Tentamen Fysische Verschijnselen (4B260) 16 juni 2005, 9.00–12.00 uur —————————————————————————————————————————— • MOTIVEER ALLE ANTWOORDEN • DE NORMERING EN EEN FORMULEBLAD ZIJN BIJGEVOEGD —————————————————————————————————————————— Opgave 1: Een treinwagon met olie Een treinwagon, die met olie met een dichtheid ρ = 850kg/m3 is gevuld, versnelt met een constante versnelling a = 1, 0m/s2 van links naar rechts. Het oppervlak van de olie staat onder atmosferische druk p0 = 1, 0 × 105 Pa. Aan de linkerwand van de wagon is de diepte van de olie 2,0 meter. De breedte van de wagon is aan de binnenkant 5,0 meter. (a) Hoe groot is de druk van de olie linksonder in de wagon, in punt 1 in onderstaande figuur? (b) Hoe groot is de druk van de olie rechtsonder in de wagon, in punt 2 in onderstaande figuur? (c) Hoe hoog staat het oppervlak van de olie boven de bodem aan de rechterkant van de wagon? (d) Schets de vorm van het oppervlak van de olie.
a
olie
2m 1
2 5m
Opgave 2: Een leeglopend vat Uit een vat stroomt water door een gat met een oppervlakte A = 10 cm2 . Het water in het vat wordt op constante hoogte gehouden door water bij te vullen met een debiet van Q = 0, 1 m3 /minuut (zie tekening). Hoe groot is de afstand tussen het wateroppervlak en het gat, h?
Q
h A
Opgave 3: Een infuus Een zoutoplossing moet vanuit een hoog opgehangen fles via een slang naar een naald stromen die in een ader steekt. De naald heeft een binnendiameter van 0,40 mm en een lengte van 2,0 cm. Er moet een debiet gerealiseerd worden van 3,0 cm3 bloed per minuut. De dichtheid van de vloeistof is 1, 2 × 103 kg/m3 , de viscositeit is 6, 15 × 10−3 Pa s en de bloeddruk in de ader is 2, 00 × 103 Pa hoger dan de atmosferische druk. (a) Hoe hoog moet de fles boven de naald gehangen worden? Neem hierbij aan dat de stroming in de naald laminair is en dat drukverliezen in de slang verwaarloosd kunnen worden. (b) Wat moet de diameter van de slang minimaal zijn, wil het drukverlies in de slang minder dan 1% van het drukverlies in de naald zijn? Neem aan dat de slang even lang is als de bij onderdeel (a) berekende hoogte.
Opgave 4: Verdamping van bier uit een glas In een cilindervormig glas met een diameter van 10 cm en een hoogte van 4 cm staat een bodempje bier van 2 mm hoogte. In het bier is 95% van de moleculen water en 5% alcohol. De bovenkant van het glas is in contact met de omgevingslucht met een temperatuur van 19o C. Het bier verdampt, zodat zich aan het bieroppervlak een verzadigde damp van het mengsel van water en alcohol bevindt. Net boven het glas is de damp zo verdund dat de concentraties van water en alcohol verwaarloosbaar zijn. Daardoor ontstaat diffusie van waterdamp en alcoholdamp. (a) Bereken de molaire flux van waterdamp en van alcoholdamp in het glas, als gegeven is dat de parti¨ele druk van water in het verzadigde dampmengsel bij 19o C gelijk is aan 2,1 kPa, die van alcohol 0,27 kPa, en de diffusieconstanten van water en van alcohol in lucht beide D = 1, 3 × 10−5 m2 /s bedragen. (b) Neemt de concentratie van alcohol in de vloeistof toe of af? (c) Als je ervan uitgaat dat de diffusiestromen constant zijn in de tijd, hoe lang duurt het dan voordat al het water verdampt is? De molaire dichtheid van het mengsel is 55 × 103 mol/m3 . Opgave 5: Smeltend kwik Een hoeveelheid van 2 kg kwik in vaste toestand op het smeltpunt van -39o