Kísérleti fizika 1. gyakorlat Zárthelyi dolgozatok A dolgozatok megoldási ideje 15-20 perc. 1/A Egy R sugarú henger vízszintes talajon csúszásmentesen gördül, tengelyének sebessége v. a) Add meg a henger egy kerületi pontjának mozgását (5p) b) és sebességvektorát az idő függvényében (5p) c) Írd fel a sebesség- és gyorsulásvektorát, amikor a sebessége a legnagyobb, (5p) d) valamint ahhoz képest 900 elfordulásonként (5p) Dolgozz a talajhoz képest álló vonatkoztatási rendszerben! 1/B Egy ágyúval lövedéket lövünk ki 10 m/s kezdősebességgel α szög alatt, vízszintes terepen. (g=10 m/s 2, légellenállás nincs) a) Mennyi ideig repül a lövedék? (4p) b) Hogyan kell lőni, hogy a lövedék kétszer olyan távol érjen talajt, mint amilyen magasra emelkedik? (10p) c) Hogyan kell lőni ugyanezen feltételhez a Holdon? (g*=1,6 m/s 2) (4p) d) Hogyan kell lőni, hogy a lövedék a legtovább legyen mozgásban? (2p) Megoldás: a) t=(2v0/g).sinα b) tg(α)=2 (azonos emelkedés és távolság esetén lásd DRS 1.49 és a szám 4) c) ugyanaz, mint b) d) függőlegesen 1/C Egy tömegpont a síkon a következő hely-idő függvények szerint mozog egy rögzített Descartes-féle koordinátranedszerben: x(t) = 2 sin[π/2· sin(t)], y(t) = 3 cos[π/2· sin(t)] a) Milyen pályán mozog a test? Milyen jellegű görbe ez a pálya? (5 pont) b) Hol a legnagyobb a pálya görbülete, és mely időpontokban tartózkodik ott a test? (5 pont) c) Mennyi ebben a pontban a test sebességének nagysága? (5 pont) d) Adjuk meg ebben a pontban a gyorsulásvektort! (5 pont) Megoldás: a) x2/4+y2/9=1 ellipszis y>0 fele. Nyílt pálya véges hosszal.. b) (0;3) pontban, itt t=nπ időpontokban van (n egész szám) c) pl. t=0-ra és π–re |v|=π d) pl. t=0-ra a=(0;-3π/4) 1/D Egy kiskocsin, mely az x tengely mentén egyenletes v0 sebességgel mozog, egy test csillapított −λt rezgőmozgást végez y irányban, y irányú sebessége a v y ( t ) = v0 ⋅ e ⋅ cos(ωt ) összefüggéssel adható meg, továbbá kezdetben az origóban van, azaz x(0)=0 és y(0)=0. a) Add meg a test pillanatnyi gyorsulását! (5 pont) b) Add meg azokat az idöpontokat, amikor a gyorsulása zérus! (6 pont) c) Add meg a helyzetét az idö függvényében! (9 pont) Megoldás: a) a(t) = [0 ; −v0 · e−λt(λ cos ωt + ω sin ωt)] c) x(t)=v0t kétszeres parciális integrálással y(t)= v0e−λt·(−λ cosωt + ω sin ωt)/(ω2 + λ2) +λ · v0/(ω2 + λ2) 1/E Egy síkban mozgó, pontszerűnek tekinthető test sebessége az idő függvényében az alábbi összefüggéssel írható le: a) Add meg a test gyorsulását, (6p) b) a test helyzetét, ha r(0)=(x0;y0), (10p) c) és a test sebességének az y-tengellyel bezárt szögét az idő függvényében! (4p) 1/F Egy síkban mozgó, pontszerűnek tekinthető test sebessége az idő függvényében az alábbi összefüggéssel írható le:
