Fizika ´es Fizika I. sz´amol´asi gyakorlat seg´edlete ´ ad Horv´ath Arp´ 2016. ´aprilis 20. A seg´edlet a Villamosm´ern¨ok, M˝ uszaki Informatika ´es M˝ uszaki menedzser szakok Fizika I. illetve Fizika t´argy´ahoz tartoz´o tantermi gyakorlathoz k´esz¨ ult. A zh-ban az ´or´an vett ´es a h´azi feladatnak kiadott feladatokhoz hasonl´o t´ıpus´ u feladatok szerepelnek majd. A szorgalmi feladatok alaposabb elm´ely¨ ul´esre k´esz¨ uletek ´es pluszpontsz´amok szerz´es´evel j´arhatnak. A 284/6. alak´ u feladatsorsz´amok a L¨ok¨os–Mayer–Sebesty´en–T´othn´e f´ele ´ Kand´os Fizika p´eldat´arra, a 38C-28 t´ıpus´ uak a Hudson–Nelson: Utban a modern fizik´ahoz p´eld´aira utalnak. A fizika honlap: http://www.roik.bmf.hu/fizika Moodle oldal: https://elearning.bmf.hu Bel´ep´es NEPTUN-azonos´ıt´oval ´es -jelsz´oval. A t´argy a Keleti Karn´al tal´alhat´o meg.
1. Kinematika alapjai 1.1. H´ azi feladatok 1.1. feladat: {18/9.} Egy test gyorsul´as-id˝o f¨ uggv´enye a(t) = 5t + 2, kezdetben 5 ms a sebess´ege ´es 20 m´etern´el van. ´Irjuk fel a v(t) ´es x(t) f¨ uggv´enyeket ´es mindh´arom f¨ uggv´eny (a, v, x) ´ert´ek´et 10 m´asodpercn´el. 1.2. feladat: {18/10. (b˝ov´ıtett)} A test hely–id˝o f¨ uggv´enye x = A + Bt + Ct2 + Dt3 , ahol C=0,14
m , s2
D=0,01
m . s3
a) ´Irjuk fel a sebess´eg–id˝o ´es gyorsul´as–id˝o f¨ uggv´enyt! b) A mozg´as kezdete ut´an mennyi id˝ovel lesz a test gyorsul´asa 1 m/s2 ? (12 s) c) Mekkora az a´tlagos gyorsul´as a kezdett˝ol eddig a pillanatig? (0,64 m/s2 ) 1
1.3. feladat: {19/17. (b˝ov´ıtett)} Egy k¨ovet kiejtenek egy l´egg¨omb kosar´ab´ol 300 m magass´agban. Mennyi id˝o alatt ´er f¨oldet a k˝o, ha a l´egg¨omb a) 5 ms sebess´eggel emelkedik
(8,6 s)
ullyed b) 5 ms sebess´eggel s¨
(7,26 s)
c) egyhelyben a´ll.
(7,76 s)
d) Els˝o esetben mennyi ideig, ´es milyen magasra emelkedik?
(0,5 s, 1,25 m)
A l´egellen´all´as elhanyagolhat´o.
