Anyagszerkezet Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29.
Bevezetés
• Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
Bevezetés
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
2 / 57
Bevezetés Bevezetés
• Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ Az anyag kis építokövei:
• Atommagok (radioaktivitás, hasadás és fúzió) • Atomok (elektronhéjak szerkezete, kémiai elemek tulajdonságai, atomok színképe) ˝ tanultunk az eloz ˝ oekben. ˝ Errol
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
3 / 57
Bevezetés Bevezetés
• Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
˝ Az anyag kis építokövei:
• Atommagok (radioaktivitás, hasadás és fúzió) • Atomok (elektronhéjak szerkezete, kémiai elemek tulajdonságai, atomok színképe) ˝ tanultunk az eloz ˝ oekben. ˝ Errol Ami most jön:
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
• Néhány atom kapcsolódásával molekulák kialakulása. • Makroszkopikus mennyiségu˝ atom kapcsolódásával szilárd testek kialakulása.
3 / 57
Bevezetés Molekulafizika
• Fizikai jelenségek • Az atomok összekapcsolódása Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
Molekulafizika
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
4 / 57
Fizikai jelenségek Bevezetés
A fo˝ jelenségek, melyek szerepet játszanak:
Molekulafizika
• Fizikai jelenségek • Az atomok összekapcsolódása Az ionos kötés
Az elektronok hullámtulajdonsága: A molekulák méretskáláján az elektronok kvantummechanikai leírása szükséges, az elektron „szét van kenve”.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
Energiaminimum-elv: minden rendszer az adott körülmények közt megengedheto˝ állapotok közül a minimális energiájút igyekszik felvenni. Pauli-elv: Nem létezhet két elektron ugyanabban az állapotban.
A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
5 / 57
Az atomok összekapcsolódása Bevezetés
Mi történik két atom közeledésekor?
Molekulafizika
• Fizikai jelenségek • Az atomok összekapcsolódása Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
6 / 57
Az atomok összekapcsolódása Bevezetés
Mi történik két atom közeledésekor?
Molekulafizika
• Fizikai jelenségek • Az atomok
Az atomok semlegesek, ezért közel tudnak kerülni egymáshoz.
összekapcsolódása
A kovalens kötés
˝ kezdik átfedni egymást: újfajta állapotok jöhetnek Az elektronfelhok létre.
A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ a két atom összekapcsolódása? Mikor lesz ebbol
Az ionos kötés
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
6 / 57
Az atomok összekapcsolódása Bevezetés
Mi történik két atom közeledésekor?
Molekulafizika
• Fizikai jelenségek • Az atomok
Az atomok semlegesek, ezért közel tudnak kerülni egymáshoz.
összekapcsolódása
A kovalens kötés
˝ kezdik átfedni egymást: újfajta állapotok jöhetnek Az elektronfelhok létre.
A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ a két atom összekapcsolódása? Mikor lesz ebbol
Az ionos kötés
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
Akkor, ha az elektronok találnak új, alacsonyabb összenergiájú állapotot, melyet a Pauli-elv megenged.
A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
6 / 57
Az atomok összekapcsolódása Bevezetés
Mi történik két atom közeledésekor?
Molekulafizika
• Fizikai jelenségek • Az atomok
Az atomok semlegesek, ezért közel tudnak kerülni egymáshoz.
összekapcsolódása
A kovalens kötés
˝ kezdik átfedni egymást: újfajta állapotok jöhetnek Az elektronfelhok létre.
A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ a két atom összekapcsolódása? Mikor lesz ebbol
Az ionos kötés
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Akkor, ha az elektronok találnak új, alacsonyabb összenergiájú állapotot, melyet a Pauli-elv megenged. Ha nincs ilyen új állapot, akkor az atomok lendületet, mozgási energiát cserélnek, esetleg megváltoztatják egymás gerjesztettségi állapotát, de kötés nem alakul ki.
6 / 57
Az atomok összekapcsolódása Bevezetés
Mi történik két atom közeledésekor?
Molekulafizika
• Fizikai jelenségek • Az atomok
Az atomok semlegesek, ezért közel tudnak kerülni egymáshoz.
összekapcsolódása
A kovalens kötés
˝ kezdik átfedni egymást: újfajta állapotok jöhetnek Az elektronfelhok létre.
A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ a két atom összekapcsolódása? Mikor lesz ebbol
Az ionos kötés
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Akkor, ha az elektronok találnak új, alacsonyabb összenergiájú állapotot, melyet a Pauli-elv megenged. Ha nincs ilyen új állapot, akkor az atomok lendületet, mozgási energiát cserélnek, esetleg megváltoztatják egymás gerjesztettségi állapotát, de kötés nem alakul ki. A pontos leírás összetett kvantummechanikai számításokkal ˝ lehetséges. A fo˝ tendenciák számítások nélkül is megismerhetok.
6 / 57
Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
• Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
Az ionos kötés
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
7 / 57
Az ionos kötés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
• Az ionos kötés A kovalens kötés
Ha egy ’A’ atomot könnyebb egy elektronjától megfosztani, mint amennyi energia felszabadul, ha az elektron egy ’B’ atomhoz ˝ kötodik, akkor az elektron átmegy ’B’ atomra és a megmaradó két ˝ ion elektrosztatikusan kötodni fog egymáshoz. 19 p
A molekulák kötéshossza és kötési energiája
2+8+8 e 1e
A molekulák energiaszintjei
19 p
Másodlagos kötések
2+8+8 e
A szilárdtestek szerkezete
K
+
K vonzás
Elektronok viselkedése szilárdtestekben
17 p 2+8 e Cl 8e
17 p
Cl
−
2+8 e 7e
KCl molekula kialakulása 8 / 57
... Bevezetés
Több atom között is lehetséges, mint pl.: alumínium-klorid (Al Cl3 ).
