Az elm´eleti mechanika alapjai T¨ omegpont, a tov´ abbiakban r´eszecske. I
A jelens´egeket a h´ aromdimenzi´ os t´erben ´es id˝ oben j´ atsz´ odnak le: r helyzetvektor dr dr2 v≡ ≡ r˙ , a ≡ 2 ≡ ¨r dt dt a r´eszecske sebess´ege illetve gyorsul´ asa.
I
A t´er homog´en (3 szimmetria) ´es izotr´ op (3 szimmetria): vonatkoztat´ asi rendszert kell v´ alasztanunk, a lehet˝ o legegyszer˝ ubbet. Mindig lehet, olyan vonatkoztat´ asi rendszert tal´ alni, amelyben a t´er homog´en ´es izotrop, az id˝ o pedig homog´en. Az ilyen rendszert tehetetlens´egi vonatkoztat´ asi rendszernek nevezz¨ uk. Ha ebben a szabad test valamely id˝ opontban nyugalomban van, akkor korl´ atlan ideig nyugalomban is marad.
I
Az id˝ o homog´en ´es reverzibilis (1 szimmetria)
I
A tehetetlens´egi vonatkoztat´ asi rendszerek egyen´ert´ek¨ uek (relativit´ as elve) (3 szimmetria)
I
Egy rendszer mozg´ asegyenlet´et a minim´ alis hat´ as elve hat´ arozza meg Minden rendszert egy adott L(t, q1 , . . . , qn , q˙ 1 , . . . , q˙ n ) Lagrange-f¨ uggv´eny jellemez, qi a rendszer ´ altal´ anos´ıtott koordin´ at´ ai. t = t1 ´es t = t2 id˝ opillanatban a q (1) illetve q (2) . Z t2 S[q] = L(t, q, q)dt ˙
(1)
(2)
t1
hat´ asintegr´ al minim´ alis ´ert´eket vesz fel. d Lq˙ = Lqi , dt i Euler-Lagrange egyenletekkel.
i = 1, 2, . . . , n
(3)
Az egydimenzi´os mozg´as
Egy szabads´ ag fok = egydimenzi´ os mozg´ as. L=
a(q)q˙ 2 − U(q) 2
´ altal´ anos Lagrange f¨ uggv´eny. P´elda: I
mx˙ 2 − U(x) , 2 x - Descartes koordin´ ata L=
egyenesvonal´ u mozg´ as;
I
L= θ k¨ ozponti sz¨ og
mR 2 θ˙2 − U(θ) , 2
k¨ or´ıven t¨ ort´en˝ o mozg´ as;
Nem sz¨ uks´eges a mozg´ asegyenletet megoldani: mx˙ 2 + U(x) = E = ´ alland´ o 2 dx = → dt
r
2 [E − U(x)] =⇒ t = m
r
m 2
Z
dx p + C. E − U(x)
A k´et tetsz˝ oleges ´ alland´ o: E -teljes energia ´es C integr´ aci´ os ´ alland´ o. T > 0 → E > U(x) → a mozg´ as a t´ernek csak abban a tartom´ any´ aban mehet v´egbe ahol U(x) < E .
A(x1 ), B(x2 ) ´es C (x3 ) pontokban E = U(xi ), (i = 1, 2, 3) → meg´ all´ asi pontok. k´et pont hat´ arol → periodikusan ism´etl˝ od˝ o mozg´ as T a rezg´es peri´ odusa. T = 2tx1 →x2 : Z x2 (E ) √ dx p T (E ) = 2m E − U(x) x1 (E ) U(x) sz´els˝ o´ert´ekpontja egyens´ ulyi ´ allapot. minimum pont = stabil egyens´ uly maximum pont = instabil egyens´ uly
A mechanika megmarad´asi t¨ orv´enyei
qi mennyis´egek v´ altoznak id˝ oben. φk (q1 , . . . , qn , q˙ i , . . . , q˙ n ) = ´ alland´ o,
k = 1, . . . , 2n − 1
mozg´ as´ alland´ oknak (csak a kezdeti felt´etelekt˝ ol f¨ uggnek). n szabads´ agi fokok sz´ ama. Nem mindegyik j´ atszik egyform´ an fontos szerepet. Addit´ıv megmarad´ o mennyis´egek Noether t´etele ´ertelm´eben minden folytonos szimmetri´ anak megfelel egy megmarad´ o mennyis´eg.
