A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29

A mechanika alapjai A pontszeru˝ testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29.

Bevezetés

• Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

Bevezetés

2 / 35

Bevezetés Bevezetés

• Bevezetés A kinematika alapfogalmai

˝ lehet a középiskolából. Miért tanulunk Több alapfogalom ismeros ˝ mégis? errol

A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

3 / 35


• Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség


• ismétlés

A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

3 / 35


• Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás


• ismétlés • precízebb megértés

A fordított irányú kapcsolat

3 / 35




A gyorsulás



A mechanika két fo˝ ága:

A pillanatnyi sebesség

3 / 35




A gyorsulás





Kinematika:

3 / 35




A gyorsulás





Kinematika:

A tárgyak mozgásának leírása.

3 / 35




A gyorsulás





Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. („Hogyan mozognak a tárgyak?”)

3 / 35




A gyorsulás





Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. („Hogyan mozognak a tárgyak?”) Dinamika:

3 / 35




A gyorsulás





Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. („Hogyan mozognak a tárgyak?”) Dinamika: A mozgás okának vizsgálata.

3 / 35




A gyorsulás





Kinematika: A tárgyak mozgásának leírása. („Hogyan mozognak a tárgyak?”) Dinamika: A mozgás okának vizsgálata. („Miért mozognak a tárgyak?”)

3 / 35

Bevezetés A kinematika alapfogalmai

• bonyolult mozgások • pontszeru˝ testek • vonatkoztatási pont • helyvektor szemléltetése • kinematikai alapfogalmak (ábra) • kinematikai alapfogalmak (magyarázat) • komponensenkénti számolás

A kinematika alapfogalmai


4 / 35

bonyolult mozgások Bevezetés

Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult.


• bonyolult mozgások • pontszeru˝ testek • vonatkoztatási pont • helyvektor szemléltetése • kinematikai alapfogalmak (ábra) • kinematikai alapfogalmak (magyarázat) • komponensenkénti számolás A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

5 / 35

bonyolult mozgások Bevezetés A kinematika alapfogalmai

Egy valós test mozgásának leírása általában igen bonyolult. Példa: egy járkáló ember kinematikája.


Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást.


5 / 35



• bonyolult mozgások • pontszeru˝ testek • vonatkoztatási pont • helyvektor szemléltetése • kinematikai alapfogalmak (ábra) • kinematikai alapfogalmak (magyarázat) • komponensenkénti számolás A pillanatnyi sebesség

Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. ⇒ Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni.


5 / 35



• bonyolult mozgások • pontszeru˝ testek • vonatkoztatási pont • helyvektor szemléltetése • kinematikai alapfogalmak (ábra) • kinematikai alapfogalmak (magyarázat) • komponensenkénti számolás A pillanatnyi sebesség A gyorsulás

Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. ⇒ Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. ˝ Sot!


5 / 35




Sok fontos pont leírása adja meg a mozgást. ⇒ Mindenképp egy pont mozgásának leírásával kell kezdeni. ˝ A gyakorlatban sokszor a test részletei nem lényegesek, csak a Sot! test egy pontjának mozgása: ekkor az egész testet tekinthetjük pontszerunek. ˝

5 / 35

pontszeru˝ testek Bevezetés A kinematika alapfogalmai

• bonyolult mozgások • pontszeru˝ testek • vonatkoztatási pont • helyvektor

Pontszeru˝ testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és belso˝ folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását.

szemléltetése • kinematikai alapfogalmak (ábra) • kinematikai alapfogalmak (magyarázat) • komponensenkénti számolás A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

6 / 35

pontszeru˝ testek Bevezetés A kinematika alapfogalmai


Pontszeru˝ testnek nevezünk egy testet, ha méretei a mozgás pályájának méreteihez képest elhanyagolhatók és belso˝ folyamatai nem befolyásolják középpontjának mozgását. Természetesen tökéletesen pontszeru˝ test (tömegpont) nincs, de sokszor jó közelítést jelent pontszeruvel ˝ közelíteni.


