Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 16 augustus 2012, 9:00-12:00 uur Opmerkingen: 1) Lijsten met de punten toegekend door de corrector worden op OASE gepubliceerd. De antwoorden van de opgaven van dit tentamen worden na afloop uitgedeeld en ze worden ook op OASE gezet. U kunt dan zelf uw score opmaken, en zien of die ruwweg overeenkomt met hetgeen u door de corrector is toebedeeld. Is dat niet zo, dan kunt u tot uiterlijk 22 augustus een E-mail sturen naar
[email protected] en u aanmelden voor een individueel onderhoud met de docenten. U krijgt per E-mail bericht wanneer en waar u verwacht wordt. 2) Het is toegestaan gebruik te maken van eigenhandig geschreven aantekeningen; maximaal twee kantjes A4-formaat. Ook het formuleblad, dat via het WWW ter beschikking is gesteld, mag worden gebruikt. 3) Alle apart genummerde vragen tellen even zwaar en worden bij correcte beantwoording gehonoreerd met 3 punten. 4) Uw antwoorden dienen bondig te zijn en geformuleerd in lopende zinnen. Vermijd excessief en exclusief gebruik van formules en/of vergelijkingen.
Opgave 1. Begrippen
Leg in een paar zinnen uit wat de volgende begrippen inhouden. Bespreek zowel de fysische oorsprong als de praktische gevolgen. Gebruik hierbij geen of een minimum aan vergelijkingen. 1.1. Dunne lens 1.2. Virtueel beeld 1.3. Constructieve interferentie 1.4. Brewsterhoek
Opgave 2. Geometrische optica 2.1.
We willen een beamexpander maken om de doorsnede van een laserstraal te vergroten. De totale beamexpander moet 30 cm lang zijn. We hebben één negatieve lens met een brandpuntsafstand van -10 cm. Wat voor lens moeten we er bij kopen om onze beamexpander compleet te maken? De uittredende straal moet uiteraard weer evenwijdig zijn.
2.2.
Hoeveel keer groter wordt de doorsnede van de laserstraal door deze beamexpander?
2.3.
Zoals gezegd heeft de negatieve lens een brandpuntsafstand van -10 cm. De lens is aan één kant vlak en het glas heeft een brekingsindex van 1.50. Bereken de kromtestraal van de andere kant van deze lens. Neem hierbij aan dat het een dunne lens is.
-1-
Opgave 3. Het oog
3.1. Een persoon met astigmatisme wil een bril bestellen. Leg in grote lijnen uit op welke manier het brillenglas geslepen zal zijn. 3.2. Een persoon heeft een ver-punt van 100 cm en een nabijheidspunt van 18 cm. Wat voor sterkte bril heeft hij/zij nodig om het ver-punt te corrigeren en waar komt het nabijheidspunt te liggen met bril?
Opgave 4. Buiging
Een experimentator beschijnt een rechthoekige spleet (breedte 50,0 µm, hoogte 100 µm) met een homogene monochromatische lichtbundel (golflengte 532 nm). Het buigingspatroon wordt door middel van een lens met brandpuntsafstand van + 2,00 m afgebeeld op een scherm, zie figuur. y
x 100 µm
yp
xp
2,00 m
4.1.
Beschrijf in globale zin hoe het buigingspatroon eruit zal zien. Gebruik hiervoor een simpele tekening.
4.2.
Bereken voor het punt xp = 1,00 cm en yp = 0,500 cm op het scherm (zie figuur) de intensiteit van het buigingspatroon t.o.v. de intensiteit van het hoofdmaximum.
4.3.
De experimentator vervangt de spleet nu door twee gelijke rechthoekige spleten op een afstand c van elkaar (gemeten vanuit het hart van beide spleten), zie figuur. Dit patroon kan beschreven worden met een relatief eenvoudige combinatie van de vergelijkingen voor een rechthoekige spleet en twee spleten. Geef aan hoe deze vergelijking er uit zal zien. Gebruik in de vergelijking alleen symbolen als a, b en f en geen getallen. Symbolen die niet op het formuleblad staan dienen gedefinieerd te worden.
b c a
-2-
Opgave 5. Polarisatie 5.1. We proberen een kwart-lambda-plaatje te maken van quartz (waarvoor geldt: geldt 𝑛𝑂 = 1.544 en 𝑛𝑒 = 1.553). Hoe moet de optische as van het quartz gericht zijn ten opzichte van de inkomende lichtbundel? Maak dit duidelijk met een simpele tekening.