a) Add meg a test gyorsulását, (6p) b) a test helyzetét, ha r(0)=(x0;y0), (10p) c) és a test sebességének az y-tengellyel bezárt szögét az idő függvényében! (4p) 1/G Egy test a vizsgált időtartam első felében harmonikus rezgést végez, a második felében egyenletesen mozog. Mozgásának sebesség–idő grafikonja az alábbi ábrán látható. a) Írd fel a v(t) függvény képletét mindkét tartományon! (6 pont) b) Határozd meg a gyorsulás–idő függvényt képlettel, és ábrázold! (8 pont) c) Határozd meg az x(t) függvényt, ha a test a t=0 s időpillanatban az origóban volt! (6 pont) A képletekbe most nem szükséges mértékegységeket írni, minden értéket SI-egységben értünk! Megoldás: ha a két időtartomány A és B, akkor a) va(t)=3+2cos(pi/2 t), vb(t)=5 b) aa(t)=pi sin(pi/2 t), ab(t)=0 c) xa(t)=3t+4/pi sin(pi/2 t), xa(4)=12, xb(t)=5t-8 (így t=4-re épp 12)
a0
2/A Egy α dőlésszögű lejtő tetején rugóval rögzítettünk egy m tömegü testet. A t=0 időpillanatban a lejtő és a test is nyugalomban van. Ekkor a lejtőt elkezdjük vízszintesen a 0 gyorsulással tolni. a) Adjuk meg az egyensúlyi helyzet elmozdulását (attól D, l0 függöen, hogy jobbra vagy balra kezdjük el tolni)! (6 pont) b) Milyen körfrekvenciával rezeg a test? (6 pont) m c) Írjuk le a test mozgását a lejtővel együttmozgó vonatkoztatási rendszerből nézve! (8 pont) α
Megoldás: a) Δx0=±ma0cosα/D b) ω2=D/m c) ha a lejő tetején van az origó, és l0 a rugó nyújtatlan hossza: x(t)=l0+mgsinα/D±ma0cosα.cos(ω t)/D
2/B Egy M tömegű, α szögű lejtőre m tömegű testet helyezünk. A test és a lejtő között a súrlódás elhanyagolható, a lejtő és a talaj közötti súrlódási együttható μ. Tegyük fel, hogy μ elég nagy ahhoz, hogy a lejtő ne csússzon meg a talajon! a) Rajzold le a lejtőn lecsúszó testre ható erőket! (3 pont) b) Írd fel a lecsúszó testre vonatkozó mozgásegyenleteket a legmegfelelőbb kooridnátákkal! (4 pont) c) Milyen erők hatnak a lejtőre? (3 pont) d) Írd fel a lejtőre vonatkozó mozgásegyenleteketa legmegfelelőbb koordinátákkal! (4 pont) e) Mi a lejtő tapadásának feltétele? Legalább mekkorának kell lennie a μ súrlódási együtthatónak, hogy a lejtő ne csússzon meg? (6 pont) 2/C Egy repülőgép 3,5 km sugarú függőleges síkú pályán állandó 720 km/h sebességgel köröz úgy, hogy a repülőgép hasa mindig a körpálya közepe felé mutat. A pilóta tömege 70 kg, és g=9,81 m/s2. a) Rajzold fel a pilótára ható erőket léptékhelyesen a pálya φ szöggel jellemezhető pontján (ld. ábra) inerciarendszerből, és a repülőgéphez rögzített rendszerből nézve, (5p+3p) b) majd írd fel a pályamenti és arra merőleges mozgásegyenleteket mindkét rendszerben kihasználva az ismert mozgást! (4p) c) Mekkora erővel tartja a pilótát az ülés vagy az öve a legfelső pontban? (3p) d) Mekkora lenne egy l=10 cm hosszúságú matematikai inga körfrekvenciája a pálya függőleges érintőjű pontjaiban? (5p) (Segítség: Alkalmazd a matematikai inga körfrekvenciájára vonatkozó ω= g * / l összefüggést! )
