FIZIKA I Villamosságtan

FIZIKA I Villamosságtan Dr. Iványi Miklósné egyetemi tanár 8. óra Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

EA-VIII/1

10. Folytonossági feltételek-két mágneses anyag határfelületén r (a) A B mágneses indukció vektor viselkedése közeghatáron r r ∫ B ⋅ da = 0 a

− B1n a + B2 n a + Bn a palást = 0

ha m → 0, a1 = a2 = a , B2n − B1n = 0

B1n = B2n

µ1 H 1n = µ 2 H 2n

(i) a mágneses fluxussűrűség, a mágneses indukció vektor normális komponense folytonosan megy át két közeg határán,

(ii) ha

µ r 1 >> µ r 2

B1n << B2n

a ferromágneses anyag belsejében a mágneses indukció vektor normális komponense elhanyagolhatóan kicsi Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

EA-VIII/2

r (b) Az H mágneses térerősség viselkedése közeghatáron Gerjesztési törvény

r r r r ∫ H ⋅ dl = ∑ I = ∫ J ⋅ da l

a

− H 1τ l + H 2τ l + Hτ d = I n ha d → 0

− H 1τ l + H 2τ l + Hτ d = I n d →0

H 2τ − H 1τ = I n l = K n ha K n = 0 B1τ µ1 = B2τ µ 2

H 1τ = H 2τ

a határfelületen a H mágneses térerősség tangenciális komponense folytonos,

a B indukció vektor tangenciális komponensei a permeabilitások arányában ugrásszerűen változik

Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

EA-VIII/3

(c) Töréstörvények

H 1τ = H 2τ

H 2n

µ1 = H 1n µ2

B1n = B2n

µ1 tgα 1 H 1τ H 2n H 2n B2n µ1 = = = = tgα 2 H 1n H 2τ H 1n µ 2 B1n µ 2 tgα 1 B1τ B2n µ1 H 1τ µ1 = = = tgα 2 B1n B2τ µ 2 H 2τ µ 2

µ2 B2τ = B1τ µ1 tgα1 µ1 = tgα 2 µ 2

ha µ1 >> µ 2 , → tgα1 >> tgα 2


EA-VIII/4

(d) Következmények (i)

Mágneses és nem-mágneses magú egyenes tekercs (keresztirányú rétegezés)

B1n = B2n

µ1 H 1n = µ 2 H 2n nem-mágneses mag

ferromágneses mag

µ 0 µv >> µ0 H vn µ0 µv = H 0n µ0 H vn << H 0n


EA-VIII/5

(d) Következmények (ii) Mágneses és nem-mágneses magú egyenes tekercs (hosszirányú rétegezés) nem-mágneses mag ferromágneses mag

H 1τ = H 2τ

H vτ = H 0τ

µ 0 µv >> µ0 B1τ

µ1

=

B2τ

µ2

Bvτ >> B0τ


EA-VIII/6

11. Mágneses körök számítása (i) Térszámítással

(a) A gerjesztési törvény

r r ∫ H ⋅ dl = ∑ I l

Közepes erővonal hosszal számolva

H v l k + H 0δ = Ni (b) A fluxus törvényből

∑ H k l k = Ni k

r r ∫ B ⋅ da = 0

a

a szórástól eltekintve

Φ vas = Φ 0

avas = a0

Bv avas = B0a0 Bv = B0 Bv

µ0 µ r

lk +

B0

µ0

δ = Ni

N i µ0 µ r Bv = lk + µrδ

NΦ vas N 2 µ0 µ r a L= = i lk + µrδ


EA-VIII/7

(ii) Hálózati modellel

r r ∫ H ⋅ dl = ∑ I

A gerjesztési törvény Közepes erővonal hosszal számolva

l

∑ H k l k = Ni k

B l Φ Ni = ∑ H k l k = ∑ k l k = ∑ k l k = ∑ Φ k k = ∑ Φ k Rk ,mág ak µ k k k k ak µ k k µk k

