Relativitáselmélet. Giczi Ferenc SZE, Fizika és Kémia Tanszék 2005

Relativitáselmélet Giczi Ferenc SZE, Fizika és Kémia Tanszék

2005.

Relativitáselmélet

Széchenyi István Egyetem

Milyen összefüggés van a fizikai törvények között egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerekben? inerciarendszerek

Speciális relativitáselmélet

gyorsuló rendszerek

Általános relativitáselmélet 2



Helymeghatározás Az anyagi pont helyét meghatározhatjuk pl. úgy, hogy a választott vonatkoztatási rendszerhez rögzített derékszögű koordinátarendszerben megadjuk a pont x, y, z derékszögű koordinátáit. 3



Az anyagi pont mozgása r( t )

x  x( t ) y  y( t ) z  z( t )

y f2(t), z f3(t),

Ezek a kinematikai mozgásegyenletek meghatározzák a mozgó pont által leírt görbét, a pont pályáját. x f1(t),

Megjegyzés: A pont pályája lehet térgörbe, síkgörbe, vagy egyenes. 4



A relativitás elve a klasszikus mechanikában z2

K2

z1 r2

K1

r1 r21

y2 y1

x2

x1

Ha ugyanazt a testet két különböző, egymáshoz képest mozgó vonatkoztatási rendszerből figyeljük meg, akkor a mozgását jellemző adatok egy részét (pl. helyzetvektor, sebesség, impulzus, energia) eltérőnek találjuk. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

5



A relativitás elve a klasszikus mechanikában z2

K2

z1 r2

K1

r1 r21

y2 y1

Kérdés:

x2

x1

Az adatok közötti összefüggések (a fizikai törvények: pl. Newton II. törvénye, Coulomb törvény, stb.) is különbözőek lesznek a különböző koordináta rendszerekben ? 6 y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),



A vonatkoztatási rendszerek speciális fajtái

Inerciarendszerek (Newton I. törvénye) Tapasztalat:

Egy inerciarendszerhez képest állandó sebességgel mozgó bármely másik rendszer is inerciarendszer. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

7



A klasszikus mechanika relativitás elve Tapasztalat:

Különböző inerciarendszerekből nézve a mechanikai jelenségek ugyanúgy zajlanak le. A különböző inerciarendszerekben a mechanika törvényei azonos matematikai alakban érvényesek. A bennük szereplő fizikai állandók numerikus értéke ugyanaz . Következmény: Az inerciarendszerek között mechanikai kísérletekkel nem lehet különbséget tenni. - Nincs olyan mechanikai kísérlet, amellyel eldönthető lenne, hogy két inerciarendszer egymáshoz képest mozog. (Nem lehet találni egy abszolút, kitüntetett inerciarendszert.) 8



Koordináta-transzformációk z2

K2

z1 r2

K1

r1 r21

y2 y1

x2

x1

A koordináta-transzformációk a test mozgását a K1 és K2 koordinátarendszerekben jellemző adatok (helyzetvektor, sebesség, energia, stb.) között teremtenek kapcsolatot. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

9



A fizikai törvények koordinátatranszformációkkal szembeni invarianciája Ha a törvény matematikai alakját tekintve azonos a két koordinátarendszerben, akkor azt mondjuk, hogy a törvény invariáns az adott transzformációra. Módszer az ellenőrzésre A K1 rendszerben felírt fizikai törvényben szereplő mennyiségeket a transzformációs összefüggések segítségével fejezzük ki a K2 rendszer megfelelő mennyiségeivel. Így megkapjuk a kérdéses fizikai mennyiségek közötti összefüggést a K2 rendszerben. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

10



A fizikai törvények koordinátatranszformációkkal szembeni invarianciája Ha az adott transzformációval szemben az összes fizikai törvény invariáns, akkor a transzformáció összhangban van a relativitás elvével. Ha a relativitás elvét, mint tapasztalati tényt elfogadjuk, akkor csak a vele összhangban lévő koordináta transzformációt használhatjuk. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

11



A klasszikus mechanika Galileitranszformációja r1=r2+r21

z2

K2

z1 r2

K1

r1 r21

y2 y1

r2=r1-r21

x2

x1

Ha a K2 rendszer a K1-hez képest állandó v sebességgel mozog (inerciarendszerek):

r21=vt+r0 r2(t)=r1(t)-vt-r0 12



A klasszikus mechanika Galileitranszformációja r2(t)=r1(t)-vt-r0 x2(t)=x1(t)-vxt-x0

r2(t)=r1(t)-vt-r0 v2(t)=v1(t)-v

y2(t)=y1(t)-vyt-y0 z2(t)=z1(t)-vzt-z0 t2=t1=t

a2(t)=a1(t) y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

x  f1 (t ),

FONTOS !