6 / 35

vonatkoztatási pont Bevezetés A kinematika alapfogalmai

• Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont)


7 / 35

vonatkoztatási pont Bevezetés

• Megadunk a térben egy pontot, amit vonatkoztatási- vagy


viszonyítási pontnak nevezünk. (O pont) • Megadjuk a vonatkoztatási pontból a tömegpontba mutató úgynevezett helyvektort. (r vektor)


7 / 35






˝ Ez egy idopontra vonatkozik.


7 / 35






˝ Ez egy idopontra vonatkozik. ˝ Ha minden t idopontra megadjuk a test r(t) helyvektorát, akkor ezzel a tömegpont mozgását teljesen leírtuk.


7 / 35

helyvektor szemléltetése Bevezetés A kinematika alapfogalmai


11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

szemléltetése • kinematikai alapfogalmak (ábra) • kinematikai alapfogalmak (magyarázat) • komponensenkénti számolás

11 00 00 11 00 11

11 00 00 11 00 11

r(t)


helyvektor


O viszonyítási pont

Pontszeru˝ test mozgása, viszonyítási pont 8 / 35

kinematikai alapfogalmak (ábra) Bevezetés A kinematika alapfogalmai

út


elmozdulás

pálya

r(t 1) r(t ) 2


O

Kinematikai alapfogalmak 9 / 35

kinematikai alapfogalmak (magyarázat) Bevezetés

Elmozdulás: vektormennyiség



∆r = r(t2 ) − r(t1 )


10 / 35




• bonyolult mozgások • pontszeru˝ testek • vonatkoztatási pont • helyvektor szemléltetése • kinematikai alapfogalmak (ábra) • kinematikai alapfogalmak (magyarázat) • komponensenkénti számolás A pillanatnyi sebesség

∆r = r(t2 ) − r(t1 ) Út: skalár mennyiség A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag bonyolult!

s(t1 , t2 ) =

Z

t2

|r ′(t)|dt

t1


10 / 35





∆r = r(t2 ) − r(t1 ) Út: skalár mennyiség A befutott pályadarab hossza. Szemléletes, de matematikailag bonyolult!

s(t1 , t2 ) =

Z

t2

|r ′(t)|dt

t1

Ez nem egyenes menti mozgások esetén általában összetett számolásokhoz vezet. (Az abszolútérték-jel miatt.)

10 / 35

... Bevezetés A kinematika alapfogalmai


Átlagsebesség: vektormennyiség

v(t1 , t2 ) =

r(t2 ) − r(t1 ) t2 − t1

=

∆r ∆t


11 / 35




v(t1 , t2 ) =

r(t2 ) − r(t1 ) t2 − t1

=

∆r ∆t

Átlagos sebességnagyság: skalár mennyiség Az út és az ido˝ hányadosa.

s(t1 , t2 ) t2 − t1 Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran használható információt.

11 / 35




v(t1 , t2 ) =

r(t2 ) − r(t1 ) t2 − t1

=

∆r ∆t

Átlagos sebességnagyság: skalár mennyiség Az út és az ido˝ hányadosa.

s(t1 , t2 ) t2 − t1 Nincs is külön jele, mert fizikailag nem hordoz gyakran használható információt. ˝ A fogalmak pontos használata kötelezo!!! Köznapi értelemben sokszor keverednek ezek, de ezt fizikában nem szabad.

11 / 35

komponensenkénti számolás Bevezetés

Sokszor nehéz vektorokkal számolni.



12 / 35

komponensenkénti számolás Bevezetés A kinematika alapfogalmai


Sokszor nehéz vektorokkal számolni. Ezért a gyakorlatban többnyire felveszünk egy koordináta-rendszert, melynek origója a viszonyítási pont és a vektorok komponenseivel, koordinátáival számolunk:

r(t)

helyett

(x(t), y(t), z(t))


12 / 35




r(t)

A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert. Pl. a vektor hossza (abszolút értéke):


(x(t), y(t), z(t))

helyett

|r| = r =

q

x2 + y 2 + z 2

12 / 35




r(t)

A koordináták ismeretében a vektor minden tulajdonsága ismert. Pl. a vektor hossza (abszolút értéke):


(x(t), y(t), z(t))

helyett

|r| = r =

q

x2 + y 2 + z 2

Megjegyzés: Bizonyos esetekben nem derékszögu˝ koordináta-rendszer használata a célszeru, ˝ de ilyennel mi nem fogunk találkozni.

