1
Mnohočleny a algebraické rovnice
1.1
Pojem mnohočlenu (polynomu)
Připomeňme, že výrazům typu a2 x2 + a1 x + a0 říkáme kvadratický trojčlen, když a2 6= 0. Číslům a0 , a1 , a2 říkáme koeficienty a písmenem x označujeme proměnnou. Naznačujeme tím, že za x lze dosazovat různá čísla (reálná či komplexní). Například pro kvadratický trojčlen 3x2 − 5x + 1 po dosazení x = 0 dostaneme 3 · 02 − 5 · 0 + 1 = 1 (hodnota v bodě x = 0), x = −2 dostaneme 3 · (−2)2 − 5 · (−2) + 1 = 23 (hodnota v bodě x = −2) Výraz tvaru an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 =
n X
ak x k ,
an 6= 0
(1)
k=0
se nazývá mnohočlen n-tého stupně v proměnné x a čísla (reálná, resp. komplexní) ak , k = 0, 1, 2, . . . , n, n ∈ N se nazývají koeficienty mnohočlenu. Namísto názvu mnohočlen se pro výraz (1) používá označení polynom n-tého stupně v proměnné x Číslo n X ak αk = an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + α k=0
se nazývá hodnota polynomu v čísle α. Příklad Je dán polynom x4 − 4x3 − 76x2 + 324x − 405. Vypočtěte hodnotu v bodech α1 = −1 a α2 = 2 + i. Řešení: Hodnota v bodě α1 = −1: (−1)4 − 4(−1)3 − 76(−1)2 + 324(−1) − 405 = 1 + 4 − 76 − 324 − 405 = −800 . Hodnota v bodě α2 = 2 + i: (2 + i)4 − 4(2 + i)3 − 76(2 + i)2 + 324(2 + i) − 405 = = (−7 + 24i) − 4(2 + 11i) − 76(3 + 4i) + 324(2 + i) − 405 = 0 . Příklady polynomů: 3 P
ak x k = a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0
k=0
je polynom třetího stupně, když a3 6= 0, 1
2 P
ak xk = a2 x2 + a1 x + a0
k=0
je polynom druhého stupně, když a2 6= 0, 1 P
ak x k = a1 x + a0
k=0
je polynom prvního stupně, když a1 6= 0, 0 P
ak x k = a0
k=0
je polynom nultého stupně, když a0 6= 0 . Polynom, který má všechny koeficienty rovny nule, se nazývá nulový polynom. Nulový polynom nemá stupeň. Mezi všemi polynomy je pouze jeden nulový polynom, ale můžeme jej zapsat rozmanitými způsoby. Například: 0 · x2 + 0 · x − 0, 0 · x7 − 0 · x6 + 0 · x5 + 0 · x4 + 0 · x3 + 0 · x2 + 0 · x1 + 0 , n P ak xk , ak = 0 pro všechny indexy k = 0, 1, . . . , n . k=0
1.2
Algebraické operace s polynomy
Dva polynomy
n P
ak xk , an 6= 0 a
k=0
n P
bk xk , bn 6= 0 si jsou rovny, je-li
k=0
ak = b k
pro k = 0, 1, 2, . . . , n ,
tj. rovnají-li se koefiecienty u stejných mocnin x. Příklad Určete koeficienty A, B, C polynomu A(x2 + 1) + Bx2 + Cx(x2 + 1) tak, aby byl roven polynomu x3 + x + 1. Řešení: Úpravou dostáváme A(x2 + 1) + Bx2 + Cx(x2 + 1) = Cx3 + (A + B)x2 + Cx + A . Z rovnosti Cx3 + (A + B)x2 + Cx + A = x3 + x + 1 dostaneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x podmínky C = 1,
A + B = 0,
A=1,
takže A = 1, B = −1, C = 1.