Molekulafizika Az ionos kötés
• Az ionos kötés A kovalens kötés
Akár makroszkopikus mennyiségu˝ atom is kapcsolódhat így. (Lásd az ionrácsos kristályoknál.)
A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
9 / 57
Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
A kovalens kötés
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
10 / 57
A kovalens kötés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
A közeli atomok elektronjai találhatnak olyan, alacsony energiájú ˝ mindkét atom magját tartalmazza. állapotot, melynek elektronfelhoje („A két mag körüli közös pályára áll.”)
A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
Ezek az állapotok sok szempontból hasonlóak, mint az egyetlen ˝ atomon belüliek (pl. diszkrét energiaszintek jellemzik oket, az energiaminimum-elv és a Pauli-elv is vonatkozik rájuk), de szerkezetük jóval bonyolultabb.
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
11 / 57
A H2 -molekula kialakulása Bevezetés Molekulafizika
Gondolatkísérlet: 2 proton r távolságban van. Odaengedünk 2 elektront, megnézzük, milyen energiájú állapotok jönnek létre.
Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
Az elektronok spinje számít! Pauli-elv: azonos spin esetén nem tudnak mindketten a leheto˝ legalacsonyabb energiaszintre beülni.
E
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések
laz´ıt´o elektronp´ar
polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája
r0
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
r k¨ot˝o elektronp´ar
−Ed
A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
12 / 57
˝ és lazító elektronpárok KötoBevezetés
Ellentétes spinek esetén kialakul kötés: köto˝ elektronpár:
Molekulafizika Az ionos kötés
ellent´etes spinek
k¨ot˝o elektronp´ar
A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések
Azonos spinek esetén nincs kötés: lazító elektronpár:
azonos spinek
laz´ıt´o elektronp´ar
polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
13 / 57
˝ és lazító elektronpárok KötoBevezetés
Ellentétes spinek esetén kialakul kötés: köto˝ elektronpár:
Molekulafizika Az ionos kötés
ellent´etes spinek
k¨ot˝o elektronp´ar
A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések
Azonos spinek esetén nincs kötés: lazító elektronpár:
azonos spinek
laz´ıt´o elektronp´ar
polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
˝ Kicserélodési energia: az ellentétes spinu˝ elektronok közti kapcsolat alacsonyabb energiájú, mint az azonos spinuek ˝ között. Ezt jellemzi ˝ számszeruen ˝ a kicserélodési energia.
Elektronok viselkedése szilárdtestekben
13 / 57
Más kovalens molekulák A H2 -molekulához hasonló folyamat más, többelektronos atomokkal is lezajlódik. Ebbe beleszól a többi elektron is. Pl. H-He molekula nem jöhet létre, mert a He 2 elektronja teljesen betölti az n = 1-es elektronhéjat, így a köto˝ elektronok valamelyike mindenképp ˝ n = 2-es állapotba kényszerülne, ami energetikailag nem kedvezo.
14 / 57
Más kovalens molekulák A H2 -molekulához hasonló folyamat más, többelektronos atomokkal is lezajlódik. Ebbe beleszól a többi elektron is. Pl. H-He molekula nem jöhet létre, mert a He 2 elektronja teljesen betölti az n = 1-es elektronhéjat, így a köto˝ elektronok valamelyike mindenképp ˝ n = 2-es állapotba kényszerülne, ami energetikailag nem kedvezo. Több atom is kapcsolódhat, mint pl. a víz esetében:
kompenz´alt spin˝u p´ar
O
O
8p 4e
2e 2e
kompenz´alatlan spinek H
H
1p
H
H
1e
k¨ot˝o elektronp´arok 14 / 57
... Egyszerusített ˝ ábrázolás:
• atomtörzsek körrel vagy gömbbel • köto˝ elektronpárok egy pálcikával Például az O szomszédjai és H közötti kötések:
15 / 57
Sok atomból álló molekulák Nemcsak néhány, hanem igen sok atom is összekapcsolódhat. 2 példa:
A C60 molekula
A DNS molekula részlete
Az emberi DNS molekula 109 nagyságrendu˝ atomból áll. 16 / 57
Többszörös kötések Bevezetés Molekulafizika
Két atom között akár ketto˝ (ritkán még több) elektronpár is lehet az, ami a kötést kialakítja.
Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések
˝ Ez az egyszeres kötésnél erosebb kötés jelent, de általában nem ˝ kétszer olyan eroset, mert a két elektronpár egymást taszítja. Pl.: két, egyforma atomból álló molekulák több kompenzálatlan vegyértékelektronnal. Ilyen az O2 (kétszeres kötés) és az N2 (háromszoros kötés). Egyéb példák:
polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
C2 H2
CH2 O
koffein 17 / 57
Delokalizált kötések Bevezetés Molekulafizika
Az elektronfelho˝ kiterjedhet több atomra is. Ekkor delokalizált ˝ beszélünk. kötésrol
Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula
Példák: (a zavaró sok H-atom lehagyásával)
kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
benzol
aszpirin
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
18 / 57
A kötések polarizációja Bevezetés
˝ nem feltétlen szimmetrikusak. A kovalens kötés elektronfelhoi
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
19 / 57
A kötések polarizációja Bevezetés
˝ nem feltétlen szimmetrikusak. A kovalens kötés elektronfelhoi
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
Például a H2 O molekulában a köto˝ elektronpárok hullámfüggvénye kicsit jobban koncentrálódik az O-atom környékén, mint a H-atomoknál. A H-atomok enyhén pozitív, az O-atom enyhén negatív töltésuek ˝ lesznek.
