Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 15 augustus 2013, 9:00-12:00 uur

Faculteit Biomedische Technologie Tentamen OPTICA (8N040) 15 augustus 2013, 9:00-12:00 uur Opmerkingen: 1) Lijsten met de punten toegekend door de corrector worden op OASE gepubliceerd. De antwoorden van de opgaven van dit tentamen worden op OASE gezet. U kunt dan zelf uw score opmaken, en zien of die ruwweg overeenkomt met wat u door de corrector is toebedeeld. Is dat niet zo, dan kunt u tot uiterlijk 18 augustus een E-mail sturen naar [email protected] en u aanmelden voor een individueel onderhoud met de docenten. U krijgt per E-mail bericht wanneer en waar u verwacht wordt. 2) Het is toegestaan gebruik te maken van eigenhandig geschreven aantekeningen; maximaal twee kantjes A4-formaat. 3) Alle apart genummerde vragen tellen even zwaar en worden bij correcte beantwoording gehonoreerd met 3 punten. Uitzondering hierop is opgave 1 waarbij de apart genummerde vragen elk maximaal 2 punten kunnen opleveren. 4) Uw antwoorden dienen bondig te zijn en geformuleerd in lopende zinnen. Vermijd excessief en exclusief gebruik van formules en/of vergelijkingen.

Opgave 1. Begrippen

Leg in een paar zinnen uit wat de volgende begrippen inhouden. Bespreek zowel de fysische oorsprong als de praktische gevolgen. Gebruik hierbij geen of een minimum aan vergelijkingen. 1.1. Principe van Fermat. 1.2. Sferische aberratie. 1.3. Dopplereffect. 1.4. Brewstervenster.

-1-

Opgave 2. Geometrische optica

Beschouw onderstaand optisch systeem, bestaande van links naar rechts uit een positieve dunne lens, een negatieve dunne lens en een sferische spiegel. Een voorwerp (de zwarte pijl) staat in het midden tussen de positieve lens en zijn brandpunt met waarde 𝑓1. De negatieve lens staat op een afstand 2𝑓1 𝑓 van de positieve lens en heeft een brandpuntsafstand 𝑓2 = − 1 . Het centrum van de sferische spiegel 2

valt samen met de positie van de negatieve lens en de kromtestraal van de spiegel is zoveel als mogelijk numerieke antwoorden in vereenvoudigde breuken te geven.

3𝑓1 . 2

Probeer

2f1

+

-

3f1/2

f1/2 f1

f1/2

2.1. Een experimentator kijkt vanaf links door het systeem en ziet een vergroot beeld van het voorwerp. Hij ziet dit beeld tussen de twee lenzen. Verklaar hoe dit beeld tot stand komt en of het virtueel dan wel reëel is. Geef tevens de constructietekening op het werkblad. Tip: maak eerst een tekening op kladpapier. 2.2. Bereken voor opgave 2.1 waar het beeld komt te liggen. Geef uw antwoord gemeten ten opzichte van de positieve lens en in termen van zijn brandpuntsafstand 𝑓1. Bereken tevens de vergroting.

2.3. De experimentator vindt tussen de negatieve lens en de spiegel ook een scherp beeld door hier op de juiste plek een transparant stukje plastic te houden. Is dit beeld dan virtueel of reëel? Bereken de plaats van het beeld ten opzichte van de negatieve lens en in termen van 𝑓1. Geef tevens de constructietekening op het werkblad.

2.4. De positieve dunne lens is dubbelbol, dat is (), gemaakt van kwarts (𝑛 = 1,50) en heeft kromtestralen van 6 en 3 cm. Bereken de brandpuntsafstand in lucht. Als de negatieve lens vlakhol 𝑓

is, dat is |(, wat moet dan de kromtestraal van het gebogen deel zijn om te voldoen aan 𝑓2 = − 1 ? 2

-2-

Opgave 3. Oog

3.1. Beschrijf het fenomeen verziendheid (hypermetropie) en wat doorgaans de fysiologische grondslag hiervoor is. Met wat voor lens (positief of negatief) kan hypermetropie worden verholpen en waarom? 3.2. Een bijziend (myopisch) persoon heeft zijn vertepunt op 50 cm. Bereken de dioptrie van de brillenlens die nodig is om dit te corrigeren. Wat is met bril het nabijheidspunt dat eerst op 15 cm lag? 3.3. Onder water kunnen mensen slecht zien. Leg uit hoe dit komt en waarom het dragen van een duikbril dit probleem verhelpt.

