Výukový materiál pro předmět MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Exponenciální rovnice – teorie - rovnice, ve kterých se neznámá vyskytuje v exponentu Řešíme je v závislosti na typu rovnice několika základními metodami. A.
metoda převedení na stejný základ – používá se v rovnicích, kde se levá i pravá strana rovnice dá upravit na mocninu se stejným základem. Pak lze využít věty: Věta: Platí-li a u = a v ⇒ u = v . (Rovnají-li se základy, rovnají se i exponenty.) Při použití této metody využíváme pravidla pro počítání s mocninami. Připomeňme si ta nejpoužívanější: a r ⋅ a s = a r+s ar = a r −s s a r s
(a ) r
= a rs
s
s r
a =a 1 a −r = r a r −r a b = b a B.
C.
D.
metoda vytýkání - používáme v rovnicích, kde se objevují součty nebo rozdíly mocnin se stejnými základy, u nichž exponenty při pohledu na neznámou stejně začínají, po vytknutí se dá rovnice vydělit číslem v závorce a vznikne typ A. metoda substituční - používáme v rovnicích, kde se objevují mocniny se stejným základem, ale exponenty jsou typu 2 p, p , tedy jeden je dvojnásobkem druhého. Po substituci obvykle vede na kvadratickou rovnici. metoda logaritmická - používáme v rovnicích typu a r = b . Tuto metodu můžeme použít až po zvládnutí logaritmů, vrátíme se k ní tedy později.
Exponenciální rovnice – ukázkové úlohy Připomeňme ještě jednou: A.
metoda převedení na stejný základ – používá se v rovnicích, kde se levá i pravá strana rovnice dá upravit na mocninu se stejným základem. Pak lze využít věty:
Věta: Platí-li a u = a v ⇒ u = v . (Rovnají-li se základy, rovnají se i exponenty.)
Příklad 1. Řešte rovnici 2 x +3 = 8 Obě strany rovnice lze vyjádřit mocninou o základu 2 . 2 x +3 = 2 3 Použijeme větu a získáme porovnáním exponentů x+3=3 x=0
1
Výukový materiál pro předmět MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
Příklad 2. 2 x +5
4 = 0,8 5 Desetinné číslo vyjádříme zlomkem a zkrátíme. Poté použijeme větu. 4 5
2 x+5
=
8 10
2 x +5
4 4 = 5 5 2x + 5 = 1 x = −2
1
Příklad 3. 2 x +7
413− x = 1024 Převedeme na mocniny se základem 2 a použijeme větu. 2 (13− x )
2 2 x + 7 = 210 x = −2 B.
metoda vytýkání - používáme v rovnicích, kde se objevují součty nebo rozdíly mocnin se stejnými základy, u nichž exponenty při pohledu na neznámou stejně začínají, po vytknutí se dá rovnice vydělit číslem v závorce a vznikne typ A.
Příklad 1. Řešte rovnici 4 x +1 − 8 ⋅ 4 x −1 = 32 V rovnici se vyskytují součty mocnin a exponent začíná u x stejným koeficientem 1. Použijeme vytýkání mocniny s nejnižším exponentem tj. 4 x −1 . 4 x −1 4 2 − 8 = 32 V závorce se objevilo číslo, kterým je rovnice dělitelná, vydělíme rovnici osmi a tím ji převedeme na typ A . 4 x −1 = 4 x −1 = 1 x=2 C. metoda substituční - používáme v rovnicích, kde se objevují mocniny se stejným základem, ale jsou typu 2 p, p , tedy jeden je dvojnásobkem druhého. Po substituci obvykle vede na kvadratickou rovnici.
