TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 1/7 Maandag 14 april 2014, 9.00-12.00
Maximum score is 50 punten. De deelscores zijn in de linkermarge aangegeven per opgave. Er zijn vijf opgaven. Begin met de vraag die je het makkelijkst kunt beantwoorden. Noteer deelstappen en argumentatie! - Alleen een antwoord (zonder argumentatie) levert geen punten op. - De argumentatie is dus minstens zo belangrijk als het antwoord. Ook goede antwoorden op delen van de vragen krijgen punten. Notebook is toegestaan, maar louter voor Matlab gebruik. Het formuleblad bevindt zich op pagina 7
Succes!
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 2/7 Maandag 14 april 2014, 9.00-12.00 1. Voor de validatie van een nieuwe meting van cardiac output (CO) met behulp van 3D ultrageluid zijn metingen verricht in vijf biggetjes, ieder met een verschillende cardiac output. De cardiac output was constant gedurende de operatie. De variatie in ultrageluid-gebaseerde CO per biggetje is weergegeven met zogenaamde error bars. Deze geven de standaarddeviatie weer (zie figuur hieronder, links). Ter vergelijk is de cardiac output net buiten het hart gemeten m.b.v. een flow meter die rondom de aorta is geplaatst. Deze mag beschouwd worden als de gouden standaard. Voor de flowmeter is aangenomen, dat de ’accuracy’ zeer hoog is. Gegeven zijn de Pearson en Spearman correlatie, respectievelijk 0.984 en 1.000, en een Bland-Altman plot (zie hieronder, rechts).
2 pnt
a. Bediscussieer de ’accuracy’ van de ultrageluidsmethode. Betrek in je analyse zowel ’precisie’ als ’trueness’.
1 pnt
b. Leg uit welke analyse het juiste beeld van de ’agreement’ tussen de twee methodes geeft: de correlatie(s) of de Bland-Altman plot
1 pnt
c. Geef aan en beargumenteer of je, op basis van deze gegevens en analyse, de gouden standaard zou kunnen vervangen door de niet-invasieve ultrageluidsmeting. Met behulp van 3D ultrageluid wordt de cardiac output bepaald door zowel het eindsystolisch (Vsys ), eind-diastolisch volume (Vdia ), beide in [ml], en de hartfrequentie (fheart ) in [Hz] te bepalen. Voor ´e´en varken zijn de volgende waarden gemeten: Vdia = 11 ± 2 [ml], Vsys = 2.0 ± 0.4 [ml] en fheart = 1.0 ± 0.1 [Hz]. Men mag aannemen dat alle onzekerheden onafhankelijk zijn.
2 pnt
d. Bereken het slagvolume (hoeveelheid volume dat het hart binnen een hartslag uitpompt) en bereken het 68% onzekerheidsinterval.
2 pnt
e. Bereken de cardiac output (hoeveelheid volume per minuut) en het bijbehorende 68% onzekerheidsinterval.
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 3/7 Maandag 14 april 2014, 9.00-12.00 2. Een vloeistof-gevulde catheter wordt gebruikt voor het meten van intravasculaire druk. De catheter bestaat uit een zeer stijve buis met een diafragma met een compliantie van 2 · 10−14 [m3 /Pa]. De weerstand van deze buis is R = 2.5 · 109 [Pa·s/m3 ] en de inductantie is gegeven door: L = 3.2 · 107 [kg/m4 ]. Bloedstroom
catheter vloeistof
diafragma
1 pnt
a. Dit systeem bevat twee complianties. Met welke compliantie dient rekening gehouden te worden, en met welke niet?
1 pnt
b. Teken het hydraulische (seri¨ele) circuit van dit systeem. Geef aan waar de ingang en uitgangsdrukken zich bevinden / gemeten worden.
2 pnt
c. Leid de differentiaalvergelijking voor dit systeem af. Je mag gebruiken maken van zowel de wetten van Kirchhoff als impedantie rekening.
3 pnt
d. Bepaal de systeem frequentie response functie S(ω), amplitude A(ω) en fase ϕ(ω). Werk symbolisch!
