A mechanika alapjai A pontszeru˝ testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29.
A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
A dinamika alaptörvényei
A newtoni mechanika korlátai
2 / 27
Bevezetés A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
A dinamika megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk.
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
3 / 27
Bevezetés A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
A dinamika megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. A dinamika alaptörvényeit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika.
A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
3 / 27
Bevezetés A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
A dinamika megértéséhez szükségesek voltak mindazok, amit a kinematikából eddig megtanultunk. A dinamika alaptörvényeit Isaac Newton fedezte fel az 1600-as évek végén. Természetesen alapozott sokak munkájára, de nála állt össze egy rendszerré a mechanika. A mechanika alaptörvényei azóta is a Newton-törvények, melyeket a ˝ következokben tárgyalunk. (Newton nem pontosan ebben a ˝ formában mondta ki oket, de mindezek benn vannak muveiben.) ˝
3 / 27
Newton I. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
˝ nézve minden maTalálható olyan vonatkoztatási rendszer, amelybol gára hagyott test állandó sebességvektorral mozog.
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
4 / 27
Newton I. törvénye A dinamika alaptörvényei
˝ nézve minden maTalálható olyan vonatkoztatási rendszer, amelybol gára hagyott test állandó sebességvektorral mozog.
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Megjegyzések:
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
• Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük.
A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
4 / 27
Newton I. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
˝ nézve minden maTalálható olyan vonatkoztatási rendszer, amelybol gára hagyott test állandó sebességvektorral mozog.
Megjegyzések:
• Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. • Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel.
4 / 27
Newton I. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
˝ nézve minden maTalálható olyan vonatkoztatási rendszer, amelybol gára hagyott test állandó sebességvektorral mozog.
Megjegyzések:
• Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. • Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. • Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer!
4 / 27
Newton I. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
˝ nézve minden maTalálható olyan vonatkoztatási rendszer, amelybol gára hagyott test állandó sebességvektorral mozog.
Megjegyzések:
• Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. • Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. • Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! • Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül.
4 / 27
Newton I. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
˝ nézve minden maTalálható olyan vonatkoztatási rendszer, amelybol gára hagyott test állandó sebességvektorral mozog.
Megjegyzések:
• Az ilyen rendszert inerciarendszernek nevezzük. • Magára hagyott test alatt olyan testet értünk, mely nincs kölcsönhatásban más testekkel. • Nem minden vonatkoztatási rendszer inerciarendszer! • Sok rossz megfogalmazása létezik Newton I. törvényének! Általában elfelejtik megjegyezni, hogy ez csak bizonyos rendszerekben teljesül. • Newton többi törvénye csak inerciarendszerben teljesül!
4 / 27
Newton II. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemez˝ ˝ heto˝ egy F úgynevezett erofüggvénnyel, ami csak a test tömegétol, ˝ sebességétol ˝ és az idoponttól ˝ helyétol függ, úgy, hogy
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
F =m·a ahol a a test gyorsulása.
5 / 27
Newton II. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemez˝ ˝ heto˝ egy F úgynevezett erofüggvénnyel, ami csak a test tömegétol, ˝ sebességétol ˝ és az idoponttól ˝ helyétol függ, úgy, hogy
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
F =m·a ahol a a test gyorsulása. Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test.
5 / 27
Newton II. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Minden testhez található egy olyan állandó m mennyiség, amit a test tömegének nevezünk, és a többi test hatása a vizsgált testre jellemez˝ ˝ heto˝ egy F úgynevezett erofüggvénnyel, ami csak a test tömegétol, ˝ sebességétol ˝ és az idoponttól ˝ helyétol függ, úgy, hogy
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
F =m·a ahol a a test gyorsulása. Newton szerint tehát a testek tömege állandó, független a test mozgásától és attól, milyen kölcsönhatásban vesz részt a test. ˝ Másik elrejtett feltételezés, hogy a kölcsönhatások elore meghatározott módon mennek végbe, azaz az ero˝ mindig ugyanaz, ha azonos körülmények közt megismétlek egy kísérletet.
5 / 27
... A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények.