2. Dinamika = Kinetika ´ 2.1. Orai feladatok 2.1. feladat: {} Mekkora gyorsul´as sz´armazik a F¨old kering´es´eb˝ol? A f¨oldp´alya k¨ornek tekinthet˝o, melynek sugara 150 milli´o km. H´anyadr´esze ez a gravit´aci´os gyorsul´asnak? (acp = 0, 00595 m/s, 1680-ad r´esze)
2.2. H´ azi feladatok 2.2. feladat: {35/1.} Egy 1 kg t¨omeg˝ u testet 20 N a´lland´o er˝ovel emel¨ unk. Mekkora a test gyorsul´asa? 2.3. feladat: {35/2.} Egy 200 kg t¨omeg˝ u testet 5 s alatt 8 m magasra kell emelni. Az u ´t els˝o fel´eben a mozg´as egyenletesen gyorsul´o, a m´asodik fel´eben egyenletesen lassul´o. (A gyorsul´as nagys´aga a mozg´as mindk´et szakasz´aban megegyezik ´es a test nulla v´egsebess´eget ´er el.) Mekkora emel˝oer˝o sz¨ uks´eges az egyes szakaszokban? (2256 N; 1744 N) 2.4. feladat: {21/25.} Mekkora gyorsul´as sz´armazik az egyenl´ıt˝on a F¨old forg´as´ab´ol? A F¨old sugara 6370 kilom´eter. (A peri´odusid˝ot ismerj¨ uk.) H´anyadr´esze ez a gravit´aci´os gyorsul´asnak? (acp = 0, 034 m/s, 294-ed r´esze) 2.5. feladat: {} Szorgalmi: Mekkora a gyorsul´as az egyenl´ıt˝o helyett n´alunk a ϕ = 47o sz´eless´egen. 2
3. Ferde haj´ıt´ as, mechanikai energia megmarad´ asa ´ 3.1. Orai feladatok 3.1. feladat: {19/18.} 25 m magas toronyb´ol vizszintesen 15 m/s sebess´eggel a´gy´ ugoly´ot l˝onek ki. a) Mennyi ideig tart a k˝o mozg´asa? ´ a b) Mekkora a t´avols´ag a torony alja ´es a becsap´od´as helye k¨oz¨ott? (Es kil¨ov´es pontja ´es a becsap´od´as pontja k¨oz¨ott?) c) Mekkora sebess´eggel csap´odik a f¨oldbe? d) A k˝o f¨oldet´er´esekor milyen a sebess´eg ir´anya? (vizszintessel bez´art sz¨og) A l´egellen´all´as elhanyagolhat´o ´es a terep vizszintes . . .
3.2. feladat: {20/20.} Egy gyerek a v´ızszinteshez k´epes 70o -os sz¨og alatt felhaj´ıt egy labd´at, amely a vizszintes ir´anyban ´eppen be tud rep¨ ulni a gyerek v´alla felett 10 m magasan lev˝o ablakon. Mekkora sebess´eggel hagyta el a labda a gyerek kez´et? Mekkora volt a p´aly´aly´anak a g¨orb¨ uleti sugara, amikor az ablakon berep¨ ult? (15,05 m/s, 2,65 m)
3.2. H´ azi feladatok 3.3. feladat: {21/23. (b˝ov´ıtett)} Milyen t´avols´agra rep¨ ul a s´ ulygoly´o, o ha a s´ ulydob´o a goly´ot a f¨old felett 2 m magass´agb´ol 45 -os sz¨og alatt l¨oki m el 12 s kezd˝osebess´eggel? Mekkora sebess´eggel ´er f¨oldet? Milyen magasra sz´all? 3
4. Numerikus ´ es analitikus megold´ as 4.1. H´ azi feladatok 4.1. feladat: {} Hat´arozzuk meg az es´est k¨ozegellen´all´as mellett 4 l´ep´esig, ha N , ∆t = 0,1 ! m=2 kg, k = 2 m/s
4.2. feladat: {} Szorgalmi feladat: program/t´abl´azat ´ır´asa, amely numerikus m´odon sz´amol mozg´ast az al´abbi er˝ot¨orv´enyekkel. El˝ony, ha a mozg´ast anim´alja vagy/´es grafikonon a´br´azolja, illetve ha webes alkalmaz´ask´ent (CGI, flash, java) fut. Excel t´abl´azat is sz´oba j¨ohet.