2/D Adott egy függőleges síkú, R sugarú fémkarika, a karikán van egy m tömegű gyöngy, amely súrlódás nélkül tud rajta mozogni. A karikát a függőleges átmérője körül megforgatjuk ω 0 szögsebességgel. a) Tegyük fel, hogy a gyöngy φ szögnél v=R(dφ/dt) kerületi sebességgel mozog a karika teteje felé! A karikával együttforgó vonatkoztatási rendszerből nézve milyen erők hatnak (4 p)? b) Add meg ezen erők irányát (4 p) és nagyságát (4 p) is! (8p) 2 c) Ha g < ω0 R , akkor milyen szög esetén van a gyöngy egyensúlyban? (8p)
φ
2/E Egy α hajlásszögű lejtő tetejéről a t=0 időpontban elengedünk egy m tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan F=kt nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : α=45°, m=4 kg, k2=2 N2/s2, μ=0,5, g=9,81m/s2. a) Mekkora a test gyorsulása a t=0 időpontban? (2 pont) b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást? (6 pont) c) Mikor áll meg a test? (6 pont) d) Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása a megállás pillanatában? (2 pont) e) Ha a lejtőt a0=g/2 gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a t=0 időpontban? (4 pont) Megoldás: a) g sin(α) b) a(t)=gsin(α)-kt/m c) t=20 s d) –g sin(α) a lejtőn felfelé e) 3g sin(α)/2-g/2 2/F Egy R=20 cm sugarú drótkarikát az ábrán látható módon erősítettünk egy kiskocsira. Előzetesen egy m tömegű gyöngyöt fűztünk a karikára úgy, hogy súrlódásmentesen csúszhat rajta. A kocsit a 0=5,66 m/s2 állandó gyorsulással mozgatjuk. A gyöngy egyensúlyi helyzetét a függőlegeshez képest jelölje φ 0! a) Rajzold be a gyöngyre ható erőket az egyensúlyi helyzetben és írd fel a mozgásegyenleteket a kocsi vonatkoztatási rendszerében! (4 pont) b) Számítsd ki az egyensúlyi helyzetet (φ0) paraméteresen és numerikusan! (4 pont) m φ0 R c) Írd fel a mozgásegyenleteket sugár- és érintőirányban, ha a gyöngy az egyensúlyi helyzettől kissé eltérő, pozícióban helyezkedik el! (4 pont) a0 d) Számítsd ki az egyensúlyi helyzet körüli kis kitérésű harmonikus rezgés periódusidejét! (8 pont) A megoldás során a kocsi vonatkoztatási rendszerében dolgozz! (g=9,81 m/s 2) Használd a következő közelítéseket: cos(φ0+Δφ)≈ cos(φ0)-sin(φ0)Δφ Megoldás: a) 0=Ksinφ0-ma0 0=Kcosφ0-mg b) tg φ0=a0/g φ0=300 c) macp=K-mg cosφ – ma0 sinφ mat=ma0 cosφ – mg sinφ d) a közelítést a tangenciális egyenletbe beírva Δφ-re kapható homogén mozgásegyenlet, ebből ω2=(a0 sinφ0+g cosφ0)/R és T=0,83 s 2/G Egy R sugarú, α szögben megdöntött útpályájú kanyarban egy m tömegű autó halad. a) Milyen sebességgel kell haladnia, hogy tapadási súrlódás nélkül se sodródjon ki? (4p) Ha a tapadási súrlódási együttható μ, b) mi az a legkisebb sebesség, amivel haladhat, hogy ne csússzon meg, (6p) c) és mi az a legnagyobb sebesség, amivel haladhat, hogy ne csússzon meg? (6p)
d) Rajzd fel az autóra ható erőket a b) és c) esetben
(4p)