12 / 35

Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

• alapötlet • egy egyszeru˝ példa • matematikai eszközök

• egy kis történeti kitéro˝ • szemléltetés grafikonon



13 / 35

alapötlet Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

Az átlagsebesség (∆r/∆t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi ido˝ alatt. De hogy értelmezheto˝ a pillanatnyi sebesség?


• egy kis történeti kitéro˝ • szemléltetés grafikonon A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

14 / 35



Az átlagsebesség (∆r/∆t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi ido˝ alatt. De hogy értelmezheto˝ a pillanatnyi sebesség? Nem írhatunk ∆t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0 ˝ lenne a nevezoben.


14 / 35




Az átlagsebesség (∆r/∆t) jelentése: átlagosan mekkora az elmozdulás egységnyi ido˝ alatt. De hogy értelmezheto˝ a pillanatnyi sebesség? Nem írhatunk ∆t = 0-t az átlagsebesség formulájába, mert 0 ˝ lenne a nevezoben. Azonban ha egyre kisebb és kisebb ∆t értékre számoljuk ki az átlagsebesség értékét, az egy jól meghatározott értéket közelít meg egyre jobban. ˝ közelíto˝ meghatározás: Elso, Pillanatnyi sebesség alatt egy olyan rövid ido˝ átlagsebességét értjük, mely alatt a mozgás nem változik meg lényegesen.

14 / 35

egy egyszeru˝ példa Mozogjon egy test az x tengely mentén: x(t) = 5 · sin(3 · t) (SI-egységekben) Mekkora a pillanatnyi sebessége t = 0,2-kor? Recept: számoljuk ki az átlagsebességet t és t + ∆t között, majd nézzük meg, mi történik egyre kisebb ∆t-re:

v(t, t + ∆t) =

x(t + ∆t) − x(t) ∆t

=

5 sin(3(t + ∆t)) − 5 sin(t) ∆t

Esetünkben t = 0,2, így:

v(0,2, 0,2 + ∆t) =

5 ∆t

(sin(0,6 + 3∆t) − sin 0,6)

Itt már csak ∆t ismeretlen.

15 / 35

... folytatás


Számoljuk ki v -t egyre csökkeno˝ ∆t mellett: Figyelem! A sin függvény argumentumában nem volt fokjel, ezért radiánban kell számolni!

• alapötlet • egy egyszeru˝ példa • matematikai

∆t

v

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

10,93 12,25 12,37 12,38 12,38

Bevezetés A kinematika alapfogalmai

eszközök


˝ hogy az értékek egy meghatározott számhoz Megfigyelheto, közelítenek, nem 0-hoz vagy végtelenhez. Ez a szám a pillanatnyi sebesség értéke. ˝ A test tehát 12,38 m/s sebességgel mozog a kérdezett idopontban. (2 tizedesjegy pontosságig.) 16 / 35

matematikai eszközök Bevezetés

Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével:

A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség



17 / 35

matematikai eszközök Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség


• egy kis történeti kitéro˝ • szemléltetés

Pontosabb meghatározás a matematikai ismeretek segítségével: Felismerhetjük, hogy:

• Az átlagsebesség a hely-ido˝ függvény differenciahányadosa.

v(t1 , t2 ) =

r(t2 ) − r(t1 ) t2 − t1

=

∆r ∆t

grafikonon A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

17 / 35






v(t1 , t2 ) =

r(t2 ) − r(t1 ) t2 − t1

=

∆r ∆t


• A pillanatnyi sebesség a hely-ido˝ függvény differenciálhányadosa.

v = lim

∆t→0

∆r ∆t

=

dr dt

= r′

17 / 35






v(t1 , t2 ) =

r(t2 ) − r(t1 ) t2 − t1

=

∆r ∆t


• A pillanatnyi sebesség a hely-ido˝ függvény differenciálhányadosa.

v = lim

∆t→0

∆r ∆t

=

dr dt

= r′

(Ne ijedjünk meg: ez ugyanaz a deriválás, amit matematikából tanultunk. Kis eltérés: t a változó és vektort deriválunk, ami egyszeruen ˝ mindegyik komponensének deriválását jelenti.)

