3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3

lineární diferenciální rovnice – úvod do teorie

13.3.2008 18:21 Josef Hekrdla

3. Lineární diferenciální rovnice – úvod do teorie Definice 3.1 (lineární diferenciální rovnice) Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu je rovnice, která se dá zapsat ve tvaru: y ( n )  p1 ( x) y ( n1)    pn1 ( x) y  pn ( x) y  q( x)

(3.1)



Funkce p1,…, pn se nazývají koeficienty lineární diferenciální rovnice.



Jestliže jsou funkce p1,…, pn konstantní, hovoříme o lineární diferenciální rovnici s konstantními koeficienty.



Funkce q(x) se nazývá pravá strana lineární diferenciální rovnice.



Jestliže q je nulová funkce, rovnice (3.1) se nazývá homogenní, nebo rovnice „bez pravé strany“.

Poznámka 3.1 Vždy budeme předpokládat, že funkce p1,…, pn a q jsou spojité na nějakém intervalu I = (a, b), a < b. Příklad 3.1 y 

 x sin( x)  y  x  xy   2 1 x ln( x  3)  

(3.2)

(a) Rovnice (3.2) je lineární, p1 ( x ) 

x x sin( x) , p2 ( x)   x 2 , q ( x )  . 2 1 x ln( x  3)

(b) Řešení rovnice budeme uvažovat na intervalech, na kterých jsou všechny funkce p1, p2, q spojité, tj. na intervalech (-3, -2),(-2, -1), (-1, 1), (1, +  Poznámka 3.2 Rovnice (3.1) se nazývá lineární, protože zobrazení L, L[ y]: y ( n )  p1 ( x) y ( n1)    pn1 ( x) y  pn ( x) y ,

(3.3)

je lineární zobrazení, tj. L[ y1  y2 ]  L[ y1 ]  L[ y2 ] , (3.4) L[ y ]   L[ y ] . Podrobněji, nechť funkce p1,…, pn jsou spojité na intervalu I = (a, b), a < b. Označíme-li symbolem C ( k ) ( I ) k-krát spojitě diferencovatelné funkce na neprázdném intervalu I, pak

C ( k ) ( I ) je lineární prostor a L je lineární zobrazení:

–1–

3



L : C ( k ) ( I )  C (0) ( I ) .

Relace f  f  je lineární zobrazení. Kompozice lineárních zobrazení je lineární zobrazení, tj. pro libovolné k   je ( f  g )( k )  f ( k )  g ( k ) , ( g )( k )   ( g ( k ) ) . Lineální kombinace lineárních zobrazení je lineární zobrazení, tj. n

L[ y ]:  pnk ( x) y ( k ) k 0

je lineární zobrazení.



Lineární diferenciální rovnici (3.1) můžeme pomocí zobrazení L zapsat stručně L[ y ]  q .

(3.5)

Struktura množiny všech řešení rovnice (3.5) (tj. obecného řešení) je stejná jako struktura řešení lineární soustavy rovnic, která je známa z „úvodu do algebry“. Vlastnosti řešení soustavy rovnic byly totiž odvozeny pouze z linearity podobného zobrazení a z toho, že definiční obor i obor hodnot tohoto zobrazení jsou lineární prostory, tj. z podmínek (3.4). Pojmy a výsledky můžeme proto z lineární algebry bezezbytku přejmout. Partikulární řešení, je kterékoliv vybrané řešení rovnice (3.5). Budeme-li potřebovat jej odlišit od ostatních typů řešení, např. od obecného (tj. od formule, která popisuje množinu všech řešení rovnice), budeme jej označovat yˆ , platí tedy: L[ yˆ ]  q .

Řešení homogenní rovnice, je řešením přidružené homogenní rovnice. Budeme-li potřebovat jej odlišit od řešení partikulárního nebo obecného, budeme jej označovat y , platí tedy: L[ y ]  0 .

(3.6)

Z algebry je známo, že množina všech řešení lineární homogenní rovnice tvoří lineární podprostor zvaný jádro zobrazení L, označme jej ker(L). Pro dimenzi tohoto jádra později odvodíme velmi zajímavý vztah: dim ker(L) = řád dif. rovnice (3.5). Obecné řešení rovnice, tj. množina všech řešení rovnice (3.5), je opět dána známým výsledkem z lineární algebry. Je-li yˆ libovolně vybrané partikulární řešení, pak platí: { y | L[ y ]  q}  { yˆ  y | L[ y ]  0} ,

nebo stručně kde jsme označili

L[ y ]  q  y  yˆ  ker( L) , yˆ  ker( L)  { yˆ  y | L[ y ]  0} .