Megoldás: a) v2=R*g*tgα b) v2=R*g*(sinα-μcosα)/(cosα+μsinα) c) v2=R*g*(sinα+μcosα)/(cosα-μsinα) 2/H Az ábrán látható módon a(t)=ct2 függvény szerint gyorsítunk egy lejtőt. A lejtő tetején t=0 időpontban egy test nyugalomból indul. a) Rajzold fel a testre ható erőket egy t>0 időpillanatban! (4 pont) m b) Írd fel a test gyorsulás-idő függvényt! (4 pont) a(t) c) Mikor található a test újra a lejtő legfelső pontján? (feltesszük hogy a lejtő elegendően hosszú) (8 pont) α d) Mekkora a visszaérkezés pillanatában a test sebessége? (4 pont) 2/I Egy vidámparki játékban az emberek egy függőleges palástú forgó henger belső felületén próbálnak maradni. Ha egy ember tömege m, a hengerpalást sugara R, a súrlódási együtthatók értéke pedig μ, a) írd fel a mozgásegyenleteket nyugvó rendszerben! (4p) b) Mi a legnagyobb megengedett periódusideje a forgásnak? (6p) c) Milyen szögben áll a vízfelület az ember kezében tartott pohárban ebben a határesetben? (4p) d) Ha a periódusidő a megengedettnél nagyobb és T, mekkora lesz az ember gyorsulásvektorának nagysága a nyugvó rendszerben? (6p) Megoldás: a) max=mg-Fs, may=macp=N, Fs<= μ N b) Tmax=2π.sqrt(μ R/g) c) tg(α)=1/μ d) a2=ax2+ay2, ax=g- 4μπ2R/T2, ay=4π2R/T2 3/A Az ábrán látható l hosszúságú ingát 90°-kal kitérítjük és elengedjük. A h magasságú, α=60° dőlésszögű lejtő tetején kis pöcökkel kitámasztott vele egyenlő tömegű golyóval teljesen rugalmasan ütközik. a) Határozzuk meg az ütközés utáni sebességeket! (4 p) m b) Mennyit emelkedik a meglökött golyó az induló helyzetéhez képest? (2p) l m α c) A lejtőtől milyen távol ér a padlóra a lelökött golyó? (6p) d) Mekkora φ0 amplitúdóval fog az inga az ütközés után lengeni? (4 p) h e) Az inga legalsó helyzetében mekkora erő feszíti a kötelet az α s ütközés után? (4 p) 3/B Az ábrán látható l hosszúságú ingát 90°-kal kitérítjük és elengedjük. A h=l magasságú, α=60° vagy α=30° dőlésszögű lejtő tetején kis pöcökkel kitámasztott kétszeres tömegű golyóval teljesen rugalmasan ütközik. a) Határozzuk meg az ütközés utáni sebességeket! (6p) m b) Mennyit emelkedik a meglökött golyó az induló helyzetéhez 2m l képest? (2p) α c) A lejtőtől milyen távol ér a padlóra a lelökött golyó? (6p) d) Mekkora szögamplitúdóval fog az inga az ütközés után lengeni? (6p) h Megoldás 600-ra: α s a) -1/3*gyök(gl) és 2/3*gyök(gl) b) l/6 c) gyök(l2/27)*(1+gyök(7)) d) cos(α 0)=1/2-1/18=0.444, α0=63.60
y
350 θ
x
3/C Egy k⋅m tömegű biliárdgolyót az ábra szerint α=35°-ban szeretnénk meglökni egy m tömegű golyóval. Az ütközést tekintsük tökéletesen rugalmasnak, a golyókat pontszerűnek, súrlódás nincs. a) Írja fel az ütközéskor érvényes megmaradási tételeket! (6 pont) b) Milyen tömegarány kell ahhoz, hogy a fehér golyó is Θ=α szög alatt menjen tovább? (10 pont) k=1/(1+2cos2α) c) Ekkor mekkora az ütközés utáni mozgási energiák aránya? (4 pont) k=v1/v2=m2/m1=E1/E2
