1 1.1
Mnohočleny a algebraické rovnice Pojem mnohočlenu (polynomu)
Připomeňme, že výrazům typu a2 x2 + a1 x + a0 říkáme kvadratický trojčlen, když a2 6= 0. Číslům a0 , a1 , a2 říkáme koeficienty a písmenem x označujeme proměnnou. Naznačujeme tím, že za x lze dosazovat různá čísla (reálná či komplexní). Například pro kvadratický trojčlen 3x2 − 5x + 1 po dosazení dostaneme 3 · 02 − 5 · 0 + 1 = 1 (hodnota v bodě x = 0), dostaneme 3 · (−2)2 − 5 · (−2) + 1 = 23 (hodnota v bodě x = −2)
x=0 x = −2 Výraz tvaru n
an x + an−1 x
n−1
+ · · · + a1 x + a0 =
n X
a k xk ,
an 6= 0
(1)
k=0
se nazývá mnohočlen n-tého stupně v proměnné x a čísla (reálná, resp. komplexní) ak , k = 0, 1, 2, . . . , n, n ∈ N se nazývají koeficienty mnohočlenu. Namísto názvu mnohočlen se pro výraz ( 1) používá označení polynom n-tého stupně v proměnné x (v dalším textu budeme používat označení ”polynom”). Číslo n X ak αk = an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 k=0
se nazývá hodnota polynomu v čísle α. Příklad Je dán polynom x4 − 4x3 − 76x2 + 324x − 405. Vypočtěte hodnotu v bodech α1 = −1 a α2 = 2 + i. Řešení: Hodnota v bodě α1 = −1: (−1)4 − 4(−1)3 − 76(−1)2 + 324(−1) − 405 = 1 + 4 − 76 − 324 − 405 = −800 . Hodnota v bodě α2 = 2 + i: (2 + i)4 − 4(2 + i)3 − 76(2 + i)2 + 324(2 + i) − 405 = = (−7 + 24i) − 4(2 + 11i) − 76(3 + 4i) + 324(2 + i) − 405 = 0 .
1
Příklady polynomů: 3 P k=0 2 P k=0 1 P k=0 0 P
ak xk = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0
je polynom třetího stupně, když a3 6= 0,
ak xk = a2 x2 + a1 x + a0
je polynom druhého stupně, když a2 6= 0,
ak xk = a1 x + a0
je polynom prvního stupně, když a1 6= 0,
ak xk = a0
je polynom nultého stupně, když a0 = 6 0.
k=0
Polynom, který má všechny koeficienty rovny nule, se nazývá nulový polynom. Nulový polynom nemá stupeň. Mezi všemi polynomy je pouze jeden nulový polynom, ale můžeme jej zapsat rozmanitými způsoby. Například: 0 · x2 + 0 · x − 0, 0 · x7 − 0 · x6 + 0 · x5 + 0 · x4 + 0 · x3 + 0 · x2 + 0 · x1 + 0 , n P ak xk , ak = 0 pro všechny indexy k = 0, 1, . . . , n . k=0
1.2
Algebraické operace s polynomy
Dva polynomy
n P
ak xk , an 6= 0 a
k=0
n P
bk xk , bn 6= 0 si jsou rovny, je-li
k=0
ak = bk
pro k = 0, 1, 2, . . . , n ,
tj. rovnají-li se koefiecienty u stejných mocnin x. Příklad Určete koeficienty A, B, C polynomu A(x2 + 1) + Bx2 + Cx(x2 + 1) tak, aby byl roven polynomu x3 + x + 1. Řešení: Úpravou dostáváme A(x2 + 1) + Bx2 + Cx(x2 + 1) = Cx3 + (A + B)x2 + Cx + A . Z rovnosti Cx3 + (A + B)x2 + Cx + A = x3 + x + 1 dostaneme porovnáním koeficientů u stejných mocnin x podmínky C = 1,
A + B = 0,
A=1,
takže A = 1, B = −1, C = 1. 2