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
19 / 57
A kötések polarizációja Bevezetés
˝ nem feltétlen szimmetrikusak. A kovalens kötés elektronfelhoi
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája
Például a H2 O molekulában a köto˝ elektronpárok hullámfüggvénye kicsit jobban koncentrálódik az O-atom környékén, mint a H-atomoknál. A H-atomok enyhén pozitív, az O-atom enyhén negatív töltésuek ˝ lesznek. Összességében semleges a molekula, de polarizált. Ez hatással van a molekulákból álló anyag minden tulajdonságára. ˝ a másodlagos kötéseknél.) (Lásd késobb
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
19 / 57
A kötések polarizációja Bevezetés
˝ nem feltétlen szimmetrikusak. A kovalens kötés elektronfelhoi
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
• A kovalens kötés • A H2 -molekula kialakulása ˝ és lazító • Kötoelektronpárok • Más kovalens molekulák • Sok atomból álló molekulák
• Többszörös kötések • Delokalizált kötések • A kötések polarizációja A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
Például a H2 O molekulában a köto˝ elektronpárok hullámfüggvénye kicsit jobban koncentrálódik az O-atom környékén, mint a H-atomoknál. A H-atomok enyhén pozitív, az O-atom enyhén negatív töltésuek ˝ lesznek. Összességében semleges a molekula, de polarizált. Ez hatással van a molekulákból álló anyag minden tulajdonságára. ˝ a másodlagos kötéseknél.) (Lásd késobb Ez kicsit hasonlít az ionos kötéshez. Vannak olyan molekulák (pl. a HF), melyek átmenetet képeznek az ionos és kovalens kötés között.
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
19 / 57
Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája • Kötéshossz és kötési energia A molekulák energiaszintjei
A molekulák kötéshossza és kötési energiája
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
20 / 57
Kötéshossz és kötési energia Bevezetés Molekulafizika
• Mennyi energia szükséges a kötés felbontásához? (Ed ) • Milyen távol vannak energiaminimum esetén a magok? (r0 )
Az ionos kötés A kovalens kötés
E
név
A molekulák kötéshossza és kötési energiája • Kötéshossz és kötési energia
laz´ıt´o elektronp´ar
A molekulák energiaszintjei
r0 k¨ot˝o elektronp´ar
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
r
−Ed
NaCl NaF NaBr KCl KBr H2 N2 O2 F2 Cl2 CO HCl HF NO
Ed [eV] 4,26 4,99 3,8 4,43 3,97 4,5 9,8 5,2 1,6 2,5 11,2 4,4 5,8 7,0
r0 [nm] 0,236 0,193 0,250 0,267 0,282 0,075 0,11 0,12 0,14 0,20 0,113 0,127 0,092 0,115 21 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
Példa: A hidrogénmolekula disszociációs energiája Ed = 4,52 eV. Hány joule energia szükséges 1 mól H2 atomokra való felbontásához?
A molekulák kötéshossza és kötési energiája • Kötéshossz és kötési energia A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
22 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája • Kötéshossz és kötési energia A molekulák energiaszintjei
Példa: A hidrogénmolekula disszociációs energiája Ed = 4,52 eV. Hány joule energia szükséges 1 mól H2 atomokra való felbontásához? Megoldás: 1 mól NA = 6,02 · 1023 darab, ezért:
E = Ed · NA = 4,52 eV · 6,02 · 1023 = 2,72 · 1024 eV = 436 000 J
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
22 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája • Kötéshossz és kötési energia A molekulák energiaszintjei
Példa: A hidrogénmolekula disszociációs energiája Ed = 4,52 eV. Hány joule energia szükséges 1 mól H2 atomokra való felbontásához? Megoldás: 1 mól NA = 6,02 · 1023 darab, ezért:
E = Ed · NA = 4,52 eV · 6,02 · 1023 = 2,72 · 1024 eV = 436 000 J
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Példa: Milyen hullámhosszúságú és melyik színképtartományba esik az a foton, melynek energiája elegendo˝ egy O2 molekula disszociációjához?
22 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája • Kötéshossz és kötési energia A molekulák energiaszintjei
Példa: A hidrogénmolekula disszociációs energiája Ed = 4,52 eV. Hány joule energia szükséges 1 mól H2 atomokra való felbontásához? Megoldás: 1 mól NA = 6,02 · 1023 darab, ezért:
E = Ed · NA = 4,52 eV · 6,02 · 1023 = 2,72 · 1024 eV = 436 000 J
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Példa: Milyen hullámhosszúságú és melyik színképtartományba esik az a foton, melynek energiája elegendo˝ egy O2 molekula disszociációjához? Megoldás: A fotonról tanultak szerint: hν = Ed = 5,2 eV.
c = λν
⇒
hc c = 2,4 · 10−7 m = 240 nm. λ= = ν Ed
Ez az ultraibolya tartományba esik. 22 / 57
Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák
A molekulák energiaszintjei
energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
23 / 57
Bevezetés Bevezetés Molekulafizika
Molekulán belül az elektronállapotok ugyanúgy 4 kvantumszámmal ˝ mint az atomon belül. jellemezhetok,
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák
˝ Az atomoktól eltéroen a molekulák nem szimmetrikusak (több atommag van bennük), ezért speciális állapotok is létrejönnek:
• rezgés • forgás
energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
24 / 57
Bevezetés Bevezetés Molekulafizika
Molekulán belül az elektronállapotok ugyanúgy 4 kvantumszámmal ˝ mint az atomon belül. jellemezhetok,
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
˝ Az atomoktól eltéroen a molekulák nem szimmetrikusak (több atommag van bennük), ezért speciális állapotok is létrejönnek:
• rezgés • forgás A kvantummechanikai számítások szerint ezek is diszkrét ˝ energiaszintekkel lesznek jellemezhetok.
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
24 / 57
A molekulák rezgése Bevezetés Molekulafizika
A molekulák rezgése egy v nemnegatív egész számmal, a vibrációs ˝ kvantumszámmal jellemezheto.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
A rezgésben tárolt energia:
1 Ev (v) = hf v + 2
f neve: vibrációs frekvencia. név
f [1012 Hz]
H2 N2 O2 CO NO
132 70 47 64 57
25 / 57
... Bevezetés Molekulafizika
Érdekesség: v = 0 esetben is van rezgési energia! Ev (0) = hf /2 neve: zérusponti energia.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
A molekulák egy kicsit mindig rezegnek. Ez az energia kissé csökkenti a molekulák disszociációs energiáját. (H2 -re Ed = 4,52 eV, Ev (0) = 0,27 eV.)