U k ,mág = Φ k Rk ,mág Mintapélda

Rk , mág =

lk

ak µ k

mágneses Ohm törvény

Φ= Rm =

Um Rv + R0 lk a ⋅ mµ0 µv

R0 = Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

δ a ⋅ mµ0 EA-VIII/8

12. Mágneses tér energiája (i) L indukció együtthatójú tekercs energiája

1 W= Ψ I 2

Ψ =L I

1 W = L I2 2

(ii) Csatolt tekercsek energiája

Ψ1 = L11 I1 + L12 I 2 Ψ 2 = L22 I 2 + L12 I1 W=

1 (Ψ1 I1 +Ψ 2 I 2 ) 2

1 1 W = L11 I12 + L12 I1 I 2 + L22 I 22 2 2


EA-VIII/9

(iii) A mágneses tér energiasűrűsége

1 dW = Ψ I 2 r r I = ∫ H ⋅ dl

r r Ψ = ∫ B ⋅ da

l

a

1 rr r r dW = ∫ HB dv = ∫ w dv da ⋅ dl = dv v2 v 1 1 s r r r 1 rr r r dW = IΨ = ∫ H ⋅ dl ∫ B ⋅ da = ∫ ∫ HB da dl 2 2l 2la a a mágneses energiasűrűség

dW 1 r r ⎡ W ⎤ w = HB 3 ⎣⎢ m ⎥⎦ dv 2


EA-VIII/10

13. Mágneses erőhatás (i) I áramú vezető mágneses térben

A Lorentz erőtörvény felhasználásával a mágneses térbe helyezett elemi vezetődarabra ható erő

r r r r dl dQ r r dF = dQ v × B = dQ × B = dl × B = I dl × B dt dt a vezetőre ható erő

r r F = I l ×B

(ii) Következménye, párhúzamos áramvezetők között erőhatás lép fel

két párhúzamos, ellntétes áramirányú vezetők között taszítóerő lép fel két párhúzamos, azonos áramirányú vezetők között vonzóerő lép fel


EA-VIII/11

14. Belső indukció együttható számítása r2 1 rr 1 r2 1B w = HB = H µ = 2 2 2 µ 1 1 r2 2 W = Lb I = ∫ w dv = ∫ H µ dv 2 v v2 a vezető belsejében

r r ∫ H ⋅ dl = ∑ I l

I I H 2rπ = 2 r 2π H (r ) = r , 0 < r < r0 2 r0 π 2πr0 2

4 2 ⎛ I ⎞ r 1 1 1 I l 2 0 ⎟ ⎜ µ = L I r 2rπ l dr = W = ∫ π⎜ 2 r = 0 ⎝ 2πr02 ⎟⎠ 2 2πr04 4 2 b r0

dv = 2rπ l dr

maple

µl Lb = 8π


EA-VIII/12

Ellenőrző kérdések 1. Ismertesse a mágneses térjellemzőkre vonatkozó folytonossági feltételeket, 2. Ismertesse a mágneses közök számítási elveit, 3. Foglalja össze a mágneses tér energiájára és a mágneses térben fellépő erőhatásokra vonatkozó összefüggéseket.

Irodalom •Hevesi Imre, Elektromosságtan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1998. pp., •Litz József, Elektromosságtan és mágnességtan, Műszaki Könyvkiadó, 1998. pp., •Elmer György, www.morpheus.pte.hu Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