–2–

(3.7)

3



Poznámka 3.3 (princip superpozice) Slovní spojení „princip superpozice“ není označením obecně platného, např. fyzikálního zákona či principu. Je to pouze jiné označení vlastností nějakého lineárního zobrazení, nebo vlastností z něj odvozených. Princip superpozice je často chápán v následujícím smyslu, který snadno vyplývá z linearity zobrazení L: Je-li y1 řešením lin. dif. rovnice s pravou stranou q1, tj. L[ y1 ]  q1 , je-li y2 řešením lin. dif. rovnice s pravou stranou q2, tj. L[ y2 ]  q2 , pak y1  y2 je řešením rovnice s pravou stranou q1  q2 , tj. L[ y1  y2 ]  q1  q2 . Věta 3.1 (o existenci a jednoznačnosti) Mějme lineární diferenciální rovnici n-tého řádu y ( n )  p1 ( x) y ( n1)    pn1 ( x) y  pn ( x) y  q( x) ,

(3.8)

kde funkce p1,…, pn a q jsou spojité na intervalu I = (a, b), a < b. Pak platí: Pro každý bod x0  I a libovolný vektor (b1, b2 ,, bn )   n existuje jediné řešení y  Cn ( I ) rovnice (3.8), které splňuje dále uvedené počáteční podmínky: y ( x0 )  b1 , y( x0 )  b2 ,

y

( n1)

 ( x0 )  bn .

 Piccardovy aproximace aplikované na soustavu dif. rov. 1. řádu ekvivalentní s (3.8).  S pomocí Věty 3.1 můžeme řešit otázku dimenze ker(L). Poznámka 3.4 Funkce y1,…, yn jsou na neprázdném intervalu I lineárně nezávislé (zkratka LN), právě když platí: c1 y1    cn yn  0 na I  c1  c2    cn  0 .

(3.9)

Podmínka c1 y1    cn yn  0 na I je ekvivalentní s podmínkou x  I (c1 y1 ( x)    cn yn ( x )  0) . Podmínka c1 y1    cn yn  0 na I tedy reprezentuje nekonečně mnoho algebraických rovnic, tj. soustavu nekonečně mnoha lineárních rovnic.

–3–

3



Vybereme-li libovolně x1 , x2 ,, xk  I , pak musí platit: c1 y1 ( x1 )    cn yn ( x1 )  0 ,

c1 y1 ( x2 )    cn yn ( x2 )  0 , c1 y1 ( x3 )    cn yn ( x3 )  0 ,

    c1 y1 ( xk )    cn yn ( xk )  0 .

Je zřejmé, že takto lze vygenerovat soustavu lineárních rovnic o nespočetně mnoha rovnicích. Pokud jsou funkce y1,…, yn diferencovatelné, pak je možno sestavovat další soustavy rovnic derivováním rovnice (3.9), např. patří-li funkce do C ( n 1) ( I ) , pak na I platí: c1 y1    cn yn  0 , c1 y1    cn yn  0 , c1 y1    cn yn  0 ,

    ( n1) cy    cn yn  0 . ( n1) 1 1

Věta 3.2 (dim ker(L) = řád L) Nechť funkce p1,…, pn jsou spojité na intervalu I = (a, b), a < b, x0  I je libovolné. Mějme homogenní rovnici n-tého řádu L[ y]: y ( n )  p1 ( x) y ( n1)    pn1 ( x) y  pn ( x) y  0 .

