Fizika 1i 1.előadás
Fizika Tsz. 3 h előadás + 1 h gyakorlat
Miért éppen fizika Fizikai kutatások
?
Alkalmazások
Számítógépes hálózat
Internet (www. )
Tranzisztor
Félvezető elektronika
Nemlin. Egyenletek (áramlástan)
Számítógép
GPS (atomóra, rel. elm.)
Helymeghatározás
40%
Miért éppen fizika
?
Fizikai kutatások
Alkalmazások
CT (NMR)
Gyógyászat, rákdiagnosztika
Holográfia
3D képalkotás, 3D TV bankkártya, stb.
Anyagtudomány
Új anyagok, DNS
Miért éppen fizika Káosz elmélet
Modell
?
Miért éppen fizika
?
Mert érdekes !!!
Miért éppen fizika
?
Mert izgalmas a jövő Kvantumszámítógép
Nanofizika
Nagy számolási sebesség RSA kód feltörése, stb.
Láthatatlan repülőgép Öntisztuló ruha "Öngyógyuló" számítógép
Robot kutya Youtube: robot dog boston dynamics
https://youtu.be/M8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematikából???
Vektorgeometria
Emlékeztető I. Vektorok r b
r a
r v a+b
r b
r c
r r r r a+b = b+a
r b
r a
r a
r a
Vektorok összeadása: r b
r a r b
r b
r r r a+b+c
r c
r λb r -b
Vektor(ok) kivonása
r v a −b =?
r b
r a
r r r r a − b = a + (-b) v r a + ( − b)
r -b r a
r r a −b r b
r a
r r a −b r b
r a
r r b−a r b
Konponensek és egységvektorok y r r r r = rx i + ry j ry
r j
r i
Θ
r r rx
r r = r = rx2 + ry2
ry tanΘ = rx Descartes koordináták: rx & ry x r r i = j =1
Polár koordináták : r & Θ
rx = r ⋅ cos Θ
r r = (rx , ry )
ry = r ⋅ sin Θ
r r = ( r , Θ)
Elemi vektoralgebra r r r a = ax i + ay j
r r a+b=?
r r r b = bx i + by j
r r r r r a + b = (a x + b x ) i + (a y + b y ) j = d
dx
dy r r r r r a − b = (a x − b x ) i + (a y − b y ) j = c
cx
cy
r r r r r a + b + c + ... = (a x + b x + c x + ...) i + (a y + b y + c y + ...) j
Skalárszorzat r a
ϕ
r b
Def.:
r r r r a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ
r r r r i ⋅ i = j⋅ j =1
r r r a = ax i + ay j
r r r b = bx i + by j
és
r r i⋅j=0 r r a ⋅b = ?
r r a ⋅ b = a x b x + a yb y + a zbz
r r a ⋅b cos ϕ = r r a⋅b
Példa: munka r r W = F⋅ s Szuperpozíció
Vektoriális szorzat
r r r r a × b = a ⋅ b sin γ
r r r r r r i × j = k és j × k = i r r r r r r r r r és k × i = j , de: i × i = j × j = k × k = 0 Példa: forgatónyomaték Jobbkéz-szabály:
r r r M = r ×F
Vektoriális szorzat kiszámítása
r i
r r a × b = ax bx
(
r j
r k az = ? bz
ay by
)
(
)
r r r r r a × b = a y b z − a z b y ⋅ i + (a z b x − a x b z ) ⋅ j + a x b y − a y b x ⋅ k
Szuperpozíció
II. Trigonometria
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin( 2α) = 2 sin α cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β +
2
2
cos(2α) = cos α − sin α
H.F.:
tgα + tgβ tg (α + β) = 1 −+ tgαtgβ 2
tg (2α) = ? cos(3α) = ? α cos = ? 2
2
sin α + cos α = 1 Jó tudni: ……..
MATEMATIKA BEVEZETŐ 1. Differenciálszámítás
Miért hasznos a differenciálszámítás? Példa:
Sebesség = út/idő
Átlagsebesség
Pillanatnyi sebesség
s
Út-idő mérése diszkrét pontokban Mekkora az átlagsebesség a 3. és a 4. s között?