5.2. We beschijnen dit plaatje met circulair gepolariseerd licht. Leg uit wat er met dit licht gebeurt en wat voor effect dit heeft. Gebruik hiervoor weer een simpele tekening. 5.3. Wat is de kleinste dikte van het quartz-plaatje waarbij het werkt als kwart-lambda-plaatje voor licht met een golflengte van 500.0 nm?
Opgave 6. Microscopie Oculair
Tussenbeeld
Objectief
Object
18.9 cm
6.1. Bij een traditionele samengestelde microscoop (geen oneindig-objectief) is de totale afstand over de optische as tussen oculair en objectief 18.9 cm (zie tekening, niet op schaal). De vergroting van het oculair is 10x en de tubuslengte is 16 cm. Wat is de totale vergroting van deze microscoop? Maak dit duidelijk aan de hand van een tekening. Neem aan dat objectief en oculair uit enkele lenzen bestaan zoals in de tekening. 6.2. Een microscoop heeft een droog objectief met een halve openingshoek voor lichtcollectie van 45º. De condensor wordt op de traditioneel ideale instelling gezet. Wat is het kleinst mogelijke afstand die nog met deze microscoop onderscheiden kan worden? Neem aan dat we licht met een golflengte van 0.5 μm gebruiken. 6.3. Waarom zouden we in sommige gevallen een andere waarde voor het condensordiafragma willen gebruiken?
-3-
Antwoorden: 1.1.
Een dunne lens is een lens waarbij de afstand tussen de voor- en achterkant klein genoeg is om deze te verwaarlozen in berekeningen. Hierdoor kan men de lenzenmakersformule gebruiken om de brandpuntsafstand te berekenen.
1.2.
Een virtueel beeld is een beeld waarvan de lichtstralen lijken te komen. Het wordt bijvoorbeeld geproduceerd door een negatieve lens.
1.3.
Interferentie ontstaat door de superpositie van twee golven waarbij lokaal de intensiteiten hoger of lager worden dan ze in de originele golven waren. Bij constructieve interferentie versterken de originele golven elkaar en ontstaat er een hoge intensiteit. Constructieve interferentie veroorzaakt de pieken in een interferentiepatroon, bijvoorbeeld bij twee spleten.
1.4.
De brewsterhoek is de invalshoek waarbij van licht dat op een oppervlak tussen twee media valt de component met polarisatierichting loodrecht op het oppervlak volledig niet gereflecteerd wordt. Dit licht wordt alleen gebroken.
2.1.
Zie tekening, de tweede lens moet een positieve lens zijn met 40 cm brandpuntsafstand.
F1=F2
F1
O
30 cm
10 cm
2.2.
4 keer groter.
2.3.
Neem aan dat de linkerkant in de tekening vlak is (𝑅1 = ∞). Dan kunnen met de lenzenmakersformule 𝑅2 berekenen: 1 f
=
n2 −n1 1 � n1 R1
−
1 � R2
=
1 −10 cm
=
1.5−1 1 1 � − � 1 ∞ R2
= 0.5(0 −
1 ) R2
R 2 = 5 cm. R 2 is positief, dus bol van links gezien. Van buiten gezien is dit dus een hol lensoppervlak. -4-
3.1.
De brillenglazen zullen cylindrisch geslepen zijn. Dit betekent dat ze in één richting (bijvoorbeeld horizontaal) een andere kromtestraal hebben dan in de andere richting.
3.2.
Om het ver-punt te corrigeren moeten we voorwerpen die oneindig ver weg staan op het verpunt afbeelden. Dit zal een virtueel beeld zijn, en dus gebruiken we een negatieve afstand. 1 1 1 1 1 ; f = −100 cm = −1 m en Hiervoor gebruiken we de lenzenformule: + = = + dus 𝔇 =
1 𝑓
sO
= −1.
si
f
∞
−100 cm
Het nieuwe nabijheidspunt berekenen we met dezelfde vergelijking: 1 sO
1 𝑠𝑂
+
1 si
1 f
= =
1 −100 cm
=
1 𝑠𝑂
+
1 −18 cm
= −0.01 cm−1 =
1 𝑠𝑂
− 0.056 cm−1
= (−0.01 + 0.056)cm−1 = 0.046 cm−1; 𝑠𝑂 = 22 cm. Het nieuwe nabijheidspunt ligt op
22 cm afstand.
4.1.