2
Polynomy můžeme (stejně jako čísla) sečítat, odečítat, násobit i dělit. Sčítat a odečítat polynomy budeme podle následujícího návodu: (3x2 − x + 7)+ (5x4 − 7x2 + 12x − 1) = = 5x4 + (3 − 7)x2 + (−1 + 12)x + (7 − 1) = = 5x4 − 4x2 + 11x + 6 , (3x2 − x + 7)− (5x4 − 7x2 + 12x − 1) = = −5x4 + (3 + 7)x2 + (−1 − 12)x + (7 + 1) = = −5x4 + 10x2 − 13x + 8 . Násobit polynomy budeme podle distributivního zákona, tj. násobíme každý člen jednoho polynomu s každým členem druhého: (x2 + 1)(x3 − x) = x5 + x3 − x3 − x = x5 − x . Vidíme, že součet, rozdíl i součin polynomů je opět polynom. Jsou-li si dva polynomy rovny, jejich rozdíl je nulový polynom. Dělení polynomů je složitější a (jak uvidíme v dalším textu) výsledkem není vždy polynom.
1.3
Podíl dvou polynomů
Dělení polynomu polynomem nultého stupně (tj. nenulovou konstantou) je definováno takto: an an−1 n−1 a1 a0 an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = xn + x + ··· + x + . b0 b0 b0 b0 b0 Dělení polynomů definujeme obecně podobně jako dělení přirozených čísel: 11 = 2 + 4 12 = 3 4
3 4
⇒ 11 = 2 · 4 + 3 (dělení se zbytkem, podíl není přirozené číslo), ⇒ 12 = 3 · 4 (dělení beze zbytku, podíl je přirozené číslo) .
(2)
Chceme-li stanovit podíl polynomů P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + +a1 x + a0 a S(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 (pro nenulový S(x)), musíme najít takové polynomy Q(x) a R(x) tak, aby platil vztah P (x) R(x) = Q(x) + , S(x) S(x)
(3)
P (x) = S(x)Q(x) + R(x)
(4)
neboli (srovnej s ( 2) pro dělení přirozených čísel). Pokud stupeň polynomu S(x) je větší než stupeň P (x), pak Q(x) = 0 a R(x) = P (x). Postup, který pro dané polynomy P (x) a S(x) 3
určí polynom Q(x) (tj. podíl, resp. částečný podíl) a polynom R(x) (tj. zbytek) se nazývá algoritmus dělení polynomů. Příklad Vypočtěte podíl, resp. částečný podíl polynomů x3 − 2x2 + x − 1 a x2 − 3x + 2. (x3 − 2x2 + ±x3 ∓ 3x2 ± x2 − ±x2 ∓
x − 1) : (x2 − 3x + 2) = x + 1 (částečný podíl) 2x x−1 3x ± 2 2x − 3 (zbytek)
Tedy x3 − 2x2 + x − 1 2x − 3 =x+1+ 2 , 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 resp. x3 − 2x2 + x − 1 = (x2 − 3x + 2)(x + 1) + 2x − 3 . (Srovnej s ( 2).)
1.4
Hornerův algoritmus
Ve speciálním případě, když dělíme polynom P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 lineárním polynomem (polynomem prvního stupně) S(x) = x − α ,
kde α je dané číslo ,
je algoritmus dělení velmi jednoduchý a nazývá se Hornerův algoritmus. Než si jej uvedeme, připomeňme, že v tomto případě mají vzorce ( 3) a ( 4) tvar P (x) R = Q(x) + , x−α x−α
(5)
P (x) = (x − α)Q(x) + R ,
(6)
resp. kde R je polynom nultého stupně (konstanta) a je to hodnota polynomu P (x) v čísle α. Je totiž P (α) = (α − α)Q(x) + R = 0 · Q(x) + R = R . Tento poznatek bude velice důležitý při určování kořenů algebraických rovnic (odst. 1.5). Ilustrujme nyní různé verze algoritmu dělení lineárním činitelem.
4
1. verze algoritmu (7x4 −2x3 +3x ±7x4 ±7x3 −9x3 +3x ∓9x3 ∓9x2 9x2 ±9x2
+8) : (x + 1) = 7x3 − 9x2 + 9x − 6 +8 +3x ±9x −6x ∓6x
+8 +8 ∓6 14
(zbytek)
Je tedy 7x4 −2x3 +3x+8 x+1
= 7x3 − 9x2 + 9x − 6 + ⇒ R = P (−1) = 14 .
14 x+1
⇒
2. verze algoritmu Polynom P (x) = 7x4 − 2x3 + 3x + 8 napíšeme ve tvaru P (x) = (((7x − 2)x + 0)x + 3)x + 8 .