C wordt in een aluminium beker van een joulemeter van 1 kg geplaatst die gevuld is met 0,8 kg water. Zowel de beker als het water hebben een temperatuur van 20o C. De evenwichtstemperatuur wordt 11,1o C. Gegeven is dat het de soortelijke warmte van vloeibaar kwik 0,14 kJ/kgo C bedraagt, van aluminium 0,90 kJ/kgo C en van water 4,2 kJ/kgo C. Bereken de smeltwarmte van kwik. Opgave 6: Warmtegeleiding door een plaat Twee voorwerpen die op een temperatuur van 0o C respectievelijk 100o C gehouden worden zijn verbonden met een stalen plaat met een dikte van 2 mm, lengte van 10 cm en breedte van 5 cm (zie figuur). De warmtegeleidingsco¨effici¨ent van staal is k = 40 J/smo C. Na verloop van tijd stelt zich een evenwichtssituatie in waarin de temperatuur in de plaat niet meer verandert. Er is geen warmte-uitwisseling met de omgeving. (a) Maak met fysische argumenten duidelijk dat in de evenwichtssituatie de warmtestroom dQ/dt op elke positie van de plaat gelijk is. (b) Laat zien dat hieruit volgt dat de temperatuur lineair varieert in de plaat. Formuleer de functie die de temperatuur in de plaat beschrijft en bereken wat de totale warmtestroom per seconde van het ene voorwerp naar het andere is. (c) Nu wordt naast de stalen plaat een even grote koperen plaat (k = 200 J/smo C) gelegd die ook beide voorwerpen met elkaar verbindt. Wat is nu de totale warmtestroom van het hete naar het koude voorwerp? (d) De platen worden vervolgens aan ´e´en zijde aan elkaar bevestigd en een kwartslag gedraaid, zodat de warmte eerst door 5 cm van de stalen plaat en vervolgens door 5 cm van de koperen plaat van het ene voorwerp naar het andere stroomt (zie figuur). Na verloop van tijd stelt zich weer een evenwicht in. Geldt nu nog steeds dat de warmtestroom op elke positie in de platen gelijk is? Verklaar uw antwoord. Bereken in deze situatie de temperatuur in de platen en de totale warmtestroom per seconde.
0o C
staal
100o C
Situatie bij onderdeel (a) en (b)
0o C
koper staal
100o C
Situatie bij onderdeel (d)
Normering: 1
a) b) c) d)
2 2 2 2
pnt. pnt. pnt. pnt.
2
6
pnt.
3
a) b)
6 3
pnt. pnt.
4
a) b) c)
4 2 3
pnt. pnt. pnt.
5
6
pnt.
6
Totaal: 50 punten
Formules • Dichtheid: ρ =
m V ;
• Relatieve dichtheid: σ = ρ/ρw , ρw dichtheid van water • Druk: p =
F A dp dy
• Drukverandering door zwaartekracht:
= −ρ g, waaruit volgt: p = p0 + ρ gh
y • Atmosfeer: p(y) = p0 exp( −ρp00gy ) = p0 exp( −gM RT0 )
• Opwaartse kracht: Fopw = ρf gV 0 ; drijven • Oppervlakte spanning: γ = • Capillaire stijghoogte: h =
F L
=
W ∆A ;
V0 V
=
ρ ρf
vloeistofdruppel: ∆p =
2γ R
2γ cos φ ρgr
• Continu¨ıteit: ρ1 v1 A1 = ρ2 v2 A2 , of v1 A1 = v2 A2 als ρ = constant • Bernoulli: p1 + 12 ρv12 + ρgy1 = p2 + 12 ρv22 + ρgy2 q p 2H 2 • Torricelli: v1 = 2g(y2 − y1 ); T = A A1 g • Pitotbuis: v1 =
p
2(p2 − p1 )/ρ
dv • Viskeuze wrijvingskracht: F = −ηA dy
• Poiseuille: v(r) =
(p1 −p2 ) 2 4ηL (R
• Reynoldsgetal: Re =
− r2 ); Q =
π(p1 −p2 )R4 8ηL
v ¯Dρ η
• Gemodificeerd Bernoulli: X fi Li 1 X X 1 2 1 1 ρv1 + p1 + gρy1 = ρv22 + p2 + gρy2 + ( )( ρvi2 ) + (Ki )( ρvi2 ) + ∆pi 2 2 Di 2 2 i i i (∆pi bijv. pomp) • Weerstandsco¨effici¨ent laminaire stroming in buis: fi =
64 Re
• Laminaire stroming om voorwerp: Fw = kv als Re0 =
v ¯Lρ η
• Laminaire stroming om bol: Fw = 6πηRv als Re0 = • Sedimentatiesnelheid: vT =
(ρ0 −ρ)V g k
v ¯Rρ η
<1
<1
a) b) c) d)
2 4 2 4
pnt. pnt. pnt. pnt.
