@083
6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n
f : y an x kde an, an-1, ..., a2, a1, a0
n
R , an
an 1 x
n 1
N) je dána předpisem
a2 x 2
a1 x a0
0 , jsou reálné koeficienty.
názvosloví: an = koeficient stupně n (u nejvyšší mocniny) ak = koeficient stupně k a1 = koeficient u lineárního členu, a1x lineární člen a0 = absolutní člen Poznámka: Podmínka an
0 je nutná, tak je určen stupeň polynomické funkce.
Poznámka: Pro některé nižší stupně máme zvláštní názvy Polynomická funkce: 0. stupně 1. stupně 2. stupně 3. stupně 4. stupně
-
funkce: konstantní lineární kvadratická kubická bikvadratická
A) Definiční obor funkce: Není žádný důvod nějaké reálné číslo vylučovat, proto Df = R B) Symetrie Obecně nelze nic předem říci kromě toho, že žádná polynomická funkce není periodická. Některé polynomické funkce mohou být sudé, jiné liché, většina z nich není ani sudá ani lichá. C) Derivace Derivaci vypočítáme podle pravidel popsaných v kapitole 2
f ': y nan x n
1
( n 1)an 1 x n
2
2a2 x a1
a dostaneme polynomickou funkci n-1 stupně. Určit, kdy je f’(x) = 0, tedy kde jsou možná minima nebo maxima a intervaly, kde je funkce rostoucí a kdy klesající musíme řešením příslušné polynomické rovnice, viz kurz rovnice ostatní. D) Funkční hodnoty - asymptoty
Polynomická funkce nemá žádné asymptoty. Funkční hodnoty získáme prostým dosazením do předpisu a následným výpočtem. Pro výpočet můžeme s úspěchem využít metodu Hornerovo schema, která je popsaná v kurzu rovnice ostatní. E) Průsečíky se souřadnými osami Průsečík s osou y získáme snadno. Je to bod [0; f(0)] – získáme ho výpočtem funkční hodnoty pro x = 0. => [0; a0] Průsečík s osou x se získá obtížněji. Je to bod [x; f(x)=0] – abychom získali hodnotu x, pro kterou je funkční hodnota rovna nule, musíme vyřešit polynomickou rovnici f(x) = 0 Zde si připomeňme dvě důležité věty o počtu řešení: Věta A. Každá polynomická rovnice stupně n má v oboru reálných čísel nejvýše n kořenů počítáno i s jejich násobností. Věta B. Každá polynomická rovnice lichého stupně má v oboru reálných čísel aspoň jeden kořen. Tedy, každá polynomická funkce lichého stupně musí protnout osu x alespoň v jednom bodě. Polynomická funkce sudého stupně může a nemusí mít s osou x společný bod. Více průsečíků s osou x než n, nemůže mít žádná polynomická funkce stupně n. F) Průběh funkce Obecně nejsou označeny grafy polynomických funkcí nějakým speciálním názvem. Jejich průběh nelze obecně předem popsat. Můžeme jen formulovat některé obecné jevy. Polynomická funkce 0. stupně (konstantní) je rovnoběžka s osou y. Chování funkce v nevlastních bodech pro n > 0 (tedy v bodech –∞ a +∞) Uvažujme x v absolutní hodnotě velmi vysoké (milion, miliarda, ...), pak bude chování funkce určovat nejvyšší mocnina n, protože nejbližší nižší bude (milionkrát, miliardakrát, ...) nižší a tak příspěvky všech nižších členů budou proti nejvyšší mocnině zanedbatelné. Funkce se bude chovat jako y anxn V každém případě bude funkce v absolutní hodnotě nabývat velmi vysokých hodnot. Znaménko je ovlivněno jednak znaménkem koeficientu nejvyšší mocniny an, jednak stupněm n. Je-li n sudé, pak mocnina xn je vždycky kladná pro ∞. Je-li n liché, pak mocnina xn je kladná pro +∞ a záporná pro –∞. Znaménko výsledku je nakonec ovlivněné znaménkem an. => průběh funkce v bodech ∞ n-sudé an > 0 an < 0 Df -∞ … +∞ -∞ … +∞ klesající rostoucí rostoucí klesající y=f(x) +∞ … +∞ … -∞
-∞
n-liché Df
-∞ rostoucí
an > 0 … …
y=f(x)
+∞ -∞ rostoucí klesající +∞ +∞
-∞
+∞ klesající
… -∞
Více toho obecně říci nejde. Úkol: Načrtněte grafy funkcí a: y = x3, výsledek
an < 0 …
b: y = x3 - 3x + 2
@087 Načrtněte graf funkce
c: y = x4 + 1
Úkol: Načrtněte graf funkce výsledek zpět
d: y = x4 - 4x2 + 3
@089 Načrtněte graf funkce
e: y = -x3 + 3x2 + x - 3
e’(x) = -3x2 + 6x + 1 = 0 => x1 ~ - 0,155, x2 ~ 2,155
možné extrémy
e(x) = -x3 + 3x2 + x - 3 = -(x + 1)(x - 1)(x - 3) = 0 průsečíky s osou x jsou tři
[-1; 0], [1; 0], [3; 0]
Úkol: Načrtněte graf funkce
f: y = -x4+ 8x3 -18x2 + 27
výsledek zpět
@085 Načrtněte graf funkce a: y = x3
pokračování zpět
@088 Načrtněte graf funkce
d: y = x4 - 4x2 + 3,
d'(x) = 4x3 - 8x = 4x(x2 - 2)
funkce d je sudá, tedy osově souměrná podle osy y d’(x)=0 => tři kořeny -√2, 0, +√2
=> možná tři extrémy
průsečíky s osou x dostaneme řešením rovnice d(x)=0 substitucí t = x2 dostaneme kvadratickou rovnici se dvěma kořeny t1 = 1, t2 = 3 a zpětným dosazením do substituce získáme 4 kořeny = 4 průsečíky s osou x -√3, -1, 1, +√3
Úkol: Načrtněte graf funkce výsledek zpět
e: y = -x3 + 3x2 + x - 3
@086 Načrtněte graf funkce b: y = x3 - 3x + 2 ,
b'(x) = 3x2 - 3
Poznámka: derivace je kvadratická, tedy na grafu budou možná dva extrémy průsečíky s osami: s osou y [0; 2] s osou x řešíme rovnici x3 - 3x + 2 = 0 (x-1)(x-1)(x+2) = 0 kořeny rovnice jsou –2, 1 jde tedy o dva průsečíky [-2; 0], [1; 0]
Úkol: Načrtněte graf funkce výsledek zpět
c: y = x4 + 1
@090 Načrtněte graf funkce
f: y = -x4+ 8x3 -18x2 + 27,
f’(x) = -4x3 +24x2 – 36x
f’(x) = -4x3 +24x2 – 36x = -4x(x-3)2 => v bodech x = 0, x = 3 možná extrém bližší rozbor přes tabulku zjistíme, že v bodě x = 0 je maximum [0; 27] a v bodě x = 3 je inflexní bod průsečíky s osou x f(x) = -x4+ 8x3 -18x2 + 27 = - (x + 1)(x - 3)(x - 3)(x - 3) = 0 číslo 3 je trojnásobným kořenem existují dva společné body s osou x [-1; 0], [3; 0]
zpět KONEC LEKCE