(
)
Příklad 1. 25 2 x − 3 ⋅ 25 x = 10 Exponent začíná různým koeficientem u x . Použijeme substituci za 25 x . Volíme novou proměnnou . Tedy 25 x = u . Rovnici lze zapsat ve tvaru
(25 )
x 2
( )
− 3 ⋅ 25 x − 10 = 0 Po substituci u 2 − 3u − 10 = 0 jsme získali kvadratickou rovnici. Určíme její kořeny a nezapomeneme se vrátit k substituci. (Pozor na formální správnost při označení počítaných kořenů.) 2
Výukový materiál pro předmět MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007 2
D = b 2 − 4ac = (− 3) − 4 ⋅ (− 10 ) = 49
−b ± D 3±7 = a tedy u1 = 5 u 2 = −2 2a 2 25 x = −2 nemá řešení Po návratu k substituci 25 x = 5 52x = 5 x = 0,5
kořeny u1, 2 =
Exponenciální rovnice – úlohy k řešení (metoda A) 1)
5 x − 4 = 125
2)
0,125 =
3)
4 27 ⋅ 9 8
4)
2 2 x+2 −2=0 2 3 x −5
x
1 4 x+2
x −1
=
2 3
3
Výukový materiál pro předmět MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
5)
10 3 x −1 = 0,01
6)
27 5 x −6 ⋅ 81x = 9 x + 6
Exponenciální rovnice – úlohy k řešení (metoda B) 1)
Řešte v R 4 ⋅ 3 x +1 − 3 x −1 = 315 3 x −1 ⋅ 4 ⋅ 3 2 − 1 = 315
(
2)
)
vytkneme mocninu s nejnižším exponentem tj. 3 x −1 zkontrolujte vytknutí a pokračujte v řešení
Řešte v R 5 ⋅ 4 x +1 − 4 x + 2 = 4 x −1 + 240
mocniny převedeme na jednu stranu a vytkneme 4 x −1
4 x −1 ⋅ (
)=240
získali jste v závorce číslo 15 ?
Pozn. Pokud by někomu metoda vytýkání činila potíže, lze ji nahradit substituční metodou tak, že jednotlivé mocniny rozepíšeme na součin mocnin podle exponentu a zavedeme za opakující se mocninu novou neznámou. Po vyřešení této neznámé se k substituci vrátíme. Ukázka: 5 ⋅ 4 x ⋅ 4 − 4 x ⋅ 4 2 = 4 x ⋅ 4 −1 + 240 1 20u − 16u = u + 240 4 u = 64 a tedy 64 = 4 x
zavedeme novou proměnnou u = 4 x
x=3
4
Výukový materiál pro předmět MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
3)
Řešte v R 3 2 x −1 + 3 2 x − 2 − 3 2 x − 4 = 315
Exponenciální rovnice – úlohy k řešení (metoda C) 1)
Řešte v R 4 x − 10 ⋅ 2 x −1 = 24 vyjádříme mocninami se základem 2, vidíme, že exponent začíná 2 x a x , tedy jeden koeficient je dvojnásobkem druhého, proto zvolíme substituci za 2 x = u
(2 )
x 2
− 10 ⋅ 2 −1 ⋅ 2 x − 24 = 0
po substituci získáme rovnici
…………………………. vyřešíme kořeny kvadratické rovnice D = b 2 − 4ac = ……………………………………………………. −b ± D u1, 2 = = …………………………………………………… 2a u1 = ……… u 2 = ………. vrátíme se k substituci
2 x = …………..
2 x = …………
dořešte rovnice
Rovnice má tedy ………………….. řešení ………………………………..
2)
Řešte v R 4x + 4 = 5⋅ 2x
(2 )
x 2
− 5⋅ 2x + 4 = 0
zvolíme substituci u = ………a získáme
5
Výukový materiál pro předmět MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
3)
Řešte v R x
81 +
27 x
81
= 12
Exponenciální rovnice – úlohy k řešení (další typy) 1)
Určete souřadnice průsečíků daných dvou funkcí, které jsou zadány rovnicemi. f : y = 7 x +1 − 19 g : y = 7 x + 23 Určit průsečík dvou funkcí znamená najít bod, jehož souřadnice [x; y ] vyhovují oběma rovnicím současně. Nalezneme je tedy řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Použijeme dosazovací metodu a získáme 7 x +1 − 19 = 7 x + 23 7 x ⋅ (7 − 1) = 42
7 x = 71 x =1 Dosazením do kterékoliv rovnice v soustavě dopočteme y = 30 . Průsečík má tedy souřadnice P = [1;30]
2)
Určete souřadnice průsečíků daných dvou funkcí, které jsou zadány rovnicemi. f : y = 5x +1 g : y = 3 ⋅ 5 x −1 + 11
6
Výukový materiál pro předmět MATEMATIKA reg. č. projektu CZ.1.07/1.1.10/01.0007
3)
Určete průsečíky grafu funkce s osami souřadnic. f : y = 3 ⋅ 2 3 x +1 − 24 Určit průsečík grafu funkce s osou x znamená najít bod Px = [x;0] . Určit průsečík grafu funkce s osou y znamená najít bod Py = [0; y ] . Tedy do dané rovnice dosadíme za proměnné postupně x = 0 a y = 0
4)
V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic 4 x + y = 128 5 3 x − 2 y −3 = 1 Upravíme první rovnici 4 x+ y = 2 7 2 2 x+2 y = 2 7 2 x + 2 y = 7 s výhodou vyjádříme 2 y 2 y = 7 − 2 x a dosadíme do druhé rovnice a získáme
7