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
6 / 27
... A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás. . . )
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
6 / 27
... A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás. . . ) ˝ Newton II. törvényének jelentosége: ˝ Ha egy kölcsönhatás erotörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. törvénye alapján megkapom ˝ a kinematika módszereivel a teljes mozgás a gyorsulást. Ebbol visszakapható.
6 / 27
... A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
Legnagyobb ötlet viszont, hogy a kölcsönhatás a test gyorsulását határozza meg. Korábban mindenki azt hitte, hogy a sebességet határozzák meg a körülmények. (Deriválás nélkül még a pillanatnyi sebesség is homályos fogalom volt, nemhogy a gyorsulás. . . ) ˝ Newton II. törvényének jelentosége: ˝ Ha egy kölcsönhatás erotörvényét egyszer megállapítom, és egy test tömegét lemérem, akkor Newton II. törvénye alapján megkapom ˝ a kinematika módszereivel a teljes mozgás a gyorsulást. Ebbol visszakapható. Sok, korábban megmagyarázhatatlan dologra derült fény. (Bolygók mozgása, lövedék röppálya, gépek tervezési kérdései, stb.)
6 / 27
Newton III. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 ero˝ hat, akkor a másikra ható ero˝ F 2 = −F 1 .
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
7 / 27
Newton III. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
Ha csak két test van egymással kölcsönhatásban, akkor ha az egyikre F 1 ero˝ hat, akkor a másikra ható ero˝ F 2 = −F 1 . Szokás ezt „hatás-ellenhatás törvényének” is nevezni. 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111
F1
00000000 F2 = −F111111111 00000000 11111111 11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111
7 / 27
Newton IV. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye
Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a külön˝ külön kölcsönhatások eroinek vektori összege.
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
8 / 27
Newton IV. törvénye A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
Ha egy testre több másik is hat egyszerre, akkor a test úgy mozog, mintha olyan kölcsönhatásban szerepelne, melynek ereje a külön˝ külön kölcsönhatások eroinek vektori összege. ˝ tehát egymástól függetlenül hatnak, hatásuk egyszeru˝ Az erok ˝ matematikai muvelettel ˝ összegezheto.
A munka és az energia
F +F 2 1
A newtoni mechanika korlátai
F 1 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111
F
2
111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111
8 / 27
... A dinamika alaptörvényei
• Bevezetés • Newton I. törvénye • Newton II. törvénye • Newton III. törvénye • Newton IV. törvénye A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
Több kölcsönhatás esetére Newton II. törvényét szokás az alábbi alakok valamelyikében felírni:
F1 + F2 + ··· + Fn = m · a n X
F i = F eredo˝ = ma
i=1
9 / 27
A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás 2 testre
• általánosítás A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
10 / 27
A lendület fogalma A dinamika alaptörvényei
Mindenki emlékszik: lendület=tömeg x sebesség, azaz p = mv .
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
De miért olyan fontos fogalom ez?
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás 2 testre
Miért nincs neve mondjuk a m2 v mennyiségnek?
• általánosítás A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
11 / 27
A lendület fogalma A dinamika alaptörvényei
Mindenki emlékszik: lendület=tömeg x sebesség, azaz p = mv .
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
De miért olyan fontos fogalom ez?
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás 2 testre
Miért nincs neve mondjuk a m2 v mennyiségnek?
• általánosítás A munka és az energia
Válasz: a lendület el van rejtve a Newton-törvényekben:
A newtoni mechanika korlátai
F = ma = mv ′ = (mv)′ = p′
Ennek sok következménye van.
11 / 27
lendületmegmaradás 2 testre A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
˝ fejtenek ki egymásra, de más test Vizsgáljunk két testet, amik erot ˝ nem hat erre a kettore, azaz a két test zárt rendszert alkot.