Energia megmarad´as
Az id˝ o homogenit´ as´ anak k¨ ovetkezm´enye. Ha L(t, q1 , . . . , qn , q˙ 1 , . . . , q˙ n ) t´ıpus´ u alapf¨ uggv´eny nem f¨ ugg expliciten az id˝ ot˝ ol akkor E =
n X i=1
mennyis´eg ´ alland´ o.
q˙ i
∂L −L ∂ q˙ i
(4)
Az impulzus megmarad´asa Z´ art rendszer mechanikai tulajdons´ agai nem v´ altoznak meg, ha a rendszert mint egys´eges eg´eszet o ¨nmag´ aval t´ arhuzamosan tetsz˝ oleges m´ odon eltoljuk. ra → ra + v´egtelen p´ arhuzamos kis eltol´ as A Lagrange-f¨ uggv´eny, legyen invari´ ans ezzel az eltol´ assal szemben. X ∂L X ∂L δL = δra = , ∀ ∂ra ∂ra a a δL = 0 , →
X ∂L =0 ∂ra a
X d ∂L d X ∂L = =0 dt ∂va dt a ∂va a P=
X ∂L =´ alland´ o ∂va a
a rendszer impulzusa P=
X a
ma v a .
(5)
P=
X
ma v a .
a I
addit´ıv.
I
f¨ uggetlen att´ ol , hogy elhanyagolhat´ o-e a r´eszecsk´ek k¨ oz¨ otti k¨ olcs¨ onhat´ as, vagy sem.
Csak k¨ uls˝ o t´er hi´ any´ aban igaz a megmarad´ asi t´etel. Az impulzus egy-egy komponense azonban k¨ ul¨ on megmarad´ o mennyis´eg lehet k¨ uls˝ o t´er jelenl´et´eben is, ha a potenci´ alis energia nem f¨ ugg valamelyik Descartes-koordin´ at´ at´ ol. P´elda: a z tengely ir´ any´ aba mutat´ o homog´en t´erben az impulzus x ´es y ir´ any´ u komponensei mozg´ as´ alland´ ok. Az impulzusmegmarad´ as fizikai jelent´ese X ∂L X ∂U X =− = Fa ∂ra ∂ra a a a → z´ art rendszerben X a
Fa = 0 .
K´et t¨ omegpont eset´en: F1 + F2 = 0 hat´ as-ellenhat´ as (akci´ o-reakci´ o) t¨ orv´enye. ˙ Ha L = L(t, q, q) ∂L pi = ∂ q˙ i qi q˙ i pi Fi
´ altal´ anos koordin´ at´ ak ´ altal´ anos sebess´egek ´ altal´ anos impulzusok ∂L = ∂q ´ altal´ anos er˝ ok i
p˙ i = Fi .
´ anos esetben Altal´ pi 6= mq˙ i A pi mennyis´egek a q˙ i ´ altal´ anos sebess´egek homog´en line´ aris f¨ uggv´enyei,
A t¨ omegk¨oz´eppont K 0 vonatkoztat´ asi rendszer V sebess´eggel mozog a K vonatkoztat´ asi rendszerhez k´epest va = v0a + V →P=
X a
ma v a =
X
ma v0a + V
a
→ P = P0 + V
X
ma
a
X
ma .
(6)
a
→ ∃K 0 vonatkoztat´ asi rendszer, amelyben a teljes impulzus nulla P ma v a P = Pa V= P a ma a ma
(7)
→ nyugalomban van az adott vonatkoztat´ asi rendszerben V a mechanikai rendszer egys´eges eg´eszk´ent”, nem nulla impulzussal t¨ ort´en˝ o ” mozg´ as´ anak sebess´ege.
pa = mva , ↔ P = MV P M = a ma → a t¨ omeg addit´ıv.