Opgave 4. Interferentie en buiging

Gegeven een dubbele spleet met spleetbreedte van 10 µm en spleetafstand van 50 µm. Een homogene en monochromatische lichtbundel met golflengte van 500 nm beschijnt de twee spleten en veroorzaakt op een scherm 2 m achter de spleten een diffractie- en interferentiepatroon. 4.1. Bereken de afstand tussen de interferentiemaxima op het scherm. 4.2. Wat is de totale breedte van de centrale diffractiepiek op het scherm? De piek eindigt daar waar de intensiteit tot nul is gereduceerd. 4.3. Hoeveel interferentiemaxima passen er in deze centrale diffractiepiek? Het centrale maximum telt mee, maar uiteraard niet de maxima op de randen. 4.4. Teken op het assenstelsel op het werkblad globaal de intensiteitsverdeling voor a) het diffractiepatroon en b) het interferentiepatroon. Op het werkblad is a de spleetafstand en 𝜃 de halve openingshoek, beide zoals op het formuleblad. Beschrijf kort hoe u uw grafieken hebt geconstrueerd.

-3-

Opgave 5. Polarisatie 5.1.

Geef de resulterende polarisatierichting en de lichtintensiteit van het uittredende licht als het invalt op een kwart-lambdaplaatje, waarbij a) lineair gepolariseerd licht een hoek van 45° maakt met de snelle as, b) lineair gepolariseerd licht parallel is aan de snelle as, c) natuurlijk licht invalt op het kwart-lambdaplaatje.

5.2.

In onderstaand polariserend prisma wordt gepolariseerd licht in twee verschillende richtingen afgebogen. Het bestaat uit twee stukken gelijkaardig materiaal waarvoor geldt dat 𝑛𝑜 > 𝑛𝑒 . Wat is de naam van dit prisma en wat is de richting van de optische as in de delen A en B?

B

A Opgave 6. Microscopie 6.1.

Een conventionele samengestelde microscoop heeft een vergroting van 400x met een 10x oculair. De afstand tussen het oculair en het objectief is 18,9 cm. Bereken de tubuslengte, de brandpuntsafstand van het objectief en de brandpuntsafstand van het oculair. Neem het standaard nabijheidspunt van 25,0 cm.

6.2.

Een microscoop met een 40x objectief heeft een numerieke apertuur van 0.7 en staat optimaal ingesteld. Wat is de minimale grootte van details die nog te onderscheiden zijn? We gebruiken zichtbaar licht met een gemiddelde golflengte van 500 nm.

-4-

Werkblad horende bij Tentamen Optica voor BMT (8N040), 15 augustus 2013 Naam: ___________________________________________________________________________ Studentnummer: __________________ Opgave 2.1

+

-

+

-

Opgave 2.3

Z.O.Z. -5-

Intensiteit

Opgave 4.4

0

𝜆 𝑎

2𝜆 𝑎

3𝜆 𝑎

4𝜆 𝑎

5𝜆 𝑎

-6-

6𝜆 𝑎

7𝜆 𝑎

sin 𝜃

Antwoorden: 1.1.

Het principe van Fermat zegt dat licht tussen twee punten A en B het pad volgt dat afgelegd wordt in de kortst mogelijke tijd. Praktische gevolgen zijn het optreden van breking als licht een mediumovergang tegenkomt en het ontstaan van fata morgana’s, doordat dan de brekingsindex varieert met de afstand tot de grond.

1.2.

