és µ = 2 g/mol értékekkel számolhatunk.

12 / 32






c=

s

8,31 · 273 m 1,4 · = 330,9 0,029 s

Példa: Mekkora a hang terjedési sebessége 273 K-en tiszta H2 gázban? A hidrogéngáz esetén κ = 1,4 és µ = 2 g/mol értékekkel számolhatunk. Megoldás: Egyszeru˝ behelyettesítéssel c = 1260 m/s adódik, ami a hidrogéngázban mért értékkel megegyezik.

12 / 32

Még egy példa A hang terjedése gázokban

• Bevezetés • Egyszerusítések ˝ • Jelölések • Alapveto˝

Példa: Hány százalékkal terjed gyorsabban a hang a nyári, 30◦ C-os melegben, mint a téli −20◦ C-os hidegben?

összefüggések • A gázrétegek mozgásegyenlete • Kapcsolat a térfogat és a nyomás között



13 / 32

Még egy példa A hang terjedése gázokban



• Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban

Példa: Hány százalékkal terjed gyorsabban a hang a nyári, 30◦ C-os melegben, mint a téli −20◦ C-os hidegben? ˝ Megoldás: Ha csak a homérséklet-különbségek okoznak változást, akkor a hangsebességek aránya:

q

2 κ RT µ

c2 = =q 1 c1 κ RT µ

s

T2 = T1

r

303 = 1,09 253

A nyári melegben tehát kb. 9%-kal terjed gyorsabban a hang, mint a téli hidegben.

Hullámok terjedése szilárd testekben

13 / 32

Érdekességek A hang terjedése gázokban



• Érdekességek A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban

˝ A hangsebesség homérsékletfüggése érdekes jelenségeket okoz. Töréstörvény: (hullámtan)

√ T1 c1 sin α1 = =√ sin α2 c2 T2 ˝ A hang tehát eltér irányától, ha nem merolegesen érkezik egy ˝ határra, ahol a homérséklet megváltozik. Ez szabad téren sokszor jelentkezo˝ hatás. meleg hideg

meleg

hideg


˝ alig, 2 km-rol ˝ jól Emiatt lehet, hogy egy vonat zakatolása 500 m-rol hallható. Ezért változik, mennyire hangosan hallatszik a magasan ˝ hangja, stb. repülo˝ repülok 14 / 32

A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete

• A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus impedancia


• Érdekesség Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben

15 / 32

Alapveto˝ összefüggések A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete

Harmonikus hullám esetén:

ξ(x,t) = ξm sin(kx − ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia.



16 / 32





ξ(x,t) = ξm sin(kx − ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. A gázrétegek sebessége:

∂ξ(x,t) v(x,t) = = −ξm ω cos(kx − ωt) ∂t ˝ a sebesség amplitúdója: vm = ξm ω . ebbol

16 / 32





ξ(x,t) = ξm sin(kx − ωt), ahol k = 2π/λ a hullámszám, ω a körfrekvencia. A gázrétegek sebessége:

∂ξ(x,t) v(x,t) = = −ξm ω cos(kx − ωt) ∂t ˝ a sebesség amplitúdója: vm = ξm ω . ebbol A gyorsulás:

∂ 2 ξ(x,t) 2 = −ξ ω sin(kx − ωt) a(x,t) = m 2 ∂t

16 / 32

A gázréteg mozgásegyenlete Fentebb levezettük, hogy ̺a(x,t) = −∂p/∂x, ezért:

∂p(x,t) ̺ −ξm ω sin(kx − ωt) = − ∂x

2

Normál hang esetén ̺ ≈ ̺0 , ezért

∂p(x,t) = ̺0 ξm ω 2 sin(kx − ωt) ∂x

17 / 32



2


∂p(x,t) = ̺0 ξm ω 2 sin(kx − ωt) ∂x Ennek mindkét oldalát x szerint integrálva:

1 p(x,t) = p0 − ̺0 ξm ω 2 cos(kx − ωt) = p0 − ̺0 cξm ω cos(kx − ωt). k (k = 2π/λ, ω = 2πf és c = f λ felhasználásával.)

17 / 32



2


∂p(x,t) = ̺0 ξm ω 2 sin(kx − ωt) ∂x Ennek mindkét oldalát x szerint integrálva:

1 p(x,t) = p0 − ̺0 ξm ω 2 cos(kx − ωt) = p0 − ̺0 cξm ω cos(kx − ωt). k (k = 2π/λ, ω = 2πf és c = f λ felhasználásával.) A harmonikus nyomásingadozások amplitúdója: pm = ̺0 cξm ω .