• Constanten: Avogadro: NA = 6, 02 × 1023 ; Boltzmann: k = 1, 38 × 10−23 J/K; atoommassa mu = 1, 67 × 10−27 kg; Stefan-Boltzmann: σ = 5, 67 × 10−8 W/(m2 K4 ); universele gasconstante R = 8, 31 J/(mol K) • Uitzetting: ∆L = α L0 ∆T ; ∆V = β V0 ∆T ; (β ≈ 3α) • Thermische spanning: F/A = α ∆T E • Ideale Gaswet: pV = N kT = nRT met N = NA n en R = kNA of p = nV RT , met nV = n/V • Van der Waals: (p +
a v 2 )(v
− b) = RT met v = V /n p • kinetische theorie: 12 mv 2 = 23 kT ; vrms = v 2 • Vochtigheid bij T1 : R =
p pv (T1 )
D V • Diffusie: J = −D dn dx = − RT
• Vrije weglengte: lm =
× 100% =
dpi dx
pv (T2 ) pv (T1 )
× 100%
(R: gasconstante)
√1 4π 2r 2 NV
• Warmte vast/vloeibaar: Q = ∆U = mc∆T • Warmte gas (V constant): Q = ∆U = mcv ∆T • Warmte gas (p constant): Q = ∆U + p∆V = mcp ∆T • Warmte fase-overgang: QV,F = mlV,F • Geleiding:
dQ dt
= −kA dT dx
• Convectie:
dQ dt
= −hA(T − T∞ )
• Straling:
dQ dt
4 = eσA(T 4 − Tomg )
• Zonnestraling:
dQ dt
• Warmteflux: q =
= eAZ cos θ
1 dQ A dt
Uitwerking Tentamen Fysische Verschijnselen (4B260) 16 juni 2005, 9.00–12.00 uur
Opgave 1: Een treinwagon met olie (a) Hiervoor kunnen we de normale formule p = p0 + ρgh gebruiken, met h de diepte. Dit levert: p1 = 1 × 105 + 850 × 9, 8 × 2 = 116, 66kPa. (b) De druk varieert ook in horizontale richting, omdat de wagon versnelt. De formule is vergelijkbaar met die voor drukverschillen ten gevolge van zwaartekracht, maar het teken is in eerste instantie misschien vreemd. De wagon versnelt van links naar rechts, maar dat betekent dat de vloeistof ten opzichte van de wagon van rechts naar links versnelt. De druk is links dus groter dan rechts. Als x de horizontale co¨ordinaat is, die toeneemt van links naar rechts geldt dus: p(x) = px=0 −ρax. Je vindt zo p2 = p1 −ρal met l de lengte van de wagon, zodat: p2 = 112, 41kPa. (c) Noem h2 de hoogte van de olie rechts in de wagon. Dan geldt: p2 = p0 + ρgh2 . Hierin is h2 de enige onbekende: p2 − p0 h2 = = 1, 49 m. ρg (d) We nemen (x, y) als co¨orinatensysteem met de oorsprong links boven in de wagon (op het oppervlak van de olie). Met behulp van (a) en (b) vinden we dat p(x, y) = p0 − ρ(gy + ax). Op het oppervlak is de druk overal gelijk aan p0 . Daar geldt dus gy + ax = 0, oftewel y = − ag x. Dit is een rechte lijn door de punten (0, 0) en (5, −1, 49). Opgave 2: Een leeglopend vat Hierop kunnen we Bernoulli toepassen. We kiezen punt 1 op het wateroppervlak in het vat en punt 2 aan het einde van het gat. Deze twee punten worden door een stroomlijn met elkaar verbonden. In het algemeen geldt: 1 1 p1 + ρv12 + ρgy1 = p2 + ρv22 + ρgy2 . 2 2 Omdat beide punten met de buitenlucht in contact staan geldt dat p1 = p2 = p0 . Verder is het vat zo groot dat v1 ≈ 0 en tenslotte geldt dat y1 − y2 = h. We vinden zo dat h=