A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
26 / 57
... Bevezetés Molekulafizika
Érdekesség: v = 0 esetben is van rezgési energia! Ev (0) = hf /2 neve: zérusponti energia.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
A molekulák egy kicsit mindig rezegnek. Ez az energia kissé csökkenti a molekulák disszociációs energiáját. (H2 -re Ed = 4,52 eV, Ev (0) = 0,27 eV.)
A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák
˝ v2 -re, az Ha a molekula csak a vibrációs állapotát változtatja v1 -rol energiakülönbség: ∆Ev = hf (v2 − v1 ).
energiaszintjei
Tisztán vibrációs átmenetkor hf egész számú többszöröse energiájú fotonok keletkeznek, azaz frekvenciájuk f egész számú többszöröse.
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
26 / 57
... Bevezetés Molekulafizika
Érdekesség: v = 0 esetben is van rezgési energia! Ev (0) = hf /2 neve: zérusponti energia.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
A molekulák egy kicsit mindig rezegnek. Ez az energia kissé csökkenti a molekulák disszociációs energiáját. (H2 -re Ed = 4,52 eV, Ev (0) = 0,27 eV.)
A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák
˝ v2 -re, az Ha a molekula csak a vibrációs állapotát változtatja v1 -rol energiakülönbség: ∆Ev = hf (v2 − v1 ).
energiaszintjei
Tisztán vibrációs átmenetkor hf egész számú többszöröse energiájú fotonok keletkeznek, azaz frekvenciájuk f egész számú többszöröse.
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Többatomos molekulákban a rezgések benyomultabb módon történnek.
26 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
Példa: Milyen hullámhosszúságú fotont bocsát ki egy N2 molekula, ˝ a v = 0-ra megy át? ha a v = 1-es szintrol
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
27 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
Példa: Milyen hullámhosszúságú fotont bocsát ki egy N2 molekula, ˝ a v = 0-ra megy át? ha a v = 1-es szintrol Megoldás: Ekkor ∆E = hf , ezért a foton f frekvenciájú. A foton hullámhossza: λ = c/f = 4,29 · 10−6 m = 4290 nm. Ez egy infravörös tartományba eso˝ foton.
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
27 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
Példa: Milyen hullámhosszúságú fotont bocsát ki egy N2 molekula, ˝ a v = 0-ra megy át? ha a v = 1-es szintrol Megoldás: Ekkor ∆E = hf , ezért a foton f frekvenciájú. A foton hullámhossza: λ = c/f = 4,29 · 10−6 m = 4290 nm. Ez egy infravörös tartományba eso˝ foton. ˝ Példa: Mekkora homérsékleten lesz az egy szabadsági fokra jutó (1/2)kT energia egyenlo˝ az N2 molekula v = 0 és v = 1 rezgési állapotai közti energiakülönbséggel? (k a Boltzmann-állandó.)
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
27 / 57
Két példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
Példa: Milyen hullámhosszúságú fotont bocsát ki egy N2 molekula, ˝ a v = 0-ra megy át? ha a v = 1-es szintrol Megoldás: Ekkor ∆E = hf , ezért a foton f frekvenciájú. A foton hullámhossza: λ = c/f = 4,29 · 10−6 m = 4290 nm. Ez egy infravörös tartományba eso˝ foton. ˝ Példa: Mekkora homérsékleten lesz az egy szabadsági fokra jutó (1/2)kT energia egyenlo˝ az N2 molekula v = 0 és v = 1 rezgési állapotai közti energiakülönbséggel? (k a Boltzmann-állandó.)
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Megoldás:
1 ∆E = hf = kT 2
⇒
T =
2hf = 6700 K. k
˝ Ezért szobahomérsékleten az N2 molekulák igen kis hányadának ˝ gerjesztodik a vibrációja. 27 / 57
A molekulák forgása Bevezetés Molekulafizika
A molekulák forgása egy J nemnegatív egész számmal, a rotációs ˝ kvantumszámmal jellemezheto.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák
A forgásban tárolt energia:
h2 Er (J) = 2 J(J + 1) = Er∗ J(J + 1) 8π Θ Itt Θ a molekula tehetetlenségi nyomatéka, Er∗ a rotációs energiaállandó.
energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
név
Er∗ [eV]
H2 N2 O2 CO NO
0,00739 0,00025 0,00013 0,00024 0,00021 28 / 57
... Bevezetés
A rotációs energia lehet 0, ha J = 0. (A molekula nem forog.)
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
A rotációs szintek közti különbség nem egyenletes: Er (0) = 0, Er (1) = 2Er∗ , Er (2) = 6Er∗ , stb.
A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
29 / 57
Egy példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
Példa: Egy oxigénmolekula a J1 = 10-es forgási állapotából a J2 = 9-esbe megy át. Milyen hullámhosszúságú fotont sugároz ki eközben?
A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
30 / 57
Egy példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Példa: Egy oxigénmolekula a J1 = 10-es forgási állapotából a J2 = 9-esbe megy át. Milyen hullámhosszúságú fotont sugároz ki eközben? Megoldás:
∆E = Er (10) − Er (9) = Er∗ (10(10 + 1) − 9(9 + 1)) = 20Er∗ = 0,0026 eV. Az ehhez tartozó foton hullámhossza:
c hc c = = 0,000477 m ≈ 0,5 mm. λ= = ν ∆E/h ∆E Ez a távoli infravörös és a mikrohullámú tartomány határán van.