Polynomy můžeme (stejně jako čísla) sečítat, odečítat, násobit i dělit. Sčítat a odečítat polynomy budeme podle následujícího návodu: (3x2 − x + 7) + (5x4 − 7x2 + 12x − 1) = 5x4 + (3 − 7)x2 + (−1 + 12)x + (7 − 1) = = 5x4 − 4x2 + 11x + 6 , (3x2 − x + 7) − (5x4 − 7x2 + 12x − 1) = −5x4 + (3 + 7)x2 + (−1 − 12)x + (7 + 1) = = −5x4 + 10x2 − 13x + 8 . Násobit polynomy budeme podle distributivního zákona, tj. násobíme každý člen jednoho polynomu s každým členem druhého: (x2 + 1)(x3 − x) = x5 + x3 − x3 − x = x5 − x . Vidíme, že součet, rozdíl i součin polynomů je opět polynom. Jsou-li si dva polynomy rovny, jejich rozdíl je nulový polynom. Dělení polynomů je složitější a (jak uvidíme v dalším textu) výsledkem není vždy polynom. Dělení polynomu polynomem nultého stupně (tj. nenulovou konstantou) je definováno takto: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 an an−1 n−1 a1 a0 = xn + x + ··· + x + . b0 b0 b0 b0 b0 Dělení polynomů definujeme obecně podobně jako dělení přirozených čísel: 11 = 2 + 3 ⇒ 11 = 2 · 4 + 3 (dělení se zbytkem, podíl není přirozené číslo), 4 4 12 = 3 ⇒ 12 = 3 · 4 (dělení beze zbytku, podíl je přirozené číslo) . 4
(2)
Chceme-li stanovit podíl polynomů P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + +a1 x + a0 a S(x) = bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 (pro nenulový S(x)), musíme najít takové polynomy Q(x) a R(x) tak, aby platil vztah P (x) R(x) = Q(x) + , S(x) S(x)
(3)
P (x) = S(x)Q(x) + R(x)
(4)
neboli (srovnej s ( 2) pro dělení přirozených čísel). Pokud stupeň polynomu S(x) je větší než stupeň P (x), pak Q(x) = 0 a R(x) = P (x). Postup, který pro dané polynomy P (x) a S(x) určí polynom Q(x) (tj. podíl, resp. částečný podíl) a polynom R(x) (tj. zbytek) se nazývá algoritmus dělení polynomů. Příklad
3
Vypočtěte podíl, resp. částečný podíl polynomů x3 − 2x2 + x − 1 a x2 − 3x + 2. (x3 − 2x2 + ±x3 ∓ 3x2 ± x2 − ±x2 ∓ Tedy
x − 1) : (x2 − 3x + 2) = x + 1 (částečný podíl) 2x x−1 3x ± 2 2x − 3 (zbytek)
2x − 3 x3 − 2x2 + x − 1 =x+1+ 2 , 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2
resp. x3 − 2x2 + x − 1 = (x2 − 3x + 2)(x + 1) + 2x − 3 . (Srovnej s ( 2).)
1.3
Hornerův algoritmus
Ve speciálním případě, když dělíme polynom P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 lineárním polynomem (polynomem prvního stupně) S(x) = x − α ,
kde α je dané číslo ,
je algoritmus dělení velmi jednoduchý a nazývá se Hornerův algoritmus. Než si jej uvedeme, připomeňme, že v tomto případě mají vzorce ( 3) a ( 4) tvar P (x) R = Q(x) + , x−α x−α
(5)
P (x) = (x − α)Q(x) + R ,
(6)
resp. kde R je polynom nultého stupně (konstanta) a je to hodnota polynomu P (x) v čísle α. Je totiž P (α) = (α − α)Q(x) + R = 0 · Q(x) + R = R . Tento poznatek bude velice důležitý při určování kořenů algebraických rovnic (odst. 1.5). Ilustrujme nyní různé verze algoritmu dělení lineárním činitelem.
4
1. verze algoritmu (7x4 −2x3 +3x ±7x4 ±7x3 −9x3 +3x ∓9x3 ∓9x2 9x2 ±9x2
+8) : (x + 1) = 7x3 − 9x2 + 9x − 6 +8 +3x ±9x −6x ∓6x
+8 +8 ∓6 14
(zbytek)
Je tedy 7x4 −2x3 +3x+8 x+1
14 = 7x3 − 9x2 + 9x − 6 + x+1 ⇒ ⇒ R = P (−1) = 14 .
2. verze algoritmu Polynom P (x) = 7x4 − 2x3 + 3x + 8 napíšeme ve tvaru P (x) = (((7x − 2)x + 0)x + 3)x + 8 .