(3.10)

Pak funkce y1,…, yn, které řeší homogenní rovnici L[ yk ]  0 , k = 1, …, n, na intervalu I a vyhovují počátečním podmínkám  y1 ( x0 )  y ( x )  1 0    ( n2)  y1 ( x0 )  y1( n1) ( x0 )

y

y2 ( x0 ) y2 ( x0 )









( x0 ) 

y

( x0 ) 

( n  2) n 1 ( n 1) n 1

y

( n  2) 2 ( n 1) 2

y



yn1 ( x0 ) yn1 ( x0 ) ( x0 ) ( x0 )

yn ( x0 )  1 0 yn ( x0 )   0 1    =      ( n 2) yn ( x0 )   0 0 yn( n1) ( x0 )   0 0

 0 0  0 0     ,   1 0  0 1 

(3.11)

tvoří bázi prostoru ker(L). Podle Věty 3.1 (o existenci a jednoznačnosti) takové funkce y1,…, yn musí existovat.  (a) y1,…, yn, jsou lineárně nezávislé. Utvořme nulovou lineární kombinaci c1 y1    cn yn  0 .

–4–

(3.12)

3



Nulová funkce je diferencovatelná, všechny její derivace jsou nulové funkce. Protože yk  C ( n 1) ( I ) pro k = 1,…, n, z rovnice (3.12) derivováním získáme soustavu rovnic: c1 y1    cn yn  0 , c1 y1    cn yn  0 ,



cy

   ( n2)    cn yn  0 ,

cy

   cn yn( n1)  0 ,

( n2) 1 1 ( n1) 1 1

která je splněna na intervalu I. V maticové formě má soustava tvar:  y1  y  1    ( n2)  y1  y1( n1)

y2 y2

 

yn1 yn1







y2( n2) 

yn( n12)

y2( n1)

yn( n11)



yn   c1   0  yn   c2   0                .      yn( n2)   cn1   0  yn( n1)   cn   0 

(3.13)

Vyjádříme-li soustavu (3.13) v bodě x0, podle (3.11) je matice soustavy (3.13) jednotková, tj. platí y2 ( x0 )  yn1 ( x0 ) yn ( x0 )   c1   y1 ( x0 )  y ( x ) y2 ( x0 )  yn 1 ( x0 ) yn ( x0 )   c2   1 0               ( n2)    ( n  2) ( n  2) ( n  2)  y1 ( x0 ) y2 ( x0 )  yn1 ( x0 ) yn ( x0 )  cn1   y1( n1) ( x0 ) y2( n1) ( x0 )  yn( n11) ( x0 ) yn( n1) ( x0 )   cn   c1   0   c  0   2           . Funkce y1, …, yn jsou tedy lineárně nezávislé.      cn 1   0   cn   0 

1 0    0  0

0  0 0   c1  1  0 0   c2             0  1 0   cn1  0  0 1   cn 

(b) Každé řešení homogenní rovnice je lineární kombinací funkcí y1,…, yn. Nechť y je libovolné řešení rovnice (3.1), tj. L[ y] = 0. Definujme vektor (b1, b2 ,, bn ) : ( y( x0 ), y( x0 ),, y ( n1) ( x0 )) .

Pak ovšem funkce y je zároveň řešením počáteční úlohy L[ y ]  0 , y ( k ) ( x0 )  bk 1 , k  0,1, , n  1 .

Definujme dále funkci z:

–5–

(3.14)

3



z : b1 y1  b2 y2    bn yn .

Funkce z je rovněž řešením počáteční úlohy (3.14): L[ z ]  L[b1 y1  b2 y2    bn yn ]  b1L[ y1 ]  b2 L[ y2 ]    bn L[ yn ]  b1 0  b2 0    bn 0  0 ,

z ( k ) ( x0 )  b1 y1( k ) ( x0 )  b2 y2( k ) ( x0 )    bn yn( k ) ( x0 )  bk 1 , k  0,1, , n  1 .

Podle věty o existenci a jednoznačnosti nemohou existovat dvě různá řešení téže počáteční úlohy, proto nutně y = z, tedy platí y  b1 y1  b2 y2    bn yn .  Poznámka 3.5 Řešit lineární homogenní diferenciální rovnici L[ y] = 0 znamená najít nějakou bázi prostoru ker(L), tj. je-li rovnice řádu n, pak je třeba najít n lineárně nezávislých řešení této rovnice. Množině funkcí, které tvoří bázi prostoru ker(L), se říká fundamentální systém. Definice 3.2 (Wronského matice, wronskián)  Jestliže funkce y1,…, yn jsou diferencovatelné na intervalu I až do řádu n – 1 včetně, pak na intervalu I je definována tzv. Wronského matice. Je to matice soustavy (3.13), tj. je to funkce definovaná na I, která k danému x  I přiřadí dále uvedenou matici:  y1 ( x )  y ( x )  1 [ y1 , , yn ]( x) :    ( n2)  y1 ( x )  y1( n1) ( x )



y

y2 ( x ) y2 ( x )