V= P az
P ma v a P = Pa m a a a ma
(8)
P ma r a → R = Pa a ma
teljes id˝ oderiv´ altja → az egys´eges eg´esznek tekintett rendszer sebess´ege az R helyzetvektor mozg´ as´ anak sebess´eg´evel egyezik meg. R a rendszer t¨ omegk¨ oz´eppontja. → z´ art rendszer t¨ omegk¨ oz´eppontja egyenes vonal´ u egyenletes mozg´ ast v´egez. → impulzusmegmarad´ as ≡ tehetetlens´eg t¨ orv´eny´enek ´ altal´ anos´ıt´ asa t¨ obb t¨ omegpont eset´ere Z´ art rendszer eset´en ´ altal´ aban a t¨ omegk¨ oz´eppont nyugalmi vonatkoztat´ asi rendszer´et haszn´ aljuk.
Ha V = 0 → E = Eb bels˝ o energia E =
MV2 + Eb . 2
(9)
Bizony´ıt´ as: K ´es K 0 vonatkoztat´ asi rendszerek E illetve E 0 energi´ ak: E =
1X 1X ma v2a + U = ma (v0a + Va )2 + U = 2 a 2 a
(10)
0
=
X X ma va2 MV2 +V ma v0a + +U , 2 2 a a → E = E 0 + V · P0 +
(11)
MV2 . 2
energia transzform´ aci´ oja. omegk¨ oz´eppont nyugalomban van → P0 = 0, E 0 = Eb , Ha K 0 rendszerben a t¨
Impulzusnyomat´ek megmarad´asa A t´er izotr´ op → z´ art rendszer mechanikai tulajdons´ agai nem v´ altoznak meg, ha az anyagi rendszert mint egys´eges eg´eszet tetsz˝ oleges m´ odon elforgatjuk a t´erben δϕ v´egtelen kis elforgat´ as vektora I abszol´ ut ´ert´eke egyenl˝ o az elforgat´ as δϕ sz¨ og´evel I ir´ anya megegyezik a forgat´ as tengely´evel (jobb csavar)
|δr| = r sin θδϕ δr ⊥ r, δϕ → δr = δϕ × r Minden vektor azonos m´ odon transzform´ al´ odik, a sebess´eg is: δv = δϕ × v .
(12)
δL =
X ∂L ∂ra
a
δra +
∂L = pa ∂va →
∂L δva ∂va
=0
∂L = p˙ a ∂ra
X [p˙ a (δϕ × ra ) + pa (δϕ × va )] = 0 a
X d X ra × pa = 0 . → δϕ (ra × pa + va × pa ) = δϕ dt a a δϕ tetsz˝ oleges d X ra × pa = 0 , dt a X J= r a × pa = ´ alland´ o →
a
a rendszer impulzusnyomat´eka I
addit´ıv.
I
f¨ uggetlen att´ ol , hogy elhanyagolhat´ o-e a r´eszecsk´ek k¨ oz¨ otti k¨ olcs¨ onhat´ as, vagy sem.
- Koordin´ ata-rendszert˝ ol val´ o f¨ ugg´es Az impulzusnyomat´ek f¨ ugg a koordin´ ata-rendszer kezd˝ opontj´ anak megv´ alaszt´ as´ at´ ol. Ha ra = r0a + a X X 0 X →J= ra × pa = r a × pa + a × pa , a
a
a
→ J = J0 + a × P . → ha az anyagi rendszer mint egys´eges eg´esz nyugalomban van (P = 0) akkor az impulzusmomentum nem f¨ ugg a koordin´ ata-rendszer kezd˝ opontj´ anak a megv´ alaszt´ as´ at´ ol
-Inercia-rendszert˝ ol val´ o f¨ ugg´es K ´es K 0 inerciarendszerek, V relat´ıv sebess´eg, a koordin´ ata-rendszerek kezd˝ opontjai az adott id˝ opillanatban egybeesnek. → va = v0a + V o ¨sszef¨ ugg´es ´ all fenn. X X X →J= ma r a × v a = ma ra × v0a + ma r a × V . a
a
a
→ J = J0 + MR × V . 0
→J=J +R×P .
(13) (14)
→ mechanikai rendszer impulzusnyomat´eka = a rendszer saj´ at ” impulzusnyomat´eka” abban a vonatkoztat´ asi rendszerben, amelyben nyugalomban van + rendszernek mint eg´esznek a mozg´ as´ ab´ ol ad´ od´ o impulzusnyomat´ek. K¨ uls˝ o t´er eset´en nem marad meg az impulzusnyomat´ek mindh´ arom komponense. Ha a t´er egy adott tengelyre forg´ asszimmetrikus → a rendszer tulajdons´ agai nem v´ altoznak meg e tengely k¨ or¨ ul val´ o elforgat´ asakor → az impulzusnyomat´eknak erre a tengelyre val´ o vet¨ ulete megmarad.