17 / 32

A hang energiája ˝ Gázrétegek: harmonikus rezgomozgás. A korábban tanultak szerint egy rétegben tárolt energia:

1 1 2 2 = A∆x0 ̺0 vm E = ∆mvm 2 2 Energiasur ˝ uség: ˝

e=

1 E 2 = ̺0 vm V 2

18 / 32



e=

1 E 2 = ̺0 vm V 2

˝ Ez c sebességgel terjed. Egy A nagyságú, a terjedési irányra meroleges felületre ∆t alatt Ac∆t térfogatú tartományból érkezik az e energiasur ˝ uség ˝ u˝ energia:

1 2 ∆E = e · Ac∆t = ̺0 vm · Ac∆t 2

18 / 32



e=

1 E 2 = ̺0 vm V 2


1 2 ∆E = e · Ac∆t = ̺0 vm · Ac∆t 2 ∆E 1 2 P = = ̺0 vm · Ac ∆t 2

18 / 32



e=

1 E 2 = ̺0 vm V 2


1 2 ∆E = e · Ac∆t = ̺0 vm · Ac∆t 2 ∆E 1 2 P = = ̺0 vm · Ac ∆t 2 1 P 2 = c̺0 vm (= ec) I= A 2 18 / 32

Összefoglalás A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete

A hangról levezetett ismeretek összefoglalása. Hullámegynelet:

2 ∂ 2 ξ(x,t) 2 ∂ ξ(x,t) =c 2 ∂t ∂x2



19 / 32




Hangsebesség:

2 ∂ 2 ξ(x,t) 2 ∂ ξ(x,t) =c 2 ∂t ∂x2

c=

r

κp0 = ̺0

s

RT κ µ


19 / 32





Hangsebesség:

2 ∂ 2 ξ(x,t) 2 ∂ ξ(x,t) =c 2 ∂t ∂x2

c=

r

κp0 = ̺0

s

RT κ µ

Harmonikus hanghullám esetén pedig a levego˝ egyes darabjai ˝ harmonikus rezgomozgást végeznek ξm amplitúdóval, ω körfrekvenciával, vm = ξm ω sebességamplitúdóval, pm = ̺0 cξm ω nyomás-amplitúdóval. 2 = (1/2)p2 /(̺ c). A hangintenzitás: I = (1/2)c̺0 vm 0 m

19 / 32

Az akusztikus impedancia A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete

• A hang energiája • Összefoglalás • Az akusztikus

Akusztikus impedancia: Z = ̺0 c. ˝ o˝ összefüggések így kicsit egyszerubbek Az eloz ˝ lesznek:

pm = Zξm ω = Zvm

1 p2m 1 2 I = Zvm = 2 2 Z

impedancia


20 / 32

Az akusztikus impedancia A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete


Akusztikus impedancia: Z = ̺0 c. ˝ o˝ összefüggések így kicsit egyszerubbek Az eloz ˝ lesznek:

pm = Zξm ω = Zvm

1 p2m 1 2 I = Zvm = 2 2 Z

Néhány gáz adatai:

• Érdekesség Hang terjedése folyadékokban

Anyag


levego˝ (0◦ C) levego˝ (20◦ C) levego˝ (40◦ C) H2 (0◦ C) CO2 (0◦ C) ˝ (100◦ C) vízgoz

c [m/s]

̺ [kg/m3 ]

Z [kg/(m2 s)]

332 344 355 1284 259 405

1,29 1,21 1,13 0,089 1,96 0,6

428 416 400 114 507 243

20 / 32

Egy példa A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete

˝ Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegobeli terjedése során fellépo˝ elmozdulás, sebesség és nyomásampli˝ túdók nagyságát, ha a homérséklet 273 K!



21 / 32



˝ Példa: Számoljuk ki egy 80 dB-es, 1000 Hz frekvenciájú hang levegobeli terjedése során fellépo˝ elmozdulás, sebesség és nyomásampli˝ túdók nagyságát, ha a homérséklet 273 K! Megoldás: Z = ̺0 c = 428 kg/(m2 s). A 80 dB-es hang intenzitása: I = I0 · 1080/10 = 10−4 W/m2 .


