Tue 02/04/13
1
ESTIMASI (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto
Estimasi : salah satu cara mengemukakan pernyataan induktif (menyatakan karakteristik populasi dengan menggu nakan karakteristik yang didapat dari cuplikan). Statistika
Deskriptif
Inferensi Pendugaan
Titik
Uji Hipotesis
Rentang
Contoh Pendugaan Statistik misalnya menduga rata-rata penghasilan penduduk suatu kecamatan () dengan mengambil cuplikan 10
keluarga saja, lalu cari rata2 cuplikan X (sample means). X merupakan penduga yg baik untuk . Hasil suatu cuplikan Proses Pendugaan Ingin diketahui berapa
Misal 1) X 2) S2 Penduga
nilai
1) 2) 2 Target
Sifat Penduga Yang Baik
1. Tidak Bias : yaitu jika E ( )
2. Varian Terkecil : Semakin kecil semakin baik
Penduga 1 lebih efisien dari penduga 2
1
Tue 02/04/13
2
3. Rata-rata Simpangan Terkecil : Efisien dari setiap penduga
1 penduga tak bias, 3 punya varian terkecil, 2 yang lebih baik
4. Konsisten :
(bila bias2 =0 dan 2=0) Semakin besar jumlah sample makin konsisten
Efisiensi relative dari i terhadap j =
Jawab: a. tidak
RSK ( i ) RSK ( j )
b. 90%
Soal 1: Pada soal diatas efisiensi relatif
X
100
terhadap X 90 dengan memakai
konsep RSK adalah .... A. 90% C. 10% B. 111% D. 100% Pendugaan Titik : Bila nilai dari populasi hanya diduga dengan 1
nilai statistic X sample. Pendugaan Rentang : Bila nilai dari populasi diduga dengan memakai
beberapa nilai statistic . = X Kesalahan Baku Z
2
Tue 02/04/13
3
Der. Kep 95% 96% 90% 99%
Zα/2 1,96 2,05 1,64 2,345
Nilai Dugaan Rentang untuk (Derajat Kepercayaan 95%)
Pr( X -1,96.x < < X +1,96.x) = 0,95
atau = X 1,96.x
Contoh : Dari kelas statistic diketahui simpangan baku=12. dari
cuplikan sebanyak 16 menghasilkan X = 58. Tentukan dugaan rentang dengan derajat kepercayaan 95%. Pemecahan:
n=16, =12 dan X = 58. = 58 (1,96).
12 16
= X 1,96.x sementara x
n
= 58 6 52 < < 64
Soal 2: Hasil penelitian terhadap 10 orang mhs menunjukan bahwa rata-rata uang saku adalah Rp 27,6 (ribuan), dengan simpangan baku seluruh pelajar adalah Rp 12,00. Rata-rata uang saku diseluruh pelajar adalah (derjat keperc. 95%) ? A. 27,6±6,44 C. 27,6±8,589 B. 27,6±7,44 D. 27,6±8,623 Pemakaian distribusi t, bila tidak diketahui (Derajat Kep. 95%)
= X t0,25.
S n
atau
S n
untuk n = 10
S n
untuk n = 4
= X 2,262. = X 3,182.
Dimana S 2
1 ( X X ) 2 , Derajat kebebasan = n – 1 n 1
Contoh:Dari suatu kelas yang besar, diambil sample 4 buah nilai ujian statistic masing-masing 64, 66, 89 dan 77. Tentukan nilai duga rentang untuk rata-rata seluruh kelas. Pemecahan : Untuk n=4, Derajat kebebasan=4-1=3. Dari table didapat
t0,25 =3,182. Dari sample dihitung X =74 dan S2 = 132,7 = 74 3,182.
132,7 = 74 18 4
56 < < 92
3
Tue 02/04/13
4
Soal 3 : Hasil penelitian terhadap 10 orang mhs menunjukan bahwa rata-rata uang saku adalah Rp 27,6 (ribuan), dengan simpangan baku cuplikan (S) adalah Rp 9,00. Rata-rata uang saku diseluruh pelajar adalah (derajat kepercaan 95%) ? A. 27,6±6,44 C. 27,6±8,589 B. 27,6±7,44 D. 27,6±8,623 Pendugaan Nilai Rentang untuk Beda Nilai Rata-rata 2 Populasi x x
Simpangan Baku beda 2 rata-rata :
12
22
n1 n2 Simp. Baku ini dimasukan ke pers. (1 - 2) = ( X 1 X 2 ) Z 0, 25 . x1 x2
12
(1 - 2) = ( ( X 1 X 2 ) Z 0, 25
n1
(1 - 2) = ( ( X 1 X 2 ) Z0, 25.