3/D M=500 kg tömegű ágyúval m=20 kg tömegű ágyúgolyót lövünk ki vízszintesen. A lőpor tömegét, az égéstermékek impulzusát és mozgási energiáját hanyagoljuk el! . a) Mekkora az ágyúgolyó és az ágyú lövés utáni sebességeinek aránya? (6 pont) b) Mekkora az ágyúgolyó és az ágyú lövés utáni mozgási energiáinak aránya? (6 pont) c) A lőpor robbanásából E=104 kJ energia alakul át az ágyú és az ágyúgolyó mozgási energiájává. Az ágyú és a talaj közti súrlódási együttható μ=1,6. Mekkora úton fékeződik le a hátralökött ágyú? A feladatot a munkatétellel oldd meg! (8 pont) Bónusz: Az ágyú csövét a vízszinteshez képest α=30°-os szögbe állítjuk, minden más feltétel változatlan. Most mekkora a lefékeződés távolsága? Megoldás: a) ágyú M és V, golyó m és v jelöléssel v/V=M/m=25 b) mv2/MV2=M/m=25 c) Eá=μmgs s=0,5 m bónusz: s=2,2 mm, egy még nagyobb határszög felett pedig 0: ctgα0= μ 3/E Egy m tömegű L hosszúságú matematikai ingát vízszintes helyzetéből elengedünk. Függőleges helyzetében a kötél egy csapocskán megakad, így az inga az ábrán látható módon lendül tovább. a) Mi a dinamikai feltétele annak, hogy az inga további mozgása során le tudjon írni egy teljes kört? (4p) b) Hova kell ehhez helyezni a csapocskát? (x < > = ?) (7p) c) Hogyan alakul a test pályája ellenkező esetben? (szöveges válasz) (3p) d) Hova kell helyezni a csapocskát, hogy a c) esetben ismét az indítás magasságába jusson fel? (6p)
xx Megoldás: a) a második szakaszban a (kör)pálya legfelső pontján macp≥mg b) x≥3L/5. c) addig halad L-x sugarú körpályán, amíg a kötélerő nulla nem lesz és ma cp=mg , onnantól ferde hajítás parabolapályáján halad d) x=0 3/F Egy L hosszúságú kötelekre függesztett M tömegű homokzsákba (ballisztikus inga) egy m tömegű v0 sebességű golyó ütközik teljesen rugalmatlanul. a) A golyó sebességének függvényében milyen szögben tér ki az inga? (8 pont) b) Hányad része alakul át a lövedék kezdeti mozgási energiájának? (6 pont) c) Maximálisan mekkora lövedék sebesség mérhető meg ezzel az összeállítással? (6 pont)
L M
α v0
m
4/A Egy homogén tömegeloszlású, m tömegű, R sugarú körlapot felfüggesztünk a középpontjától R/2 távolságra. a) Mekkora a felfüggesztési ponton átmenő, a korong síkjára merőleges tengelyre vonatkoztatott tehetlenségi nyomaték? (6 pont) b) Írd fel a nyomatéki egyenletet az egyensúlyi helyzettől való α kitérés függvényében! (6 pont) c) Kis amplitúdót feltételezve mekkora T periódusidővel rezeg? (4 pont) d) A t=0 pillanatban szögelfordulásból, kezdősebesség nélkül elengedjük a korongot. (4 pont) 4/B Egy tömör, M tömegű, R sugarú henger felületére, a középponttól R távolságra ráragasztunk egy m tömegű tömegpontot. Az így kapott test a stabil egyensúlyi helyzete körül kis lengéseket végez, melyek során a henger tisztán gördül. a) Mekkora az így kapott rendszernek a henger középpontján átmenő, lapjára merőleges tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka? (4 pont) M b) A tiszta gördülés feltevése milyen összefüggést ad meg a henger Ω szögsebessége és a henger középpontjának v sebessége között? (2 pont) m R c) Mekkora a rendszer U helyzeti energiája az egyensúlyi helyzettől való φ szögkitérés függvényében? (2 pont) d) Mekkora a rendszer K mozgási energiája? (4 pont) e) Lásd be, hogy a rendszer mechanikai energiája kis φ kitérések esetén a következő kvadratikus alakban írható fel: Emech=½Θ*Ω2+½D*φ2 ahol Θ* és D* állandók. (Segítség: Kis φ szögekre cos φ ~ 1- φ 2/2) (4 pont) f) Az előbbi közelítésben mekkora a rendszer rezgésének T periódusideje? (4 pont) 4/C R sugarú, m tömegű homogén körhenger felületére fonalat csavarunk. A hengert ezután α hajlásszögű lejtőre helyezzük. A hengert elengedve a fonalat állandó F erővel húzzuk a lejtővel párhuzamosan felfelé. F
