Exponenciální výrazy a rovnice

Exponenciální výrazy a rovnice

Exponenciální výrazy a rovnice - jsou rovnice a výrazy s neznámou v exponentu

3x = 27

5  25 x 5 22x = 16x+5 x

1 3 x 5    16 2

5x + 5x+3 + 5x+4 = 751

2x – 2x+5

Pravidla pro počítání s mocninami a r  a s  a rs

Při úpravě výrazů s mocninami a řešení exponenciálních rovnic je třeba dodržovat následující pravidla (jsou uvedena v matematických tabulkách):

ar  a r s s a

a 

r s

 a r s

n

a b     b a a n

n

1   a

a a m

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

Způsob řešení: Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že na každé straně je pouze jedna mocnina, a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty.

Zapíšeme množinu kořenů.

a a x

x y

y

Obsah 1.

a)

…………….. 6

2x  8

3.

b) 54 x 10  125 …………….. 7 c) 2

5 x

 2 2 x

d) 5  5  5 3

2.

9

3



x 3

e)

5  55

a)

2x 

3y

y

1 4

x

b)  2   27 3

8

x

c)  3   625 81 5 3.

a)

5  5 x  53

…………….. 8

b)

3  9 x  38

………….. 15

5  25 x 5

c)

…………… 16

x

4.

a)

1 x    4 4 2  

……………. 17

x

………….. 9 ……….. 10

b)

5.

1 x    27  3  9  3

……………. 18

x4 x 3 x2 x 1 x a) 3  3  3  3  3  4941

…… 19

……….. 11

b)

5  4 x1  240  4 x2  4 x1

……… 20

……… 12

c)

5x  5x3  5x4  751

………… 21

…………… 13 ………….. 14

6





a)

4 x 4 x1  3  4 x 

…………… 22

b)

2200  2100  8100

…………….. 23

2x  8

Př. 1.a) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že na každé straně je pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. Zapíšeme množinu kořenů.

Na této straně rovnice je mocnina o základu 2.

Číslo 8 je nutné převést také na mocninu o základu 2.

2x  8 2 2 x

3

x3

23  2  2  2  8

K  3

54 x10  125

Př. 1.b) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že na každé straně je pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. Řešíme rovnici. Zapíšeme množinu kořenů.

Na této straně rovnice je mocnina o základu 5.

Číslo 125 je nutné převést také na mocninu o základu 5.

54 x10  125

53  5  5  5  125

54 x 10  53 4 x  10  3 4 x  13 13 x 4

/+10 /:4

13  K   4

25 x  2 x  23

Př. 1.c) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Zapíšeme množinu kořenů. r r s Na této straně rovnice je mocnina o základu 2. s

a a  a a a a

Druhou stranu je nutné převést také na mocninu (jednu) o základu 2.

a 

r s

 a r s

n

a b     b a

25 x  2 x  23

25 x  2 x3

5 x  x 3

2  2x

x 1

a n /+x-3 /:2

n

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

K  1

n

an a    n b b a 0  1, a  0

 

5 5  5 3

Př. 1.d) V množině R řešte rovnici

9

x 3

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla jedna mocnina a to o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Zapíšeme množinu kořenů. r r s Převedeme dle vzorce na jedinou mocninu o základu 5. s

a a  a a a a

 

53  59  5 39

5

5

Druhou stranu je nutné převést také na mocninu (jednu) o základu 5.

 a r s

n

a n

3  9  3x

4x

r s

a b     b a

x 3

3x

12  3x

a 

n

/:3

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

K  4

n

an a    n b b a 0  1, a  0

53 y  5  5 y

Př. 1.e) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Zapíšeme množinu kořenů. r r s Na této straně rovnice je mocnina o základu 5. s

a a  a a a a

Druhou stranu je nutné převést také na mocninu (jednu) o základu 5.

a 

r s

 a r s

n

a b     b a

53 y  5  5 y

53 y  51 y 3y  1 y 2y 1 1 y 2

a n /-y /:2

1  K   2

n

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

2x 

Př. 2.a) V množině R řešte rovnici

1 4

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Zapíšeme množinu kořenů.

a a  a

Na této straně rovnice je mocnina o základu 2. Druhou stranu je nutné převést také na mocninu o základu 2.