Az idő a K2 és a K1 rendszerben azonosan telik. 13



A klasszikus mechanika Galileitranszformációja r2(t)=r1(t)-vt-r0 v2(t)=v1(t)-v

a2(t)=a1(t)

A klasszikus mechanika törvényei invariánsak a Galileitranszformációval szemben. (Bebizonyítható)

14



Az egymáshoz képest mozgó inerciarendszerek speciális esete Koordináta transzformációk z2

z1

x2(t)=x1(t)-vt

K2

K1

v

y2(t)=y1(t) z2(t)=z1(t)

x1

x2 y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ), x  f1 (t ),

y  f 2 (t ),

t2=t1

z  f 3 (t ), x  f1 (t ),

y1

y2

15



Az egymáshoz képest mozgó inerciarendszerek speciális esete Sebesség transzformációk z2

z1

v2x(t)=v1x(t)-v

K2

K1

v

v2y(t)=v1y(t) v2z(t)=v1z(t)

x1

x2 y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ), x  f1 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ), x  f1 (t ),

y1

y2

16



Az egymáshoz képest mozgó inerciarendszerek speciális esete Gyorsulás transzformációk z2

z1

a2x(t)=a1x(t)

K2

K1

v

a2y(t)=a1y(t) a2z(t)=a1z(t)

x1

x2 y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ), x  f1 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ), x  f1 (t ),

y1

y2

17



A Galilei transzformáció alkalmazása Hogyan változik meg a hang terjedési sebessége, ha azt a közeghez képest állandó sebességgel mozgó koordinátarendszerben mérjük? z z 1

K1

A közeg és a hangforrás is nyugszik K1-ben.

v2x=v1x-v

2

v1x

K2 v

x1

y1

x2 y2

A forrástól távolodó megfigyelő kisebb, a közeledő nagyobb hangsebességet észlel, mint a forráshoz képest nyugvó megfigyelő. 18



A Galilei transzformáció alkalmazása A megfigyelőnek a hangot hordozó közeghez viszonyított sebessége hangsebesség-mérésekkel meghatározható.

v  v  2v v  v v 2

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

x  f1 (t ),

Később felhasználjuk a mérés elvét! 19



A relativitás elve az elektrodinamikában • A Maxwell-egyenletek a klasszikus fizikának ugyanolyan alapegyenletei, mint a Newton-törvények.

• Korábban feltételezték, hogy a Maxwell-egyenletek az éterhez rögzített koordinátarendszerben érvényesek. • A fény nem más, mint egy olyan zavar, amely az éterben a rugalmas hullámokhoz hasonlóan terjed. • A vákuumban terjedő fény sebességét az éterhez viszonyított sebességnek tekintették. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

x  f1 (t ),

20



Próbálkozások az éter létezésének kimutatására Ötlet: Az éterhez képest mozgó Földön különböző irányokban meg kell mérni a fény terjedési sebességét. Ilyen mérésekkel meg lehetne határozni a Föld sebességét az éterhez képest. Ki lehet mutatni az éter létét.

Michelson-Morley kísérlet (a hangterjedésre vonatkozó korábbi mérés analógiája alapján) 21



Michelson-Morley kísérlet Az interferenciakép függ a két interferáló fénynyaláb terjedési sebességétől.

Az interferenciaképben semmilyen változást nem tapasztaltak!

22



A fény terjedési sebessége egymáshoz képest mozgó rendszerekben Tapasztalat:

A fény terjedési sebessége különböző inerciarendszerekben ugyanaz az érték, nem függ a rendszer mozgásállapotától. Következtetés:

A fény terjedésére nem alkalmazható a Galilei-transzformáció. 23



Az elektrodinamika és a relativitás elve Tapasztalat:

A Maxwell-egyenletek nem invariánsak a Galilei-transzformációval szemben. Milyen transzformációval szemben invariánsak a Maxwell-egyenletek?

