Tentamen Inleiding Warmte en Stroming (4B260) 9 maart 2009, 9.00–12.00 uur ——————————————————————————————————————— • MOTIVEER ALLE ANTWOORDEN • DE NORMERING EN EEN FORMULEBLAD ZIJN BIJGEVOEGD ———————————————————————————————————————
Opgave 1: Drukverdeling in een centrifuge Een cilindrisch vat met straal R en hoogte H, dat gedeeltelijk met water is gevuld, draait om zijn as die evenwijdig is met de verticale richting. De draaisnelheid is gelijk aan n omwentelingen per minuut. In deze opgave gebruiken we r als de afstand van een punt in het vat tot de rotatie-as. De centrifugaalkracht is gelijk aan Fc = mω 2 r, waarbij ω de omwentelingssnelheid is. Ter plekke van de rotatie-as (r = 0) is de waterhoogte gelijk aan h. De luchtdruk is gelijk aan p0 . (a) Hoe groot is de druk op de bodem van het vat op r = 0? (b) Toon aan dat op constante hoogte kleiner dan h geldt dat p(r) = pas + 12 ρω 2 r 2 , met pas de druk op dezelfde hoogte op r = 0. (c) In welk punt in het vat is de druk maximaal en hoe groot is hij daar als h =0,2m, R=0,1m en n=200 omwentelingen per minuut? (d) Wat is minimale waarde van H in de situatie van onderdeel (c) om ervoor te zorgen dat het vat niet overstroomt?
ω
H r
R
Opgave 2: Een venturimeter Snelheden van vloeistofstromingen kunnen gemeten worden met behulp van de venturimeter, zoals getekend in onderstaande figuur. Neem aan dat de druk over de gehele dwarsdoorsnede van de leiding gelijk is aan de druk in het midden ervan. De massadichtheid van de stromende vloeistof is gelijk aan ρ en die van de manometervloeistof is gelijk aan ρm . De manometer is verticaal bevestigd, terwijl de stroming horizontaal is. De diameter van de leiding bij punt 1 is gelijk aan D1 en bij punt 2 gelijk aan D2 . (a) Druk het drukverschil p1 − p2 uit in beide massadichtheden, en hoogteverschil h. (b) Geef het verband tussen de snelheid in de leiding v1 en de beide diameters, massadichtheden en hoogteverschil h. Verwaarloos hierbij viskeuze drukverliezen in de venturimeter. (c) Als manometer heb je de keuze tussen ethanol (ρm =790 kg/m3 ), palmolie (ρm =884 kg/m3 ), Castor olie (ρm =952 kg/m3 ) en benzeen-ethanol (ρm =1020 kg/m3 ). Welke van deze vloeistoffen is in de getekende venturimeter het meest geschikt om met grote nauwkeurigheid kleine snelheden van het water te meten?
manometervloeistof
h
p
1
water
p
2
Opgave 3: Verdamping van water uit een glas In een cilindervormig glas met een diameter van 5 cm en een hoogte van 10 cm bevindt zich een bodempje water van 1 mm hoog. Het glas staat aan de bovenkant in contact met de omgevingslucht die een relative vochtigheid heeft van 50%. Het water verdampt, zodat de dampdruk aan het wateroppervlak gelijk is aan de verzadigingsdampdruk pv . Er ontstaat een diffusiestroom van waterdamp van het wateroppervlak naar de bovenkant van het glas. We nemen aan dat de concentratie waterdamp overal constant is in de tijd. De temperatuur is gelijk aan 20o C, waarvoor pv =2,33 kPa. (a) Bereken de molaire flux J van de waterdamp uit het glas, als gegeven is dat de diffusieconstante van waterdamp in lucht gelijk is aan D = 1, 3 × 10−5m2 /s. (b) Stel een vergelijking op die beschrijft hoe de hoogte van het water in het glas in de tijd verandert. (c) Schat hoe lang het duurt voordat het glas leeg is. Neem hierbij aan dat J niet in de tijd verandert. De molaire massa van water is 0,018 kg/mol en ρwater =1000 kg/m3 . (d) Waarom zal dit in werkelijkheid veel korter duren?
Opgave 4: Een hete-lucht oven Een hete-lucht oven wordt gebruikt om aluminium te smelten. De oven heeft de vorm van een kubus, waarvan de wanden een temperatuur van 900o C hebben. Ook wordt er hete lucht met dezelfde temperatuur doorgeleid. Deze oven wordt gebruikt om een aluminium bol met straal R = 0, 1m en begintemperatuur 20o C in te smelten. Deze bol is vrij van alle wanden van de oven opgehangen. Bij deze opgave kunnen de volgende grootheden nodig zijn. De dichtheid van aluminium is ρ = 2, 7 × 103 kg/m3 , de soortelijk warmte c = 922J/(kgo C), het smeltpunt is 658oC, de smeltwarmte is lV = 377kJ/kg, de warmtegeleidingsco¨effici¨ent is kAl = 237 J/(s mo C) en de emissieco¨effici¨ent is e = 0, 09. De convectieve warmte-overdrachtsco¨effici¨ent voor lucht is voor natuurlijke convectie gelijk aan 10 W/m2o C en voor gedwongen convectie 200 W/m2o C. De warmtegeleidingsco¨effici¨ent van lucht is kl = 0, 026 J/(s mo C). Het volume van een bol met straal R is V = 34 πR3 en het oppervlak A = 4πR2 . (a) Hoeveel energie is nodig om de bol te laten smelten? (b) Welke mechanismen van warmte-overdracht spelen een rol bij het verwarmen van de aluminium bol? (c) Bereken in de beginsituatie de hoeveelheid warmte die per seconde aan de bol wordt overgedragen. (d) Als je aanneemt dat de temperatuur van de bol op ieder moment homogeen is (niet van de plaats afhangt), hoe lang duurt dan het smeltproces (vanaf het moment dat de bol de smelttemperatuur heeft bereikt, maar nog vast is)? Neem hierbij ook aan dat de bol bolvormig blijft en dezelfde oppervlakte houdt. Opgave 5: Theorie (a) Als in een vat met water een dun capillair gezet wordt, stijgt het water in het capillair. Is de druk in het water in het hoogste punt in het capillair, p, groter dan, gelijk aan, of kleiner dan de luchtdruk, p0 ? Vergeet de verklaring niet.