1 x 2  4 1 x 2   2

1 1 1 1     4 2 2 2

2

2

2 2   1

ar r s  a as

a 

r s n

a b     b a a n

2

x

2 x  22

x  2

 a r s

n

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

K   2

n

an a    n b b a 0  1, a  0

x

27 2    8 3

Př. 2.b) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Zapíšeme množinu kořenů. Na této straně rovnice je mocnina o základu 2 3 r r s s

a a  a

Druhou stranu je nutné převést také na mocninu o tomto základu.

x

27 2    8 3 x

2 3     3 2 x

27 3 3 3  3       8 2 2 2 2

3

2 2     3 3

x  3

3

a a a

a 

r s n

a b     b a a n

3 n

K   3

 a r s

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

x

625 3    81 5

Př. 2.c) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Zapíšeme množinu kořenů. Na této straně rovnice je mocnina o základu 3 5 r r s s

a a  a

Druhou stranu je nutné převést také na mocninu o tomto základu.

x

625 3    81 5 x

3 5     5 3

625 5 5 5 5  5        81 3 3 3 3  3 

4

4

x

3 3     5 5

x  4

a a a

a 

r s n

a b     b a a n

4 n

K   4

 a r s

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

Př. 3.a) V množině R řešte rovnici

5  5 x  53

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Zapíšeme množinu kořenů. r r s Na této straně rovnice je mocnina o základu 5. s

a a  a a a a

Druhou stranu je nutné převést také na mocninu (jednu) o základu 5.

a 

r s

 a r s

n

a b     b a

5  5 x  53 1 2

5  5 x 3

1  x3 2

 2,5  x

a n n

/-3

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

K   2,5

n

an a    n b b a 0  1, a  0

Př. 3.b) V množině R řešte rovnici

3  9 x  38

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Na této straně rovnice je mocnina o základu 3. Zapíšeme množinu kořenů. r r s Druhou stranu je nutné převést také na mocninu s x 8 (jednu) o základu 3.

a a  a a a a

3  27  3

a 

r s

27=33 1 2

3  (3 )  3 3 x

n

a b     b a

8

1 2

3  33 x  38

a n

1 2

3  33 x  38 1 2

n

3 x 8

3 3 1  3x  8 2  7,5  3x

 2,5  x

 a r s

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

/-8 /:3

K   2,5

n

an a    n b b a 0  1, a  0

Př. 3.c) V množině R řešte rovnici

5  25 x 5

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Na této straně rovnice je mocnina o základu 5. Zapíšeme množinu kořenů. r r s Druhou stranu je nutné převést také na mocninu o s x 5 základu 5.

a a  a a a a

5  25

a 

r s

25=52 1 2

2 x 5

5  (5 )

n

a b     b a

1 2

5  5 2 ( x 5 ) 1 2

5 5

10,5  2 x

5,25  x

a n

2 x 10

1  2 x  10 2

 a r s

n

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

/+10 /:2

K  5,25

n

an a    n b b a 0  1, a  0

x

1 x    4 4 2

Př. 4.a) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Upravíme na mocninu o základu 2. Zapíšeme množinu kořenů. r r s x Druhou stranu je nutné převést také na mocninu s x

a a  a

1    4 4 2

2   1

x

(jednu) o základu 2.

 a r s

n

a b     b a

2 x  22 x  22

a n

2 x  22 x  22

n

/-2+x

 2  3x

2  x 3

a 

r s

4=22

 (2 2 ) x  2 2

2 x  22 x  2  x  2x  2

a a a

/:3

 2 K     3

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

x

1 x    27  3  9  3

Př. 4.b) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Řešíme rovnici. Upravíme na mocninu o základu 3. Zapíšeme množinu kořenů. r x r s Druhou stranu je nutné převést také na x s mocninu (jednu) o základu 3.

a a  a a a a

1    27  3  9  3

 3   1

a 

27=33

x

r s

 (33 ) x  31  32

n

a b      b   a

3 x  33 x  31  32 x

a n

3  3 3 3 x

3x

1

2

3 x 1 2

3 3  x  3x  1  2  3  4x

3  x 4

 a r s

n

/-3+x /:4

 3 K     4

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

Př. 5.a) V množině R řešte rovnici

3x4  3x3  3x2  3x1  3x  4941

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Zapíšeme množinu kořenů.

a a  a

Levou stranu roznásobíme dle vzorce.