Lorentz-transzformáció 24



A Lorentz-transzformáció összefüggései x2 

y 2  y1

x1  vt 1 v2 1 2 c

z 2  z1

v t1  2 x1 c t2  v2 1 2 c

Az idő nem azonosan telik a két rendszerben! Az időt is transzformálni kell! 25



Az elektrodinamika és a relativitás elve Komoly elvi probléma!

A mechanika törvényei nem invariánsak a Lorentz-transzformációval szemben.

26



A kísérletek megerősítették, hogy az elektrodinamikában is érvényes a relativitás elve. Követelmény:

Egységes koordináta-transzformáció Elfogadjuk a Galilei-transzformációt, és a Maxwellegyenleteket hibásnak minősítjük. Lorentz, Einstein, Poincaré: y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ), x  f1 (t ),

Elfogadjuk a Lorentz-transzformációt és a mechanika törvényeit úgy kell átalakítani, hogy azok invariánsak legyenek. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

27



A speciális relativitáselmélet Einstein-féle posztulátumai • Minden fizikai folyamatra érvényes a relativitás elve.

• A vákuumban terjedő fény sebessége minden inerciarendszerben azonos, univerzális állandó. • Levezethető belőlük a Lorentz-transzformáció. • Elvégezhető a mechanika törvényeinek a szükséges átalakítása. 28



Következmény:

• Az étert nem tekinthetjük fényhordozó közegnek. • Az étert nem tekinthetjük kitüntetett vonatkoztatási rendszernek.

Elveszítette értelmét, hogy az éter létét feltételezzük. 29



A Lorentz-transzformáció összefüggéseinek vizsgálata x2 

x1  vt 1 2

v 1 2 c

y 2  y1

v t1  2 x1 c t2  v2 1 2 c

z 2  z1

Kis sebességekre visszakapjuk a Galileitranszformációt.

A mechanika klasszikus törvényeitől csak akkor várható eltérés, ha a két vonatkoztatási rendszer relatív sebessége összemérhető a fénysebességgel. 30



A Lorentz-transzformáció összefüggéseinek vizsgálata x2 

x1  vt 1 1

y 2  y1

2

v c2

z 2  z1

v t1  2 x1 c t2  v2 1 2 c

A vákuumbeli fénysebesség a relativitáselmélet szerint határsebesség szerepét játssza. 31



A relativisztikus mechanika alapjai • Idő, időtartam, távolság – koncepcionális változások. • A mechanika törvényeinek átalakítása – invariancia a Lorentz-transzformációval szemben.

32



A hely- és idő meghatározása A jelenségek leírásához szükség van a jelenségek helyének és időpontjának megadására. Minden vonatkoztatási rendszerben ki kell alakítani egy megfelelően sűrű koordináta és időhálózatot. 33



Hely meghatározása a relativitáselméletben fényjelekkel

1 x1  ct 2 Az origóból elindítunk egy fényjelet, a vizsgált pontban pedig elhelyezünk egy tükröt, amelyről a fényjel visszaverődik az origóba. y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

x  f1 (t ),

34



Az órák szinkronizálása fényjelekkel t=0 időpillanatban az origóban egy fényjelet hozunk létre. Az origótól l távolságra lévő pontba a fényjel t=l/c idő alatt ér. Az órát erre az időpontra kell beállítani és akkor indítani, amikor a fényjel odaér.

35



Az időtartamok relativitása Tegyük fel, hogy a K2 rendszerben azonos helyen lejátszódik két esemény. I. esemény: pl. egy lámpa kigyullad

II. esemény: pl. egy lámpa kialszik

I. 2

t , x2 II. 2

t , x2

x  x  x2 II. 2

I. 2

A két esemény között eltelt idő K2 rendszerben:

t 2  t  t II. 2

I. 2 36



Az időtartamok relativitása A két esemény között eltelt idő K1 –ben:

t1  t  t II. 1

v t  2 x2 c t1II.  v2 1 2 c

v t  2 x2 c t1I.  v2 1 2 c

II. 2

I. 2

t1 

I. 1

tII2.  tI2. 2

v 1 2 c



t 2 2

v 1 2 c

37



Mozgási és nyugalmi időtartam, idődilatáció t1 

tII2.  tI2. v2 1 2 c

Mivel



t 2 v2 1 2 c

v2 1 2  1 c

Két esemény között eltelt időtartamok is különbözőek.

ezért

Az események helyéhez képest mozgó megfigyelő az események között eltelt időt hosszabbnak találja, mint az eseményekhez képest nyugvó megfigyelő.

t1  t 2

T

T0 v2 1 2 c 38



Hogyan határozható meg egy rendszerhez képest mozgó tárgynak a mozgásirányba eső mérete? A tér különböző pontjaiban található szinkronizált órák közül kiválasztunk kettőt, amelyek közül az egyik a tárgy egyik végének elhaladását ugyanabban az időpillanatban jelzi, mint a másik a tárgy másik végének elhaladását.