Er˝ot¨orv´enyek a numerikus megold´asokhoz: harm´onikus rezg´es F = −Dx csillap´ıtott rezg´es - k¨ozegellen´all´assal F = −Dx − kv - surl´od´assal F = −Dx ± µFny (sebess´eggel ellent´etes) szabades´es F = mg es´es k¨ozegellen´all´assal F = mg − kv landol´as F = mg − Frak´eta (t)
4.3. feladat: {} Szorgalmi feladat: program, amely egy/t¨obb ´egitest k¨or¨ uli kering´est sz´amol numerikusan. 4
5. Forg´ omozg´ as 5.1. A mozg´ ast´ıpusok ¨ osszehasonl´ıt´ asa halad´ o s(t) ill. x(t) . . . elmozdul´ as dx vx (t) = ... dt sebess´egkomponens
forg´ o ϕ(t) sz¨ ogelfordul´as dϕ ω(t) = dt sz¨ ogsebess´eg
dv ax (t) = ... dt
dω β(t) = dt
gyorsul´ askomponens
sz¨ oggyorsul´as
k¨ or (a forg´o egy pontja) s=ϕ·r vker¨uleti = ω · r a´erint˝oir´any´u = β · r v2 acp = ker¨uleti r q a = a´e2rint˝oir´any´u + a2cp
m Θ t¨omeg tehetelens´egi nyomat´ek ~ ~ F M er˝o forgat´onyomat´ek ~ ~ = Θβ~ F = m~a M dinamika alapt¨ orv´enye forg´ omozg´as alapt¨orv´enye 1 1 Em = mv 2 Em = Θω 2 2 2 mozg´ asi energia ~ = Θ~ p~ = mv L ω lend¨ ulet perd¨ ulet (=impulzus) (=impulzusmomentum) ~ i =´alland´o Σ~ pi =´ alland´ o ΣL ha a k¨ uls˝ o er˝ ok ha a k¨ uls˝o ered˝ok ered˝ oje nulla ered˝ o nyomat´eka nulla lend¨ uletmegmarad´ as perd¨ uletmegmarad´as
5.2. H´ azi feladatok 5.1. feladat: {68/2.} Mekkora sz¨ogsebess´eget ´er el egy 20 kg t¨omeg˝ u, 60 cm a´tm´er˝oj˝ u lend´ıt˝oker´ek, amelyre 12 m´asodpercig 6 Nm forgart´onyomat´ek hat? (20 1/s) 5.2. feladat: {68/3.} 50 kg t¨omeg˝ u 50 cm sugar´ u korong 10 1/s sz¨ogsebess´eggel forog. Mekkora sug´arir´any´ u F el˝ovel lehet a korongot 20 s alatt lef´ekezni µ = 0, 5 s´ url´od´asi egy¨ utthat´o eset´en? 5.3. feladat: {61/1. (kidolgozott)} Az R sugar´ u, m t¨omeg˝ u korongot, r sugar´ u t´arcsa ker¨ ulet´ere csavart fon´allal fozzuk forg´asba u ´gy, hogy a fonal szabad v´eg´ere m1 t¨omeg˝ u testet f¨ uggeszt¨ unk. Milyen sz¨oggyorsul´assal forog a 5
korong? (A fon´al ny´ ujthatatlan ´es elhanyagolhat´o t¨omeg˝ u, a t´arcsa t¨omeg´et˝ol ´es s´ url´od´as´at´ol eltekint¨ unk . . . )
A k¨onyvben a sz¨oggyorsul´as jele ε, mi gyakorlaton az β jel¨ol´est haszn´ajuk, ami a k¨oz´episkol´aban megszokott.
5.4. feladat: {61/2. (kidolgozott)} Az R sugar´ u, m t¨omeg˝ u korong vizszintes tengely k¨or¨ ul s´ url´od´as n´elk¨ ul foroghat. A korong ker¨ ulet´en ´atvetett fon´al egyik v´eg´ere m1 , a m´asik v´eg´ere m2 (< m1 ) t¨omeg˝ u testet f¨ uggeszt¨ unk. Mekkora a korong sz¨oggyorsul´asa?
5.5. feladat: {} Szorgalmi: Vezess¨ uk le a henger tehetelens´egi nyomat´ek´at! 6
6. Relativit´ aselm´ elet 6.1. H´ azi feladatok 6.1. feladat: {86/1.} Sz´am´ıtsuk ki, mekkora az elektron ,,mozg´asi t¨omege” ´es mozg´asi energi´aja, ha v = 5 · 107 m/s, illetve ha v = 2, 4 · 108 m/s sebess´eggel mozog. H´any sz´azal´ekkal nagyobbak az ´ert´ekek a klasszikusan sz´amoltakhoz viszony´ıtva? (Az elektron nyugalmi t¨omege 9, 1 · 10−31 kg.) 6.2. feladat: {} Egy proton mozg´asi t¨omege a nyugalminak k´etszerese. (1, 512 · 10−10 J)
a) Mekkora a mozg´asi energi´aja? b) Mekkora fesz¨ ults´eg gyors´ıtotta?