(7)
Pro x = −1 počítáme hodnoty jednotlivých závorek: q3 q2 q1 q0 R
= a4 = 7(−1) − 2 = q3 α + a3 = −9(−1) + 0 = q2 α + a2 = 9(−1) + 3 = q1 α + a1 = −6(−1) + 8 = q0 α + a0
=7 = −9 =9 = −6 = 14 = P (α)
Získaná čísla q0 , q1 , q2 , q3 jsou koeficienty polynomu Q(x), je tedy Q(x) = 7x3 − 9x2 + 9x − 6. 3. verze algoritmu Upravíme-li polynom do tvaru ( 7), lze pomocí kalkulátoru velice snadno vypočítat koeficienty polynomu Q(x) i hodnotu P (−1). 4. verze algoritmu Předchozí postup se dá zapsat do schématu, který se dobře pamatuje (v prvním řádku jsou koeficienty polynomu P (x)): a4 = 7 a3 = −2 a2 = 0 a1 = 3 a0 = 8 −7 9 −9 6 −1 q3 = 7 q2 = −9 q1 = 9 q0 = −6 14 = P (−1) Postup výpočtu: 1. q3 = a4 = 7; 5
2. q2 = αq3 + a3 = (−1) · 7 − 2 = −9; 3. q1 = αq2 + a2 = (−1) · (−9) + 0 = 9 4. q0 = αq1 + a1 = (−1) · 9 + 3 = −6; 5. P (−1) = αq0 + a0 = (−1) · (−6) + 8 = 14. Tato verze Hornerova algoritmu je známa pod názvem Hornerovo schéma.
1.4
Algebraické rovnice
Rovnice typu an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 ,
(8)
kde ak pro k = 0, 1, 2, . . . , n jsou daná čísla (tzv. koeficienty rovnice) a an 6= 0, se nazývá algebraická rovnice n-tého stupně v proměnné x. Na levé straně rovnice je polynom P (x) = n P ak xk obecně s komplexními koeficienty. k=0
Řešení (kořen) rovnice ( 8) je číslo α takové, že P (α) = 0. Platí následující velice důležitá základní věta algebry, kterou uvádíme bez důkazu: Věta Každá algebraická rovnice má v oboru komplexních čísel alespoň jeden kořen. Jinými slovy: Pro každou algebraickou rovnici (je lhostejné, zda koeficienty jsou komplexní či reálné) existuje alespoň jedno číslo, které je kořenem této rovnice. Je-li číslo α kořenem rovnice ( 8), je ve vztahu ( 6) R = 0 a platí tedy rovnost P (x) = (x − α)Q(x) , kde Q(x) je polynom stupně n − 1. Lineární polynom x − α se nazývá kořenový činitel. Příklad Jedním kořenem rovnice x3 − 2x2 − x + 2 = 0 je číslo 1. Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení Dělením polynomu x3 − 2x2 − x + 2 kořenovým činitelem x − 1 (např. Hornerovým schématem) zjistíme, že rovnici lze psát ve tvaru (x − 1)(x2 − x − 2) = 0 . Další kořeny zjistíme řešením kvadratické rovnice x2 − x − 2 = 0 . Kořeny této kvadratické rovnice jsou čísla −1 a 2. Daná rovnice třetího stupně má tedy kořeny 1, −1, 2. Z předchozího vidíme, že známe-li kořen α algebraické rovnice n-tého stupně, můžeme dělením kořenovým činitelem x − α dostat algebraickou rovnici stupně n − 1. Opakováním 6
tohoto postupu lze tedy polynom na levé straně rovnice rozložit na součin kořenových činitelů: an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an (x − α1 )(x − α2 ) · · · (x − αn ) , kde α1 , α2 , . . . , αn jsou kořeny algebraické rovnice an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0. Vyskytuje-li se v rozkladu kořenový činitel x − αi k-krát, nazývá se kořen αi k-násobný kořen algebraické rovnice P (x) = 0. Mají-li kořeny α1 , α2 , . . . , αk násobnosti k1 , k2 , . . . , kr , r ≤ n, k1 + k2 + · · · + kr = n, rozklad polynomu lze zapsat ve tvaru an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an (x − α1 )k1 (x − α2 )k2 · · · (x − αr )kr . Příklad Jedním kořenem rovnice 8x3 − 36x2 + 54x − 27 = 0 je číslo α1 = 23 . Vypočtěte ostatní kořeny. Řešení: Dělením polynomu 8x3 − 36x2 + 54x − 27 polynomem x − 32 získáme polynom 8x2 − 24x + 18, řešíme tedy rovnici 8x2 − 24x + 18 = 0
⇒
4x2 − 12x + 9 = 0
⇒
α2,3 =
3 . 2
Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen α1,2,3 = 23 .