2 pnt
e. Bereken de natuurlijke en gedempte resonantiefrequentie en de dempingratio. Wat is de correcte term voor de demping van dit systeem? Er blijkt een luchtbel in de catheter vast te zitten. De compliantie van deze luchtbel is 2 · 10−10 [m3 /Pa].
2 pnt
f. Bereken de totale compliantie van het systeem met luchtbel. Rond of op ´e´en significant cijfer.
2 pnt
g. Bereken opnieuw de natuurlijke resonantie frequentie en dempingratio. Hoe zou je de demping van dit systeem nu noemen? Zal het systeem resoneren?
1 pnt
h. Bij welke waarde voor de compliantie zal er geen fase-draaiing optreden bij de eerste tien harmonischen (grondfrequentie f0 = 1 Hz)?
3. Een populaire techniek om de hartfrequentie bij Doptone Huid + vetlaag ongeboren kinderen te meten, is de zogenaamde Doptone. Dit apparaat gebruikt continuous wave ultrasound Doppler om de bloedsnelheid te Uterus detecteren en om te zetten in een hoorbaar geluid, hetgeen gebruikt kan worden om de hartslag te bepalen. Zie hiernaast een schematische voorstelling van Romp Vruchtwater foetus de buik van een vrouw, met in de uterus (= baarmoeder) het ongeboren kind (= foetus). De Foetale hart Doptone heeft een zendfrequentie van 3 MHz, een oppervlak van 1 cm2 en wordt op de buik geplaatst. Je mag aannemen dat het bundelprofiel van de Doptone een rechte, uniforme bundel is die niet divergeert of convergeert. Huid en vet worden als ´e´en orgaan gezien met dezelfde eigenschappen. De materiaaleigenschappen zijn: ρvet ρuterus ρwater ρf oetus
= 0.95 · 103 kg/m3 = 1.08 · 103 kg/m3 = 1.0 · 103 kg/m3 = 1.0 · 103 kg/m3
cvet cuterus cwater cf oetus
= = = =
1450 1580 1480 1540
m/s m/s m/s m/s
attvet attuterus attwater attf oetus
= = = =
0.6 dB/cm·MHz 1.5 dB/cm·MHz 0.002 dB/cm·MHz 0.7 dB/cm·MHz
3 pnt
a. Bereken hoeveel procent van de akoestische energie nog over is als het geluid eenmaal het hart heeft bereikt. Beschouw alleen reflecties en verwaarloos attenuatie.
1 pnt
b. Hoeveel procent van de totale uitgezonden akoestische energie bereikt uiteindelijk de transducent van de Doptone, uitgaande dat het overgebleven geluid vanuit het hart van de foetus in zijn totaliteit is gereflecteerd? We beschouwen nu de attenuatie in het lichaam. De huid/vet laag is 2 cm dik bij deze vrouw en de uterus spier is 1.5 cm. De foetus heeft een dwarsdoorsnede diameter van 10 cm en het hart ligt in het midden. De foetus is omgeven door een laag vruchtwater van 8 cm. De toegestane limiet van de Doptone is 0.1 W/cm2 .
2 pnt
c. Bereken de totale attenuatie van het ultrageluid van Doptone tot in het midden van het foetale hart.
3 pnt
d. Bereken het vermogen in [W] van het ultrageluid in het midden van het hart. Verwaarloos hierbij reflecties.
1 pnt
e. Mogen de reflecties verwaarloosd worden bij (c)?
1 pnt
f. Zullen de longen van de foetus wel of niet in beeld gebracht kunnen worden? Zo ja/nee, leg uit waarom.