30 / 57
Még egy példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés
˝ Példa: Mekkora homérsékleten lesz az egy szabadsági fokra jutó (1/2)kT energia kisebb, mint a rotációs gerjesztéshez szükséges minimális energia az O2 molekula esetében?
A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
31 / 57
Még egy példa Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
˝ Példa: Mekkora homérsékleten lesz az egy szabadsági fokra jutó (1/2)kT energia kisebb, mint a rotációs gerjesztéshez szükséges minimális energia az O2 molekula esetében? ˝ tanultak szerint a legkisebb energia a J1 = 0 Megoldás: Az elobb és J2 = 1-es szintek közti átmenethez szükséges, és ennek értéke 2Er∗ . A keresett feltétel:
1 kT < 2Er∗ , 2
⇒
4Er∗ T < = 6,0 K k
O2 esetén Er∗ = 0,00013 eV. Tehát 6 K-nél alatt az oxigénmolekulák többsége nem forog. ˝ Szobahomérsékleten viszont már a sokadik gerjesztett állapotban vannak.
31 / 57
A molekulák energiaszintjei Bevezetés
˝ oek ˝ szerint: Az eloz
Molekulafizika Az ionos kötés
Emol = E0 + Ev (v) + Er (J),
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
ahol E0 az elektronok állapotának megfelelo˝ energia.
A molekulák energiaszintjei
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák energiaszintjei
• A molekulák színképe Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
32 / 57
A molekulák energiaszintjei Bevezetés
˝ oek ˝ szerint: Az eloz
Molekulafizika
Emol = E0 + Ev (v) + Er (J),
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
ahol E0 az elektronok állapotának megfelelo˝ energia.
A molekulák energiaszintjei
Ha v és J is változhat, igen sok lehetséges energiaszintet kapunk.
• Bevezetés • A molekulák rezgése • A molekulák forgása • A molekulák
Általános séma:
energiaszintjei
hf
• A molekulák színképe
hf
E
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
v=0 J
01 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
v=1 01 2
3
4
5
6
7
8
9
v=2 01 2
3
4
5
32 / 57
A molekulák színképe H2 méretarányos energiaszintjei: −5
−4
v=0
v=1
−3
v=2
v=3
−2
v=4
v=5
−1
v=6
0
E [eV]
v=7
Igen sok energiaszint, melyek sur ˝ usödnek ˝ is itt-ott. Sok lehetséges energiaszint-különbség. A molekulák színképében igen sok színképvonal van, melyek bizonyos frekvenciákon nagyon besur ˝ usödnek. ˝ Ahol ezek összemosódnak (természetes vonalszélesség), vonalas színkép helyett folytonos alakul ki. A jelenség neve: molekulasávok.
33 / 57
Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
34 / 57
Másodlagos kötések Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ ˝ eddig szó volt, azaz az atomokat Elsodleges kötés: amirol molekulákba rendezo˝ kötések. Kötési energia: 1–10 eV nagyságrendu. ˝
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ Kötési Másodlagos kötés: a molekulák között fellépo˝ vonzóerok. energia: 0,01–0,1 eV nagyságrendu. ˝
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
35 / 57
Másodlagos kötések Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ ˝ eddig szó volt, azaz az atomokat Elsodleges kötés: amirol molekulákba rendezo˝ kötések. Kötési energia: 1–10 eV nagyságrendu. ˝
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ Kötési Másodlagos kötés: a molekulák között fellépo˝ vonzóerok. energia: 0,01–0,1 eV nagyságrendu. ˝
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros
˝ A másodlagos kötések felelosek sok makroszkopikus jelenségért, mint pl. a H2 O folyékony állapotának tulajdonságai.
kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
35 / 57
Másodlagos kötések Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ ˝ eddig szó volt, azaz az atomokat Elsodleges kötés: amirol molekulákba rendezo˝ kötések. Kötési energia: 1–10 eV nagyságrendu. ˝
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ Kötési Másodlagos kötés: a molekulák között fellépo˝ vonzóerok. energia: 0,01–0,1 eV nagyságrendu. ˝
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros
˝ A másodlagos kötések felelosek sok makroszkopikus jelenségért, mint pl. a H2 O folyékony állapotának tulajdonságai.
kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció
˝ típusok: Fobb
hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
• Poláros-poláros kapcsolatok • Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása
35 / 57
Poláros-poláros kapcsolatok Bevezetés Molekulafizika
A polarizált molekulák semlegesek, de nem egyenletes töltéseloszlásúak, ami a molekula közelében elektromos teret jelent.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
˝ u˝ molekularészek kerülnek közel egymáshoz, Ha különbözo˝ elojel kötés alakulhat ki. ˝ Sok folyadék kialakulásáért ez a kölcsönhatás felelos.
Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
36 / 57
Hidrogénhíd-kötés Bevezetés Molekulafizika
˝ Kovalens kötésben a H körül a köto˝ elektronpár felhojének sur ˝ usége ˝ kicsi: majdnem egy csupasz protont kapunk.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
Ez a majdnem csupasz proton más molekulák elektronpárjával is kölcsönhatásba tud lépni. ˝ amikor a H-atom N, O Ez a jelenség azokra az esetekre jellemzo, vagy F atomokkal áll kapcsolatban.
Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
37 / 57
Hidrogénhíd-kötés Bevezetés Molekulafizika
˝ Kovalens kötésben a H körül a köto˝ elektronpár felhojének sur ˝ usége ˝ kicsi: majdnem egy csupasz protont kapunk.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
Ez a majdnem csupasz proton más molekulák elektronpárjával is kölcsönhatásba tud lépni. ˝ amikor a H-atom N, O Ez a jelenség azokra az esetekre jellemzo, vagy F atomokkal áll kapcsolatban.
Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció
Érdekesség: térbeli orientáció: a két nagy elektronvonzó képességu˝ atomnak a hidrogén ellentétes oldalán kell elhelyezkednie.
hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
37 / 57
... Bevezetés
Ez és a poláros kapcsolat felel pl. a víz sok tulajdonságáért.