A mozgó tárgy mozgásirányba eső hossza egyenlő a két óra távolságával. 39



A távolságok relativitása Számítsuk ki, hogy milyen eredményre vezet egy rúd hosszának mérése egymáshoz képest mozgó inerciarendszerekben.

A rúd a K2-ben nyugszik.

x 2  x  x k 2

v 2

40



A távolságok relativitása A K1 rendszerben a hosszt az egyidejű kezdő és végpont koordináták leolvasásával kapjuk.

x1  x  x k 1

t

k 1

t

v 1

v 1

 41



A távolságok relativitása x1  x  x k 1

x k2 

x 2  x  x  k 2

v 2

x x k 1

v 1 2

v 1 2 c

v 1

x1k  vt 1k

t

k 1

x 2v 

v2 1 2 c

 t1v



x1v  vt 1v v2 1 2 c

x1 y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),



x  f1 (t ),

v2 1 2 c 42



A mozgási és nyugalmi hossz Lorentz-kontrakció A hosszúság is koordinátarendszertől függő mennyiség. x 2  x  x  k 2

v 2

x1k  x1v 2

v 1 2 c



x1 v2 1 2 c

L  L0

v2 1 2 c

A mozgó megfigyelő által mért hossz mindig kisebb, mint a nyugalmi hossz. 43



Az idődilatáció és a Lorentz-kontrakció kísérleti bizonyítéka 1. A müonok a felső légrétegben, kb. 4-5 km magasságban keletkeznek. 2. A müonok közel fénysebességgel haladnak, (v=0,99c). 3. A müonok átlagos élettartama laborban 2,2·10-6 s. 4. A müonok a keletkezésüktől az elbomlásig kb. 660 m utat tudnak megtenni. 5. A müonok elérik a földfelszínt.

Ellentmondás ! 44



Az idődilatáció és a Lorentz-kontrakció kísérleti bizonyítéka Magyarázat: A müonok átlagos nyugalmi élettartama laboratóriumban mérve 2,2·10-6 s. T

T0 v2 1 2 c

1. A müonok mozgási élettartama 15,6·10-6 s. 2. A befutott út a tapasztalattal egyezésben kb. 4,68 km. 45



A sebesség-transzformáció z1 K1

Galilei-transzformáció

z2 K2 v

v1x

v2x=v1x-v x1 y1

x2 y2

Mivel a fénysebesség minden inerciarendszerben azonos, a sebesség-transzformációnak alapvetően különbözni kell a Galilei-féle sebesség-transzformációtól. 46



A sebesség-transzformáció Egy test v2x sebessége a K2 rendszerben:

Ahol

x2 

x1  vt 1 v2 1 2 c

v 2x

t2 

v 2x

x 2  t 2

v x 2 1 c v2 1 2 c

t1 

x1  vt1  v t1  2 x1 c 47



A sebesség-transzformáció A számláló és a nevező t1-gyel való osztása után:

Mivel

x1 v1x  t1

Kis sebességek esetén visszaadja a Galilei-féle sebesség-transzformáció összefüggését.

v 2x

x1 v t1  v x1 1 2 c t1

v 2x

v1x  v  v 1  2 v1x c y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

x  f1 (t ),

48



A relativitáselmélet következményei

Egy mozgó rendszerben ugyanazon a helyen, de különböző időkben történő eseményeket a nyugvó megfigyelő különböző helyeken történő eseményeknek látja. 49




Egy mozgó rendszerben ugyanazon időben, de különböző helyeken történő eseményeket a nyugvó megfigyelő különböző időben történő eseményeknek látja. 50



A relativitáselmélet következményeinek szemléletes magyarázata (H. Minkowski)

Koordinátarendszer elforgatás a háromdimenziós térben.

