Fourier-sorok Lengyeln´e Dr. Szil´agyi Szilvia ME, Anal´ızis Tansz´ ek
2010. ´aprilis 7.
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
Fourier-sorok
A Taylor-polinom ill. Taylor-sor h´atr´anya, hogy az adott f¨ uggv´enyt csak a sorfejt´es hely´en ill. annak k¨ ornyezet´eben k¨ ozel´ıti j´ol. A sorfejt´es hely´et˝ol t´avolodva a k¨ ozel´ıt´es pontoss´aga cs¨okken. 1.1. Defin´ıci´o A ∞ X
(ak cos kx +bk sin kx) = a0 +...+(an cos nx +bn sin nx)+... (1)
k=0
sort trigonometrikus sornak nevezz¨ uk, amelyben a0 , ak , bk (k = 1, 2, ...) konstansok a sor egy¨ utthat´ oi. A trigonometrikus sor tagjai periodikus f¨ uggv´enyek.
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
Fourier-sorok 1.2. Defin´ıci´o A ∞ X ak cos kx = a0 + a1 cos x + a2 cos 2x + ... + an cos nx + ... k=0
sort tiszta koszinusz sornak, a ∞ X
bk sin kx = b0 + b1 sin x + b2 sin 2x + ... + bn sin nx + ...
k=0
sort tiszta szinusz sornak nevezz¨ uk. A Fourier-sor periodikus f¨ uggv´enyek trigonometrikus sorral val´o k¨ozel´ıt´ese, ´ıgy periodikus jelens´egek vizsg´alat´an´al van nagy jelent˝os´ege. Ez a k¨ozel´ıt´es nem egy pontban, vagy annak k¨ornyezet´eben k¨ozel´ıti meg a f¨ uggv´enyt, hanem egy intervallumban. Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
Fourier-sorok 1.3. Feladat Legyen f a 2π hossz´ us´ag´ u intervallumban korl´atos ´es integr´alhat´o f¨ uggv´eny. Keress¨ uk azt az Fn (x) = a0 + (a1 cos x + b1 sin x) + ... + (an cos nx + bn sin nx) (2) polinomot, amelyre az Z2π
[f (x) − Fn (x)]2 dx
0
integr´al a lehet˝o legkisebb. Ebben a sz´els˝o´ert´ekfeladatban az ismeretlenek az a0 , a1 , b1 , a2 , b2 , ..., an , bn egy¨ utthat´ok. Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
Fourier-sorok 1.3. Feladat megold´asa Annak a felt´etelnek, hogy az f f¨ uggv´eny ´es az Fn (x) trigonometrikus polinom elt´er´eseinek n´egyzetintegr´alja minim´alis legyen a Fourier-egy¨ utthat´ ok tesznek eleget: 1 a0 = 2π
Z2π f (x)dx,
b0 = 0,
0
1 ak = π
Z2π f (x) cos kxdx, 0
bk =
1 π
Z2π f (x) sin kxdx, 0
k = 1, 2, 3, ..., n. Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
Fourier-sorok 1.4. Defin´ıci´o A Fourier-egy¨ utthat´okkal el˝ o´all´ıtott trigonometrikus sort Fourier-sornak nevezz¨ uk. Megjegyz´esek 1
Az Fn (x) polinom nem egy pont k¨ ozel´eben k¨ ozel´ıt j´ol, hanem egy intervallumon.
2
Ha az adott f f¨ uggv´eny 2π szerint periodikus f¨ uggv´eny, akkor a Fourier-egy¨ utthat´ okban szerepl˝ o integr´alok eredm´enye nem v´altozik, ha az inteegr´al´as hat´arai nem 0 ´es 2π, hanem tetsz˝oleges 2π hossz´ us´ag´ u intervallum.
3
Ha az f f¨ uggv´eny a peri´ oduson bel¨ ul szakad´asos, vagy a f¨ uggv´eny folytonos ugyan, de a deriv´altj´anak van szakad´asa, akkor a hat´arozott integr´aln´al tanultak alapj´an az integr´al´as szakaszonk´ent v´egzend˝ o el ´es az eredm´enyek ¨osszeadand´oak. Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
Fourier-sorok Bizonyos esetekben a Fourier.egy¨ utthat´ okat k¨ onnyebben kisz´am´ıthatjuk: Speci´alis esetek 1. Ha f p´aros f¨ uggv´eny, azaz f (x) = f (−x) ´es integr´alhat´o [0, 2π]-n, akkor 1 a0 = π
Zπ f (x)dx, 0
2 ak = π
Zπ f (x) cos kxdx, 0
bk = 0, Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
k = 1, 2, 3, ... Fourier-sorok
Fourier-sorok
Speci´alis esetek 2. Ha f p´aratlan f¨ uggv´eny, azaz f (x) = −f (−x), ´es integr´alhat´o [0, 2π]-n, akkor a0 = 0, 1 bk = π
ak = 0,
Z2π f (x) sin kxdx, 0
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
k = 1, 2, 3, ...