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
Pl. 0–10◦ C között még nem tudják összetartani a vízmolekulák nagy halmazait, de kisebb molekulahalmazokat igen. Ezért az 1◦ C-os víz kisebb sur ˝ uség ˝ u, ˝ mint a 4◦ C-os. ˝ a jég és a hópelyhek A hidrogénhíd-kötés orientációja felelos szerkezetéért is.
Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása
A hidrogénhíd- és a poláros-poláros kötés a bonyolultabb molekulák ˝ szerepu˝ lehet. Ilyen sok szerves, az élet esetében is jelentos szempontjából is fontos molekula esete.
A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
38 / 57
Indukált polarizáció hatása Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ eltolódik az Ha egy atom vagy molekula elektronfelhoje atommag(ok)hoz képest, akkor is polarizált molekulát kapunk. Ez spontán módon is bekövetkezik.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ gyenge vonzás alakul ki, amit van der Waals kölcsönhatásnak Ebbol nevezünk.
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
39 / 57
Indukált polarizáció hatása Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ eltolódik az Ha egy atom vagy molekula elektronfelhoje atommag(ok)hoz képest, akkor is polarizált molekulát kapunk. Ez spontán módon is bekövetkezik.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
˝ gyenge vonzás alakul ki, amit van der Waals kölcsönhatásnak Ebbol nevezünk.
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
• Másodlagos kötések • Poláros-poláros
Ez minden atom és molekula között fellép, de kicsi a kötési energiája.
kapcsolatok
• Hidrogénhíd-kötés • Indukált polarizáció hatása
Gázok esetén ez enyhe eltérést eredményez az ideális gázok ˝ állapotegyenletétol.
A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben
˝ ˝ a gázok cseppfolyósodásáért és Alacsony homérsékleten ez felelos megfagyásáért. (Például az O2 90 K-en cseppfolyóssá, 54 K-en szilárddá válik.)
39 / 57
Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
A szilárdtestek szerkezete
A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
40 / 57
Bevezetés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ nemcsak néhány atomot Az atomok és molekulák közti vonzóerok képesek együtt tartani, hanem makroszkopikus mennyiségut ˝ is. Ezzel magyarázható a szilárd anyagok létrejötte.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
41 / 57
Bevezetés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ nemcsak néhány atomot Az atomok és molekulák közti vonzóerok képesek együtt tartani, hanem makroszkopikus mennyiségut ˝ is. Ezzel magyarázható a szilárd anyagok létrejötte.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
A szilárd testben az atomok elhelyezkedése lehet rendezett vagy (részben) rendezetlen:
• rendezett: kristályok • rendezetlen: amorf anyagok
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
41 / 57
Bevezetés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ nemcsak néhány atomot Az atomok és molekulák közti vonzóerok képesek együtt tartani, hanem makroszkopikus mennyiségut ˝ is. Ezzel magyarázható a szilárd anyagok létrejötte.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
A szilárd testben az atomok elhelyezkedése lehet rendezett vagy (részben) rendezetlen:
• rendezett: kristályok • rendezetlen: amorf anyagok Sokszor ugyanabból az alapanyagból kristályos és amorf szilárd test is összeállhat. (Fémüvegek.)
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
41 / 57
Bevezetés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ nemcsak néhány atomot Az atomok és molekulák közti vonzóerok képesek együtt tartani, hanem makroszkopikus mennyiségut ˝ is. Ezzel magyarázható a szilárd anyagok létrejötte.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága
A szilárd testben az atomok elhelyezkedése lehet rendezett vagy (részben) rendezetlen:
• rendezett: kristályok • rendezetlen: amorf anyagok Sokszor ugyanabból az alapanyagból kristályos és amorf szilárd test is összeállhat. (Fémüvegek.) A kristályszerkezet és hibái kihatással vannak a szilárdtest mechanikai tulajdonságaira, és igen fontosak a gyakorlat szempontjából.
Elektronok viselkedése szilárdtestekben
41 / 57
˝ Pár szó a kristályszerkezetrol Bevezetés Molekulafizika
Elemi cella: a kristály egy olyan kicsi darabja, melynek egymás mellé rakott másolataiból az egész kirakható.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
42 / 57
˝ Pár szó a kristályszerkezetrol Bevezetés Molekulafizika
Elemi cella: a kristály egy olyan kicsi darabja, melynek egymás mellé rakott másolataiból az egész kirakható.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
Sokféle elemi cella lehetséges. A legegyszerubbek ˝ a kockarács változatai:
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága
Egyszeru˝ kockarács lapcentrált kockarács
tércentrált kockarács
Ebben a tárgyban nem foglalkozunk részletes ismertetésükkel.
Elektronok viselkedése szilárdtestekben
42 / 57
A szilárdtestek kötéstípusai Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
˝ oekben ˝ Az eloz tárgyalt ionos és kovalens kötések bizonyos körülmények között képesek makroszkopikus mennyiségu˝ atom együtt tartására.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
Ezeken kívül lesz még egy kötésfajta: a fémes kötés. Gyengébb kötést jelentenek, de szerepet játszanak a másodlagos kötések is, ezek is összetarthatnak szilárd testeket.
A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
43 / 57
Ionos kötés Bevezetés Molekulafizika
˝ rendezett atomhalmazt is egyben tud Az ionok vonzása megfeleloen tartani.
Az ionos kötés A kovalens kötés
Pl.: NaCl, azaz a konyhasó.:
A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
44 / 57
Kovalens kötés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
Amennyiben egy atom több másikkal is képes kovalens kötést ˝ kialakítani, elofordul, hogy ezek a kötések makroszkopikus méretu˝ ˝ láncolattá szervezodnek.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája
Pl.: gyémánt. A C-atomok 4-4 szomszéddal vannak kötésben.