(945 milli´o V)
c) Mekkora a sebess´ege?
(a f´enysebess´eg 87 %-a)
6.3. feladat: {90/10.} Egy atomer˝om˝ u teljes´ıtm´enye 1 MW (megawatt). Mennyivel cs¨okken egy ´ev alatt a f˝ ut˝oanyag t¨omege? ˝ 0,8c 6.4. feladat: {} A 20 ´eves u ˝rutaz´o ikertestv´ere a F¨old¨on marad, O sebess´eggel a 20 f´eny´evre lev˝o csillaghoz utazik ´es vissza. Mekkora lesz a koruk, amikor vissza´er? Megold´ as: 70 illetve 50 ´ev. 6.5. feladat: {} A m¨ uon nev˝ u r´eszecske 1,5 µs felez´esi id˝ovel bomlik. A l´egk¨orben nagyj´ab´ol 60 km magass´agban keletkeznek, amikor egy vil´ag˝ urb˝ol j¨ov˝o r´eszecske bele¨ utk¨ozik a l´egk¨orbe. (a) A sebess´eg¨ uk a f´enysebess´eghez nagyon k¨ozeli. Mekkora r´esz¨ uk maradna meg, ha nem lenn´enek a relativisztikus k´eplettel sz´amoln´ank? (b) A sebess´eg¨ uk pontosabban v = (1 − 2, 5 · 10−4 )c. Mekkora ideig tart a saj´atidej¨ ukben az u ´t a F¨old felsz´ın´eig? (c) Milyen hossz´ u a m¨ uon rendszer´eb˝ol n´ezve ez a 60 km-es u ´t? Megold´ as: (a) F´enysebess´eggel a 60 km ∆t0 = 2 · 10−4 s ideig tart, ami a felez´esi id˝onek 133-szorosa. A r´eszecsk´eknek teh´at ennyiedr´esze maradna meg: 1 ≈ 10−40 2 Ezen nem sokat v´altoztat, hogyha a p (b) r´eszben megismert sebess´eggel sz´amolunk. (b) A gy¨ok¨os kifejez´es ´ert´eke 2, 5 · 10−4 = 0, 0158. A m¨ uon rend−6 szer´eben az u ´t ∆t = 3, 162 · 10 s id˝otartam´ u. 0 (c) A m¨ uon rendszer´eben az u ´t ∆x = 0, 948 km hossz´ u. (Ez a felez´esi id˝onek csak nagyjb´ol dupl´aja, azaz nagyj´ab´ol csak k´etszer felez˝odik a m¨ uonok sz´ama.) 6.6. feladat: {} A boszork´any sepr˝ uje a saj´at rendszer´eben 20 m´eter hossz´ u. Amikor a boszork´any v = 0, 9c sebess´eggel halad a f¨oldh¨oz k´epest, 7
mekkora lesz a s¨opr˝ u hossza a f¨old rendszer´eben? Mekkora lesz a boszork´any sz´am´ara a f¨old¨on l´ev˝o 10 m´eter hossz´ u alag´ ut? Belef´er-e a s¨opr˝ u? Hogyan ´ertelmezhet˝o a jelens´eg a boszork´any rendszer´eben?