De afbeeldingsfout van een lens, een spiegel of een lenzenstelsel, die wordt veroorzaakt doordat niet alle stralen paraxiaal (dichtbij de optische as) binnenvallen. Bij een zuivere bolvorm zullen parallelle lichtstralen die op verschillende afstanden van de optische as binnenvallen hierdoor niet in hetzelfde brandpunt samenvallen. In de praktijk kan dit worden ondervangen door de oppervlakken asferisch (parabolisch, elliptisch, etc.) te slijpen of gebruik te maken van een goede combinatie van meerdere optische elementen.

1.3.

De waargenomen verandering van frequentie van geluid, licht of ander golfverschijnsel, veroorzaakt door een snelheidsverschil tussen de zender en de ontvanger. Golffronten worden in elkaar gedrukt als de bron naar de waarnemer toe beweegt wat resulteert in een kleinere golflengte en hogere frequentie. Praktische gevolgen zijn de veranderende toonhoogte van een voorbijrijdende trein of voertuig met sirene (geluid) en de roodverschuiving van sterrenstelsels (optisch).

1.4.

Een venster wat geplaatst is onder de zogenaamde brewster-hoek zodat één polarisatierichting volledig wordt doorgelaten. Bij gebruik in combinatie met een gepolariseerde lichtbundel, zoals van een laser, wordt deze bundel bij een goede oriëntatie volledig doorgelaten (geen reflectie).

2.1.

De experimentator kijkt van links, dus stralen moeten zijn ogen van rechts naar links bereiken. Lichtstralen verlaten het voorwerp dus naar links en worden afgebroken door de lens. Doordat het voorwerp tussen de lens en het brandpunt staat zullen de lichstralen na de lens divergeren. Links van de lens vormt zich dus geen (reëel) beeld. Echter, rechts van de lens lijken de stralen samen te komen en vormen zodoende daar een virtueel beeld.

2.2.

Dunnelensformule: 𝑠

−𝑓1

𝑚 = − 𝑠𝑖 = − 1 𝑜

𝑓 2 1

1 𝑠𝑜

+

1 𝑠𝑖

1 𝑓

1 2

1

= . 𝑠𝑜 = 𝑓1 , 𝑓 = 𝑓1 ⇔ 1 + 𝑓1

2

1 𝑠𝑖

=

1 𝑓1

⇔ 𝑠𝑖 = −𝑓1 . Vergroting:

= 2. Het virtuele beeld (𝑠𝑖 < 0) ligt rechts van de lens in zijn brandpunt, staat

rechtop en is 2x vergroot.

2.3. Het beeld kan worden afgebeeld op een scherm, dit maakt het (per definitie) een reëel beeld. 1 1 1 We vertrekken nu naar rechts van het voorwerp. Beeld gevormd door negatieve lens: 𝑠 + 𝑠 = 𝑓 . -7-

𝑜1

𝑖1

2

3 2

Met 𝑠𝑜1 = 𝑓1 en 𝑓2 =

1

1 2

− 𝑓1

=−

2 𝑓1

1

volgt 3 + 𝑓1

2

1 𝑠𝑖1

=−

2 𝑓1

⇔ 𝑠𝑖1 = −

3𝑓1 8

Dit is dus een virtueel beeld,

links van de negatieve lens. Dit tussenbeeld staat dus rechtop en is 4x verkleind. Dit dient als reëel 3𝑓1 3𝑓 15𝑓 + 21 = 8 1 en 𝑓 = 8 1 1 1 1 2 = ⇔ 15𝑓1 + = 3𝑓1 𝑠𝑖2 𝑓 𝑠𝑖2

voorwerp voor de spiegel (het staat er links van), dus 𝑠𝑜2 =

(de spiegel is hol kijkend met de stralen mee) volgt

1 𝑠𝑜2

+

Dit beeld is dus reëel (𝑠𝑖2 > 0) en staat op een afstand van 3𝑓1 2

−

2.4.

5𝑓1 4

=

𝑓1 4

rechts van de negatieve lens.

1 𝑓

1 𝑅1

Lenzenmakersformule: = (𝑛 − 1) �

−

1 � 𝑅2

1 1 2 ∞

= � −

hebben.