3x4  3x3  3x2  3x1  3x  4941

ar r s  a as

a 

r s

3x  34  3x  33  3x  32  3x  31  3x  4941 3x  34  3x  33  3x  32  3x  3  3x 1  4941





3 3  3  3  3  1  4941 x

4

3

2

3x 81  27  9  3  1  4941

3  61  4941 x

3  81 x

3x  34 x4

/:61

Vytkneme

3x

před závorku.

 a r s

n

Vypočteme obsah závorky.

K  4

a b     b a a n n

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

5  4 x1  240  4 x2  4 x1

Př. 5.b) V množině R řešte rovnici

Upravíme rovnici do takového tvaru, aby na jedné straně byly všechny členy s neznámou x v exponentu (viz příklad 5.a). Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme r sa porovnáváme rs exponenty. Zapíšeme množinu kořenů. r Levou stranu roznásobíme dle vzorce. r s x 1 x2 x 1 s

a a  a

5 4

 240  4

4

5  4 x1  4 x2  4 x1  240 5  4 x  41  4 x  42  4 x  41  240



1



4 5  4  4  4  240 1  4 x  20  16    240 4  x

2

4  3,75  240

a a a

Vytkneme

4x

před závorku.

4 x  43 x3

r s

Vypočteme obsah závorky.

a b     b a a n n

/:3,75

 a r s

n

x

4 x  64

a 

K  3

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

5x  5x3  5x4  751

Př. 5.c) V množině R řešte rovnici

Obě strany rovnice upravíme do takového tvaru, aby na každé straně byla mocnina o stejném základu. Pokud je rovnice ve tvaru, že je na každé straně pouze jedna mocnina a to o stejném základu, základ odstraníme a porovnáváme exponenty. r s rs Zapíšeme množinu kořenů.

a a  a

5 5 x

x 3

5

x4

 751

Levou stranu roznásobíme dle vzorce.

ar r s  a as

a 

r s

5x  5x  53  5x  54  751

5 1  5  5  5  5  751 x

x



3

x

4

Vytkneme

5x

před závorku.

n

Vypočteme obsah závorky.



5 1  5  5  751 x

3

4

5x 1  125  625  751

5x  751  751

5 1 x

5 x  50 x0

/:751

 a r s

a b     b a a n

K  0

n

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0



Př. 6.a) Zjednodušte výraz

x



4 4

x 1

  4 4



Roznásobíme dle vzorce.

 3 4  x

  4  3 4    4 4  3 

Vytkneme 4x před závorku.

 4 4  4  3 4  x

x

 4x

x

1

x

x

x

1



4 x 4 x1  3  4 x 

Vypočteme obsah závorky.

x

a r  a s  a rs ar r s  a as

a 

r s

1

Vzorec

 4 x  4 x 1 

n

a b     b a a n

 4 x  x 1 

 

4  4 2x

2 x

 16

n

x

 a r s

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

Př. 6.b) Vyjádřete jako jedinou mocninu se základem 2 výraz

2200  2100  8100

Upravíme dle vzorce.

2200  2100  8100 2200100  8100 2300  8100

 

2300  2

3 100

2300  23100

2

2301

a 

r s

Vzorec

 a r s

n

Vzorec

a b     b a

n

300

1300

8=23

ar r s  a as

a n

2300  2300 2 2 21  2300

a r  a s  a rs

1   a

am  a

n

n

m n

a n  b n  a  b 

n

n

an a    n b b a 0  1, a  0

Děkuji za pozornost Zdroj: -

Hudcová, Milada, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, PROMETHEUS 2002, ISBN 80-7196-165-5 www.novamaturita.cz vlastní příklady

-

klipart