17 / 35

egy kis történeti kitéro˝ Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

A mechanika alapfogalmai tehát csak a differenciálszámítás ˝ meg. Ennek megfeleloen ˝ ˝ segítségével érthetok ezek kifejlodése egymással párhuzamosan történt.



18 / 35

egy kis történeti kitéro˝ Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség



A mechanika alapfogalmai tehát csak a differenciálszámítás ˝ meg. Ennek megfeleloen ˝ ˝ segítségével érthetok ezek kifejlodése egymással párhuzamosan történt. ˝ tudós: Egyik jelentos Sir Isaac Newton (1643–1727) Többek között a differenciálés integrálszámítás egyik fo˝ megalapozója és a modern mechanika megalapozója. A kapcsolat nem véletlen: differenciálés integrálszámítás nélkül nem lehet megérteni a mechanikát. (És szinte semmilyen természeti folyamatot sem.)

18 / 35

szemléltetés grafikonon Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség



Egyenes menti mozgás (vagy egy mozgás egy komponense) jól ˝ szemléltetheto˝ grafikonon, és az alapfogalmak is jól megfigyelhetok itt:

x(t2 )

grafikonon

∆x


x(t)

x(t)

m = ∆x ∆t

x(t1 )

t1

∆t

t2

t

19 / 35

... folytatás Bevezetés A kinematika alapfogalmai

Amennyiben t2 egyre jobban megközelíti t1 -et, azaz ∆t a 0-t, a ˝ egyre inkább a grafikon érintojéhez ˝ szelok simulnak:



x(t)

érintõ


t1

t2

t

A hely-ido˝ grafikonhoz húzott szelo˝ meredeksége tehát az átlagsebességet, az érinto˝ meredeksége a pillanatnyi sebességet adja meg. 20 / 35

Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás

• a gyorsulás fogalma • alkalmazás a fizikára • típushibák A fordított irányú kapcsolat

A gyorsulás

21 / 35

a gyorsulás fogalma Bevezetés A kinematika alapfogalmai

˝ oekhez ˝ Az eloz hasonlóan: Átlagos gyorsulás:

A pillanatnyi sebesség A gyorsulás

• a gyorsulás fogalma • alkalmazás a fizikára • típushibák

a(t1 , t2 ) =

v(t2 ) − v(t1 ) t2 − t1

=

∆v ∆t


22 / 35





a(t1 , t2 ) =

v(t2 ) − v(t1 ) t2 − t1

=

∆v ∆t

Pillanatnyi gyorsulás:

a=

dv dt

= v′

22 / 35





a(t1 , t2 ) =

v(t2 ) − v(t1 ) t2 − t1

=

∆v ∆t


a=

dv dt

= v′

Mivel a sebesség a hely ido˝ szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a ˝ kétszeri sebesség ido˝ szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helybol deriválással kapható.

22 / 35





a(t1 , t2 ) =

v(t2 ) − v(t1 ) t2 − t1

=

∆v ∆t


a=

dv dt

= v′

Mivel a sebesség a hely ido˝ szerinti deriváltja, a gyorsulás pedig a ˝ kétszeri sebesség ido˝ szerinti deriváltja, ezért a gyorsulás a helybol deriválással kapható. Ezért azt mondjuk, hogy a gyorsulás a hely ido˝ szerinti második deriváltja, és a következo˝ jelöléssel fejezzük ki:

a=

d2 r dt2

= r ′′ 22 / 35

alkalmazás a fizikára Bevezetés A kinematika alapfogalmai

Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele.



23 / 35

alkalmazás a fizikára Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. Egy test hely-ido˝ függvénye:

A gyorsulás


x(t) =

a 2

t2 + v0 · t + x0

Adja meg a sebességét és a gyorsulását!