P´eld´ ak: I
centr´ alis er˝ ot´er: az impulzusnyomat´eknak a centrumon ´ atmen˝ o tetsz˝ oleges tengelyre vonatkoz´ o vet¨ ulete megmarad. (csak a centrumra ´erv´enyes)
I
z tengely ir´ any´ aba mutat´ o homog´en er˝ ot´er: megmarad a Jz komponens tetsz˝ oleges pontra vonatkoztatva. Jz =
X ∂L , ∂ ϕ˙ a a
(15)
r , ϕ, z hengerkoordin´ at´ akban (xa = ra cos ϕa , ya = ra sin ϕa ): X X Jz = ma (xa y˙ a − ya x˙ a ) = ma ra2 ϕ˙ a . a
L=
a
1X ma (˙ra2 + ra2 ϕ˙ 2a + z˙ a2 ) − U , 2 a
Z´ art rendszernek h´et addit´ıv ´ alland´ oja van: energia, impulzus, impulzusnyomat´ek
(16)
Egydimenzi´os szabad rezg´esek Kis rezg´esek a rendszer stabil egyens´ ulyi ´ allapota, q0 , k¨ ozel´eben →
dU (q0 ) dq
00
U (q0 ) (q − q0 )2 2 ahol U 00 (q0 ) ≡ k > 0. U(q0 )-t vehetj¨ uk null´ anak, x ≡ q − q0 U(q) ≈ U(q0 ) +
U(x) =
k 2 x . 2
a(q) ≈ a(q0 ) ≡ m →L=
kx 2 mx˙ 2 − 2 2
Az Euler-Lagrange egyenletb˝ ol m¨ x + kx = 0, vagy r 2
x¨ + ω x = 0 ,
ω=
k m
a rezg´es k¨ orfrekvenci´ aja
=0
Line´ aris differenci´ alegyenlet, cos ωt ´es sin ωt k´et line´ arisan f¨ uggetlen megold´ as x(t) = c1 cos ωt + c2 sin ωt = a cos(ωt + α) ´ altal´ ap nos megold´ as a = c12 + c22 a rezg´es amplitud´ azis kezdeti ´ert´eke oja, tan α = − cc21 , α a f´ T =
2π = 2π ω
r
m . k
ω Az egys´egnyi id˝ ore es˝ o rezg´esek sz´ ama a rezg´es ν = T1 = 2π a rezg´es frekvenci´ aja. A frekvencia nem f¨ ugg a mozg´ as kezdeti felt´eteleit˝ ol → harm´ onikus oszcill´ ator. Csak kis rezg´esek eset´en. Magasabb k¨ ozel´ıt´esben nem ´erv´enyes.
mx˙ 2 kx 2 m 1 + = (x˙ 2 + ω 2 x 2 ) = mω 2 a2 . 2 2 2 2 Alternat´ıv, k¨ onnyebben kezelhet˝ o, fel´ır´ as: E =
x = <[Ae iωt ] ,
A = ae iα ∈ C ,
komplex amplitud´ o
K´enyszerrezg´esek V´ altoz´ o k¨ uls˝ o t´er hat´ asa alatt ´ all´ o oszcill´ ator. F (t) = −
∂ Uk (x, t) ∂x
k¨ uls˝ o er˝ o. → Uk (x, t) = −F (t)x →L=
kx 2 mx˙ 2 − + xF (t) 2 2
1 F (t) m ´ alland´ o egy¨ utthat´ os inhomog´en line´ aris differenci´ alegyenlet. ´ anos megold´ Altal´ as x(t) = x0 (t) + x1 (t), ahol x0 (t) a homog´en egyenlet ´ altal´ anos megold´ asa, x1 (t) pedig az inhomog´en egyenlet egy partikul´ aris megold´ asa. Legyen F (t) = f cos(Ωt + β) , Ω 6= ω → m¨ x + kx = F (t) ⇐⇒ x¨ + ω 2 x =
→ x1 = b cos(Ωt + β) egy partikul´ aris megold´ as. → b = m(ω2f−Ω2 )
→ x(t) = a cos(ωt + α) +
f cos(Ωt + β) m(ω 2 − Ω2 )
a ´es α ´ alland´ okat a kezdeti felt´etelek hat´ arozz´ ak meg. Ha ω = Ω (rezonancia) x(t) = a cos(ωt + α) +
f t sin(ωt + β) 2mω
Amplitud´ o line´ arisan n˝ o az id˝ ovel (eg´eszen addig, am´ıg a rezg´es kicsi, s ´ıgy az elm´elet ´erv´enyes). Ha Ω = ω + ε , ε ω (rezonancia k¨ ozel´eben) x(t) = Ae iωt + Be i(ω+ε)t = (A + Be iε )e iωt . V´ altoz´ o amplitud´ oj´ u kis rezg´es, melynek amplitud´ oja: p iωt C = |A + Be | = a2 + b 2 + 2ab cos(εt + β − α) |a − b| 6 C 6 a + b ε k¨ orfrekvenci´ aval peri´ odikusan rezeg a hat´ arok k¨ oz¨ ott. Ezt a jelens´eget lebeg´esnek nevezz¨ uk.