( n  2) 2 ( n 1) 2

y



yn1 ( x ) yn 1 ( x )  ( n  2) n 1 ( n 1) n 1

( x) 

y

( x) 

y

( x) ( x)

yn ( x )  yn ( x )   .   ( n 2) yn ( x )  yn( n1) ( x) 

Wronskián je determinant Wronského matice, definujme: W[ y1 , , yn ]( x) : det( [ y1 ,, yn ]( x)) .

Je-li množina funkcí y1,…, yn známa z kontextu, píšeme stručně W( x) : det( [ y1 ,, yn ]( x)) .

Wronskián je užitečný nástroj analýzy lineární nezávislosti posloupnosti funkcí, jak ukazuje následující věta. Věta 3.3 (test LN, LZ) Nechť funkce y1,…, yn, jsou diferencovatelné na intervalu I až do řádu n – 1 včetně. Pat platí: (a) Jestliže x  I (W[ y1 , , yn ]( x)  0) pak y1,…, yn jsou lineárně nezávislé na I.

–6–

3



(b) Jestliže x  I (W[ y1 , , yn ]( x)  0) a funkce y1,…, yn jsou na intervalu I řešením nějaké homogenní lineární dif. rovnice n-tého řádu (se spojitými koeficienty na I ), pak y1,…, yn jsou LZ na intervalu I.  (a). Nechť x  I (c1 y1 ( x)    cn yn ( x )  0) .

(3.15)

Stejně jako v důkazu Věty 3.2, z rovnice (3.15) odvodíme soustavu rovnic pro neznámé koeficienty c1,…,cn. Dostaneme pro každé x  I :  c1   0  [ y1 , , yn ]( x)         .      cn   0 

(3.16)

Podle předpokladu existuje x0  I , pro které je wronskián nenulový, tj. W[ y1 , , yn ]( x0 )  0 , matice [ y1 , , yn ]( x0 ) je pak regulární a jediným řešením rovnice (3.16) je řešení triviální, tj. funkce y1,…, yn jsou lineárně nezávislé na I. (b). Podle předpokladu existuje bod x0  I pro který je wronskián nulový, tj. W[ y1 , , yn ]( x0 )  0 , tj. matice [ y1 , , yn ]( x0 ) je pak singulární a tudíž existuje netriviální

řešení c1* ,, cn* soustavy,  c1*   0    [ y1 , , yn ]( x0 )         ,    cn*   0   

(3.17)

tj. (c1* ,, cn* )  0 . Nyní ukážu, že c1* y1    cn* yn  0 na I, tj. c1* ,, cn* jsou koeficienty hledané netriviální nulové lineární kombinace funkcí y1,…, yn. Označme z : c1* y1    cn* yn .

(3.18)

Podle předpokladu jsou funkce y1,…, yn řešením nějaké lineární homogenní diferenciální rovnice n-tého řádu se spojitými koeficienty na I, nechť tedy platí L[yk] = 0, k = 1, …, n a tudíž i z je řešením takové rovnice, tj. L[z] = 0. Každé řešení rovnice L[z] = 0 je i řešením počáteční úlohy L[ z ]  0, z ( k ) ( x0 )  z ( k ) ( x0 ), k  0,, n  1 .

Hodnoty derivací z ( k ) ( x0 ) vyplývají z rovnic (3.17), (3.18). Platí:

–7–

3



 c1*    z ( k ) ( x0 )  c1* y1( k ) ( x0 )    cn* yn( k ) ( x0 )   y1( k ) ( x0 )  yn( k ) ( x0 )  .    pro k = 0,…,n–1, tj. cn*     c1*  0  yn ( x0 )   c1*   z ( x0 )   y1 ( x0 )          [ y , , y ]( x )         .     1 n 0           cn*  0   z ( n1) ( x0 )   y1( n1) ( x0 )  yn( n1) ( x0 )  cn*   

(3.19)