1 � 𝑅2

=−

1 2𝑅2

2

3𝑓1 2 5𝑓1 . 4

=

4 3𝑓1

⇔ 𝑠𝑖2 =

links van de rand van de spiegel, ofwel

1 1 1 3 1 − �= � �= . 3 cm −6 cm 2 6 cm 4 cm 1 gelden 𝑓2 = − 𝑓1 = −2 cm. Dan: 2

= (1,5 − 1) �

Ofwel, 𝑓 = 4 cm. Voor de negatieve lens moet dus 1 −2 cm

5𝑓1 4

8

𝑅 2

− . Met 𝑅 = −

⇔ 𝑅2 = 1 cm. Het gebogen deel moet een kromtestraal van 1 cm

3.1.

Verziendheid is een oogafwijking waarbij een persoon zonder accommodatie van het oog niet scherp kan zien. Voorwerpen uit het oneindige worden met een ontspannen ooglens achter het oog afgebeeld en het nabijheidspunt ligt verder weg dan normaal. De fysiologische grondslag is een te korte oogbol (of een te zwak optisch stelsel). Aangezien een verziend oog te weinig convergeert wordt dit verholpen door een convergende (positieve) lens voor het oog te plaatsen.

3.2.

Voorwerpen in het oneindige moeten in het myopisch vertepunt een virtueel beeld vormen: 1 1 1 1 1 1 1 1 + = ⇔ + = ⇔ 𝑓 = −50 cm = −0,50 m ⇒ 𝔇 = (m) = = −2,0 D. Dit

𝑠0

𝑠𝑖

𝑓

∞

−50 cm

𝑓

𝑓

−0,50 m

is dus een negatieve lens. Voorwerpen in het nieuwe nabijheidspunt worden in het oude 1 1 1 nabijheidspunt virtueel afgebeeld: 𝑠 + −15 cm = −50 cm ⇔ 𝑠𝑜 = 21 cm. Het nieuwe 𝑜

nabijheidspunt ligt 21 cm voor het oog.

3.3.

4.1.

De stap in brekingsindex van water (1,33) naar hoornvlies/cornea (1,376) is te klein om een substantiële brekende werking te bewerkstelligen. Een duikbril introduceert weer een laagje lucht tussen het hoornvlies en het water, waardoor de normale werking van het oog hersteld wordt.

sin 𝛽 2 � cos2 𝛼. Interferentiemaxima als 𝛽 1 𝜋𝑎𝑦 (in het verre veld), 𝛼 = 𝑚𝜋. Afstand tussen de maxima: Δ𝛼 = 𝜋. Verder 𝛼 = 𝑘𝑎 sin 𝜃 ≈ 2 𝜆𝐿 𝜋𝑎Δ𝑦 𝜆𝐿 500⋅10−9 m⋅2 m met 𝐿 = 2 m de afstand tot het scherm. Dan volgt 𝜋 = 𝜆𝐿 ⇔ Δ𝑦 = 𝑎 = 50⋅10−6 m =

Algemene uitdrukking voor een dubbele spleet: 𝐼 = 4𝐼0 � 2 cm. De afstand tussen de interferentiemaxima is 2 cm. -8-

4.2

De minima van de diffractiepieken liggen waar 1 2

sin 𝛽 𝛽

= 0, ofwel daar waar sin 𝛽 = 0 (𝛽 > 0). Het

eerste minimum ligt bij 𝛽 = 𝜋. Met 𝛽 = 𝑘𝑏 sin 𝜃 volgt analoog aan 4.1 dat het eerste minimum op een afstand

𝜆𝐿 𝑏

van het centrum ligt. De totale centrale diffractiepiek is het dubbele dus

breed. Dit komt neer op 4.3

4.4

2⋅500⋅10−9 m⋅2 m 10⋅10−6 m

= 20 cm.