α
a) Jelöld be az ábrán a választott koordinátarendszert és a pozitív forgásirányt! Mekkora a henger tömegközéppontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka? (3 p) b) Jelöld be az ábrán a hengerre ható erőket! Az a) pontban választottaknak megfelelően írd fel a hengerre vonatkozó mozgásegyenleteket! (6 p) c) Feltéve, hogy a henger csúszásmentesen gördül, mekkora a henger tömegközéppontjának gyorsulása? (6 p) d) Legalább mekkora μ0 tapadási súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a henger tisztán gördüljön? (5 p)
Megoldás: a) 1/2mR^2 b) erők: mg, N, F, Fs (felfelé), ma=F+Fs-m*g*sin(alfa), teta*beta=F*R-Fs*R c) beta=a/R gördülés, két ismeretlen a és Fs, a=4F/3m-2g/3*sin(alfa) d) Fs=F/3+mg/3*sin(alfa) <= mu*m*g*cos(alfa), így mu0=F/(3mg*cos(alfa))+tg(alfa)/3 4/D Egy pontszerűnek tekinthető v0 sebességű 2m tömegű hokikorong tökéletesen rugalmatlanul ütközik egy fele akkora tömegű, l hosszúságú rúd végével (jégen). Írja le a rendszer mozgását ütközés után! a) Hol lesz az ütközés után a rendszer tömegközéppontja (a rúd hossza mentén)? (4 pont) v0 (l/6 a végétől) b) Mekkora lesz a tömegközéppont sebessége? (4 pont) (2/3v0) c) Mekkora az e pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték? (6 pont) (ml2/4) d) Milyen szögsebességgel forog a rendszer ütközés után? (6 pont) (8v0/3l)
4/E Egy homogén tömegeloszlású, tömör hengerre zsinórt csévélünk és vízszintes asztalra helyezzük. (A henger tömege m, sugara R.) A zsinórt D rugóállandójú rugó közbeiktatásával a falhoz rögzítjük. A rugó nyújtatlan állapotától indulva (de a zsinór már épp kifeszül) a hengert jobbra gördítjük úgy, hogy a
tömegközéppontja s távolságnyit mozduljon el, majd kezdősebesség nélkül magára hagyjuk. (A tapadási súrlódás elegendően nagy ahhoz, hogy a henger tisztán gördüljön.) a) Mennyivel nyúlt meg a rugó? (2 pont) b) Határozzuk meg a henger tömegközéppontjának a gyorsulását az elengedés pillanatában! (8 pont) c) Mekkora legyen a tapadási súrlódási együttható, hogy a henger tényleg ne csússzon meg? (4 pont) d) Mekkora lesz a henger tömegközéppontjának a sebessége, mikor a rugó ismét nyújtatlan állapotba kerül? (6 pont) Bónusz: Ugyanezt a kísérletet elvégezzük egy másik, ugyanakkora tömegű és külső sugarú, szintén homogén anyagú, de üreges hengerrel is. (Az üreg henger alakú, és koncentrikus elhelyezkedésű.) Azt tapasztaljuk, hogy az üreges henger az elengedéstől mérve 20 %-kal több idő alatt teszi meg az s távolságot. Mekkora a hengerben lévő üreg sugara?