Fourier-sorok A Fourier-sorok konvergenci´aj´ara ´er´enyes t´eteleket nem bizony´ıtjuk. Fontosabb tulajdons´agok Egy megadott f (x) periodikus f¨ uggv´enyt mindig el˝o´all´ıtja a Fourier-sora, ha az f (x) f¨ uggv´enyre az al´abbi felt´etelek valamelyike teljes¨ ul: 1
a sorfejt´esi intervallum belsej´eben folytonos ´es korl´atos,
2
ha v´eges sz´am´ u hely kiv´etel´evel folytonos ´es minden pontban l´etezik a jobb ´es a bal oldali differenci´alh´anyados ´es ezek korl´atosak,
3
elegend˝o kiel´eg´ıtenie az u ´n. Lipschitz-felt´etelt, azaz az intervallum belsej´eben lev˝ o k´et tetsz˝ oleges x1 ´es x2 pontra l´etezik olyan K tetsz˝ oleges pozit´ıv konstans ´es p > 0 sz´am, aelyekre: |f (x2 ) − f (x1 )| ≤ K · |x2 − x1 |p , Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
0 < p ≤ 1.
P´ eld´ ak Fourier-sorokra 1.6. P´elda Hat´arozzuk meg az f (x) =
|x| , ha − π ≤ x < π f¨ uggv´eny f (x + 2π), egy´ebk´ent
Fourier-sor´at! Az f f¨ uggv´eny p´aros, ´ıgy bk = 0,
k = 1, 2, ...,
azaz a sor tiszta koszinusz sor. A Fourier-egy¨ utthat´ok kisz´am´ıt´asa: 1 a0 = π
Zπ
1 f (x)dx = π
0
Zπ 0
π 1 x2 π = , xdx = π 2 0 2
tov´abb´a Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
P´ eld´ ak Fourier-sorokra
2 ak = π
Zπ
2 f (x) cos kxdx = π
Zπ
0
x cos kxdx =
2 k (−1) − 1 , πk 2
0
azaz k 6= 0 eset´en: ( ak =
0,
ha k p´aros,
4 − 2, πk
ha k p´aratlan.
A Fourier-sor teh´at: π 4 cos x cos 3x cos 5x cos(2k − 1)x f (x) = − + + + ... + + ... . 2 π 12 32 52 (2k − 1)2
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
P´ eld´ ak Fourier-sorokra
Ha az x = 0 helyettes´ıt´est elv´egezz¨ uk, akkor a 4 1 π 1 1 1 0= − + + + ... + + ... 2 π 12 32 52 (2k − 1)2 sor ad´odik, amelyb˝ol π-re ad´ odik, hogy: 1 π2 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + ... + + ..., 8 1 3 5 (2k − 1)2 azaz 2
π =8
1 1 1 1 + + + ... + + ... . 12 32 52 (2k − 1)2
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
P´ eld´ ak Fourier-sorokra ´ azoljuk az f (x) f¨ Abr´ uggv´eny els˝ o n´eh´any Fourier-polinomj´at! π 4 π 4 cos 3x F1 (x) = − cos x, F2 (x) = − cos x + 2 π 2 π 9
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
P´ eld´ ak Fourier-sorokra 1.7. P´elda ha − π < x < 0 −1, 0, ha x = 0, x = π , Hat´arozzuk meg az f (x) = 1, ha 0 < x < π f (x + 2π) = f (x) f¨ uggv´eny Fourier-sor´at! Az f f¨ uggv´eny p´aratlan, ´ıgy ak = 0,
k = 0, 1, 2, ...,
azaz a sor tiszta szinusz sor. A bk egy¨ utthat´ok sz´am´ıt´asa: 1 bk = π
Zπ
1 f (x) sin kxdx = π
−π
Z0
1 (−1) sin kxdx + π
−π
=
(−1)k
2 1− · π k
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Zπ sin kxdx = 0
,
k = 1, 2, ... Fourier-sorok
P´ eld´ ak Fourier-sorokra
Innen n´eh´any egy¨ utthat´ o ´ert´eke: b1 =
4 , π
b3 =
4 1 · , π 3
b5 =
4 1 · π 5
A f¨ uggv´eny Fourier-sora: 4 sin 3x sin 5x f (x) = sin x + + + ... π 3 5
Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
P´ eld´ ak Fourier-sorokra 1
Igazolja, hogy az x2 π π2 − x + , f (x) = 2 6 4 f (x + 2π), periodikus f¨ uggv´eny Fourier-sora a
2
ha
0 ≤ x < 2π
egy´ebk´ent ∞ cos nx P sor! 2 n=1 n
Adott az π + x, ha − π ≤ x < 0 2 f (x) = , f (x + 2π) = f (x) π − x, ha 0 ≤ x < π 2 f¨ uggv´eny. V´azolja a f¨ uggv´eny grafikonj´at! Adja meg az f f¨ uggv´eny Fourier-sor´at! Lengyeln´ e Dr. Szil´ agyi Szilvia
Fourier-sorok