(7)
Pro x = −1 počítáme hodnoty jednotlivých závorek: q3 q2 q1 q0 R
= a4 = 7(−1) − 2 = q3 α + a3 = −9(−1) + 0 = q2 α + a2 = 9(−1) + 3 = q1 α + a1 = −6(−1) + 8 = q0 α + a0
=7 = −9 =9 = −6 = 14 = P (α)
Získaná čísla q0 , q1 , q2 , q3 jsou koeficienty polynomu Q(x), je tedy Q(x) = 7x3 − 9x2 + 9x − 6. 3. verze algoritmu Upravíme-li polynom do tvaru ( 7), lze pomocí kalkulátoru velice snadno vypočítat koeficienty polynomu Q(x) i hodnotu P (−1). 4. verze algoritmu Předchozí postup se dá zapsat do schématu, který se dobře pamatuje (v prvním řádku jsou koeficienty polynomu P (x)): a4 = 7 a3 = −2 a2 = 0 a1 = 3 a0 = 8 −7 9 −9 6 −1 q3 = 7 q2 = −9 q1 = 9 q0 = −6 14 = P (−1) Postup výpočtu: 1. q3 = a4 = 7; 5
2. q2 = αq3 + a3 = (−1) · 7 − 2 = −9; 3. q1 = αq2 + a2 = (−1) · (−9) + 0 = 9 4. q0 = αq1 + a1 = (−1) · 9 + 3 = −6; 5. P (−1) = αq0 + a0 = (−1) · (−6) + 8 = 14. Tato verze Hornerova algoritmu je známa pod názvem Hornerovo schéma.
1.5
Algebraické rovnice
Rovnice typu an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 ,
(8)
kde ak pro k = 0, 1, 2, . . . , n jsou daná čísla (tzv. koeficienty rovnice) a an 6= 0, se nazývá algebraická rovnice n-tého stupně v proměnné x. Na levé straně rovnice je polynom P (x) = n P ak xk obecně s komplexními koeficienty. k=0
Řešení (kořen) rovnice ( 8) je číslo α takové, že P (α) = 0. Platí následující velice důležitá základní věta algebry, kterou uvádíme bez důkazu: Věta Každá algebraická rovnice má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Jinými slovy: Pro každou algebraickou rovnici (je lhostejné, zda koeficienty jsou komplexní či reálné) existuje alespoň jedno číslo, které je kořenem této rovnice. Je-li číslo α kořenem rovnice ( 8), je ve vztahu ( 6) R = 0 a platí tedy rovnost P (x) = (x − α)Q(x) , kde Q(x) je polynom stupně n − 1. Lineární polynom x − α se nazývá kořenový činitel. Příklad Jedním kořenem rovnice x3 − 2x2 − x + 2 = 0 je číslo 1. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení Dělením polynomu x3 − 2x2 − x + 2 kořenovým činitelem x − 1 (např. Hornerovým schématem) zjistíme, že rovnici lze psát ve tvaru (x − 1)(x2 − x − 2) = 0 . Další kořeny zjistíme řešením kvadratické rovnice x2 − x − 2 = 0 . Kořeny této kvadratické rovnice jsou čísla −1 a 2. Daná rovnice třetího stupně má tedy kořeny 1, −1, 2. Z předchozího vidíme, že známe-li kořen α algebraické rovnice n-tého stupně, můžeme dělením kořenovým činitelem x − α dostat algebraickou rovnici stupně n − 1. Opakováním 6
tohoto postupu lze tedy polynom na levé straně rovnice rozložit na součin kořenových činitelů: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ) , kde α1 , α2 , . . . , αn jsou kořeny algebraické rovnice an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0. Vyskytuje-li se v rozkladu kořenový činitel x − αi k-krát, nazývá se kořen αi k-násobný kořen algebraické rovnice P (x) = 0. Mají-li kořeny α1 , α2 , . . . , αk násobnosti k1 , k2 , . . . , kr , r ≤ n, k1 + k2 + · · · + kr = n, rozklad polynomu lze zapsat ve tvaru an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 · · · (x − αr )kr . Příklad Jedním kořenem rovnice 8x3 − 36x2 + 54x − 27 = 0 je číslo α1 = 23 . Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Dělením polynomu 8x3 − 36x2 + 54x − 27 polynomem x − 32 získáme polynom 8x2 − 24x + 18, řešíme tedy rovnici 8x2 − 24x + 18 = 0
⇒
4x2 − 12x + 9 = 0
⇒
α2,3 =
3 . 2
Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen α1,2,3 = 32 .