A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
45 / 57
... Bevezetés
˝ A C-atomok más körülmények között grafitrácsba szervezodnek:
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
46 / 57
... Bevezetés
˝ A C-atomok más körülmények között grafitrácsba szervezodnek:
Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
A gyémánt és a grafit sok tulajdonságában eltér.
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
46 / 57
Fémes kötés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
Olyan kovalens kötés, mely esetén a köto˝ elektronok az egész rácsra vonatkozóan delokalizáltak lesznek, azaz lényegében szabadon elmozdulhatnak benne.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
47 / 57
Fémes kötés Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
Olyan kovalens kötés, mely esetén a köto˝ elektronok az egész rácsra vonatkozóan delokalizáltak lesznek, azaz lényegében szabadon elmozdulhatnak benne.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
˝ ezek vegyértékelektronjaikat „beadják a A fémekre jellemzo: közösbe” és ezek az egész fémdarabon belül képesek elmozdulni. ˝ a fémek. Ezért vezetik jól az áramot és a hot
A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
47 / 57
Másodlagos kötések Bevezetés Molekulafizika
A molekulák közti másodlagos kötések is képesek szilárdtesteket egyben tartani.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
48 / 57
Másodlagos kötések Bevezetés Molekulafizika
A molekulák közti másodlagos kötések is képesek szilárdtesteket egyben tartani.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága
Egyszeru˝ molekulák esetén általában szabályos kristályszerkezetek alakulnak ki. (Pl. jég, jódkristály). Hosszú láncmolekulák esetén, melyek több helyen tartalmaznak poláros vagy hidrogénhíd-kötésre alkalmas részeket nem lesz teljesen rendezett. Ilyenkor szilárd, de nem kristályos anyagok ˝ jönnek létre. (Pl. fa, bor) A másodlagos kötések sokkal kisebb energiával szétbonthatók, mint ˝ ˝ az elsodlegesek, így ezek már alacsonyabb homérsékleten felbomlanak.
Elektronok viselkedése szilárdtestekben
48 / 57
A kötések tartóssága Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
Leggyengébbek a másodlagos kötések: csak nagy relatív ˝ molekulatömeg esetén eredményeznek szobahomérsékleten is szilárd állapotot.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
49 / 57
A kötések tartóssága Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
Leggyengébbek a másodlagos kötések: csak nagy relatív ˝ molekulatömeg esetén eredményeznek szobahomérsékleten is szilárd állapotot.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
˝ A poláros és hidrogénhíd kötések már elég erosek ahhoz, hogy ˝ szobahomérsékleten is együtt tartsák folyékony vagy szilárd állapotban a molekulákat. Pár száz ◦ C-on mind felbomlik, de sok ˝ már kicsivel a szobahomérséklet felett is.
A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
49 / 57
A kötések tartóssága Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés
Leggyengébbek a másodlagos kötések: csak nagy relatív ˝ molekulatömeg esetén eredményeznek szobahomérsékleten is szilárd állapotot.
A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések
˝ A poláros és hidrogénhíd kötések már elég erosek ahhoz, hogy ˝ szobahomérsékleten is együtt tartsák folyékony vagy szilárd állapotban a molekulákat. Pár száz ◦ C-on mind felbomlik, de sok ˝ már kicsivel a szobahomérséklet felett is.
A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
˝ Az elsodleges kötések a legtartósabbak, akár több ezer ◦ C-on is együtt tartják az anyagot.
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága Elektronok viselkedése szilárdtestekben
49 / 57
Egy példa ˝ Példa: Az öntöttvas szobahomérsékleten 7 210 kg/m3 sur ˝ uség ˝ u, ˝ relatív atomtömege 55,8 g/mol, és szerkezete tércentrált köbös. Mekkora egy elemi cellának veheto˝ kocka alakú térrész élhossza?
50 / 57
Egy példa ˝ Példa: Az öntöttvas szobahomérsékleten 7 210 kg/m3 sur ˝ uség ˝ u, ˝ relatív atomtömege 55,8 g/mol, és szerkezete tércentrált köbös. Mekkora egy elemi cellának veheto˝ kocka alakú térrész élhossza? Megoldás: 1 m élhosszúságú vaskocka tömege 7210 kg. 1 mol, azaz 6,02 · 1023 db vasatom tömege 55,8 g. Tehát 1 m3 -nyi vasban az atomok száma:
7210 N= · 6,02 · 1023 = 7,78 · 1028 0,0558
Egy cellában 1 teljes atom + 8 atom 1/8 része, azaz 2 atom van. 50 / 57
... Bevezetés
A cellák száma tehát:
Molekulafizika
N Nc = = 3,89 · 1028 2
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
• Bevezetés • Pár szó a ˝ kristályszerkezetrol • A szilárdtestek kötéstípusai
• Ionos kötés • Kovalens kötés • Fémes kötés • Másodlagos kötések • A kötések tartóssága
Ha az 1 m-es élhossz mentén n számú elemi cella van, akkor: 3
Nc = n
⇒
n=
Nc = 3,39 · 109
p 3
Ennyi cella élhossz tesz ki 1 m-t, ezért egy cella mérete:
1m a= = 2,95 · 10−10 m = 0,295 nm. n Megjegyzés: a rácshibák hatását elhanyagoltuk.
Elektronok viselkedése szilárdtestekben
51 / 57
Bevezetés Molekulafizika Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete
Elektronok viselkedése szilárdtestekben
Elektronok viselkedése szilárdtestekben • Szilárdtestek sávszerkezete • A sávszerkezet ábrázolása • Az elektronok energia szerinti eloszlása ˝ • Szigetelok, ˝ vezetok ˝ közti félvezetok, különbség
52 / 57
Szilárdtestek sávszerkezete Bevezetés Molekulafizika
Láttuk, hogy a molekulák energiaszerkezete sokkal több lehetséges ˝ áll, mint az atomoké. szintbol
Az ionos kötés A kovalens kötés
A szilárdtesteknél ez a jelenség még fokozódik.