23 / 35

alkalmazás a fizikára Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

Nem lesznek bonyolultabbak a dolgok, csak a jelölések mások, azaz nem feltétlen x lesz a változó jele. Egy test hely-ido˝ függvénye:

A gyorsulás


x(t) =

a 2

t2 + v0 · t + x0

Adja meg a sebességét és a gyorsulását! Megoldás: A sebesség a hely ido˝ szerinti deriváltja: ′

v(t) = (x(t)) =

dx dt

=

a 2

2t + v0 + 0 = at + v0

A gyorsulás pedig a sebesség deriváltja:

a(t) = (v(t))′ = a + 0 = a Ez tehát az egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás. 23 / 35


Egy test hely-ido˝ függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a sebesség-ido˝ függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor?



24 / 35


Egy test hely-ido˝ függvénye: x(t) = 5 sin(3t). Adja meg a sebesség-ido˝ függvényt! Mekkora lesz sebessége t = 0,2 s-kor?



Megoldás:

v(t) = (x(t))′ = 5(sin(3t))′ = 5 cos(3t)(3t)′ =


= 5 cos(3t) · 3 = 15 cos(3t) ˝ A kérdezett idopontban:

v(0,2) = 15 cos(0,6) = 12,380

m s

Nahát! Ezt számoltuk ki korábban! Csak így sokkal gyorsabb és ˝ nemcsak egy idopontra kaptuk meg az eredményt.

24 / 35

... Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

Egy xy -síkban mozgó test koordinátái az ido˝ függvényében:

x(t) = 6t

y(t) = 5 − 3t − 5t2

A gyorsulás


Adja meg sebességének nagyságát az ido˝ függvényében!


25 / 35


Egy xy -síkban mozgó test koordinátái az ido˝ függvényében:

y(t) = 5 − 3t − 5t2

x(t) = 6t



Adja meg sebességének nagyságát az ido˝ függvényében! Megoldás: Külön-külön ki kell számolni a sebesség komponenseit:

vx(t) = (x(t))′ = (6t)′ = 6 vy (t) = (y(t))′ = (5 − 3t − 5t2 )′ = 0 − 3 − 10t A Pithagorasz-tétel szerint:

|v(t)| =

q

vx2 (t) + vy2 (t) = =

q

62 + (−3 − 10t)2 =

p

100t2 + 60t + 45 25 / 35

típushibák Bevezetés

FIGYELEM!

A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás


26 / 35

típushibák Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák.

A gyorsulás


26 / 35

típushibák Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás


FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido˝ hányadosa: v = x/t”


26 / 35



FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido˝ hányadosa: v = x/t” Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves!

26 / 35



FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido˝ hányadosa: v = x/t” Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! Ugyanez pepitában: „A gyorsulás a sebesség és az ido˝ hányadosa: a = v/t”

26 / 35



FIGYELEM! Hallgatók tipikus hibái: mondókákat mondogatnak és rosszul alkalmazzák. Pl. egy tipikus rossz mondóka: „A sebesség az út és az ido˝ hányadosa: v = x/t” Egy csak és kizárólag az origóból induló egyenes vonalú egyenletes mozgásra igaz! általános alkalmazása téves! Ugyanez pepitában: „A gyorsulás a sebesség és az ido˝ hányadosa: a = v/t” Ne is vesztegessük rá a szót: felejtsük el!

26 / 35

Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

• a fordított irány • . . . matematikailag • . . . szemléletes jelentés


˝ • ... az elojelek • példák • . . . ugyanez integrálással

27 / 35

a fordított irány Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás

˝ kiszámolni a Tudjuk már, hogy kell a hely-ido˝ függvénybol sebesség-ido˝ függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-ido˝ függvény ismeretében?