Poznámka Rozklad polynomu 8x3 − 36x2 + 54x − 27 na součin kořenových činitelů má tvar 3 3 3 2 . 8x − 36x + 54x − 27 = 8 x − 2 Vlastnosti kořenů algebraické rovnice s reálnými koeficienty 1. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořen α = a + bi, má také kořen α = a − bi (číslo komplexně sdružené k α). 2. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty vícenásobný komplexní kořen, potom číslo komplexně sdružené je také vícenásobným kořenem této rovnice a násobnosti obou kořenů jsou stejné. 3. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, je jejich počet sudý. 4. Každá algebraická rovnice s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden kořen reálný. 7
Příklad √ Jedním kořenem rovnice x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 = 0 je číslo α1 = 3 − 3i. Vypočtěte ostatní kořeny. √ Řešení: Druhým kořenem je číslo α2 = 3 + 3i. Hledáme polynom q(x) takový, aby √ √ (x − 3 + 3i)(x − 3 − 3i)q(x) = x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 (x2 − 6x + 12)q(x) = x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 4 3 2 −36x+24 q(x) = x −8xx+26x 2 −6x+12 Dělením zjistíme, že q(x) = x2 − 2x + 2. Stačí tedy najít kořeny rovnice x2 − 2x + 2 = 0
⇒ α3 = 1 + i, α4 = 1 − i . √ √ Daná rovnice má tedy kořeny: α1 = 3 − 3i, α2 = 3 + 3i, α3 = 1 + i, α4 = 1 − i. Příklad Vypočtěte kořeny rovnice x4 + 4x3 − 16x − 16 = 0. Řešení: Postupným dosazováním (zkusíme např. dosadit čísla 1, −1, 2, −2 atd.) zjistíme, že čísla 2 a −2 jsou kořeny naší rovnice. Je tedy (x − 2)(x + 2)(x2 + 4x + 4) = 0 a zbývá vyřešit kvadratickou rovnici x2 + 4x + 4 = 0. Ta má jeden dvojnásobný kořen −2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen −2 a jednonásobný (jednoduchý) kořen 2. Příklad Vypočtěte kořeny rovnice 3x3 + 2x2 − x − 4 = 0. Řešení: Postupným dosazováním zjistíme, že rovnice má kořen 1. Je tedy (x − 1)(3x2 + 5x + 4) = 0 √ 5 2 a řešením rovnice 3x + 5x + 4 = 0 jsou čísla − 6 ± 623 i. √ 5 Daná rovnice má tedy tři kořeny 1 a − 6 ± 623 i.
1.6
Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice
Z předchozích příkladů je zřejmé, že u algebraických rovnic vyšších stupňů nám nezbývá nic jiného, než některá řešení rovnice buď uhádnout nebo je určovat numerickými metodami, kterými se zabývá tzv. numerická matematika. Pro rovnice 3. a 4. stupně je sice možné použít vzorce pro výpočet kořenů, ale ty jsou značně komplikované. Pro rovnice vyšších stupňů takové vzorce vůbec neexistují. K určení kořenů napomohou vztahy (tzv. Viétovy vzorce) mezi koeficienty a kořeny polynomu. Pro nás budou významné dva z nich: 8
1. Součet všech kořenů násobený koeficientem an je roven opačnému koeficientu u xn−1 , tj. (α1 + α2 + · · · + αn )an = −an−1 . 2. Pro součin všech kořenů a koeficientu an platí (α1 · α2 · · · · · αn ) · an = (−1)n · a0 .
Poznámka 1. Kořeny algebraické rovnice odhadujeme tak, že určíme dělitele absolutního členu a0 a dosazením se přesvědčíme, zda je kořenem. 2. Pro kvadratický trojčlen lze velice snadno uvedené vlastnosti odvodit z rovnosti: x2 + a1 x + a0 = (x − α1 )(x − α2 ) = x2 − (α1 + α2 )x + α1 α2 . Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme a1 = −(α1 + α2 ) , a0 = α1 α2 .