Mekkora az átlagsebesség a 3. és az 5. s között? s=16m s=7m
Geometriai jelentés:
α t=1s t=2s
A sebesség a vízszintessel bezárt szög tangensét, a meredekséget mutatja meg.
t
Az út és idő között ismert a függvénykapcsolat példa:
1 D mozgás 0
X(t)
x
x A sebesség még mindig átlagsebesség (a szelő meredeksége), a kifejezés a differenciahányados.
x(t2)
Ha t2 nagyon megközelíti t1-et (t2 = t1 + Δt, és Δt → 0 ) a differenciahányados határértéke a differenciálhányados, a derivált:
x(t1)
x(t + ∆t ) − x(t ) dx v(t ) = ∆lim = t →0 ∆t dt t1 t2
t
amely megmutatja a pillanatnyi sebességet (az érintő meredekségét) t1-ben.
A differenciálás (deriválás) alkalmazása Határozzuk meg az y=x2 függvény grafikonjának meredekségét x=3 pontban f(x)=x2 Képezzük a függvény deriváltfüggvényét vagy deriváltját f(x)=x2
f’(x)=2x
Helyettesítsük be az érintési pont x koordinátáját f’(x=3)=2•3=6 Az f(x)=x2 függvény grafikonjának meredeksége az x=3 helyen 6. tgα=6
Deriválási szabályok
(e ) = ex x ′
Összetett függvény f(g(x)) f=sin(x)
g=3x2
f(g(x))=sin(3x2) Összetett függvény deriválása (f(g(x)))’=f’(g(x))•g’(x) Példa : (sin(3x2))’=cos(3x2)•6x
Második derivált Példa:
f(x)=5x3 f’(x)=5·3x2=15x2 1 D mozgás
f’’(x)=15·2x=30x 0
Alkalmazás (pl):
X(t)
x
x(t)=5t3
F=m·a
F kiszámítható
Szélsőérték meghatározása Példa:
f(x)=2x3-21x2+60x+3 Hol van az f(x) fv. szélsőértéke?
f(x) függvény szélsőértéke ott található, ahol f’(x)=0 f’(x)=6x2-42x+60 6x2-42x+60=0
x1=5, x2=2
Minimum vagy maximum? f’(x)=6x2-42x+60 f”(5)=18
Minimum!
f’’(x)=12x-42 f”(2)=-18
Maximum!
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokásos jelölés az idő szerinti deriváltra dx v= = x& dt 2
dv d x a= = v& = = &x& 2 dt dt 3D-ben:
r r d r r& v= =r dt r 2r r dv r& d r &r& a= =v= =r 2 dt dt
Taylor-sor f ′′(a ) f(x) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + ( x − a ) 2 + ... 2!
x2 + ... cos( x ) = 1 − 2! x3 + ... sin( x ) = x − 3! 2
x + ... e = 1+ x + 2! x
2. Integrálszámítás
CÉL: Görbe alatti terület meghatározása
x1
x2
x1
x2
Példa: F
F
s W=Fs
t v
I=Ft
s=vt
t
Alsó-felső közelítő összeg
S(f)
s(f) s(f) < S(f)
Minél finomabb a beosztás, az alsó és a felső közelítő összeg értéke annál inkább megközelíti egymást
Integrál Ha a beosztás minden határon túl finomodik , akkor s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
a
b
Az integrál kiszámítása Newton-Leibniz tétel Ha létezik F(x), úgy, hogy F’(x)=f(x) F(x) az f(x)függvény primitív függvénye: F( x ) =
∫
f ( x )dx
(Határozatlan integrál)
A primitív függvény segítségével a határozott integrál kiszámítható
Példa:
f(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x3/3 Ellenőrzés: (F(x))’=f(x)
=(2)3/3-(1)3/3=7/3=2,33
Integrálási szabályok – Primitív függvény
Primitív függvény meghatározása
Példa:
∫sin5(x)cos(x)dx
∫sin(3x+5)dx
∫sin(x5)x4dx
H. F.
Parciális integrálás
Példa:
Példa2:
H. F.
Példák
Kinematika
A kinematika alapjai A tömegpont helyének megadása az idő függvényében r r (t )
Tömegpont helyzete : Elmozdulás: Megtett út:
r r r ∆r = r (t2 ) − r (t1 )
s=
∑
r Δ ri
i Kinematika → tömegpont helyzete → pl. tenisz: "challange" Apophis kisbolygó ?