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 5/7 Maandag 14 april 2014, 9.00-12.00 4. Gegeven een simpel model van de thorax voor het modelleren van hartmassage. Bij hartmassage wordt een periodieke kracht (Fex (t)) op het borstbeen (= ’sternum’) toegepast. De constantes voor dit systeem zijn: - Msternum = 1.0 · 10−1 kg - Bthorax = 2.8 · 102 Ns/m - Kthorax = 7.5 · 103 N/m. De kracht is gegeven door: Fex (t) = 400 cos 10t in [N]. De differentiaalvergelijking voor dit systeem wordt gegeven door:
Fext
M’sternum’
B’thorax’
K’thorax’
Msternum x00 (t) + Bthorax x0 (t) + Kthorax x(t) = Fex (t)
2 pnt
a. Leid de homogene oplossing, xhom (t), voor dit systeem af. Wat voor inschakelverschijnsel treedt hier op?
1 pnt
b. Bepaal wat de vorm van een particuliere oplossing xpart (t) zou kunnen zijn op basis van het rechterlid (zie formuleblad). LET OP: Je hoeft dus niet deze expressie in de differentiaalvergelijking in te vullen om de uiteindelijke oplossing (met bijbehorende getalwaarden) af te leiden. Invullen van de particuliere oplossing leidt tot een ingewikkelde uitdrukking. Echter, numeriek is deze oplossing relatief eenvoudig te berekenen. Met behulp van het programma main.m in Matlab kunnen we dit model numeriek simuleren met de Runge-Kutta methode. We gebruiken odenum = 4 en passen de parameters en input F in odefuncs.m aan naar het systeem van deze opgave.
2 pnt
c. Simuleer dit model voor de gegeven input en parameters in deze opgave, en: - tijdstap tstep = 1e-2 s en - duur tend = 10 s. Plot de output (Runge Kutta, output 1). Wat valt je op en kun je dit verklaren?
1 pnt
d. Simuleer het systeem nu voor tstep = 1e-3 s. Wat is de uiteindelijke maximale verplaatsing van het borstbeen?
5. Gegeven een aortaflow, gemeten met een elektro-magnetische flow sensor: −4
5
x 10
Flow (m3/s)
4 3 2 1 0 −1 0
2 pnt
0.2
0.4 0.6 Tijd (s)
0.8
1
a. Leg uit waarom deze meting niet snel pre-operatief uitgevoerd zal worden voor het plannen van interventies. Vergelijk deze methode met het alternatief (MRI) en bespreek de voor- en nadelen van beiden. −4
Ak
2
x 10
1
0
0
5
10 Nde harmonische
15
20
Het bijbehorende lijn-spectrum (voor alle componenten) is gegeven in de figuur hierboven. Let op, de x-as is niet frequentie! 1 pnt
b. Wat zijn de frequenties van de 4 componenten met de grootste amplitude, Ak . Het flowsignaal wordt gedigitaliseerd met een unipolaire AD-converter en met 50 Hz bemonsterd.
1 pnt
c. Wat is de Nyquist frequentie? Is de bemonstering voldoende? Helaas blijkt de AD-converter met slechts 15 Hz te kunnen bemonsteren. Er wordt een filter ontworpen dat het flow signaal zo filtert dat er geen aliasing optreedt.
1 pnt 2 pnt 2 pnt 2 pnt
d. Is dit filter een laag-, band- of hoog-doorlaat filter? Wat is de kantel (=cut-off) frequentie van dit filter? e. Welke componenten zijn over? Zal het uiteindelijke signaal veel afwijken qua vorm en vermogen? Beredeneer. f. Het anti-aliasing filter bestond uit een weerstand, R = 1.0 · 104 Ω, en een ander element. Wat is het tweede element en de bijbehorende waarde? g. Hoeveel bits zijn nodig om het gegeven flowsignaal met een resolutie van 1.0 · 10−6 m3 /s te digitaliseren?
Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek (8VB10) pagina 7/7 Maandag 14 april 2014, 9.00-12.00 Algebraische elementen VR (t) = RI(t) CVC0 (t) = I(t) VL = LI 0 (t)
FK (t) = Kx(t) FB (t) = Bx0 (t)
pR (t) = Rq(t) Cp0C (t) = q(t) pL = Lq 0 (t)
Homogene oplossing voor 2e orde ODEs: yhom (t) = Re(K1 eλ1 t + K2 eλ2 t ) yhom (t) = Re(K1 teλ1 t + K2 eλ1 t ) yhom (t) = Re(eγ1 t [d1 cos γ2 t + d2 sin γ2 t])
voor twee verschillende roots voor twee dezelfde roots voor twee complexe roots
Particuliere oplossing voor 2e orde ODEs: Rechterzijde is f (t) = Q(t)eωt Q(t) als ω 6= λ1 and ω 6= λ2 Q(t) + 1 als λ1 6= λ2 and ω = λ1 or ω = λ2 Q(t) + 2 als ω = λ1 = λ2 Cosinus regel c2 = a2 + b2 + 2ab cos(α), met α de hoek tussen de twee vectoren Parti¨ ele Integratie Z Z 0 f (x)g(x) dx = f (x)g(x) − f (x)0 g(x)dx Reflection & Transmissie akoestische energie, Doppler effect RE =
(Z2 − Z1 )2 (Z2 + Z1 )2
TE = 1 − RE
∆f =
2v cos(θ) fc c
Fourier serie x(t) a0 ak ck Ak
P+∞ = [ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] Rk=0 t=t+T = T1 t=t x(t)dt R 2 t=t+T = T t=t x(t) cos(kωt)dt 1 = q 2 (ak − ibk ) = a2k + b2k = 2|ck |
x ˆ(t)N
=
PN
bk c−k
= =
ψk
=
R 2 t=t+T x(t) sin(kωt)dt T t=t 1 2 (ak + ibk ) − arctan( abkk )
k=0 [ak
cos(kωt) + bk sin(kωt)]
Statistiek N 1 X µ≈x ¯= xi N
v u u S=t
i=1
N
1 X (xi − x ¯)2 N −1 i=1
Foutpropagatie 100% & 68% interval ∆y =
N X j=1
∆ xj |
∂f (x1 , . . . , xN ) | ∂xj
v uN uX ∂f (x1,t , . . . , xN,t ) 2 Sm,¯y = t ( )2 Sm,¯ xi . ∂xi i=1
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, sectie Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden Eindtoets Metingen en Modellen in de Kliniek(8VB10) Maandag 14 april 2014, 9.00-12.00 1. Antwoorden a. Daar de flowmeter als gouden standaard met hoge ’accuracy’ gezien mag worden, is duidelijk vast te stellen dat de precisie van de ultrageluidstechniek goed is voor lagere flows, maar minder voor hogere flows. Daarnaast is er een grote afwijking van de echte waarde (zie BlandAltman), dus lage trueness. De ultrageluid techniek is minder accuraat dan de flowmeter. (2 pnt) b. De correlaties zijn hoog, wat de (in dit geval) foute indruk geeft dat de twee methodes een goede overeenkomst hebben. Echter, het toont alleen aan dat er een lineair (of monotoon stijgend) verband is. De Bland-Altman plot daarentegen laat zien dat er een onderschatting is wat de overeenkomst tussen beiden aanzienlijk slechter maakt. (1 pnt) c. Nee, ultrageluid onderschat de flow en presteert slechter bij hogere flows.