2𝜆𝐿 𝑏

20

De afstand tussen de interferentiepieken is 2 cm (zie 4.1). Dit past = 10 × in de centrale 2 diffractiepiek. Als we het centrale maximum mee moeten tellen, maar de maxima op de randen niet, levert dit 10 − 2 + 1 = 9 pieken (zie ook 4.4). 𝜋𝑎

𝜋𝑎

𝑚𝜆

Interferentie: 𝐼 = cos2 𝛼 = cos2 � sin 𝜃�. Maxima als sin 𝜃 = 𝜋 ⇔ sin 𝜃 = . De maxima 𝜆 𝜆 𝑎 van het interferentiepatroon vallen dus samen met de assenstreepjes. De missing order is 5 5𝜆

Intensiteit

(𝑎 = 5𝑏), dus het diffractiepatroon is bij sin 𝜃 = nul. Verder volgt dit de sinc-kwadraat𝑎 functie. Dit geeft idealiter de volgende grafieken.

0

interferentie

𝜆 𝑎

2𝜆 𝑎

3𝜆 𝑎

4𝜆 𝑎

5𝜆 𝑎

6𝜆 𝑎

diffractie sin 𝜃 7𝜆 𝑎

5.1

In alle gevallen is de lichtintensiteit gelijk aan de oorspronkelijke. Een kwart-lambdaplaatje introduceert immers alleen een faseverschuiving tussen de loodrechte componenten van het gepolariseerde licht (onder c kan het natuurlijke licht opgebouwd worden uit 2 loodrechte, maar incoherente lineair gepolariseerde componententen). 𝜋 a) Er ontstaat een faseverschil van tussen de twee loodrechte componenten, die ontbonden op 2 de snelle as gelijke amplitude hebben: het licht wordt circulair gepolariseerd. b) Ontbonden op de snelle as is er maar één component, er kan dus geen faseverschil geïntroduceerd worden. Het licht treedt onveranderd uit het plaatje. c) Het faseverschil dat geïntroduceerd wordt door het plaatje zal doordat het licht incoherent is willekeurig zijn. Gemiddeld genomen zal het licht zich dus opnieuw gedragen als natuurlijk licht en ‘ongepolariseerd’ uittreden.

5.2.

Dit is een Wollaston prisma (1 punt) met de optische assen zoals in de onderstaande tekening. Dus: in A verticaal, in B loodrecht op het vlak van tekening (1 punt elk).

-9-

6.1.

𝑀𝑃 = −400 = 𝑀𝐴𝑒 𝑀𝑇𝑜 , met 𝑀𝐴𝑒 = 𝑀𝑇𝑜 =

𝑀𝑃 𝑀𝑒

=

−400 10

𝐿 𝑓𝑜

= − . Dus 𝑓𝑒 =

25 cm 𝑀𝐴𝑒

=

25 cm 10

𝐿 𝑓𝑜

=−

16,4 cm−𝑓𝑜 𝑓𝑜

=1−

16,4 cm 𝑓𝑜

⇔

16,4 cm 𝑓𝑜

= 41 ⇔ 𝑓𝑜 =

0,4 cm. Dan 𝐿 = 16,4 cm − 0,4 cm = 16,0 cm. Dus de tubuslengte is 16,0 cm, de brandpuntsafstand van het objectief is 0,4 cm en dat van het oculair is 2,5 cm.

Als de microscoop optimaal ingesteld staat is 𝑁𝐴𝑐𝑜𝑛𝑑 = 0.7𝑁𝐴𝑜𝑏𝑗 . Dus: 𝑦𝑚𝑖𝑛 =

1.22𝜆 1.7𝑁𝐴𝑜𝑏𝑗.

=

= 2,5 cm en

= −40. Verder 𝑓𝑜 + 𝑓𝑒 + 𝐿 = 18,9 cm ⇔ 𝑓𝑜 + 𝐿 = 16,4 cm ⇔ 𝐿 =

16,4 cm − 𝑓𝑜 . Dit geeft −40 = − 6.2.

25 cm en 𝑀𝑇𝑜 𝑓𝑒

1.22⋅500⋅10−9 1.7⋅0.7

m

= 512 nm.

- 10 -

1.22𝜆 𝑁𝐴𝑜𝑏𝑗. +𝑁𝐴𝑐𝑜𝑛𝑑 .

=