Lineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období vytvoření VM: listopad 2012 Klíčová slova: řešení lineárních rovnic o jedné neznámé, ekvivalentní postupy, aplikace teorie ve slovních úlohách Materiál je určen k procvičení probíraného učiva, pro práci pod vedením učitele, samostatnou práci v hodině nebo k domácí přípravě. Práci s pracovním listem předchází výklad vyučujícího. Lineární rovnice o jedné neznámé je matematický výraz, který je možno ekvivalentními úpravami převést na tvar ax = b, kde a,b jsou reálná čísla, a ≠ 0, x je neznámá Postup při řešení lineární rovnice je: 1)…………………………………………. 2)…………………………………………. 3)…………………………………………. 4)…………………………………………. 5)…………………………………………. Co rozumíme pod pojmem ekvivalentní úprava rovnice? ……………………………………………………………………………………………………………… Př.1: Přiřaďte správné výsledky k daným rovnicím: 1)
x
=7
A) x = 0
2) 5x = 0
B) x = –1
3) 100x + 100 = 0
C) x = 4
4) –12x = –48
D) x = 14
2
1 → …., 2 → …., 3 → …., 4 → …. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Př.2: Řešte rovnici a proveďte zkoušku:
x – 4. x 2 ( x 6 ) = 4x + 3
Př.3: Řešte rovnici a proveďte zkoušku:
5x 1 4
x 1
6
5 x 11 8
4x 1
2 ( x 1)
9
Užití lineárních rovnic ve slovních úlohách: Typy slovních úloh_skládání částí do jednoho celku _úlohy o společné práci _úlohy o směsích _úlohy o pohybu
Př.4: Obvod trojúhelníku je 104 cm. Jedna jeho strana je o 6 cm delší než druhá a o 8 cm kratší než třetí strana. Určete délky stran. Obvod trojúhelníku o = ……………..
Př.5: Polovina knih v knihovně má přírodovědný obsah, třetina knih je matematických a 50 knih s historickou tématikou. Kolik knih celkem je v knihovně? (Jiné knihy v knihovně nejsou).
Př.6: Jeden dělník splní úkol za 8 hodin, druhý dělník splní tentýž úkol za 10 hodin. Za jakou dobu splní dělníci tento úkol, budou-li pracovat společně? Návod: 1.dělník za 1 hod… 1.dělník za x hod… 2.dělník za 1 hod… 2.dělník za x hod…
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Př.7: Kolik litrů vody 48oC teplé je nutno přidat do 1,2 hl vody 8oC teplé, aby směs měla teplotu 24oC? Návod: násobíme množství vody v litrech teplotou příslušnou k tomuto množství ve stupních
Př.8: Z jednoho konce trati 160 km dlouhé vyjede traktor rychlostí 2,5 km/h. Z druhého konce trati vyjede ve stejnou dobu auto průměrnou rychlostí 60km/h. Kdy a kde se setkají? 16O m
T
2,5 km/h
6O km/h
A
Vztah mezi dráhou, rychlostí a časem udává vzorec: s =
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Lineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití - řešení Lineární rovnice o jedné neznámé je matematický výraz, který je možno ekvivalentními úpravami převést na tvar ax = b, kde a,b jsou reálná čísla, a ≠ 0, x je neznámá Postup při řešení lineární rovnice je: 1) Odstraníme závorky z výrazů 2) Vhodným násobením obou stran rovnice se zbavíme zlomků 3) Rovnici upravíme na tvar ax = b 4) Obě strany rovnice dělíme číslem a ≠ 0 5) Provedeme zkoušku Co rozumíme pod pojmem ekvivalentní úprava rovnice? Je to úprava rovnice, při níž se nezmění počet kořenů rovnice.
Př.1: Přiřaďte správné výsledky k daným rovnicím: 1)
x
=7
A) x = 0
2) 5x = 0
B) x = –1
3) 100x + 100 = 0
C) x = 4
4) –12x = –48
D) x = 14
2
1 → D, 2 → A, 3 →B, 4 → C
Př.2: Řešte rovnici a proveďte zkoušku:
x – 4. x 2 ( x 6 ) = 4x + 3 x = – 45, zkouška –177
Př.3: Řešte rovnici a proveďte zkoušku:
5x 1 4
x 1 6
5 x 11 8
4x 1
2 ( x 1)
9
x = 7, zkouška 16 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Užití lineárních rovnic ve slovních úlohách: Typy slovních úloh_skládání částí do jednoho celku _úlohy o společné práci _úlohy o směsích _úlohy o pohybu
Př.4: Obvod trojúhelníku je 104 cm. Jedna jeho strana je o 6 cm delší než druhá a o 8 cm kratší než třetí strana. Určete délky stran. Obvod trojúhelníku o = a+b+c První strana má vztah k oběma dalším, označíme ji x. Proto a = x, b = x – 6, c = x + 8. x + ( x – 6 ) + ( x + 8 ) = 104 x = 34 a = 34 cm, b = 28 cm, c = 42 cm
Př.5: Polovina knih v knihovně má přírodovědný obsah, třetina knih je matematických a 50 knih s historickou tématikou. Kolik knih celkem je v knihovně? (Jiné knihy v knihovně nejsou). Počet knih v knihovně…..x 1
x
2
1
x = 300 kusů knih
x 50 x
3
Př.6: Jeden dělník splní úkol za 8 hodin, druhý dělník splní tentýž úkol za 10 hodin. Za jakou dobu splní dělníci tento úkol, budou-li pracovat společně? 1
1.dělník za 1 hod… úkolu 8
1.dělník za x hod…
x
úkolu
8
2.dělník za 1 hod…
1
úkolu
10
2.dělník za x hod…
x 10
úkolu…………
x 8
x 10
1
……….x =
40 9
=4
4
hod = 4 hod 26 min
9
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
Př.7: Kolik litrů vody 48oC teplé je nutno přidat do 1,2 hl vody 8oC teplé, aby směs měla teplotu 24oC? 1,2 hl = 120 l Přilejeme x litrů vody…………(120 + x) litrů směsi Návod: násobíme množství vody v litrech s teplotou příslušnou k tomuto množství ve stupních
8.120 + 48.x = (120+x).24 x = 80 litrů Př.8: Z jednoho konce trati 160 km dlouhé vyjede traktor rychlostí 2,5 km/h. Z druhého konce trati vyjede ve stejnou dobu auto průměrnou rychlostí 60km/h. Kdy a kde se setkají? 16O m
T
6O km/h
2,5 km/h
A
Vztah mezi dráhou, rychlostí a časem udává vzorec: s = v.t Dráha traktoru….s1 = 2,5.t Dráha auta…… s2 = 60.t ………s1 + s2 = 160 2,5t + 60t = 160 t = 2,56 hod Dráha traktoru 2,5.2,56 = 6,4 km Dráha auta
2,5.60 = 153,6 km
Použitá literatura: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ, RNDr.Hudcová, Mgr.Kubičíková, Prometheus,spol.s.r.o., 2008 Sbírka úloh z matematiky pro SŠ – VÝRAZY,ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY, F.Janeček, Prométheus spol.s.r.o., 2002 Matematika pro OU a SOU, Dr.Barták, doc.Bojtár, CsC.Kepka, SPN v Praze 1985
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr.Helena Korejtková. Dostupné z Metodického portálu www.sstrnb.cz/sablony, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Střední školou technickou a řemeslnou Nový Bydžov.