D
Megoldás: a) 2s b) a= -8Ds/3m c) μ0 ≥ 2Ds/3mg d) v2=8Ds2/3m
R
m
s 4/F Egy m tömegű l hosszúságú homogén merev rudat vízszintes tengelyű fizikai ingaként függesztünk fel. A tengely távolsága a tömegközépponttól x. A rudat vízszintes helyzetből engedjük el. (Θvégpont= ml2/3) a) Írd fel a mozgásegyenletet és a szöggyorsulást az elengedés pillanatában! (5p) b) Hol van a tengely (x=?), ha a rúd távolabbi végének kezdeti gyorsulása éppen g ? (5p) c) Mennyi ekkor a tehetelenségi nyomaték? (5p) d) Mekkora lesz így a szögsebesség maximális értéke? (5p) Megoldások: a) β= (+/-) gx/(l2/12+x2) előjelet nem kérünk b) x=l/6 c) Θ=ml2/9 d) ω2=3g/l 4/G Az ábrán látható „félhold” szerű test felületi sűrűsége homogén, tömege 3m, a körök sugara R és 2R. Az AB szakasz illetve annak fele a körök átmérője. a) Mennyi a test felületi sűrűsége? (2p) A a) Hol van a test tömegközéppontja? Vegyél fel egyértelműen egy koordinátarendszert! (6p) b) Mennyi az A pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a lapra merőleges tengely esetén? (6p) c) Mennyi az B pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomaték a lapra merőleges tengely esetén? (6p) (Segítség: A feladat tényleges integrálás nélkül megoldható.)
B
Megoldás: a) m/(R2π) b) Az A ponttól 7R/3 c) 45mR2/2 d) 29mR2/2
5/A a) Egy test mozgása a következő összefüggéssel írható le: . Adjuk meg C-t és tgδ-t A és B függvényében! (4 pont) Egy M tömegű kiskocsit egy l0 nyugalmi hosszú, D direkciós erejű rugóval a falhoz rögzítünk (ld. ábra), a rugó nyújtatlan. A t=0 időpontban belelövünk egy u sebességű, m tömegű golyót, az ütközés tökéletesen rugalmatlan, azaz a golyó hozzátapad a kocsihoz. b) Mekkora v0 sebességgel indul el az ütközés után a kiskocsi? (4 M D,l0 u pont) m
c) Írd fel a kocsi mozgásegyenletét a vízszintes pozíció függvényében (az x-tengely nullpontját a falnál vedd fel, és jobbra legyen pozitív)! (4 pont) d) Mekkora a kialakuló rezgés ω körfrekvenciája? (4 pont) e) Add meg a harmonikus rezgőmozgás kifejezését erre a konkrét esetre a kezdeti feltételek felhasználásával az a) részben megadott alakok valamelyikével! (4 pont) 5/B a)Vezesd le az l hosszúságú m tömegű matematikai inga mozgásegyenletét, és add meg a kialakuló rezgés frekvenciáját kis kitérések esetére! (8 pont) Add meg a megoldás paramétereit a ϕ(0) = c1 és dϕ/dt (0) = c2 kezdeti feltételek segítségével, ha b) ϕ = Acos(ωt + α) (3 pont) c) ϕ = B cos(ωt) + C sin(ωt) (3 pont) d) Vezesd le az {A, α} és a {B,C} paraméterek közötti összefüggéseket! (6 pont) 5/C Egy tömegpont az alábbi mozgásegyenlet szerint mozog az x tengely mentén: 0,1 a(t)=−0,98696 x(t)−0,02309 v(t) (Minden számérték SI-egységben értendő. A részletszámításokban nem kell kiírni a mértékegységeket, csak a végeredményeknél! ) a) Határozd meg a csillapított rezgőmozgás leírásához használt szokásos és β, továbbá ω vagy γ paramétereket! (6 pont) b) Milyen típusú a megoldás? Írd fel a mozgásegyenlet általános megoldását! (2 pont) c) Az x(0)=0,2 m és v(0)=0 m/s kezdőfeltételek illesztésével add meg a mozgásegyenlet konkrét megoldását! (12 pont) Bónusz: Mekkora a tömegpont legnagyobb sebessége a mozgás során? 