Legegyszerűbb modell: 1 D - mozgás
0
x(t)
x
x,s,d: [m] t: [s]
Definíciók:
sössz . vátl . = tössz .
Átlagsebesség:
Pillanatnyi sebesség:
Elmozdulás:
Mértékegység: m/s
x(t + ∆t ) − x(t ) dx v(t ) = ∆lim = t →0 ∆t dt t2
x(t 2) − x(t1) =
∫
v(t)dt =
∑
t1
Pozíció:
x(t) = x 0 +
v = 72 km/h = 20 m/s
pontosabban: később
elmozdulás
i
vi Δt i
Legegyszerűbb mozgás: egyenesvonalú egyenletes mozgás
v = const.
x x(t)
x(t) - x o v= t xo t
x(t) = x o + v ⋅ t s v= t
v(t)
s = v⋅t
v
s = v⋅t t
t
GPS
Egy egyszerű feladat: Átlagsebesség (láttuk):
vátl . =
sössz . tössz .
B
A
s Average velocity:
elmozdulás x(t2 ) − x(t1 ) = idő t2 − t1
Average speed:
sössz . vátl . = tössz .
Egy paradoxon: Achilleus és a teknősbéka Achilleus nem éri utol a teknősbékát, mert mire odaér, ahol a teknősbéka volt eredetileg, addig a teknős előbbre jutott, és így tovább …. x(t)
t t !!! Megoldás: Achilleus nem éri utol a teknősbékát, amíg nem éri utol a teknősbékát !!! Hol a hiba???
Hosszúság és időegység A másodperc: A másodpercet eredetileg az átlagos Nap-nap segítségével lehetett meghatározni, annak 1/86400-ad része. Atomóra: nagy pontosság 1ms / év vagy jobb A másodperc az alapállapotú cézium-133 atom két hiperfinom energiaszintje közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9192631770 periódusának időtartama.
A méter: 1 méter a Föld kerületének (a Párizson átmenő délkörnek) 1/40000000-od része → ősméter 1 méter: Kr86 narancssárga spektrumvonalának 1650763.73 - szorosa Pontosabb definíció: jegyzet
Gyorsulás v ≠ const. ⇒ v = v(t) Def.
átlagos gyorsulás:
aátl. =
Δv v(t2 )-v(t1 ) = Δt t2 -t1
m s 2
v(t) Def.
pillanatnyi gyorsulás:
v(t + ∆t ) − v(t ) dv a(t ) = ∆t →0 = Δt dt lim
v( t ) =
∑
a i ∆t i + v 0
i
x(t) =
∑ i
v i ∆t i + x 0
aátl. = tgα v(t2)
α ∆t
v(t1)
t1
∆v
t2
t
Mozgás állandó gyorsulással a = const. v(t) v(t)-vo a= t
v(t) = vo + a ⋅ t
a>0
v(t) vo
t
a<0
t
Elmozdulás és pozíció v
vo
1 2 s = vo ⋅ t + at Elmozdulás: 2 ∆v=at 1 2 t t τ′ at 2 Láttuk: x (t ) = ∫ v (τ )dτ + x0 = ∫ ∫ a (τ ) dτ dτ ′ + v0t + x0 0 0 0 vo ⋅ t 1 2 t Pozíció: x(t ) = xo + vo ⋅ t + at t 2 Feladatmegoldáshoz hasznos formulák
v v2
v
a = const.
v
a = const. v0 = 0
v
v1
v0
t t s=
v1 + v2 v −v t= 2 1 2 2a 2
2
a = const. v1 = v0 v2 = 0
t
1 2 vt v 2 s = at = = 2 2 2a
t
t
1 2 v0t v02 s = at = = 2 2 2a
Szabadesés g = 9.81 m/s2 ≈ 10 m/s2
Mintapéldák: …
2. e.a. : 2D és 3D mozgás + koordinátarendszerek
2D és 3D mozgás r ∆r r Átlagsebesség (vektor): vátl . = ∆t
Átlagsebesség:
vátl . =
sössz . tössz .
r dr r Pillanatnyi sebesség: v (t ) = dt Mivel:
elmozdulás r vátl . = idő
r r dr = drut
r ut : érintő irányú egységvektor
r dr r dut r v (t ) = ut + r dt dt r vt
?