2
Racionální lomené funkce.
Definice Nechť P (x) je polynom stupně n a S(x) je polynom stupně m. Potom reálná funkce f : D → R P (x) , f (x) = S(x) se nazývá racionální lomená funkce. Definičním oborem funkce f (x) je množina D = {x ∈ R :
S(x) 6= 0} .
Pokud je n ≥ m (tj. stupeň čitatele ≥ stupeň jmenovatele), je možné polynomy P a S vydělit (viz vztahy 3 a 4). Racionální lomenou funkci f (x) lze potom psát ve tvaru f (x) = Q(x) +
R(x) , S(x)
kde funkce Q(x) je polynom stupně n − m a polynom R(x) stupně k < m je zbytek při dělení polynomu P (x) polynomem S(x). 9
Věta (rozklad na parciální zlomky) Nechť je dána racionální lomená funkce f (x) =
P (x) , S(x)
kde st P (x) = n < st S(x) = m , Podle odst. 1.5 lze polynom S(x) vyjádřit ve tvaru S(x) = am (x − c1 )k1 (x − c2 )k2 . . . (x − cs )ks · ·(x2 + p1 x + q1 )h1 (x2 + p2 x + q2 )h2 . . . (x2 + pt x + qt )ht , kde ci (i = 1, . . . , s) jsou reálné kořeny polynomu S(x) násobnosti ki (navzájem různé) a x2 + pj x + qj (j = 1, . . . , t) jsou polynomy druhého stupně, které nemají reálné kořeny, tj. odpovídají vždy dvojici komplexně sdružených kořenů násobnosti hj . Potom existují reálná čísla A1 , A2 , . . . , Ak1 B1 , B2 , . . . , Bk2 ................................. K1 , K2 , . . . , Kh1 , L1 , L2 , . . . , Lh1 M1 , M2 , . . . , Mh2 , N1 , N2 , . . . , Nh2 ................................. tak, že racionální lomenou funkci f (x) lze pro všechna čísla x různá od c1 , c2 , . . . , cs vyjádřit ve tvaru tzv. rozkladu na parciální zlomky f (x) =
Ak1 A2 A1 + (x−c 2 + · · · + (x−c )k1 + x−c1 1) 1 Bk2 B1 B2 + x−c + + · · · + 2 k + ···+ (x−c ) (x−c 2 2 2) 2 Kh1 x+Lh1 2 1 x+L1 + (x2K+p2 x+L + x2K+p 2 + · · · + (x2 +p x+q )h1 + 1 x+q1 1 x+q1 ) 1 1 Mh2 x+Nh2 M1 x+N1 M2 x+N2 + x2 +p2 x+q2 + (x2 +p2 x+q2 )2 + · · · + (x2 +p2 x+q2 )h2 +
···
Neznámé koeficienty v rozkladu na parciální zlomky se zjišťují tzv. metodou neurčitých koeficientů. Její princip je patrný z následujícího příkladu. Příklad Určete rozklad racionální lomené funkce f (x) =
2x2 + 2x + 1 x5 − x3 − 2x2 + 2x
na parciální zlomky. 10
Řešení: Nejdříve rozložíme polynom S(x) = x5 − x3 − 2x2 + 2x na součin kořenových činitelů: S(x) = x5 − x3 − 2x2 + 2x = x(x2 (x − 1)(x + 1) − 2(x − 1)) = = x(x − 1)(x3 + x2 − 2) = x(x − 1)(x3 − 1 + x2 − 1) = x(x − 1)2 (x2 + 2x + 2) . Podle věty 2 o rozkladu na parciální zlomky platí: f (x) = =
2x2 + 2x + 1 = x5 − x3 − 2x2 + 2x
A B C Dx + E + + . + 2 2 x x − 1 (x − 1) x + 2x + 2
Vynásobením této rovnosti polynomem S(x) = x(x − 1)2 (x2 + 2x + 2) dostaneme pro x 6= 0 a x 6= 1 rovnost polynomů: 2x2 + 2x + 1 = A(x − 1)2 (x2 + 2x + 2)+ +Bx(x − 1)(x2 + 2x + 2)+ +Cx(x2 + 2x + 2) + (Dx + E)x(x − 1)2 .