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás 2 testre
• általánosítás A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
12 / 27
lendületmegmaradás 2 testre A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás 2 testre
˝ fejtenek ki egymásra, de más test Vizsgáljunk két testet, amik erot ˝ nem hat erre a kettore, azaz a két test zárt rendszert alkot. ˝ Newton III. törvénye szerint a rájuk ható erok:
F 1 = −F 2
• általánosítás A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
12 / 27
lendületmegmaradás 2 testre A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
˝ fejtenek ki egymásra, de más test Vizsgáljunk két testet, amik erot ˝ nem hat erre a kettore, azaz a két test zárt rendszert alkot. ˝ Newton III. törvénye szerint a rájuk ható erok:
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás
F 1 = −F 2
2 testre
• általánosítás A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
˝ oek ˝ szerint: Az eloz
p′1 = −p′2
⇒
p′1 + p′2 = 0
A deriválás ismert tulajdonságai miatt:
(p1 + p2 )′ = 0 ˝ ami azt jelenti, hogy a két lendület összege idoben állandó.
12 / 27
általánosítás A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás 2 testre
• általánosítás
Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, össz lendületük állandó: n X
i=1
mi v i =
n X
pi = áll.
i=1
A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
13 / 27
általánosítás A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
• A lendület fogalma • lendületmegmaradás 2 testre
• általánosítás
Nemcsak 2, hanem n testre is bizonyítható, hogyha zárt rendszert alkotnak, össz lendületük állandó: n X
i=1
mi v i =
n X
pi = áll.
i=1
A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai
Zárt rendszer össz lendülete tehát állandó, függetlenül attól, milyen ˝ hatnak a rendszer részei között. erok Ez egy igen fontos törvényszeruség ˝ pl. ütközések vizsgálatánál.
13 / 27
A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
A munka és az energia
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
14 / 27
a munka A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test ∆r elmozdulása során a rá ható ero˝ folytonosan F , akkor ez alatt az ero˝ testen végzett munkája: ∆W = F · ∆r
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
15 / 27
a munka A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test ∆r elmozdulása során a rá ható ero˝ folytonosan F , akkor ez alatt az ero˝ testen végzett munkája: ∆W = F · ∆r
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
Itt a F · ∆r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli.
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
15 / 27
a munka A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test ∆r elmozdulása során a rá ható ero˝ folytonosan F , akkor ez alatt az ero˝ testen végzett munkája: ∆W = F · ∆r
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
Itt a F · ∆r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapveto˝ dolgokat érdemes megjegyezni:
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
˝ • W = 0, ha F és ∆r merolegesek. ˝ Tehát ha az ero˝ és az elmozdulás merolegesek egymásra, nincs munkavégzés.
15 / 27
a munka A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Fizikában a munka jelentése sokkal körülhatároltabb, mint a köznapi nyelvben. Ha egy test ∆r elmozdulása során a rá ható ero˝ folytonosan F , akkor ez alatt az ero˝ testen végzett munkája: ∆W = F · ∆r
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
Itt a F · ∆r szorzat a vektorok skaláris szorzatát jelöli. A munka ilyen értelmezése mellett az alábbi alapveto˝ dolgokat érdemes megjegyezni:
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
˝ • W = 0, ha F és ∆r merolegesek. ˝ Tehát ha az ero˝ és az elmozdulás merolegesek egymásra, nincs munkavégzés. • W < 0, ha F és ∆r szöge tompaszög. Ezt úgy is szokták mondani, hogy a test végez munkát azon a testen, ami hat rá. 15 / 27
a munkavégzés másik alakja A dinamika alaptörvényei
˝ o˝ formula csak akkor használható, ha az ero˝ állandó. Az eloz
A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
16 / 27
a munkavégzés másik alakja A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
˝ o˝ formula csak akkor használható, ha az ero˝ állandó. Az eloz A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, ˝ rövid ido˝ alatt a mozgás paraméterei állandónak hogy kelloen ˝ vehetok.