p0
p
(b) Hoe groot is de kubieke uitzettingsco¨effici¨ent van een ideaal gas? (c) Schets het fasediagram (pT -diagram) van water en geef hierin het tripelpunt en het kritisch punt aan. (d) Leg uit hoe door bepaling van het dauwpunt de relatieve vochtigheid van lucht gemeten kan worden. (e) Waarom is cp van een gas groter dan cv ?
Normering: 1
a) b) c) d)
2 3 3 2
pnt. pnt. pnt. pnt.
2
a) 3 b) 5 c) 2
pnt. pnt. pnt.
3
a) b) c) d)
4 2 2 2
pnt. 4 pnt. pnt. pnt.
a) b) c) d)
3 2 3 2
pnt. 5 pnt. pnt. pnt.
a) b) c) d) e)
2 2 2 2 2
Totaal: 50 punten
Formules • Dichtheid: ρ =
m ; V
• Relatieve dichtheid: σ = ρ/ρw , ρw dichtheid van water • Druk: p =
F A dp dy
• Drukverandering door zwaartekracht:
= −ρ g, waaruit volgt: p = p0 + ρ gh
y • Atmosfeer: p(y) = p0 exp( −ρp00gy ) = p0 exp( −gM ) RT0
• Opwaartse kracht: Fopw = ρf gV ′ ; drijven F L
• Oppervlakte spanning: γ = • Capillaire stijghoogte: h =
=
W ; ∆A
V′ V
=
ρ ρf
vloeistofdruppel: ∆p =
2γ R
2γ cos φ ρgr
• Continu¨ıteit: ρ1 v1 A1 = ρ2 v2 A2 , of v1 A1 = v2 A2 als ρ = constant • Bernoulli: p1 + 12 ρv12 + ρgy1 = p2 + 12 ρv22 + ρgy2 • Torricelli: v1 =
q
• Pitotbuis: v1 =
q
2g(y2 − y1 ); T =
A2 A1
q
2H g
2(p2 − p1 )/ρ
• Viskeuze wrijvingskracht: F = −ηA dv dy • Poiseuille: v(r) =
(p1 −p2 ) (R2 4ηL
• Reynoldsgetal: Re =
− r 2 ); Q =
π(p1 −p2 )R4 8ηL
v¯Dρ η
• Gemodificeerd Bernoulli: X fi Li 1 X X 1 2 1 1 ρv1 + p1 + gρy1 = ρv22 + p2 + gρy2 + ( )( ρvi2 ) + (Ki )( ρvi2 ) + ∆pi 2 2 Di 2 2 i i i
(∆pi bijv. pomp) • Weerstandsco¨effici¨ent laminaire stroming in buis: fi = • Laminaire stroming om voorwerp: Fw = kv als Re′ =
64 Re
v¯Lρ η
<1
pnt. pnt. pnt. pnt. pnt.
• Laminaire stroming om bol: Fw = 6πηRv als Re′ = • Sedimentatiesnelheid: vT =
v¯Rρ η
<1
(ρ0 −ρ)V g k
• Constanten: Avogadro: NA = 6, 02 × 1023 ; Boltzmann: k = 1, 38 × 10−23 J/K; atoommassa mu = 1, 67 × 10−27 kg; Stefan-Boltzmann: σ = 5, 67 × 10−8 W/(m2 K4 ); universele gasconstante R = 8, 31 J/(mol K); 1 atm.=1,013×105 Pa. • Uitzetting: ∆L = α L0 ∆T ; ∆V = β V0 ∆T ; (β ≈ 3α) • Thermische spanning: F/A = α ∆T E • Ideale Gaswet: pV = NkT = nRT met N = NA n en R = kNA of p = nV RT , met nV = n/V • Van der Waals: (p +
a )(v v2
− b) = RT met v = V /n √ • kinetische theorie: 21 mv 2 = 32 kT ; vrms = v 2 • Vochtigheid bij T1 : R =
p pv (T1 )
D V • Diffusie: J = −D dn = − RT dx
× 100% =
dpi dx
pv (T2 ) pv (T1 )
× 100%
(R: gasconstante), met D = 13 vlm ; lm =
• Warmte vast/vloeibaar: Q = ∆U = mc∆T • Warmte gas (V constant): Q = ∆U = mcv ∆T • Warmte gas (p constant): Q = ∆U + p∆V = mcp ∆T • Warmte fase-overgang: QV,F = mlV,F • Geleiding:
dQ dt
= −kA dT dx
• Convectie:
dQ dt
= −hA(T − T∞ )
• Straling:
dQ dt
4 = eσA(T 4 − Tomg )
• Zonnestraling:
dQ dt
• Warmteflux: q =
= eAZ cos θ 1 dQ A dt
• Nusselt: Nu = qconvectie /qgeleiding = hL/k
√1 4π 2r 2 NV