4.2
De intensiteitsmaxima liggen op een regelmatig rechthoekig rooster. Dit rooster heeft ook een 2:1-verhouding (zij het 90° gedraaid). Op de twee loodrechte hartlijnen zijn de maxima het felst. Vanuit het midden neemt de intensiteit langs de x- en y-richting volgens een sinckwadraat-functie af. Zie ook figuur 10.20 uit het boek.
sin α 2 sin β 2 � � � , met α = 12ka sin θy en α β x x y β = 12kb sin θx . In het verre veld sin θx ≈ tan θx = = . Evenzo sin θy ≈ tan θy = = f 2,00 m f y 2π 2π 100⋅10−6 m⋅πy 50,0⋅10−6 m⋅πx . Verder k = = . Invullen geeft α = en β = . 2,00 m λ 532⋅10−9 m 2,00 m⋅532⋅10−9 m 2,00 m⋅532⋅10−9 m
Neem a de hoogte en b de breedte. I(x, y) = I(0) � Voor de intensiteit volgt dan
4.3
π⋅100⋅10−6 m⋅0,500⋅10−2 m π⋅50,0⋅10−6 m⋅1,00⋅10−2 m � sinc 2 � � 2 m⋅532⋅10−9 m 2 m⋅532⋅10−9 m
I�xp , yp � = I(0)sinc 2 �
= 0,207 ⋅ I(0).
Dit is het product van de intensiteitsverdeling voor een rechthoekig gat (zie boven) met de interferentieterm van een dubbele spleet: I(x, y) = I(0)sinc 2 (α)sinc 2 (β) cos2 γ. Hierin is α=
πay , fλ
β=
πbx fλ
en γ = 12kc sin θx =
πc sin θx λ
≈
-5-
πc tan θx λ
=
πcx . fλ
5.1.
De optische as moet loodrecht staan op de voortplantingsrichting van het licht. Bijvoorbeeld horizontaal (van voor naar achter) of vertikaal (rode lijn in onderstaande tekening).
5.3.
Één van de twee componenten van het elektrisch veld loopt 𝜋/2 (𝜆/4) achter op de andere. Doordat in het kwart-lambda-plaatje één van de componenten 𝜋/2 (𝜆/4) vertraagd wordt ten opzichte van de ander zal er uit het plaatje licht komen met een faseverschil tussen de componenten van 0 of 𝜋 (𝜆/2). Beide zijn lineair gepolariseerd licht met een polarisatierichting met een hoek van ±45° met de optische as.
5.2.
In het materiaal zijn de golflengtes gedefinieerd door: λ = 𝜆𝑒 =
500 nm 1.553
λ0 , n
dus 𝜆𝑂 =
500 nm 1.544
= 323.8 nm en
= 322.0 nm. We zoeken een dikte 𝑥 waarbij ¼ lambda faseverschil optreedt. Het 𝑥
𝑥
1
verschil in aantal hele golven (periodes) moet dan ¼ zijn. Dus moet gelden: 𝜆 − 𝜆 = 4. Oplossen levert 𝑥 =
𝜆𝑂 𝜆𝑒 4(𝜆𝑂 −𝜆𝑒 )
= 14000 nm = 14 µm.
-6-
𝑒
𝑂
6.1.
Zie tekening voor lengtes:
𝑓𝑒 rekenen we uit met 𝑀𝑒 = 6.2.
6.3.
𝑀𝑇𝑂 = −
16 cm 𝑓𝑂
=−
16 0.4
25 cm 𝑓𝑒
= −40.
Oculair
Tussenbeeld
Objectief
Object
fO=0.4 cm fO=0.4 cm
L=16 cm
fe=2.5 cm fe=2.5 cm
= 10 . De totale vergroting is 400x.
De numerieke apertuur wordt berekend met 𝑁𝐴 = 𝑛 ⋅ sin 𝛼 met 𝑛 = 1 en 𝛼 = 45°, dus 𝑁𝐴𝑜𝑏𝑗. = 0.71. De ideale instelling van de condensor is 𝑁𝐴𝑐𝑜𝑛𝑑. = 0.7𝑁𝐴𝑜𝑏𝑗. = 0.48. De kleinst onderscheidbare afstand is 𝑦𝑚𝑖𝑛 = 𝑁𝐴
1.22𝜆
𝑜𝑏𝑗. +𝑁𝐴𝑐𝑜𝑛𝑑.
=
1.22⋅500⋅10−9 m 0.71+0.48
= 5.1 ⋅ 10−7 m = 0.5 𝜇m.
Door het condensordiafragma dicht te draaien kunnen we het contrast verhogen, terwijl we wanneer het verder open staat een iets betere resolutie kunnen krijgen.
-7-