A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben • Szilárdtestek sávszerkezete • A sávszerkezet ábrázolása • Az elektronok energia szerinti eloszlása ˝ • Szigetelok, ˝ vezetok ˝ közti félvezetok, különbség
53 / 57
Szilárdtestek sávszerkezete Bevezetés Molekulafizika
Láttuk, hogy a molekulák energiaszerkezete sokkal több lehetséges ˝ áll, mint az atomoké. szintbol
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben • Szilárdtestek sávszerkezete • A sávszerkezet ábrázolása • Az elektronok energia szerinti eloszlása ˝ • Szigetelok, ˝ vezetok ˝ közti félvezetok, különbség
A szilárdtesteknél ez a jelenség még fokozódik. A közeli atomok torzítják egymás elektronszerkezetét, így az eredeti atomi szintek igen sok részre széthasadnak. A sok közeli szint összemosódik, és a megengedett állapotok energiasávokba csoportosulnak. Az egyes sávok különbözo˝ jellegu˝ elektronállapotnak felelnek meg: ˝ o˝ elektronok • vegyértéksáv: az atomokhoz kötod ˝ • vezetési sáv: a rácson belül tetszoleges távolságra elmozdulni képes elektronok • tiltott sáv: itt nem lehetnek elektronok.
53 / 57
A sávszerkezet ábrázolása E
E vezet´esi s´av x 1111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000 1111111111111111111111111111111 vegy´ert´ek s´av 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111
atomt¨orzs
1111111111111111111111111111111 0000000000000000000000000000000
1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000vezet´ 1111111111 esi 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111
s´av
tiltott s´av 1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000vegy´ 1111111111 ert´ek 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111
s´av
atommagok
Vigyázat! Az ábra sok egyszerusítést ˝ tartalmaz!
54 / 57
Az elektronok energia szerinti eloszlása Bevezetés Molekulafizika
A sávszerkezeten belül az elektronok eloszlását az energiaminimum-elv és a Pauli-elv határozza meg.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
˝ Homozgás nélkül az elektronok a leheto˝ legalacsonyabb energiaszintre ülnének be, amit a Pauli-elv enged, azaz egy szintig feltöltenék az összes lehetséges állapotot. Ennek a szintnek a neve: Fermi-szint.
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben • Szilárdtestek sávszerkezete • A sávszerkezet ábrázolása • Az elektronok energia szerinti eloszlása ˝ • Szigetelok, ˝ vezetok ˝ közti félvezetok, különbség
55 / 57
Az elektronok energia szerinti eloszlása Bevezetés Molekulafizika
A sávszerkezeten belül az elektronok eloszlását az energiaminimum-elv és a Pauli-elv határozza meg.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei
˝ Homozgás nélkül az elektronok a leheto˝ legalacsonyabb energiaszintre ülnének be, amit a Pauli-elv enged, azaz egy szintig feltöltenék az összes lehetséges állapotot. Ennek a szintnek a neve: Fermi-szint.
Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben • Szilárdtestek sávszerkezete • A sávszerkezet ábrázolása • Az elektronok energia szerinti eloszlása ˝ • Szigetelok, ˝ vezetok ˝ közti félvezetok, különbség
˝ Homozgás esetén már jutnak elektronok a magasabb szintekre is. A ˝ statisztikus fizika szerint T homérsékleten annak a valószínusége, ˝ hogy egy E energiához tartozó energiaszint be van töltve:
1
p(E) = e
E−EF kT
+1
ahol EF a Fermi-szint, k a Boltzmann-állandó.
55 / 57
... • Ha E − EF ≪ −kT , akkor p(E) ≈ 1. • Ha E = EF , akkor p(E) = 0,5. • Ha E − EF ≫ kT , akkor p(E) ≈ 0. ˝ EF tipikus értéke: 5–10 eV. Szobahomérsékleten kT ≈ 0,025 eV. ˝ Pl. EF = 7 eV esetére, 3 különbözo˝ homérsékleten: p
p
1000 K
300 K
1000 K
100 K
300 K
100 K
1
1 0.9
0.9 0.8
0.8 0.7
0.7 0.6
0.6 0.5
0.5 0.4
0.4 0.3
0.3 0.2
0.2 0.1
0.1 0
0
0
2
4
6
EF
8
10
6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8
E [eV]
EF
E [eV]
˝ A váltás szobahomérsékleten nagyon éles.
56 / 57
˝ félvezetok, ˝ vezetok ˝ közti különbség Szigetelok, Bevezetés Molekulafizika
˝ ˝ Egy anyag vezetoképessége elsosorban azon múlik, hol helyezkedik el egymáshoz képest a Fermi-szint és a vezetési sáv alja.
Az ionos kötés A kovalens kötés A molekulák kötéshossza és kötési energiája A molekulák energiaszintjei Másodlagos kötések A szilárdtestek szerkezete Elektronok viselkedése szilárdtestekben • Szilárdtestek sávszerkezete • A sávszerkezet ábrázolása • Az elektronok energia szerinti eloszlása ˝ • Szigetelok, ˝ vezetok ˝ közti félvezetok, különbség
˝ EF a tiltott sáv közepén, a tiltott sáv szélessége több • szigetelok: eV, ezért alig van vezetési elektron. • fémek: kicsi a tiltott sáv szélessége, EF benne van a vezetési sávban, ezért sok a vezetési elektron. ˝ a tiltott sáv szélessége kb. 1 eV, EF a tiltott sáv • félvezetok: közepén van. Kevés elektron van a vezetési sávban. E
1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111
EF 1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111
szigetel˝o
E
vezet´esi s´av tiltott s´av
EF
vegy´ert´ek s´av
E 1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111
f´elvezet˝o
EF
1111111111111 0000000000000 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111
f´em 57 / 57