51



A háromdimenziós tér A háromdimenziós térben a vektor mintájául a helyzetvektor szolgál. • Fizikai értelemben vektornak nevezünk minden olyan három komponenssel megadott mennyiséget, amelynek komponensei a koordinátarendszer elforgatásakor úgy transzformálódnak, mint a helyzetvektor koordinátái. • A skaláris mennyiségek értéke nem függ a koordinátarendszer választástól.

s2  x 2  y 2  z2  x2  y2  z2  s2 Két pont távolságának négyzete invariáns a koordinátatranszformációval szemben. 52



A relativitáselmélet következményeinek magyarázata

Egy mozgó rendszerben ugyanazon a helyen, de különböző időkben történő eseményeket a nyugvó megfigyelő különböző helyeken történő eseményeknek látja.

53




Egy mozgó rendszerben ugyanazon időben, de különböző helyeken történő eseményeket a nyugvó megfigyelő különböző időben történő eseményeknek látja. 54



A négydimenziós téridő A Lorentz-transzformáció a térkoordináták mellett az időt is transzformálja. • Ezért egy esemény koordinátáinak a téridőben az (x, y, z, t) mennyiséget tekintjük. • Egy esemény a négydimenziós téridőben egy pontnak felel meg. Az esemény koordinátáit megadó négydimenziós mennyiség egy négydimenziós vektor, NÉGYESVEKTOR lesz.

55



Állapotváltozás a négyestérben

Állandó sebességgel mozgó test világvonala egyenes.

Azok az események, amelyeknek a világvonala párhuzamos az x tengellyel, azonos időben (de különböző helyeken) zajlanak le. 56



Négyes állapotvektor, invariáns intervallumnégyzet • A négyes állapotvektor komponensei a Lorentztranszformációval transzformálódnak. • Két esemény közötti „négydimenziós távolság” négyzete legyen invariáns a Lorentztranszformációval szemben. Bebizonyítható, hogy az (x1, y1, z1, t1) és az (x2, y2, z2, t2) eseményekre felírt y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

s  ct   x 2  y 2  z2 2

2

intervallumnégyzet vagy négyes-távolságnégyzet invariáns a Lorentz-transzformációval szemben.

57



A négyestér tartományai s2AB  0

s

2 AB

0

fényszerű

s2AB  0

s  ct   x  y  z 2

2

2

2

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

y  f 2 (t ),

z  f 3 (t ),

x  f1 (t ),

2

x  f1 (t ),

Meghatározzuk, hogy milyen az előjele egy vonatkoztatási esemény és a vizsgált tartományba eső eseményt összekötő intervallumnégyzetnek. 58



Tömegpont mozgása a négyestérben Tömegpont világvonala Még sohasem figyeltek meg olyan részecskét, ami a fény vákuumbeli sebességénél gyorsabban mozgott volna.

A tömegpontnak az időszerű téridő tartományba eső világvonalat kell követnie. 59



Az egymáshoz képest állandó sebességgel mozgó rendszerek ábrázolása négyestérben A t’ tengely helyzetének meghatározása Az x’ tengely helyzetét úgy kell megválasztani, hogy a fény világvonala ugyanaz maradjon, és érvényes legyen rá az x’=ct’ összefüggés.

60



Az időszerű téridő tartomány ct’

s2AB  0

x’

Ezekhez az eseményekhez lehet találni olyan, az eredetihez képest állandó sebességgel mozgó koordinátarendszert, amelyben az A és B esemény azonos helyen vannak, csak az időpontjuk más. 61



Az időszerű téridő tartomány

c2

 sAB 

s AB    c

ct 2  x 2  y 2  z2

ct 

2

 x  y  z c 2

2

2

Az események -val jelölt időbeli szeparációját sajátidőnek vagy lokális időnek nevezik. INVARIÁNS MENNYISÉG !!! 62



A makroszkopikus sajátidő Ha a tömegpont sebessége változik, a pillanatnyi sebességének megfelelően mindig más és más inerciarendszerben van nyugalomban. Elemi sajátidő B

c 2dt 2  dx2  dy2  dz2 ds d   c c

Az elemi sajátidő is invariáns. 63



A makroszkopikus sajátidő Elemi sajátidő c 2dt 2  dx2  dy2  dz2 ds d   c c

1 d  dt 1  2 c

 dx  2  dy  2  dz  2            dt   dt   dt  

Az invariáns makroszkópikus sajátidőt az elemi sajátidők összegzésével kapjuk.