v22 . 2g
Omdat de hoogte constant is in de tijd stroomt er evenveel water in het vat als eruit. Dit betekent dat Q = v2 A, zodat Q2 h= . 2gA2 Nu moeten we alles nog in SI-eenheden uitrekenen: h=
602
0, 12 = 0, 14 m. × 2 × 9, 8 × (10 × 10−4 )2
Opgave 3: Een infuus (a) De druk aan de ingang van de naald moet gelijk zijn aan de druk in het bloedvat (die gelijk is aan p0 + ∆pover ) plus het viskeuze drukverlies in de naald. Anderzijds is deze druk gelijk aan p0 + ρgh met p0 de luchtdruk en h het gevraagde hoogteverschil. Dus ρgh = ∆pover + ∆pvisk. . De overdruk is gegeven als 2kPa en het viskeuze drukverlies kunnen we berekenen uit Q= ∆p =
π∆pR4 : 8ηL
8 × 6, 15 × 10−3 × 2 × 10−2 × 3 × 10−6 = 9788Pa. 60 × (2 × 10−4 )4 × π
We vinden dat h=
11788 = 1, 0 m. 9, 8 × 1, 2 × 103
(b) De volumestroom door de slang is uiteraard gelijk aan die door de naald. Als we de grootheden in de slang 1 noemen en die in de naald 2, geldt dus: Q1 = zodat
µ R1 =
R24 L1 ∆p2 L2 ∆p1
π∆p1 R14 π∆p2 R24 = Q2 = , 8ηL1 8ηL2
¶1/4
µ >
(2 × 10−4 )4 × 100 2 × 10−2
¶1/4 = 1, 68 mm.
Hierbij hebben we voor L1 de bij (a) gevonden 1 meter genomen. De diameter van de slang moet dus minstens 3,36 mm zijn. Opgave 4: Verdamping van bier uit een glas (a) De handigste formule voor de molaire flux is in dit geval J =−
D dpi RT dx
met pi de parti¨ele druk. Bovenin het glas is de parti¨ele druk van beide stoffen gelijk aan nul, op het vloeistofoppervlak is de parti¨ele druk van beide stoffen gelijk aan de verzadigingsdampdruk, voor water gelijk aan 2100 Pa en voor alcohol aan 270 Pa. De afstand van het vloeistofoppervlak tot de bovenkant van het glas is 3,8 cm en de temperatuur is 292 K. Dus Jwaterdamp =
1, 3 × 10−5 2100 2 = 2, 96 × 10−4 mol/m s 8, 31 × 292 3, 8 × 10−2
Jalcoholdamp =
1, 3 × 10−5 270 2 = 3, 81 × 10−5 mol/m s. 8, 31 × 292 3, 8 × 10−2
en
(b) De fractie alcohol in de weggevoerde damp is gelijk aan 3, 81 × 10−5 = 0, 11. 3, 81 × 10−5 + 2, 96 × 10−4 Er zit dus 11% alcohol in de weggevoerde damp. Dit is meer dan in de vloeistof. De concentratie alcohol in de vloeistof neemt dus af. (c) Het aantal mol water in de vloeistof is gelijk aan n = 0, 95AhnV met A de oppervlakte van het glas, h de hoogte van de vloeistof en nV de molaire dichtheid. De factor 0,95 staat er omdat 95% van de vloeistofmoleculen water is. Het aantal mol dat per seconde de vloeistof verlaat is gelijk aan dn dt = Jwaterdamp A. De tijd die het duurt voordat al het water verdampt is, is dus gelijk aan: t=
