@148
14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic a využíváme toho, že jde o funkce prosté, vzájemně inverzní a rostoucí resp. klesající na celém svém definičním oboru. Dále používáme jejich základních vlastností. x
Nicméně, ani takovou jednoduchou rovnici e = x + 2 neumíme řešit jinak než přibližně, a to: a) graficky (průsečíky grafů funkcí) b) speciálními numerickými metodami na počítačích Úkol: Sestrojte graf funkce na levé a na pravé straně a určete přibližně kořen rovnice
ex = x výsledek
@151 Řešte rovnici log(x+2) = log(2x+1) Řešení: x + 2 = 2x + 1 x=1 L(1) = log(1+2) = log 3 P(1) = log(2.1+1) = log 3 Příklad: Řešte rovnici 23x-1 = 32x+1 Řešení: Nejsou-li stejné základy mocnin, zlogaritmujeme levou stranu a pravou stranu rovnice. Protože stejnému číslu každá funkce přiřazuje stejnou funkční hodnotu (jinak by to nebyla funkce), budou se strany rovnice rovnat i po zlogaritmování. Tomuto postupu říkáme, že zlogaritmujeme rovnici. log(23x-1) = log(32x+1) (3x-1) log2 = (2x+1) log3 log2 a log3 jsou reálná čísla ve funkci konstant a my s nimi pracujeme stejně jako třeba s 2 nebo 3. Podíváme-li se pozorně, jde vlastně o lineární rovnici x(3log2 - 2log3) = log3 + log2 x log(8/9) = log6 x = log6 / log(8/9) Výpočtem na kalkulačce nebo pomocí tabulek určíme
x = - 15,213
Zkoušku musíme také udělat na kalkulačce nebo obrácením postupu. Příklad: Řešte rovnici
3x+2 + 5x+2 = 3x+4 + 5x
Řešení: Tuto rovnici musíme nejprve upravit. Logaritmovat ji nemá smysl, protože s logaritmem součtu nelze nic dělat. 3x+2 + 5x+2 = 3x+4 + 5x 3x 32 + 5x 52 = 3x 34 + 5x 9.3x + 25.5x = 81.3x + 5x 25.5x - 5x = 81.3x - 9.3x
u mocnin o stejném základu a stejném exponentu lze sečíst jejich násobky 24.5x = 72.3x Tím jsme dostali exponenciální rovnici, kterou již logaritmovat lze. Úkol: Dořešte rovnici výsledek zpět
24.5x = 72.3x
@154 Řešte rovnici vhodnou substitucí 22x+1 – 17.2x + 8 = 0 Odhadujeme, že by mohla být výhodná substituce t = 2x. Ovšem jen tehdy, podaří-li se nám rovnici vhodně upravit: 2.(2x)2 – 17.2x + 8 = 0 Podařilo a substituci použijeme 2t2 - 17t + 8 = 0 Kvadratická rovnice pro t má tato dvě řešení t1 = 1/2
t2 = 8
po dosazení do substituce řešíme dvě jednoduché exponenciální rovnice 2x = 1/2
2x = 8
x = -1
x=3
Zkouška se provede do zadané rovnice. Úkol: Řešte rovnici vhodnou substitucí 2 (log x)2 - log x + 2 = 0 výsledek zpět
@149
pokračování zpět
@152 24.5x = 72.3x 5x = 3.3x Rovnici zlogaritmujeme xlog5 = log3 + xlog3 x(log5 - log3) = log3 x = log3 / (log5 - log3) x = log3 / (log(5/3)) Pro tabulky je výhodnější první vyjádření, pro kalkulátor druhé: x = 2,1506. Příklad: Řešte rovnici
log x3 = log x
Řešení: Buď upravíme 3 log x = log x 2 log x = 0 log x = 0 x=1 zkouška L(1) = log 13 = log 1 = 0 = P(1) nebo použijeme toho, že funkce logaritmus je prostá x3 = x x -x=0 x(x-1)(x+1) = 0 3