d  dt 1 

B

   dt 1  A

2 v pill

c2

2 v pill (t)

c2 64



A relativisztikus dinamika alapjai Jellemezzük az m0 nyugalmi tömegű tömegpont mozgását egy új négyesvektorral:

m0 cdt, dx, dy, dz  d

m0 egy invariáns skalár d

  m0 v y  m0 c m0 v x m0 v z , , ,  2 2 2 2 v v v v  1  pill 1  pill 1  pill 1  pill  c2 c2 c2 c2 

      

d  dt 1 

2 v pill

c2

65



A relativisztikus impulzus és tömeg   m0 v y  m0 c m0 v x m0 v z , , ,  2 2 2 2 v v v v  1  pill 1  pill 1  pill 1  pill  c2 c2 c2 c2 

      

A fenti négyesvektor utolsó három komponense kis sebességekre (vpill <
p x  mvx

p y  mvy

pz  mvz 66



A relativisztikus impulzus és tömeg p x  mvx

p y  mvy

pz  mvz

A fenti négyesvektor utolsó három komponense kis sebességekre (vpill <
p

1

m0 v 1

v2 c

m

m0

2

v2 c2

Relativisztikus tömegnövekedés (több direkt kísérlet igazolta) 67



A Lorentz-transzformációval szemben invariáns mozgásegyenlet     dp d(mv ) d  m0 v  F    2  dt dt dt  v   1 2  c   Kis sebességekre visszakapjuk a mozgásegyenlet szokásos alakját. 68



Az energia a relativitáselméletben   m0 v y  m0 c m0 v x m0 v z , , ,  2 2 2 2 v v v v  1  pill 1  pill 1  pill 1  pill  2 2 2 2 c c c c 

      

Mi lehet a szerepe? 69



Az energia a relativitáselméletben A munkatétel értelmében: 2

1 1 2 2 W12   Fdr  mv2  mv1  Em 2 2 1 Ha a tömegpontnak nincs helyzeti energiája

W12  E Teljes energia változás

2

2

1

1

W12   Fdr  

dp dt

2

dr   v(p)dp 1

70



Az energia a relativitáselméletben 2

2

1

1

W12   Fdr   p

m0 v 1

v

2

c2

dp dt

2

dr   v(p)dp 1

v(p) 

cp m02c 2  p2

W12  c m02c 2  p22  c m02c 2  p12 71



Az energia a relativitáselméletben W12  c m c  p  c m c  p 2 2 0

2 2

2 2 0

2 1

Ez azt jelenti, hogy ha nincs helyzeti energia, akkor a munkatétel alapján az energiának az alábbi kifejezés felel meg:

E(p)  c m02c 2  p2

E( v )

m0 c 2 1

v2 c2 72



Az energia a relativitáselméletben E( v ) 

m0 c 1

E  mc2

2

v

2

c

2

E1  m1c 2 E2  m2c 2

E  mc

2

Egy rendszerben az energia és a tömeg változása mindig együtt jár, egymással arányosan történik. 73



Az energia a relativitáselméletben E( v ) 

m0 c 1

v  c esetén

2

v2 c2

1 E( v )  m0c  m0 v 2 2 2

E(v) megváltozása a klasszikus mozgási energia megváltozásával egyenlő. 74



A nyugalmi energia és a tömeghiány 1 E( v )  m0c  m0 v 2 2 2

A relativitáselméletben a klasszikus mozgási energiának megfelelő kifejezés:

Em  mc2  m0c 2 E0  m0c 2

E  Em  m0c

2

Nyugalmi energia

A tapasztalatok alapján a nyugalmi energia részben vagy egészben át tud alakulni másfajta energiává. 75



Ajánlott irodalom Gamow – Cleveland: FIZIKA, Gondolat, Budapest, 1977. Orear: MODERN FIZIKA, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1971. Taylor – Wheeler: TÉRIDŐ – FIZIKA, Gondolat, Budapest, 1974. Norwood: SZÁZADUNK FIZIKÁJA, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981.

Feynman: HAT MAJDNEM KÖNNYŰ ELŐADÁS, Akkord Kiadó, 2004. Holics: FIZIKA, Műszaki Kiadó, Budapest, 1992.

76

Relativitáselmélet. Giczi Ferenc SZE, Fizika és Kémia Tanszék 2005

Recommend Documents