Vektor počátečních hodnot je tedy podle (3.19) nulový. Stejné počáteční podmínky splňuje ovšem také nulová funkce. Podle věty o jednoznačnosti to znamená, že z je nulová funkce na I, tj. c1* y1    cn* yn  0 na I, což se mělo dokázat.  Příklad 3.2 x  x Funkce e 1 a e 2 jsou LN na libovolném neprázdném intervalu právě když 1   2 .  (a) Nechť 1   2 . Pak pro libovolné x   je  1x

2 x

W[e , e ]( x) 

e

 1x

1e

 1x

e

 2x

 2e

 2x

 x  2x

e 1 e

1

1

1  2

 x  2x

e 1 e

( 2  1 )  0 . x

V každém neprázdném intervalu I tedy existuje bod x, ve kterém W[e 1 , e Věty 3.3 jsou funkce LN na každém neprázdném intervalu I. x

 x

x

 2x

]( x)  0 , tj. podle

x

(b) Nechť 1   2 . Položme c1 = – c2 = 1. Potom c1e 1  c2e 2  e 1  e 1  0 . Našli jsme nulovou netriviální lineární kombinaci, tj. funkce jsou LZ na libovolném neprázdném x x intervalu. V tomto případě LZ nelze vyvodit z faktu, že W[e 1 , e 1 ]  0 , neboť zatím nevíme, x

zda existuje diferenciální rovnice 2. řádu, jejímž řešením je funkce e 1 .



Příklad 3.3 Ukažte, že funkce e  x a xe  x jsou LN na libovolném neprázdném intervalu I pro libovolné .   1 x e x xe  x W[e  x , xe  x ]( x)   x  e xe x  e2 x  0 x x  1   x e e  x e  Příklad 3.4 Jsou dány funkce y1 ( x)  x 2 , y2 ( x)  x | x | . Pak platí: (a) Funkce y1, y2 jsou LN na každém intervalu, který obsahuje jak kladná tak záporná čísla. (b) Na intervalu, který neobsahuje čísla obou znamének, jsou funkce y1, y2 LZ. (c) W[ y1 , y2 ]  0 na každém neprázdném intervalu.  –8–

3



(a) Nechť I je interval, x1 , x2  I , x1  0  x2 , nechť c1x 2  c2 x | x | 0 x  I . Pak platí c1x12  c2 x1 | x1 | 0 ,

(3.20)

c x  c2 x2 | x2 | 0 . 2 1 2

Koeficienty c1, c2 řeší soustavu (3.20). Matice soustavy (3.20) je regulární,  x12 det  2  x2

x1 | x1 |  2   2( x1 x2 )  0 , x2 | x2 |

existuje tedy pouze triviální řešení, funkce y1, y2, jsou tedy LN. (b) V případě, že interval I neobsahuje čísla obou znamének, pak existuje konstanta  taková, že y1 = y2, tj. funkce jsou LZ. (c) Protože ( x | x |)  2 | x | , je W[ y1 , y2 ]( x ) 

x2

x|x|

2x 2 | x |

 2 x 2 | x | 2 x 2 | x | 0 .



Důsledek 3.1 Funkce y1, y2 z Příkladu 3.4 nemohou být řešením nějaké lineární diferenciální rovnice 2. řádu (se spojitými koeficienty) na intervalu I, který obsahuje čísla obou znamének. Příklad 3.5 Jsou dány funkce y1 ( x)  x , y2 ( x) 

1 . Stanovte lin. dif. rovnici 2. Řádu, jejíž fundamentální x

systém je tvořen funkcemi y1, y2. Úloha má smysl, funkce y1, y2 jsou LN na libovolném neprázdném intervalu. Jestliže funkce y1, y2 tvoří fundamentální systém nějaké lineární homogenní diferenciální rovnice, pak obecné řešení y této rovnice bude lineární kombinace y = c1 y1 + c2 y2. Trojice funkcí y, y1, y2 je tedy LZ, jejich wronskián tedy musí být nulový, 1 y x x 1 W [ y , x, x ]( x )  y 1  x12  0 .

y 0

2 x3

Hledanou diferenciální rovnici dostaneme rozvojem determinantu podle 1. sloupce, tj.  2x y 

po úpravě

2 x2

y  x23 y  0 ,

y  1x y  x12 y  0 .

–9–



3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

Recommend Documents