Kvadratické rovnice a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období vytvoření VM: prosinec 2012 Klíčová slova: řešení kvadratických rovnic, diskriminant, aplikace teorie ve slovních úlohách Materiál je určen k procvičení probíraného učiva, pro práci pod vedením učitele, samostatnou práci v hodině nebo k domácí přípravě. Práci s pracovním listem předchází výklad vyučujícího. Kvadratická rovnice je matematický výraz, který je možno ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2+bx+c=0, kde a,b,c jsou reálná čísla, a ≠ 0, x je neznámá Vzorec pro výpočet diskriminantu: D = O čem diskriminant rozhoduje? Vypočtěte x z rovnic: x =
9
x2 = 25 x=
c
x=
0
Př.1: Přiřaďte správné diskriminanty k daným rovnicím: 1) x2 – 3x – 4 = 0
A) D = 4
2) 12 – 7x + x2 = 0
B) D = 25
3) x2 – 2x = 0
C) D = 1
1 → …., 2 → …., 3 → …. Vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice x1,2 = Př.2: Řešte v R rovnici 2x2+ 11x + 9 = 0
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Př.3: Řešte v R rovnici
3x x 8
x 8 x 2
1
Neúplné kvadratické rovnice – ryze kvadratické – bez absolutního členu
např. x2 = 64 např. 5x2 – 125x = 0
Př.4: Řešte v R bez použití diskriminantu rovnice: a) x2 – 1 = 0 b) x2 + 16 = 0 c) 6x2 + 12x = 0
Př.5: Zvětšíme–li stranu čtverce o 3 dm, zdevítinásobí se jeho obsah. Určete délku strany tohoto čtverce.
Př.6: Na trase dlouhé 9000 km létají letadla dvou typů. Jeden typ dosahuje rychlosti o 100 km/h vyšší a jeho letový čas je tedy o hodinu kratší. Vypočtěte rychlosti obou typů letadel. Návod: s1 = s2 = 9000 km v1 = v2 + 100
vzorec v =
s t
Př.7: Dva závodníci vyběhli současně z místa A stejným směrem. První závodník má rychlost o 0,2 m/s větší než druhý. První závodník doběhl do cíle vzdáleného 960 metrů o 20 sekund dříve než druhý. Určete rychlosti obou závodníků. Návod: proveďte stejný rozbor jako u předcházející úlohy.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Kvadratické rovnice a jejich užití - řešení Kvadratická rovnice je matematický výraz, který je možno ekvivalentními úpravami převést na tvar ax2+bx+c=0, kde a,b,c jsou reálná čísla, a ≠ 0, x je neznámá Vzorec pro výpočet diskriminantu: D = b2 – 4ac O čem diskriminant rozhoduje? Rozhoduje o počtu kořenů dané rovnice. Vypočtěte x z rovnic: x =
9
x1,2 = 3
x2 = 25
x1,2 = 5
x=
c
x1,2 =
x=
0
x=0
c
Př.1: Přiřaďte správné diskriminanty k daným rovnicím: 1) x2 – 3x – 4 = 0
A) D = 4
2) 12 – 7x + x2 = 0
B) D = 25
3) x2 – 2x = 0
C) D = 1
1 → B, 2 → C, 3 → A
Vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice x1,2 =
b
D
2a
Př.2: Řešte v R rovnici 2x2+ 11x + 9 = 0 D = 49 x1 = – 1, x2 = – 4,5 Př.3: Řešte v R rovnici
3x x 8
x 8 x 2
1
/.(x+8)(x-2)
podm. x -8, x 2
x2 – 16 = 0 x1,2 = 4
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Př.4: Řešte v R bez použití diskriminantu rovnice: a) x2 – 1 = 0
x1,2 = 1
b) x2 + 16 = 0
x=
c) 6x2 + 12x = 0
x1 = 0, x2 = – 2
rovnice nemá řešení v R
16
Př.5: Zvětšíme–li stranu čtverce o 3 dm, zdevítinásobí se jeho obsah. Určete délku strany tohoto čtverce. S = a2, zvětšíme stranu o 3 dm na (a+3), pak S = (a+3)2 9a2 = (a+3)2 8a2 – 6a – 9 = 0 6
D = 81, x1 = 1,5 dm, x2 =
nevyhovuje délka strany čtverce je 1,5 dm
8
Př.6: Na trase dlouhé 9000 km létají letadla dvou typů. Jeden typ dosahuje rychlosti o 100 km/h vyšší a jeho letový čas je tedy o hodinu kratší. Vypočtěte rychlosti obou typů letadel. Návod: s1 = s2 = 9000 km v1 = v2 + 100
vzorec v =
s t
s t 1
9000 t 1
s
100
t
9000
100
t
100t2 – 100t – 9000 = 0 D = 3610000, t1 = 10 hod, t2 = -9 nevyhovuje Čas t = 10 hod, 1.letadlo má čas o 1 hod kratší, tedy 9 hod. Rychlosti – 1.letadlo v =
9000 9
= 1000 km/h, 2.letadlo v =
9000
= 900 km/h
10
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Př.7: Dva závodníci vyběhli současně z místa A stejným směrem. První závodník má rychlost o 0,2 m/s větší než druhý. První závodník doběhl do cíle vzdáleného 960 metrů o 20 sekund dříve než druhý.Určete rychlosti obou závodníků. Návod: s1 = s2 = 960 m v1 = v2 + 0,2
vzorec v =
s t
960 t 20
960
0 ,2
t
0,2t2 – 4t – 19200 = 0 D = 15376 t1 = 320 s, t2 = -300 nevyhovuje, čas t = 320 s = 5 min 20 s, první závodník má čas o 20 s kratší, tedy 300 s Rychlosti – 1.závodník v =
960 300
= 3,2 m/s, 2.závodník
960
= 3 m/s
320
Použitá literatura: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ, RNDr.Hudcová, Mgr.Kubičíková, Prometheus,spol.s.r.o., 2008 Sbírka úloh z matematiky pro SŠ – VÝRAZY, ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY, F.Janeček, Prométheus spol.s.r.o., 2002 Sbírka úloh z matematiky, ROVNICE A NEROVNICE I., David Zámek, ARCTUROS 1992
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