7. Optika ´ 7.1. Orai feladatok 7.1. feladat: {} A t¨or´es t¨orv´eny´enek levezet´ese a Fermat-elvb˝ol; t¨or´esmutat´o, teljes visszaver˝od´es sz´armaztat´asa. 7.2. feladat: {} A teljes visszaver˝od´es hat´arsz¨oge vizben. Hogyan l´atjuk a v´ız feletti vil´agot? 7.3. feladat: {} Mekkora az α kritikus sz¨og, amelyn´el nagyobb sz¨ogek eset´en nincs teljes visszaver˝od´es a B pontn´al? A mag t¨or´esmutat´oja 1,54; a k¨openy´e 1,47. (26, 00 )
7.4. feladat: {} A mag t¨or´esmutat´oja 1,54; a k¨openy´e 1,47. A sz´al magja 50 µm ´atm´er˝oj˝ u (multim´odus´ u) u ¨veg. (a) Mennyi ideig tart a tengely ment´en halad´o sug´arnak v´egigjutni? (b) Mennyi ideig tart a tengellyel maxim´alis sz¨oget bez´ar´o sug´arnak v´egigjutni? (c) Adjunk nagys´agrendi becsl´est, mekkora frekvenci´an´al van az a´tvitel fels˝o korl´atja? (d) Milyen m´odszerekkel n¨ovelhetj¨ uk a s´avsz´eless´eget?
7.2. H´ azi feladatok Lehet feladat zh-n a Fermat-elvb˝ol a f´enyvisszaver˝od´es ill. f´enyt¨or´es levezet´ese. 7.5. feladat: {} Mekkora a teljes visszaver˝od´es hat´arsz¨oge a gy´em´antban (a) ha leveg˝oben van, (b) ha v´ızben van. A gy´em´ant t¨or´esmutat´oja 2,42, a v´ız´e 1,33. 8
7.6. feladat: {} Egy leveg˝oben lev˝o kocka anyag´anak t¨or´esmutat´oja 1,4. Maximum fokos az a sz¨og, amely alatt bees˝o f´enysugarak az anyag hat´ar´an kifel´e (B pontn´al) teljes visszaver˝od´est szenvednek. (L´asd az a´br´at.)
7.7. feladat: {} 10 km-es optikai sz´alban a tengely ment´en 100 µs alatt ´er v´egig a f´eny. Mekkora a t¨or´esmutat´oja a magnak? (3/2) Mennyivel k´es˝obb ´er v´egig, ha β = 150 , ´es az egyik f´enysug´ar ebben az ir´anyban halad? Mekkora a k¨openy t¨or´esmutat´oja? Mekkora az α kritikus sz¨og, amelyn´el B pontban m´ar ´eppen teljes visszaver˝od´es van?
7.8. feladat: {} Szorgalmi feladatok: v´ekony ´es vastag lencs´ekkel kapcsolatos sz´am´ıt´asok illetve grafikus feladatmegold´as, lek´epez´esi hib´ak, t´avcs¨ovek k´epalkot´asa.
9
´ 8. Alland´ ok, egys´ egek f´enyebess´eg Planck-´ alland´ o reduk´ alt P.-´ a. elemi t¨ olt´es atomi t¨ omegegys´eg
c h h ¯ e u
≈ 3 · 108 m/s (pontosan 299792458 m/s) 6, 6262 · 10−34 Js 1, 054 · 10−34 Js = 6, 582 · 10−22 MeV · s 1, 60219 · 10−19 C 1, 66056 · 10−27 kg
1eV = 1, 60219 · 10−19 J 1eV/c2 = 1, 789 · 10−36 kg 1barn = 10−28 m2
9. R´ eszecsk´ ek n´ev elektron m¨ uon tau proton neutron pion π ± pion π 0 Z0 W±
t¨ omeg (kg) 9, 1095 · 10−31
1, 673 · 10−27 1, 673 · 10−27
t¨ omeg (MeV/c2 ) 0,511 105,66 1777 938,27 939,57 193,57 134,98 91188 ± 22 80419 ± 56
t¨olt´es (e) -1 -1 -1 1 0 ±1 0 0 ±1
´elettartam (s) ∞ 2, 197 · 10−6 291 · 10−15 ∞ 887 2, 603 · 10−8 8, 4 · 10−17
10. T¨ or´ esmutat´ ok v´ız ZnSiO4 (cirk´ onium) PbWO4 (´ olom volfram´ at)
1,33 1,9 2,3
u ¨veg GaAs BGO
10
1,4..1,8 3,5 2,20
gy´em´ant NaI(Tl) BaF2
2,4 1,85 1,56