5/D Az ábrán látható elrendezésben egy m=0,2 kg tömegű test lecsúszik egy α=30 0 hajlásszögű, h=14 cm magas lejtőn, amelynek aljához l0=10 cm nyugalmi hosszúságú, D=80 N/m rugóállandójú súlytalan rugó van erősítve. Az ütközés után a rugó és a test összekapcsolódik, a súrlódástól eltekintünk, g=10 m/s 2. a) Mekkora a test sebessége az összekapcsolódás pillanatában? (2p) m b) Rajzold le a testre ható erőket és írd fel a mozgásegyenletet az összekapcsolódás utáni időpontokra! (6p) l0 c) Írd fel ennek az egyenletnek az általános megoldását szabad h paraméterekkel! (6p) d) Illeszd a megoldást egy általad választott koordináta-rendszerhez α és a kezdeti feltételekhez! (6p) Egyértelműen definiáld a koordináta-rendszert és az időszámítás nulla pontját! 5/E Egy m tömegű testet D direkciós állandójú rugóhoz rögzítünk, a testre a sebességével arányos csillapító erő hat (az állandó k). A rendszert F0.sin(ωt) időfüggő erővel gerjesztjük. a) Írd fel a test mozgásegyenletét! (5 pont) b) Írd fel általános alakban az inhomogén egyenlet megoldását a tranziens rezgés lecsillapodása után! (5 pont) c) Határozd meg a megoldás paramétereit a rendszer jellemzőivel! (5 pont) d) A gerjesztés kikapcsolása után mennyi idő múlva csökken a rezgés energiája az 1/10-ére? (5 pont) 5/F Egy m=10 g tömegű gyöngy vízszintes drótsínen súrlódás nélkül tud mozogni. A gyöngyhöz két D=0,01 N/m rugóállandójú l=30 cm nyújtatlan hosszúságú rugó csatlakozik úgy, hogy a gyöngy egyensúlyi helyzete az ábrán látható módon α=300-os szöggel jellemezhető. A t=0 időpontban a gyöngy az egyensúlyi helyzetén halad át v0=4 cm/s sebességgel. a) Határozd meg a gyöngy mozgásegyenletét jellemző D* effektív rugóállandót (5p) b) A megadott kezdeti feltételek esetén mekkora a harmonikus rezgés amplitúdója és periódusideje? (3p) Ha bekapcsolunk egy sebességgel arányos kv alakú közegellenállási erőt, ahol k=0,01 Ns/m: c) Milyen típusú mozgás alakul ki? Add meg ennek egy általános megoldását, (2p) d) és illeszd D,laz előző kezdeti feltételekhez (5p) e) Mekkora a legnagyobb kitérés ezen mozgás során? (5p) α Bónusz: Maximális kitérésnél mekkora az eredő erő lineáris közelítésének hibája? m
α
D,l
Megoldás: a) D*=D b) ω0=1 1/s2 és T=8,28 s, A=4 cm c) β=0,5 1/s < ω0 (alul)csillapított rezgés, pl. x(t)=Cexp(-βt)sin(ωt+φ) ahol ω2=ω02- β2 d) φ=0, C=8/gyök(3) cm e) t*=1/(3gyök(3)) s időpontban x(t*)=2,1 cm