(1 pnt)
d. Vstroke = Vdia − Vsys = 11 − 2.0 = 9.0 ml. De onzekerheid kan bepaald worden door de absolute fouten kwadratisch op te tellen. Dit geeft: q p 2 Sm,Vstroke = Sm,V = + S 22 + 0.42 ≈ 2.04. (1) 2 m,Vsys dia Het slagvolume Vstroke is dus (9±2) ml. Toepassen van de onderstaande algemene rekenregel geeft een analoog resultaat. (2 pnt) e. v uN uX ∂f (x1,t , . . . , xN,t ) 2 Sm,¯y = t ( )2 Sm,¯ xi . ∂xi
(2)
i=1
De parti¨ele afgeleiden zijn nu ∂V∂fsys = −1 en ∂V∂fdia = 1. qCO = f Vstroke = 1 · 9 = 9 ml/s. De onzekerheid kan nu bepaald worden door de relatieve fouten kwadratisch op te tellen: (Sm,qCO qCO )2 = (Sm,Vstroke Vstroke )2 + (Sm,f f )2 =
22 0.12 + ≈ 0.2442 . 81 1
(3)
En dus Sm,qCO = qCO 0.244 ≈ 2.19 ml/s. De cardiac output is dus qCO = (5.4 ± 1.3) · 102 ml/min. Toepassen van de onderstaande algemene rekenregel geeft een analoog resultaat. v uN uX ∂f (x1,t , . . . , xN,t ) 2 Sm,¯y = t ( )2 Sm,¯ (4) xi . ∂xi i=1
(2 pnt)
2. Antwoorden: a. De compliantie van het diafragma dient rekening mee gehouden te worden. Die van de buis niet, aangezien de buis zeer stijf is (C → 0). (1 pnt) b. Seri¨ele schakeling van L, R en C en een bron met ingangsdruk pin . De uitgang, puit wordt over C gemeten. (1 pnt) c. Kirchhoff leert ons dat pL + pR + pC = pin en dat qin = qL = qR = qC . Invullen van de element 00 0 1 1 vergelijkingen en substitutie geeft: puit + R L puit + LC puit = LC pin (tussenstappen hier niet weergegeven, wel vereist op tentamen). (2 pnt) d. S(ω) =
puit pin
=
1 LC 1 2 + LC −ω +iω R L
A(ω) = |S(ω)| =
q
ϕ(ω) = 0 − arctan
= 1 LC
1562500 −ω 2 +78 81 iω+1562500
1 ( LC −ω 2 )2 +(ω R )2 L
ωR L 1 −ω 2 LC
=
1562500 q (1562500−ω 2 )2 +(78 18 ω)2 78 1 ω
8 = − arctan 1562500−ω 2
(3 pnt)
q
1 = 1250rad/s ∼ = 2.0 · 102 Hz q LC De dempingsratio is af te leiden tot ζ = R2 C L . Invullen levert ζ ≈ 0.03. De gedempte
e. Oplossen karakteristieke polynoom geeft: ω0 =
resonantiefrequentie is ωd = 199 ≈ 2.0 · 102 Hz. Het systeem is (zeer) ondergedempt.(2 pnt) f. De luchtbel zit parallel aan de vloeistof en de complianties mogen dus opgeteld worden. Dit levert dat de totale compliantie gelijk is aan Ctot = 2 · 10−14 + 2 · 10−10 = 2 · 10−10 [m3 /Pa]. (2 pnt) g. ω0 ≈ 2 Hz en ζ = 3.1. Het systeem is overgedempt en zal dus niet meer resoneren.
(2 pnt)
h. Zolang R niet gelijk is aan 0 zal er altijd een fasehoek zijn. Echter, voor C → ∞, zal de hoek naar 0 naderen. (1 pnt)
3. Antwoorden (Zuterus −Zvet )2 = 0.0114, dus Tvet→uterus = 0.9886. (Zuterus +Zvet )2 2 water −Zuterus ) Ruterus→water = (Z = 0.005, dus Tvet→uterus = 0.9950. (Zwater +Zuterus )2 (Zf oetus −Zwater )2 Rwater→f oetus = (Zwater +Z 2 = 0.0004, dus Tvet→uterus = 0.9996. f oetus )
a. Rvet→uterus =
Totale transmissie is alle T ’s vermenigvuldigd: Ttot = 0.9787, ofwel 97.9%.
(3 pnt)
2 = 0.9578 b. Het geluid ondervindt dezelfde reflecties op de terugweg, dus blijft er Ttot ofwel 95.8% ≈ 96% over.