Poznámka Rozklad polynomu 8x3 − 36x2 + 54x − 27 na součin kořenových činitelů má tvar 3 3 3 2 8x − 36x + 54x − 27 = 8 x − . 2 Vlastnosti kořenů algebraické rovnice s reálnými koeficienty 1. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořen α = a + bi, má také kořen α = a − bi (číslo komplexně sdružené k α). 2. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty vícenásobný komplexní kořen, potom číslo komplexně sdružené je také vícenásobným kořenem této rovnice a násobnosti obou kořenů jsou stejné. 3. Má-li algebraická rovnice s reálnými koeficienty komplexní kořeny, je jejich počet sudý. 4. Každá algebraická rovnice s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden kořen reálný. 7
Příklad √ Jedním kořenem rovnice x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 = 0 je číslo α1 = 3 − 3i. Vypočtěte ostatní kořeny. √ Řešení: Druhým kořenem je číslo α2 = 3 + 3i. Hledáme polynom q(x) takový, aby √ √ (x − 3 + 3i)(x − 3 − 3i)q(x) = x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 (x2 − 6x + 12)q(x) = x4 − 8x3 + 26x2 − 36x + 24 4 3 2 −36x+24 q(x) = x −8xx+26x 2 −6x+12 Dělením zjistíme, že q(x) = x2 − 2x + 2. Stačí tedy najít kořeny rovnice x2 − 2x + 2 = 0
⇒ α3 = 1 + i, α4 = 1 − i . √ √ Daná rovnice má tedy kořeny: α1 = 3 − 3i, α2 = 3 + 3i, α3 = 1 + i, α4 = 1 − i. Příklad Vypočtěte kořeny rovnice x4 + 4x3 − 16x − 16 = 0. Řešení: Postupným dosazováním (zkusíme např. dosadit čísla 1, −1, 2, −2 atd.) zjistíme, že čísla 2 a −2 jsou kořeny naší rovnice. Je tedy (x − 2)(x + 2)(x2 + 4x + 4) = 0 a zbývá vyřešit kvadratickou rovnici x2 + 4x + 4 = 0. Ta má jeden dvojnásobný kořen −2. Daná rovnice má tedy jeden trojnásobný kořen −2 a jednonásobný (jednoduchý) kořen 2. Příklad Vypočtěte kořeny rovnice 3x3 + 2x2 − x − 4 = 0. Řešení: Postupným dosazováním zjistíme, že rovnice má kořen 1. Je tedy (x − 1)(3x2 + 5x + 4) = 0 √ 5 2 a řešením rovnice 3x + 5x + 4 = 0 jsou čísla − 6 ± 623 i. √ 5 Daná rovnice má tedy tři kořeny 1 a − 6 ± 623 i.
1.5
Souvislost kořenů a koeficientů algebraické rovnice
Z předchozích příkladů je zřejmé, že u algebraických rovnic vyšších stupňů nám nezbývá nic jiného, než některá řešení rovnice buď uhádnout nebo je určovat numerickými metodami, kterými se zabývá tzv. numerická matematika. Pro rovnice 3. a 4. stupně je sice možné použít vzorce pro výpočet kořenů, ale ty jsou značně komplikované. Pro rovnice vyšších stupňů takové vzorce vůbec neexistují. K určení kořenů napomohou vztahy (tzv. Viétovy vzorce) mezi koeficienty a kořeny polynomu. Pro nás budou významné dva z nich: 8
1. Součet všech kořenů násobený koeficientem an je roven opačnému koeficientu u xn−1 , tj. (α1 + α2 + · · · + αn )an = −an−1 . 2. Pro součin všech kořenů a koeficientu an platí (α1 · α2 · · · · · αn ) · an = (−1)n · a0 .
Poznámka 1. Kořeny algebraické rovnice odhadujeme tak, že určíme dělitele absolutního členu a0 a dosazením se přesvědčíme, zda je kořenem. 2. Pro kvadratický trojčlen lze velice snadno uvedené vlastnosti odvodit z rovnosti: x2 + a1 x + a0 = (x − α1 )(x − α2 ) = x2 − (α1 + α2 )x + α1 α2 . Porovnáním koeficientů u stejných mocnin x dostáváme a1 = −(α1 + α2 ) , a0 = α1 α2 .
9