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
16 / 27
a munkavégzés másik alakja A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
˝ o˝ formula csak akkor használható, ha az ero˝ állandó. Az eloz A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, ˝ rövid ido˝ alatt a mozgás paraméterei állandónak hogy kelloen ˝ vehetok. Ilyenkor a ∆ helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi ido˝ alatt:
dW = F dr
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
16 / 27
a munkavégzés másik alakja A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
˝ o˝ formula csak akkor használható, ha az ero˝ állandó. Az eloz A pillanatnyi sebesség bevezetéséhez hasonlóan itt is elmondható, ˝ rövid ido˝ alatt a mozgás paraméterei állandónak hogy kelloen ˝ vehetok. Ilyenkor a ∆ helyett formálisan d-t írunk. Azaz a munkavégzés egy kis elemi ido˝ alatt:
dW = F dr ˝ (Most nem törodünk a nagyon precíz matematikai megfogalmazással.)
• példák A newtoni mechanika korlátai
16 / 27
a mozgási energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
˝ o˝ definícióját osszuk el formálisan egy elemi A munka eloz ˝ idointervallum hosszával:
dW dt
=F
dr dt
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
17 / 27
a mozgási energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
˝ o˝ definícióját osszuk el formálisan egy elemi A munka eloz ˝ idointervallum hosszával:
dW dt
=F
dr dt
Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását:
dW dt
= Fv
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
17 / 27
a mozgási energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
˝ o˝ definícióját osszuk el formálisan egy elemi A munka eloz ˝ idointervallum hosszával:
dW
=F
dt
dr dt
Vegyük észre a bal oldalon a sebesség felbukkanását:
dW dt
= Fv
Newton II. törvénye szerint F = m · a = m · (dv/dr), ezért:
dW dt
=m
dv dt
v
illetve a rövidebb alakot használva a deriválásra:
W ′ = m · v ′v 17 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt:
1 2
v
2
′
=
1 2
′
(vv) =
1 2
(v ′ v + vv ′ ) = v ′ v
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
18 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt:
1 2
v
2
′
=
1 2
′
(vv) =
1 2
(v ′ v + vv ′ ) = v ′ v
˝ o˝ összefüggésbe: Ezt beírva az eloz ′
′
W =m·v v =
1 2
m· v
2
′
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
18 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt:
1 2
v
2
′
=
1 2
′
(vv) =
1 2
(v ′ v + vv ′ ) = v ′ v
˝ o˝ összefüggésbe: Ezt beírva az eloz ′
′
W =m·v v =
1 2
m· v
2
′
Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó:
• példák A newtoni mechanika korlátai
W′ =
1 2
mv 2
′
18 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
Vegyük észre, hogy a szorzatfüggvény deriválási szabályai miatt:
1 2
v
2
′
=
1 2
′
(vv) =
1 2
(v ′ v + vv ′ ) = v ′ v
˝ o˝ összefüggésbe: Ezt beírva az eloz ′
′
W =m·v v =
1 2
m· v
2
′
Kihasználva, hogy a tömeg és az 1/2-es szorzó állandó:
• példák A newtoni mechanika korlátai
W′ =
1 2
mv 2
′
˝ Bármilyen mozgás esetén tehát a munka idoegység alatti megváltozása megegyezik az (1/2)mv 2 mennyiség változásával.
18 / 27
a mozgási energia definíciója A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát ˝ folytonos nyomon viszont csak a pálya és az a mentén ható erok követésével.
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
19 / 27
a mozgási energia definíciója A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia
A munka és az (1/2)mv 2 mennyiség tehát egyforma módon változik, de utóbbit pontról pontra meg lehet határozni, a munkát ˝ folytonos nyomon viszont csak a pálya és az a mentén ható erok követésével. Ezért az Em = (1/2)mv 2 mennyiség megérdemli, hogy nevet kapjon: mozgási energia.
definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
19 / 27
a munkatétel A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
′ , ezért a ˝ Mivel a fentiek szerint minden idopontban W ′ = Em munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W0 ) térhet el egymástól:
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
W = Em + W0
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
20 / 27
a munkatétel A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
′ , ezért a ˝ Mivel a fentiek szerint minden idopontban W ′ = Em munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W0 ) térhet el egymástól:
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
W = Em + W0
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
Kellemetlen, hogy az ismeretlen W0 állandó felbukkant. Ezért ezt ˝ az összefüggést írjuk fel két idopont között és vonjuk ki egymásból:
W (t2 ) − W (t1 ) = Em(t2 ) − Em(t1 )
• példák A newtoni mechanika korlátai
20 / 27
a munkatétel A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
′ , ezért a ˝ Mivel a fentiek szerint minden idopontban W ′ = Em munka és a mozgási energia csak egy hozzáadható állandóval (W0 ) térhet el egymástól:
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
W = Em + W0
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
Kellemetlen, hogy az ismeretlen W0 állandó felbukkant. Ezért ezt ˝ az összefüggést írjuk fel két idopont között és vonjuk ki egymásból:
W (t2 ) − W (t1 ) = Em(t2 ) − Em(t1 )
• példák A newtoni mechanika korlátai
W (t2 ) − W (t1 ) nyilván a testen a t1 és t2 közt végzett munka. Beírva a mozgási energia formuláját a munkatételt kapjuk:
W2,1 =
1 2
mv 22
−
1 2
mv 21
20 / 27
a potenciális energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó ero˝ esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W2,1 -et.
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
21 / 27
a potenciális energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó ero˝ esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.)
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
21 / 27
a potenciális energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó ero˝ esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, ˝ és végponttól függ. csak a kezdo-
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
21 / 27
a potenciális energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák
A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó ero˝ esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, ˝ és végponttól függ. csak a kezdo˝ potenciállal rendelkezonek ˝ Egy erot nevezünk, ha az általa végzett ˝ és végponttól függ. munka csak a kezdo-
A newtoni mechanika korlátai
21 / 27
a potenciális energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák
A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó ero˝ esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, ˝ és végponttól függ. csak a kezdo˝ potenciállal rendelkezonek ˝ Egy erot nevezünk, ha az általa végzett ˝ és végponttól függ. munka csak a kezdo-
A newtoni mechanika korlátai
˝ a nyugvó töltésekbol ˝ származó ero, ˝ a Ilyen pl. a gravitációs ero, ˝ rugalmas alakváltozásokkor fellépo˝ erok.
21 / 27
a potenciális energia A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák
A munkatétel alkalmazása sokszor azért nehéz, mert egy pontról-pontra változó ero˝ esetén egy bonyolult pályán való mozgáskor nehéz kiszámolni a munkavégzést, azaz W2,1 -et. (Ehhez magasabb matematikai ismeretek szükségesek általános esetben.) Szerencsére a gyakorlatban sok kölcsönhatás olyan, hogy esetükben a munkavégzés független a test mozgásának pályájától, ˝ és végponttól függ. csak a kezdo˝ potenciállal rendelkezonek ˝ Egy erot nevezünk, ha az általa végzett ˝ és végponttól függ. munka csak a kezdo-
A newtoni mechanika korlátai
˝ a nyugvó töltésekbol ˝ származó ero, ˝ a Ilyen pl. a gravitációs ero, ˝ rugalmas alakváltozásokkor fellépo˝ erok. ˝ Nem ilyen a súrlódási és közegellenállási ero.
21 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
˝ A potenciál szokásos jele a V . Akkor van tehát egy eronek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy:
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
W2,1 = V (r 1 ) − V (r2 )
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
22 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
˝ A potenciál szokásos jele a V . Akkor van tehát egy eronek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy:
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
W2,1 = V (r 1 ) − V (r2 )
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák
Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy ˝ potenciálos ero˝ esetén tetszoleges két pont közt:
V (r1 ) +
1 2
mv 21
= V (r2 ) +
1 2
mv 22
A newtoni mechanika korlátai
22 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
˝ A potenciál szokásos jele a V . Akkor van tehát egy eronek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy:
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
W2,1 = V (r 1 ) − V (r2 )
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy ˝ potenciálos ero˝ esetén tetszoleges két pont közt:
V (r1 ) +
1 2
mv 21
= V (r2 ) +
1 2
mv 22
azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni.