n 0, 95AhnV 0, 95 × 2 × 10−3 × 55 × 103 = = = 3, 53 × 105 s. dn/dt Jwaterdamp A 2, 96 × 10−4
Dit is gelijk aan 98 uur. Hierbij is aangenomen dat J niet van de tijd afhangt, wat in werkelijkheid niet zo zal zijn, want de afstand van het vloeistofoppervlak tot de bovenkant van het glas wordt steeds groter. Opgave 5: Smeltend kwik In dit probleem leveren de aluminium beker en het water door af te koelen energie die gebruikt wordt om het kwik te doen smelten en op te warmen. De energie die geleverd wordt is gelijk aan (mw cw + mal cal )∆T = (0, 8 × 4, 2 + 1 × 0, 9) × 8, 9 = 37, 9 kJ. De energie die nodig is om het kwik
op te warmen is gelijk aan mk ck ∆T = 2 × 0, 14 × 50, 1 = 14, 03 kJ. Het kost dus 23,87 kJ om het kwik te doen smelten. Omdat er 2 kg kwik is, is de smeltwarmte dus 23,87/2=11,9 kJ/kg. Opgave 6: Warmtegeleiding door een plaat (a) In de evenwichtstoestand is de temperatuur in de plaat constant in de tijd. Dat betekent dat in ieder stukje van de plaat evenveel warmte aan de rechterkant naar binnen moet stromen als er aan de linkerkant uitstroomt. Dus de warmtestroom is op iedere plaats gelijk. dT (b) De warmtestroom wordt gegeven door dQ dt = −kA dx . Deze is constant, laten we zeggen gelijk aan C. Dan volgt dat T = −kACx + B met B een andere constante. Op x = 0 geldt T = 0o C en op x = 0, 1 cm geldt dat T = 100o C. Hieruit kunnen B en C bepaald worden. Het uiteindelijke resultaat is: T = 1000x (met x in meter en T in o C). −3 De totale warmtestroom wordt nu dQ × 0, 05 = 4 W. dt = 1000kA = 1000 × 40 × 2 × 10 (c) De temperatuurverdeling in de koperen plaat is precies hetzelfde als in de stalen plaat. De temperatuurgradi¨ent is dus ook gelijk. Dat betekent dat de warmtestroom door de koperen plaat gegeven wordt door dQ dt = 1000kkoper A = 20 W. De totale warmtestroom is de som van de twee: 24 W. (d) In de evenwichtssituatie geldt ook nu dat de warmtestroom overal in de plaat gelijk is, want anders zou de temperatuur gaan veranderen. Dus de temperatuur in beide platen is een lineaire functie van x, maar wel met andere helling. Stel dat de temperatuur op de verbinding tussen koper en staal gelijk is aan T1 . Dan geldt dat T1 kkoper = (100 − T1 )kstaal . Hieruit volgt dat T1 = 16, 7o C. Voor x ≤ 0, 05 m geldt dan T (x) = 333x en voor x ≥ 0, 05 m: T (x) = 1667x − 66, 7. Omdat de warmtestroom overal gelijk is kunnen we de totale warmtestroom berekenen uit die door dQ −3 het koper. Daar geldt: dT × 0, 1 = 13, 3 dx = 333, zodat dt = 333kkoper A = 333 × 200 × 2 × 10 W. Let op dat de oppervlakte A hier tweemaal zo groot is als in onderdeel (b), want de breedte van de plaat is hier 10 cm.