Tetsz˝ oleges F (t) gerjeszt˝ o er˝ o eset´en a mozg´ asegyenlet ´ at´ır´ as´ aval d 1 (x˙ + iωx) − iω(x˙ + iωx) = F (t) dt m Legyen ξ ≡ x˙ + iωx 1 dξ − iωξ = F (t) dt m Z t 1 F (t)e −iωt dt + ξ0 → ξ(t) = e iωt 0 m →
ahol ξ0 = ξ(t = 0).
A rendszernek ´ atadott E = m2 (x˙ 2 + ω 2 X 2 ) = m2 |ξ|2 energia a hat´ asnak teljes ideje alatt (−∞-t˝ ol +∞−ig) : Z +∞ 1 E = F (t)e −iωt dt|2 | 2m −∞ Ha a k¨ uls˝ o er˝ o annak peri´ odus´ ahoz k´epest csak r¨ ovid ideig hat ωt << 1 , akkor : Z +∞ 2 1 E = F (t)dt . 2m −∞ R → r¨ ovid ideig hat´ o er˝ o Fdt impulzus k¨ oz¨ ol a rendszerrel.
Csillap´ıtott rezg´esek
K¨ ozegben val´ o mozg´ as → mozg´ ast lass´ıt´ o k¨ ozegellen´ all´ as → a mozg´ asi energia h˝ ov´e alakul, disszip´ al´ odik. fs = −αx˙
;
α>0
´ altal´ anos s´ url´ od´ asi er˝ o. m¨ x = −kx − αx˙ Newton egyenlet.
m 2 k 2 αm L= x˙ − x e . 2 2 ω02 =
k m
;
2δ =
α m
A mozg´ asegyenlet x¨ + 2δ x˙ + ω02 x = 0 ´ alland´ o eggy¨ utthat´ oju m´ asodrend˝ u line´ aris differenci´ alegyenlet.
Megold´ as´ at x = e rt form´ aban keress¨ uk. r 2 + 2δr + ω02 = 0 karakterisztikus egyenlet : → x(t) = c1 e r1 t + c2 e r2 t I
,
r1,2 = −δ ±
q δ 2 − ω02 .
Ha δ < ω0 → r ∈ C → x(t) = ae −δt cos(ωt + ϕ)
,
ω=
q ω02 − δ 2 ,
a, ϕ ∈ R. Csillap´ıtott rezg´es. δ csillap´ıt´ asi t´enyez˝ o. I
Ha δ ω0 , egy peri´ odus alatt kis m´ert´ekben v´ altozik a rezg´es amplitud´ oja, ez´ert ´ atlagolhatunk egy peri´ odusra: ¯ = E0 e −2δt E
I
Ha δ > ω0 → r ∈ R− : √ 2 2 √ 2 2 → x(t) = c1 e −(δ− δ −ω0 )t + c2 e −(δ+ δ −ω0 )t x monoton ´es aszimptotikusan cs¨ okken nulla (egyens´ ulyi helyzet) fel´e → aperiodikus csillapod´ as.
I
Ha δ = ω0 → r1 = r2 = −δ → x(t) = (c1 + c2 t)e −deltaT az apri´ odikus csillapod´ as hat´ aresete ; szint´en nincs rezg´es jellege.