• a fordított irány • . . . matematikailag • . . . szemléletes jelentés ˝ • ... az elojelek • példák • . . . ugyanez integrálással

28 / 35

a fordított irány Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

• a fordított irány • . . . matematikailag • . . . szemléletes jelentés ˝ • ... az elojelek • példák • . . . ugyanez

˝ kiszámolni a Tudjuk már, hogy kell a hely-ido˝ függvénybol sebesség-ido˝ függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-ido˝ függvény ismeretében? Nyilvánvalóan: nem. Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20 percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.)

integrálással

28 / 35

a fordított irány Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat


˝ kiszámolni a Tudjuk már, hogy kell a hely-ido˝ függvénybol sebesség-ido˝ függvényt. Vajon visszakapható-e a hely a sebesség-ido˝ függvény ismeretében? Nyilvánvalóan: nem. Hisz ha nem tudjuk, honnan indult a test, pusztán sebességének ismerete nem adja meg, hova érkezett. (Pl.: egy autó az M1-esen 20 percig egyenletesen 90 km/h-val megy. Hol van most? Ez nem megválaszolható, ha nem tudjuk, honnan indult.) Matematikailag: a deriválást nem tudjuk fordítva csinálni, mivel végtelen sok hely-ido˝ függvény deriváltja lehet ugyanaz a ˝ sebesség-ido˝ függvény. Ennek oka: tetszoleges konstans függvény deriváltja 0. Pl.: (5t + 3)′ = (5t)′ = (5t + π 2 )′ = · · · = 5 Ami megmondható, az a hely megváltozása, azaz az elmozdulás.

28 / 35

. . . matematikailag Bevezetés A kinematika alapfogalmai

Ha a sebesség a hely-ido˝ függvény deriváltja, akkor a sebesség-ido˝ ˝ integrálással lehet megkapni a hely megváltozását: függvénybol


∆r =

Z

t2

v(t)dt

t1


29 / 35





∆r =

Z

t2

v(t)dt

t1

Maga a hely-ido˝ függvény nem kapható meg, legalábbis egy integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz:

r(t) =

Z

v(t)dt + C

Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük, meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott ido˝ alatt, de ha nem tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el.

29 / 35





∆r =

Z

t2

v(t)dt

t1

Maga a hely-ido˝ függvény nem kapható meg, legalábbis egy integrációs állandó erejéig bizonytalan lesz:

r(t) =

Z

v(t)dt + C

Fizikailag ez annak felel meg, hogy ha egy test sebességét ismerjük, meg tudjuk mondani, mennyit mozdult el adott ido˝ alatt, de ha nem tudjuk, honnan indult, azt sem tudjuk, hova jutott el. Másképpen:

r(t2 ) =

Z

t2

v(t)dt + r(t1 )

t1 29 / 35

. . . szemléletes jelentés Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

v(t)



111111111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 ∆x 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111

t1

t2

t

Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-ido˝ függvény grafikonja alatti terület adja meg az elmozdulást.

30 / 35

. . . szemléletes jelentés Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

v(t)



111111111111111111111 000000000000000000000 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 ∆x 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111 000000000000000000000 111111111111111111111

t1

t2

t

Tehát egyenes menti mozgásnál a sebesség-ido˝ függvény grafikonja alatti terület adja meg az elmozdulást. ˝ De vigyázzunk az elojelekre! .... 30 / 35

˝ ... az elojelek Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat


v(t) 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 00000000000 11111111111 00000000011111111 111111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 t2 t1 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

t

A sebesség-ido˝ függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti ˝ elojeles összege az elmozdulást adja meg. 31 / 35

˝ ... az elojelek Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat


v(t) 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 000000000000 111111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 0000000 1111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 00000000000 11111111111 000000000 111111111 00000000000 11111111111 00000000011111111 111111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 t2 t1 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

t

A sebesség-ido˝ függvény grafikonja alatti területek ábra szerinti ˝ elojeles összege az elmozdulást adja meg. 31 / 35

megjegyzések Bevezetés A kinematika alapfogalmai

˝ Ha a kezdohelyzet ismert, akkor a végso˝ hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból.



32 / 35

megjegyzések Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

˝ Ha a kezdohelyzet ismert, akkor a végso˝ hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. Ez természetesen egy komponensre vonatkozik.