22 / 27
... A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
˝ A potenciál szokásos jele a V . Akkor van tehát egy eronek potenciálja, ha bármely 2 pont között bármilyen pályán mozgatva a testet teljesül, hogy:
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
W2,1 = V (r 1 ) − V (r2 )
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
Ezt a munkatétellel összevetve könnyen bebizonyítható, hogy ˝ potenciálos ero˝ esetén tetszoleges két pont közt:
V (r1 ) +
1 2
mv 21
= V (r2 ) +
1 2
mv 22
azaz a potenciál és a mozgási energia összege állandó. Ezért V -t szokás potenciális energiának is nevezni. Fontos újra megjegyezni, hogy nem minden ero˝ rendelkezik potenciális energiával, így a mozgási- és potenciális energiák összege nem mindig állandó. 22 / 27
a potenciál és az ero˝ kapcsolata A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható ero˝ könnyen kiszámolható komponensenként:
Fx = −
dV dx
,
Fy = −
dV dy
,
Fz = −
dV dz
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
23 / 27
a potenciál és az ero˝ kapcsolata A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható ero˝ könnyen kiszámolható komponensenként:
Fx = −
dV dx
,
Fy = −
dV dy
,
Fz = −
dV dz
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
˝ teszi a potenciál ismeretében az ero˝ Ez az egyenlet lehetové kiszámítását.
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
23 / 27
a potenciál és az ero˝ kapcsolata A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható ero˝ könnyen kiszámolható komponensenként:
Fx = −
dV dx
,
Fy = −
dV dy
,
Fz = −
dV dz
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák
˝ teszi a potenciál ismeretében az ero˝ Ez az egyenlet lehetové kiszámítását. ˝ Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszoleges F (r) ˝ erofüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel.
A newtoni mechanika korlátai
23 / 27
a potenciál és az ero˝ kapcsolata A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés
Bebizonyítható, hogy a V (r) potenciál-függvény ismeretében a testre ható ero˝ könnyen kiszámolható komponensenként:
Fx = −
dV dx
,
Fy = −
dV dy
,
Fz = −
dV dz
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
˝ teszi a potenciál ismeretében az ero˝ Ez az egyenlet lehetové kiszámítását. ˝ Sajnos, a fordított irány bonyolultabb, tehát egy tetszoleges F (r) ˝ erofüggvény esetén eldönteni, van-e potenciálja és ha igen, az mi: magasabb matematikai ismereteket igényel. Egyszerubb ˝ esetekben azonban találgatással is jó eredményt érhetünk el.
23 / 27
egydimenziós eset A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
Egyenes menti mozgásoknál, azaz 1 dimenzióban minden egyszerubb. ˝ ˝ függ, azaz megadható F (x) alakban, Ha az ero˝ csak a helytol akkor:
• a munka • a munkavégzés
F (x) = −V ′ (x)
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
azaz
V (x) = −
Z
x
F (x)dx + V (x0 )
x0
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
24 / 27
egydimenziós eset A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
Egyenes menti mozgásoknál, azaz 1 dimenzióban minden egyszerubb. ˝ ˝ függ, azaz megadható F (x) alakban, Ha az ero˝ csak a helytol akkor:
• a munka • a munkavégzés
F (x) = −V ′ (x)
másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
azaz
V (x) = −
Z
x
F (x)dx + V (x0 )
x0
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
Az integrálás ismert tulajdonságai miatt a potenciál egy állandó erejéig bizonytalan. Fizikailag ez azt jelenti, hogy egy x0 ˝ alappontban a potenciálnak tetszoleges értéket tulajdoníthatunk, mert valójában csak két pont közti potenciálkülönbségnek van fizikai értelme.
24 / 27
példák A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
1. V (r) = m · g · z , ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája.
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
25 / 27
példák A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
1. V (r) = m · g · z , ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. ˝ és y -tól, ezért nyilván Fx = Fy = 0. Ekkor V független x-tol
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
25 / 27
példák A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
1. V (r) = m · g · z , ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. ˝ és y -tól, ezért nyilván Fx = Fy = 0. Ekkor V független x-tol
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia
Fz = −
d(mgz) dz
= −mg
definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
25 / 27
példák A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
1. V (r) = m · g · z , ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. ˝ és y -tól, ezért nyilván Fx = Fy = 0. Ekkor V független x-tol
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
Fz = −
d(mgz) dz
= −mg
A testre tehát −z irányban mg nagyságú ero˝ hat.