(1 pnt)
c. Attenuatie in vet is 0.6·3·2, in de uterus 1.5·3·1.5, in het vruchtwater 0.002·3·8 en in de foetus tot aan het hart 0.7 · 3 · 5. Dit geeft een totale attenuatie van: 3.6 + 6.75 + 0.048 + 10.5 ≈ 20.9 dB. Er is dus 20.9 dB minder vermogen / akoestische energie. (2 pnt) d. De ratio tussen verzonden vermogen en vermogen in het hart is -20.9 dB. Terug rekenen levert: −20.874 Phart 10 = 0.008177, slechts 0.8%. Er is dus 0.1 · 1 · 0.0082 = 8.2 · 10−4 [W] vermogen Pin = 10 over. (3 pnt) e. Ja, door attenuatie verdwijnt de meeste energie. Door reflectie nauwelijks.
(1 pnt)
f. De foetale longen zijn nog niet gevuld met lucht, dus ja, deze zijn in beeld te brengen. De grote verschillen in akoestische impedantie zijn hier nog niet aanwezig. (1 pnt)
4. Antwoorden: a. M λ2 + Bλ + K = 0 levert: λ1 = −27 en λ2 = −2773. De homogene oplossing zal bij twee verschillende, re¨ele roots zijn: xhom (t) = K1 eλ1 t + K2 eλ2 t = K1 e−27t + K2 e−2773t . Er zijn verder geen begin condities gegeven, dus de constanten zijn niet te berekenen, ook al neemt men aan dat x(0) = 0 (dit geeft geen uitdrukking voor K1 en K2 ). Het systeem is overgedempt en de tijdsconstantes zijn zeer klein. Daarnaast begint men vanuit de evenwichtsstand. Er zal dus geen inschakelverschijnsel zijn. (2 pnt) b. De input is van de vorm f (t) = Re [Q(t)ei10t ] met Q(t) een constante. Aangezien ω 6= λ1 6= λ2 , komt men tot: f (t) = Re [a · ei10t ]. (1 pnt) c. Het systeem is instabiel. De tijdstap is te groot genomen. Voor Runge-Kutta geldt −3 h < 2.8 (2 pnt) |λ| . Voor λ2 geeft dit h ≤ 1 · 10 . d. De berekening is stabiel. De verplaatsing is ±5 cm.
(1 pnt)
5. Antwoorden: a. De elektromagnetische flow sensor moet om het vat geplaatst worden. Dit is een invasieve ingreep, vooral bij de aorta waarvoor de thorax geopend moet worden. Dit zal nooit preoperatief gebruikt worden. Een beter alternatief is MRI, wat echter weer zeer kostbaar is en beperkte tijdsresolutie heeft. (2 pnt) b. De grondtoon (zie figuur flow signaal) is 1/0.7 ≈ 1.4 Hz. De eerste vier lijnen in het spectrum hebben de grootste Ak ’s. De bijbehorende frequenties zijn 0, 1.4, 2.8 en 4.2 Hz. (1 pnt) c. Deze is 25 Hz. Aangezien het signaal volgens het lijnspectrum tot 10 · 1.4 = 14 Hz componenten heeft, is 25 Hz voldoende. (1 pnt) d. Het anti-aliasing filter is een laag-doorlaat filter. De kantel frequentie moet gelijk zijn aan de nieuwe Nyquist frequentie, fN yq = 7.5 Hz, om zo aliasing te voorkomen. (1 pnt) e. De DC-offset en de eerste vijf harmonische frequenties zijn nog over ( 7.5 1.4 = 5.3 ≈ 5, plus de DCoffset). Een aantal componenten zijn verdwenen, waardoor het signaal minder op het echte signaal lijkt. Mogelijk zijn de steilere flanken minder steil door het ontbreken van hogere frequenties. Qua vermogen is het verschil niet groot (lage Ak ’s van hogere componenten). (2 pnt) 1 f. Twee opties: condensator (in serie): C = 2πRf = 2.1 µF of R inductor/spoel (in serie): L = 2πf = 2.1 · 102 H.
g. Flow varieert tussen 0 en 4.2 · 10−4 . Voor de gevraagde resolutie zijn: nodig. Ofwel: 28 is niet genoeg, 29 wel, dus 9 bits.
(2 pnt) 4.2·10−4 1.0·10−6
+ 1 = 421 getallen (2 pnt)