Poslední rovnice má tři kořeny -1, 0, 1, z nichž první dva musíme vyloučit, protože nepatří do definičního oboru ani levé ani pravé strany původní rovnice. Příklad: Řešte rovnici
xlogx = 100
Řešení: Rovnici zlogaritmujeme logxlogx = log100 logx.logx = 2 (logx)2 = 2 zavedeme substituci t = logx
t2 = 2
řešíme kvadratickou rovnici která má dvě řešení pro t t1 = -2
t2 = +2
a řešíme dvě jednoduché logaritmické rovnice logx = 2
logx = -2
exponenciální funkce je k logaritmické inverzní x2 = 102
x1 = 10-2 zkouška:
L(10 2 ) (10 2 )log(10
2
)
10
2 log(10
2
)
10log(10
102 100 P (10 2 ) Zkoušku s druhým kandidátem na řešení proveďte sami. Úkol: Řešte rovnici výsledek zpět
xlogx = 100x
2
)
2
2
10log(10 )
@155 Řešte rovnici vhodnou substitucí 2 (log x)2 - log x + 2 = 0 Substituce t = log x vede ke kvadratické rovnici 2t2 - t + 2 = 0 která nemá řešení a proto nemá řešení ani původní rovnice. Úkol: Řešte rovnici vhodnou substitucí 2 (log x)2 - log x + 2 = 0 Poznámka: Používá se úspornější zápis mocnin funkce log2(x+1) = (log(x+1))2 log(x+1)2 výsledek zpět
@150 V této lekci si ukážeme, jak řešit některé typy exponenciálních a logaritmických rovnic algebraicky. 2x-1
Příklad: Řešte rovnici 3
= 27x
Řešení: V tomto případě se snažíme dostat stejný základ. Poznáme, že 27 = 33 a dosadíme do zadané rovnice a upravíme pravou stranu
32x-1 = (33)x 32x-1 = 33x Exponenciela o základu 3 je prostá. Rovnají-li se funkční hodnoty, musí se rovnat také exponenty. A naopak. 2x - 1 = 3x x = -1 Zkouška musí být provedena do původní rovnice: L(-1) = 32(-1)-1 = 3-3 = 1/33 = 1/27 = 27-1 = P(-1) Příklad: Řešte rovnici
log(3x-1) - log5 = 1
Řešení: rozdíl logaritmů (o stejném základu) je logaritmus podílu log[(3x-1)/5] = 1 Logaritmus o základu 10 je funkce prostá. Rovnají-li se funkční hodnoty, musí se rovnat také logaritmy. Dekadický logaritmus se rovná 1 pro číslo 10. log[(3x-1)/5] = log10 (3x-1)/5 = 10 x = 17 zkouška L(17) = log(3.17-1) - log 5 = log 50 - log 5 = log 50/5 = log 10 = 1 = P(17) Úkol: Řešte rovnici log(x+2) = log(2x+1) výsledek zpět
@153 xlogx = 100x
Řešte rovnici
Příklad: Rovnici zlogaritmujeme logx.logx = log100 + logx (logx)2 = 2 + logx zavedeme substituci t = logx t2 - t - 2 = 0 řešíme kvadratickou rovnici t1 = -1
t2 = 2
a řešíme dvě jednoduché logaritmické rovnice logx = -1
logx = 2
exponenciální funkce je k logaritmické inverzní x = 1/10
x = 100
Zkoušku do původní rovnice proveďte sami. Úkol: Řešte rovnici vhodnou substitucí 22x+1 – 17.2x + 8 = 0 výsledek zpět
@156 Řešte rovnici vhodnou substitucí 2 (log x)2 - log x + 2 = 0 Substituce t = log(x+1) vede ke kvadratické rovnici t2 - 5t + 6 = 0 s řešením t1 = 2
t2 = 3
a řešíme dvě jednoduché logaritmické rovnice log(x+1) = 2 x+1 = 100
log(x+1) = 3 x+1 = 1000
x = 99
x = 999
Zkouška se provede do zadané rovnice. zpět KONEC LEKCE