(9)
1. metoda výpočtu koeficientů - metoda srovnávací - univerzální metoda Vztah 9 lze upravit do tvaru 2x2 + 2x + 1 = (A + B + D)x4 + (B + C − 2D + E)x3 + +(−A + 2C + D − 2E)x2 + +(−2A − 2B + 2C + E)x + 2A a porovnáním koeficientů u stejných mocnin x těchto polynomů dostáváme soustavu lineárních rovnic: A
+B B
+D = +C −2D +E = −A +2C +D −2E = −2A −2B +2C +E = 2A =
0 0 2 2 1
Tato soustava má jediné řešení: 1 A= , 2
3 B=− , 5
C = 1,
11
D=
1 , 10
1 E=− . 5
2. metoda výpočtu koeficientů - metoda dosazovací - je vhodná v případě reálných kořenů polynomu S(x): Do vztahu 9 dosadíme postupně hodnoty reálných koeficientů: x=1: x=0:
5=C ·5 ⇒ C =1 1=A·1·2 ⇒ A=
1 2
Pro výpočet zbývajících koeficientů B, D, E užijeme opět metodu srovnávací. Dosazením vypočtených koeficientů dostaneme rozklad dané racionální lomené funkce na parciální zlomky: 2x2 + 2x + 1 = f (x) = 5 x − x3 − 2x2 + 2x 3 1 1 x−2 − + . = + 2 2 2x 5(x − 1) (x − 1) 10(x + 2x + 2) Příklad Rozložte racionální lomenou funkci f (x) =
x3 − 2x2 + 4 x5 − 4x4 + 4x3
na parciální zlomky. Řešení: Polynom S(x) = x5 − 4x4 + 4x3 = x3 (x2 − 4x + 4) = x3 (x − 2)2 má trojnásobný kořen x1,2,3 = 0 a dvojnásobný kořen x4,5 = 2. Je tedy pro x 6= 0 a x 6= 2 x3 −2x2 +4 x5 −4x4 +4x3 3 2
D E = Ax + xB2 + xC3 + x−2 + (x−2) 2 , 2 2 2 x − 2x + 4 = Ax (x − 2) + Bx(x − 2) + C(x − 2)2 + Dx3 (x − 2) + Ex3 , x3 − 2x2 + 4 = (A + D)x4 + (−4A + B − 2D + E)x3 + (4A − 4B + C)x2 + +(4B − 4C)x + 4C.
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostaneme soustavu rovnic: A +D = 0, −4A +B −2D +E = 1, 4A −4B +C = −2, 4B −4C = 0, 4C = 0. Jejím řešením dostaneme A=
1 , 4
B = C = 1, 12
1 D=− , 4
E=
1 . 2
Pro funkci f tedy dostáváme x3 − 2x2 + 4 1 1 1 1 1 + 2+ 3− + = . 5 4 3 x − 4x + 4x 4x x x 4(x − 2) 2(x − 2)2
f (x) =
Příklad Rozložte racionální lomenou funkci f (x) =
x6
1 + 2x4 + x2
na parciální zlomky. Řešení: Polynom S(x) = x6 + 2x4 + x2 = x2 (x4 + 2x2 + 1) = x2 (x2 + 1)2 má dvojnásobný kořen x1,2 = 0, je tedy pro x 6= 0 = Ax + xB2 + Cx+D + (xEx+F 2 +1)2 , x2 +1 2 2 2 1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + (Cx + D)x2 (x2 + 1)2 + (Ex + F )x2 , 1 = (A + C)x5 + (B + D)x4 + (2A + C + E)x3 + (2B + D + F )x + Ax + B. 1 x6 +2x4 +x2 2
Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostaneme soustavu rovnic: A
+C
= = 2A +C +E = 2B +D +F = A +4C = B = B
+D
0, 0 0, 0, 0, 1.
Jejím řešením dostaneme A=C=E=0,
B = 1,
D = −1 ,
F = −1 .
Pro funkci f tedy dostáváme f (x) =
x6
1 1 1 1 = 2− 2 − 2 . 4 2 + 2x + x x x + 1 (x + 1)2
13