EA-VIII/13

Gyakorló feladatok 1. Egy µ r = 1500 relatív permeabilitású ferromágneses vasmag külső felületén B0 = 1,2 T mágneses indukciót mérünk. Hatásozza meg a vasmag belsejében a mágneses térerősség normális komponensének értékét. 2. Egy a = 24 cm 2 keresztmetszetű, l = 12 cm hosszúságú, N = 750 menetszámú egyenes tekercs µr = 2500 relatív permeabilitású ferromágneses vasmaggal rendelkezik. Határozza meg a tekercs fluxusát, ha I = 2,2 A árammal gerjesztjük. 3. Mekkora energiát tárol az L1 = 2 mH , L2 = 6 mH , L12 = 15 mH ön-, és kölcsönös indukció együtthatóval rendelkező csatolt tekercs amelyet I1 = 12 A , I 2 = 8 A árammal táplálunk. 4. Mekkora árammal tápláltuk azt az L = 8,6 mH önindukció együtthatójú tekercset, amely W = 12 mW mágneses energiát tárol. 5. Mekkora mágneses energiát tárol az a µ r = 12 000 mágneses permeabilitású anyag egységnyi térfogata, ha benne B = 1,8 T mágneses indukció van jelen. 6. Mekkora a mágneses fluxusa annak az L = 5 mH önindukció együtthatójú tekercsnek, amely W = 38 mW mágneses energiát tárol. 7. Mekkora erővel hat az I = 12 A áramú egyenes vezető l = 32 cm hosszú szakaszára a vezetőre merőleges B = 1,4 T indukciójú mágneses tér. 8. Egy toroid alakú, µ r = 12500 relatív permeabiltású vasmag közepes hossza l = 32 cm , keresztmetszete a = 2,6 cm 2 . Határozza meg, mekkora az indukció együtthatója a vasmagon elhelyezett N = 820 menetszámú tekercsnek. 9. Határozza meg mekkora a levegőben elhelyezett I = 6,2 A áramú egyenes vezetőre merőleges mágneses tér térerőssége, ha az egyenes vezető l = 12 cm hosszú szakaszára F = 0,016 N erő hat. 10. Határozza meg mekkora erő hat az I = 8,2 A áramú, egymással párhuzamos és azonos áramirányú két egyenes vezető l = 53 cm hosszúságú szakaszára, ha a vezetők távolsága d = 24 cm . 11. Határozza az erőhatást a fenti feladatban, ha a két vezetőben az áramok ellentétes irányúak. Készült az ERFO-DD2002-Hu-B-01 szerződésszámú projekt támogatásával, 2004. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

EA-VIII/14

Gyakorló feladatok megoldása 1. Minthogy a ferromágneses anyagokból a mágneses indukcióvektor normális komponense megy át folytonosan a vasmagban az indukcióvektor normális komponense megegyezik a mért értékkel Bvn = B0 . Minthogy a vas mágneses B permeabilitása ismert a mágneses térerősség meghatározható H vn = vn = 636,6198 A/m .

µ0 µ r

2. Feltételezve, hogy az egyenes tekercs keresztmetszete elhanyagolhatóan kicsi a hosszához viszonyítva, a gerjesztési NI , ahonnan a tekercs fluxusa törvényt alkalmazva a mágneses térerősség meghatározható H ≅ l 7502 2,2 NI N 2 Ia Ψ = NΦ = NaB = Naµ = µ0 µ r = 4π ⋅ 10− 7 2500 24 ⋅ 10− 4 = 0,0400 Vs . 0,12 l l 1 n n 3. Minthogy a tekercsrendszer energiája W = ∑ ∑ Lkl I k I l , a jelen esetben a csatolt tekercs energiája 2 k =1 l =1 1 1 W = L1 I12 + L12 I1 I 2 + L2 I 22 = 1776 mW = 1,776 W . 2 2 2W 1 4. Minthogy a tekercs energiája W = LI 2 , ahonnan I = = 1,6705 A . L 2 1 B2 5. Az egységnyi térfogatban az energiasűrűség w = BH = = 107,4296 Ws/m 3 . 2 2 µ0 µ r


EA-VIII/15

6. A tekercs energiája W =

1 2 LI , ahonnan a tekercs árama meghatározható I = 2

2W , így a tekercs fluxusa L

2W = 2WL = 0,0195 Vs . L 7. Minthogy a mágneses indukció merőleges a vezetőre, így a vektori szorzatból F = IlB = 5,3760 N .

Ψ = LI = L

NΦ N N NI N2 8. Minthogy L = = = aB = aµ0 µ r = µ0 µ r a = 858,1653 H . I I I I l l B F 9. Minthogy F = IlB , a mágneses térerősség H = = = 1,7113 ⋅ 104 A/m . µ0 µ0 Il 10. Minthogy a párhuzamos vezetők egyikének a helyén a másik áramvezető mágneses tere merőleges a vezetőben folyó I I2 áramra, így F = Ilµ0 = µ0 l = 2,9698 ⋅ 10- 5 N = 29,698 mN vonzóerő lép fel. 2πd 2πd 11. Amennyiben az egyik vezetőben az áramirány megfordul a vonzóerőből ugyanekkora taszítóerő lép fel.

Ψ


EA-VIII/16

FIZIKA I Villamosságtan

Recommend Documents