21 / 32





1 2 I = Zvm 2

⇒

vm =

s

2I −4 m = 6,88 · 10 Z s

21 / 32





1 2 I = Zvm 2 1 p2m I= 2 Z

⇒ ⇒

vm =

s

pm =

2I −4 m = 6,88 · 10 Z s √

2IZ = 0,29 Pa

21 / 32





1 2 I = Zvm 2

⇒

1 p2m I= 2 Z vm = ξm ω

⇒

vm =

⇒

s

pm =

ξm =

2I −4 m = 6,88 · 10 Z s √

2IZ = 0,29 Pa

vm vm = = 1,1 · 10−7 m ω 2πf

21 / 32





1 2 I = Zvm 2

⇒

1 p2m I= 2 Z vm = ξm ω

⇒

vm =

⇒

s

pm =

ξm =

2I −4 m = 6,88 · 10 Z s √

2IZ = 0,29 Pa

vm vm = = 1,1 · 10−7 m ω 2πf

˝ Érdekes, milyen kicsi változásokat okoz ez az erosen hallható hang.

21 / 32

Érdekesség A hang terjedése gázokban

˝ hangok által okozott elmozdulások is kicsik. Az eros

A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete

˝ de mély hangok esete. Például egy 110 dB-es, Kivétel: eros, ˝ 20 Hz-es hang esetén a levegorészek elmozdulása több, mint ˝ 0,1 mm. Ezt 60 fonosnak érezzük, tehát közepesen eros.


˝ felszínén. Ekkor A 0,1 mm-es változás viszont érzékelheto˝ pl. a bor érezheto˝ is a hang.


22 / 32

Érdekesség A hang terjedése gázokban

˝ hangok által okozott elmozdulások is kicsik. Az eros

A harmonikus hanghullám leírása • Alapveto˝ összefüggések • A gázréteg mozgásegyenlete

˝ de mély hangok esete. Például egy 110 dB-es, Kivétel: eros, ˝ 20 Hz-es hang esetén a levegorészek elmozdulása több, mint ˝ 0,1 mm. Ezt 60 fonosnak érezzük, tehát közepesen eros.


˝ felszínén. Ekkor A 0,1 mm-es változás viszont érzékelheto˝ pl. a bor érezheto˝ is a hang.


˝ lökéshullámok Gyorsan mozgó testek körül vagy robbanáskor eros ˝ is. keletkezhetnek, melyek akár fényképezhetok

22 / 32

A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban • Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben

Hang terjedése folyadékokban

23 / 32

Hang terjedése folyadékokban A hang terjedése gázokban

A gázokhoz hasonlóan a hang itt is csak longitudinális lehet.


(A folyadék rétegek egymáson való elcsúszása nem eredményez ˝ rugalmas erot.)

Hang terjedése folyadékokban • Hang terjedése folyadékokban

A leírás nagyon hasonlít a gázok esetére.


Eredmény: a hangsebesség a folyadék κ kompresszibilitásával kapcsolatos: q

cf =

1/(κ̺0 )

Néhány folyadék adatai: Anyag

víz (0◦ C) víz (20◦ C) tengervíz (13◦ C) glicerin (20◦ C) benzin (20◦ C)

c [m/s]

̺ [kg/m3 ]

1410 1480 1500 1923 1170

999 998 1026 1260 750

Z [kg/(m2 s)] 1,41 · 106 1,48 · 106 1,54 · 106 2,42 · 106 8,8 · 105

24 / 32

A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben

• Bevezetés • Hullámok nagyméretu˝ szilárd testekben • Hullámok véges méretu˝ szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei


• Hajlítási hullámok

25 / 32

Bevezetés A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása

˝ eltéroen ˝ szilárd testekben A folyadékok és gázok esetétol transzverzális hullámok is terjedhetnek. ˝ is.) (Felléphetnek nyíróerok




26 / 32





A jelenséget bonyolulttá teszi, hogy a kereszt- és hosszirányú relatív méretváltozások összekapcsolódnak: egy nyújtott rúd keresztmetszete csökken.


26 / 32





A jelenséget bonyolulttá teszi, hogy a kereszt- és hosszirányú relatív méretváltozások összekapcsolódnak: egy nyújtott rúd keresztmetszete csökken. Ha a rúd kezdeti hossza l0 , keresztirányú mérete pedig d0 , akkor a vizsgálatok szerint a relatív keresztirányú és hosszirányú méretváltozás aránya egy adott anyag esetén állandó µ érték:

∆d ∆l = −µ d0 l0


µ mindig 0 és 0,5 közé esik, de a legtöbb anyag esetén 0,25 és 0,4 közé. Elnevezés: Poisson-szám. 26 / 32

... A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben

• Bevezetés • Hullámok nagyméretu˝

˝ A nyújtáskor fellépo˝ rugalmas eroket a Hooke-törvény adja meg:

F =A·E

∆l l0

ahol A a test keresztmetszetének nagysága, E a Young-modulusz nevu˝ anyagi állandó.

szilárd testekben • Hullámok véges méretu˝ szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei


27 / 32

... A hang terjedése gázokban

˝ A nyújtáskor fellépo˝ rugalmas eroket a Hooke-törvény adja meg:


F =A·E




∆l l0

ahol A a test keresztmetszetének nagysága, E a Young-modulusz nevu˝ anyagi állandó. Az egyszeru˝ (homogén és izotrop) anyagok rugalmasság ˝ szempontjából ezzel a két rugalmas állandóval jellemezhetok:

• E : Young-modulusz • µ: Poisson-szám ˝ Nem homogén és izotrop anyag esetén ezek hely- és irányfüggoek (és még speciális jelenségek is fellépnek), de ilyen esettel nem foglalkozunk. 27 / 32

Hullámok nagyméretu˝ szilárd testekben Amennyiben a test minden mérete sokkal nagyobb a vizsgált hullám hullámhosszánál, a test tehetetlenségénél fogva nem engedi, hogy a keresztirányú méretváltozások lényeges hatást okozzanak.

28 / 32

Hullámok nagyméretu˝ szilárd testekben Amennyiben a test minden mérete sokkal nagyobb a vizsgált hullám hullámhosszánál, a test tehetetlenségénél fogva nem engedi, hogy a keresztirányú méretváltozások lényeges hatást okozzanak. Ekkor a klasszikus longitudinális és transzverzális hullámok terjedhetnek: longitudinális hullám

cl =

q

E ̺0

q

1−µ (1+µ)(1−2µ)

̺0 a test anyagának sur ˝ usége. ˝

transzverzális hullám

ct =

q

E ̺0

q

1 2(1+µ)

28 / 32

Hullámok véges méretu˝ szilárd testekben ˝ Speciális jelenségek lépnek fel, ha a közeg terjedési irányra meroleges méretei kisebbek a hullámhossznál. Ekkor ugyanis a hossz- és keresztirányú deformációk összekapcsolódása kevert longitudinális-transzverzális hullámot okoz.

tágulási hullám (vékony rúd esete)

cd =

q

E ̺0

29 / 32

Hullámok véges méretu˝ szilárd testekben ˝ Speciális jelenségek lépnek fel, ha a közeg terjedési irányra meroleges méretei kisebbek a hullámhossznál. Ekkor ugyanis a hossz- és keresztirányú deformációk összekapcsolódása kevert longitudinális-transzverzális hullámot okoz.

tágulási hullám (vékony rúd esete)

cd =

q

E ̺0

Rayleigh-hullám (nagy test felszíni hullámai)

cR = ct

0,87+1,12µ 1+µ

29 / 32

Hullámterjedési sebességek viszonya A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása

cx ·

Hang terjedése folyadékokban

1.8

2


1.6

• Bevezetés • Hullámok nagyméretu˝

1.4

szilárd testekben • Hullámok véges méretu˝ szilárd testekben • Hullámterjedési sebességek viszonya • Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei


q

̺0 /E cl

1.2

cd

1 0.8

ct

0.6

cR

0.4 0.2 0

µ 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

30 / 32

Különféle anyagok hullámterjedési paraméterei A hang terjedése gázokban A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben



Anyag acél alumínium ólom vörösréz ablaküveg bazalt beton ˝ fenyofa gipszkarton márvány parafa porcelán vörösfenyo˝

cl [m/s]

cd [m/s]

ct [m/s]

̺ [kg/m3 ]

µ

6100 6300 2200 4650 5700 5900 – – – 6200 – 5340 –

5050 5100 1200 3650 5300 5080 3100 5300 2000 5340 500 4880 4200

3200 3080 700 2260 3400 3140 – – – 3300 – 3120 –

7800 2700 11400 0,35 2500 2720 2500 360 800 2660 200 2400 360

0,28 0,34 0,44 0,22 0,31 – – – 0,31 – 0,23 –

31 / 32

Hajlítási hullámok A hang terjedése gázokban

Vékony rétegek (lemezek, falak) vastagságban együttes hullámzása.

A harmonikus hanghullám leírása Hang terjedése folyadékokban Hullámok terjedése szilárd testekben


Érdekesség: a terjedési sebesség a frekvenciától is függ:

ch =

s 4

p 1 πf dcd 2 3(1 − µ )


32 / 32

Hangtan II. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29

Recommend Documents