r v
y
Polárkoordináták: r, ϕ (síkbeli)
r r
r eϕ
r deϕ
r er
ϕ
r r r = rer r r r r& = r&er + re&r r r r r v = r& = r&er + rϕ&eϕ
r vt r vr x
r vr
r vt
r r r r r r r a = v& = &r&er + r&e&r + r&ϕ&eϕ + rϕ&&eϕ + rϕ&e&ϕ r eϕ (t ) r er (t + dt ) dϕ r er (t )
r eϕ (t + dt )
r r e&r = ϕ&eϕ
r r e&ϕ = −ϕ&er
r der r r 2 r ( ) a = (&r& − rϕ& )er + 2r&ϕ& + rϕ&& eϕ
A tömegpont helyzete:
t r r r r (t ) = ∫ v (τ )dτ + r0 0 t
A tömegpont által megtett út:
s = ∫ v(τ )dτ 0
A tömegpont gyorsulása: (egyszerűen)
dut vdt dut v ⇒ = r = ut R dt R r r v2 r a = v&ut + n R at
acp
r r dv d r r r a= = (vut ) = v&ut + vu&t dt dt
r a
r at r a cp
r v(t)
r r r a = acp + at v csökken:
∆v ahol a t = lim ∆t →0 ∆t r acp
at 〈 0
v ≠ const
R
r v(t) r a v növekszik:
a = acp2 + at2
r at r a cp
at 〉 0
R
r at
Egy speciális eset:
r a = const.
1r 2 r r r r (t) = ro + vo ⋅ t + a ⋅ t 2
1 x(t) = xo + vo x ⋅ t + ax t 2 2
r r r v (t) = vo + a ⋅ t
Vízszintes mozgás
vx(t) = vox + ax ⋅ t
1 y(t) = yo + vo y ⋅ t + a y t 2 2 v y(t) = voy + a y ⋅ t
Függőleges mozgás
Hajítás
függőleges mozgás
vox = vo cos Θ
1 y(t) = yo + voy t + a y t 2 2 yo = y f = 0
voy = vo sin Θ voy t=2 g vo2 s = sin ( 2Θ) g
r vo r v oy
1 0 = voy t + a y t 2 2
Θ r v ox
s
2voy 2vo sin Θ t=− = ay g
vízszintes elmozdulás x(t) = voxt = vo cos Θt 2vo sin Θ s = voxt = vo cos Θt = vo cos Θ ⋅ g
A nagy Bertha és tsi
vo = 1700 m/s θ = 55° s=? h=?
Egy jó stratégia a hógolyócsatához / avagy hogyan lehet a lányokat (fiúkat) hógolyóval eltalálni / Tudjuk (alg.):
sin α = sin (π − α ) vo2 s = sin ( 2Θ) g
sin(2Θ) = sin (π − 2Θ ) = sin (2β )
β=
π 2
−Θ
Egy újabb példa / avagy miért építették a várakat hegytetőre /
1. megoldás: ax, ay 2. megoldás: y(x)
Ciklois görbe
x(t) = ? y(t) = ?
Koordináta rendszerek Descartes-féle koordináta rendszer
r r r r r = xi + yj + zk = ( x, y, z ) r r r r& r r = v = x&i + y& j + z&k r r r r&& r& r r = v = a = &x&i + &y&j + &z&k z Henger koordináta rendszer
r r = (r ,ϕ , z ) r r r r = ρeρ + zk r r& r r r r = v = ρ&eρ + ρϕ&eϕ + z&k r &rr& = vr& = ar = (...)erρ + (...)erϕ + &z&k Síkbeli polár
r r
z
ϕ x
ρ
y
z
Gömbi koordinátarendszer
r eϕ
r r = ( r , ϕ ,θ ) r r r = rer
r r
θ
r r r r r r& = v = r&er + r sin θϕ&eϕ + rθ&eθ
ϕ &rr& = vr& = ar = H .F .
Segítség:
?
r eθ
r er
x
r r r r er = sin Θ cos ϕi + sin Θ sin ϕj + cos(Θ)k r r r eϕ = − sin ϕi + cos ϕj r r r r eΘ = cos Θ cos ϕi + cos Θ sin ϕj − sin Θk
y
Kinematika → dinamika Kepler törvények (Tycho de Brahe)
1. Nap
A2 2. A1
A1 = A2 Nap
T2 = const. 3 a
2a 3. Nap