32 / 35

megjegyzések Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

• a fordított irány • . . . matematikailag • . . . szemléletes

˝ Ha a kezdohelyzet ismert, akkor a végso˝ hely kiszámolhatóvá válik az elmozdulásból. Ez természetesen egy komponensre vonatkozik. Hasonló a kapcsolat a gyorsulás-ido˝ függvény és a sebességváltozás között is: A gyorsulás-ido˝ függvény grafikonja ˝ alatti területek elojeles összege a sebesség változását adja meg.

jelentés ˝ • ... az elojelek • példák • . . . ugyanez integrálással

32 / 35

példák Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

˝ Egy test gyorsulás-ido˝ függvénye SI-egységekben a következo: a(t) = 3 − 2t. Tudjuk, hogy a test t1 = 1-kor 5 m/s sebességgel mozgott. Mekkora a sebessége t2 = 3-kor?



33 / 35

példák Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség

˝ Egy test gyorsulás-ido˝ függvénye SI-egységekben a következo: a(t) = 3 − 2t. Tudjuk, hogy a test t1 = 1-kor 5 m/s sebességgel mozgott. Mekkora a sebessége t2 = 3-kor?



Megoldás: Készítsünk grafikont!

a(t) 3 1

−3

T1 T2 00 11 10 00 11 10 00 11 0000 1111 10 00 11 0000 1111 10 00 111111111111 11 0000 1111 10 000000000000 10 000000000000 111111111111 t t 10 000000000000 111111111111 1 000000000000 2 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 0,5 1,5

t

33 / 35

... Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás

A grafikon alatti terület két háromszögre bomlik:

• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett.



34 / 35

... Bevezetés A kinematika alapfogalmai A pillanatnyi sebesség A gyorsulás A fordított irányú kapcsolat

• a fordított irány • . . . matematikailag • . . . szemléletes


• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. • t0 = 1,5 és t3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt.

jelentés ˝ • ... az elojelek • példák • . . . ugyanez integrálással

34 / 35




• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. • t0 = 1,5 és t3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt. ˝ pozitív, a másodikat negatív elojellel ˝ Ezek területei közül az elsot kell figyelembe venni. Így a sebességváltozás:

∆v = T1 − T2 =

0,5 · 1 2

−

1,5 · 3 2

= −2

34 / 35




• t1 = 1 és t0 = 1,5 között egy 1 magasságú háromszög a t tengely felett. • t0 = 1,5 és t3 = 3 között egy 3 magasságú háromszög a t tengely alatt. ˝ pozitív, a másodikat negatív elojellel ˝ Ezek területei közül az elsot kell figyelembe venni. Így a sebességváltozás:

∆v = T1 − T2 =

0,5 · 1 2

−

1,5 · 3 2

= −2

Mivel v(t1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t2 ) = v(t1 ) + ∆v = 3 m/s.

34 / 35

. . . ugyanez integrálással A korábbiakból tudjuk, hogy:

∆v =

Z

t2

a(t)dt

t1

35 / 35


∆v =

Z

t2

a(t)dt

t1

Esetünkben ez:

∆v =

Z

3

1

h

(3 − 2t)dt = 3t − t

2

i3 1

= 3 · 3 − 32 − (3 · 1 − 12 ) = −2

35 / 35


∆v =

Z

t2

a(t)dt

t1

Esetünkben ez:

∆v =

Z

3

1

h

(3 − 2t)dt = 3t − t

2

i3 1

= 3 · 3 − 32 − (3 · 1 − 12 ) = −2

Mivel v(t1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t2 ) = v(t1 ) + ∆v = 3 m/s.

35 / 35


∆v =

Z

t2

a(t)dt

t1

Esetünkben ez:

∆v =

Z

3

1

h

(3 − 2t)dt = 3t − t

2

i3 1

= 3 · 3 − 32 − (3 · 1 − 12 ) = −2

Mivel v(t1 ) = 5 m/s, ezért nyilván: v(t2 ) = v(t1 ) + ∆v = 3 m/s. Ez gépies, gyors és általánosabban használható módszer.

35 / 35

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29

Recommend Documents