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝ kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
25 / 27
példák A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
1. V (r) = m · g · z , ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. ˝ és y -tól, ezért nyilván Fx = Fy = 0. Ekkor V független x-tol
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
Fz = −
d(mgz) dz
= −mg
A testre tehát −z irányban mg nagyságú ero˝ hat. Ez a Föld felszín ˝ közelében a gravitációs erotér esete.
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx2 .
25 / 27
példák A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
1. V (r) = m · g · z , ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. ˝ és y -tól, ezért nyilván Fx = Fy = 0. Ekkor V független x-tol
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
Fz = −
d(mgz) dz
= −mg
A testre tehát −z irányban mg nagyságú ero˝ hat. Ez a Föld felszín ˝ közelében a gravitációs erotér esete.
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx2 .
Fx = −Dx
25 / 27
példák A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
1. V (r) = m · g · z , ahol m a test tömege, g egy állandó, z pedig r 3. koordinátája. ˝ és y -tól, ezért nyilván Fx = Fy = 0. Ekkor V független x-tol
A munka és az energia
• a munka • a munkavégzés másik alakja
• a mozgási energia • a mozgási energia definíciója
• a munkatétel • a potenciális energia • a potenciál és az ero˝
Fz = −
d(mgz) dz
= −mg
A testre tehát −z irányban mg nagyságú ero˝ hat. Ez a Föld felszín ˝ közelében a gravitációs erotér esete.
kapcsolata
• példák A newtoni mechanika korlátai
2. Mozogjon a test csak az x tengely mentén és legyen V (x) = (1/2)Dx2 .
Fx = −Dx Ez a rugón rezgo˝ test esete.
25 / 27
A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
A newtoni mechanika korlátai
26 / 27
a newtoni mechanika korlátai A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye
A newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.)
A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
27 / 27
a newtoni mechanika korlátai A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia
A newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérheto˝ hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása.
A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
27 / 27
a newtoni mechanika korlátai A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
A newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérheto˝ hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fo˝ csoportok:
• A fény sebességével összemérheto˝ sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.)
27 / 27
a newtoni mechanika korlátai A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
A newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérheto˝ hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fo˝ csoportok:
• A fény sebességével összemérheto˝ sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) • Rendkívül nagy tömegu˝ testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.)
27 / 27
a newtoni mechanika korlátai A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
A newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérheto˝ hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fo˝ csoportok:
• A fény sebességével összemérheto˝ sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) • Rendkívül nagy tömegu˝ testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) • Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.)
27 / 27
a newtoni mechanika korlátai A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
A newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérheto˝ hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fo˝ csoportok:
• A fény sebességével összemérheto˝ sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) • Rendkívül nagy tömegu˝ testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) • Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) ˝ röviden találkozni fogunk. Ezekkel késobb
27 / 27
a newtoni mechanika korlátai A dinamika alaptörvényei A lendület, a lendületmegmaradás törvénye A munka és az energia A newtoni mechanika korlátai • a newtoni mechanika korlátai
A newtoni mechanika nagy sikereket ért el. (Mérnöki gyakorlat, bolygópályák számítása, új bolygók felfedezése, stb.) Kb. 100 éve ismerünk olyan jelenségeket, melyek esetén mérheto˝ hibát ad a Newton-féle mechanika alkalmazása. A fo˝ csoportok:
• A fény sebességével összemérheto˝ sebességek világa. (Ezzel a speciális relativitáselmélet foglalkozik.) • Rendkívül nagy tömegu˝ testekhez közeli tartományok. (Általános relativitáselmélet.) • Az anyag elemi részeinek méretén lezajló folyamatok. (Kvantummechanika.) ˝ röviden találkozni fogunk. Ezekkel késobb A mindennapokban a newtoni mechanika pontatlansága kimérhetetlenül kicsi, ezért többnyire bátran alkalmazhatjuk.
27 / 27