1
22
2
bila 1 2 dan =95%
n2
1 1 n1 n2
bila 1 = 2 dan =95%
Contoh : Ujian statistika diberikan kepada 2 kelompok mahasiswa, yaitu mahasiswa perempuan sebanyak 75 orang dan mahasiswa laki-laki sebanyak 50 orang. Kelompok perempuan memperoleh rata-rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan kelompok laki-laki memperoleh rata-rata 76 dan simpangan baku 6. Buatlah interval kepercayaan 96% untuk menduga berapa sesungguhnya beda rata-rata 2 kelompok mahasiswa tersebut ? Penyelesaian Kelompok Mhs Pr : n1=75, X1 = 82, S1=8 Kelompok Mhs Lk : n1=50, X1 = 76, S1=6 Zα/2 = Z0,04/2 = Z0,02 = 2,05
(1 - 2) = ( ( X 1 X 2 ) Z0, 25 (1 - 2) = ( (82 76) 2,05
S12 S22 n1 n2
82 75
62
50
3,429< 1 - 2 < 8,571
Sesungguhnya beda rata-rata 2 kelompok mahasiswa tersebut adalah antara 3,429 sampai 8,571. Dapat disimpulkan bahwa rata-rata kelompok Pr lebih tinggi dari Lk. Pendugaan Nilai Rentang untuk Beda Nilai Rata-rata 2 Populasi bila 1 ,2 tidak diketahui tapi nilainya dianggap sama
(1 - 2) = ( ( X 1 X 2 ) Z 0, 25S p
12 n1
22 n2
n2 n1 1 2 2 S ( X X ) ( X X 1 2) 1 i 2 i n1 n2 2 i 1 i 1 2 p
4
Tue 02/04/13
5
Contoh : dari sebuah kelas diambil cuplikan nilai ujian 64,66,89 dan 77. dari kelas lain juga diambil 56,71 dan 53. Tentukan Nilai duga rentang beda 2 rata-rata nilai kelas tersebut 1-2 ? Pemecahan : Kelas I Nilai X1i- X 1 (X1i- X 1 )2 X1i 64 -10 100 66 -8 64 89 15 25 77 3 9 296 0 398
Kelas II
X2i- X 2
(X1i- X 2 )2
-4 11 -7
16 121 49
180
0
186
X =296/4
X =180/3
=74
=60
S p2 =
Nilai X2i 56 71 53
1 584 (398+186)= =117, dari table t0,25 = 2,571 43 2 5
Derajat kebebasan=(4-1)+(3-1)=5 (1-2)=(74-60)2,571 117 .
1 1 =14 21 4 3
Dibaca: besarnya nilai duga rentang untuk beda rata-rata 2 populasi adalah -7 sampai 35 dengan derajat kepercayaan 95%. Pendugaan Rentang untuk Proporsi Pendugaan Rentang Proporsi dengan cuplikan besar =P1,96
P(1 P) n
Pendugaan Rentang untuk Beda 2 Proporsi dengan Cuplikan Besar (1-2)=(P1-P2) 1,96
P1 (1 P1 ) P2 (1 P2 ) n1 n2
Contoh : Suatu penelitian oleh perusahaan sabun cuci “Ekonomi” dengan mengambil cuplikan 200 orang, bahwa 140 orang memakai produk tsb. Hitung berapa proporsi seluruh penduduk yang menggunakan dan menyukai produk tsb. (pakai 95% derajat kepercayaan). Pemecahan : =0,71,96
P=
140 7 =0,7 200 10
0,7(1 0,7) =0,70,0324(1,96) 0,6365 < < 0,7635 200
Soal 4: Pada suatu sampel acak berukuran n=500 orang di kota Bogor ditemukan bahwa 340 orang suka nonton Indonesia Lawyers Club. Hitunglah interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa proporsi sesungguhnya penduduk kota Bogor yang suka acara tersebut ? A. 0,531 < P < 0,719 C. 0,641 < P < 0,719 B. 0,641 < P < 0,809 D. 0,651 < P < 0,919 5
Tue 02/04/13
6
Contoh : Perusahaan tsb ingin menaikan luas pasar. Hal ini dilakukan adalah merubah nama menjadi “Ekonomi Baru” sekali lagi dilakukan penelitian dengan cuplikan sebesar 250 acak. Dari jumlah tersebut 180 orang menyukai dan memakai produk tsb. Tentukan kenaikan /penurunan luas seluruh pasar produk tsb. Pemecahan : P2 =
180 =0,72, P2 proporsi cuplikan yang menyukai produk tsb. 250
P1 dari data diatas =0,7 Kenaikan proporsi luas seluruh pasar = (1-2) (1-2)=(P1-P2) 1,96
0,7(0,3) 0,72(0,38) 200 250
(1-2)=(0,72-0,70)1,96(0,0463) = 0,020,09 -0,07< (1-2) < 0,11 Jadi dengan derajat kepercayaan 95% maka kenaikan luas pasar setelah dipakai nama baru sebesar -7% sampai 11% (turun 7% sampai naik 11%). Karena duga rentang melewati angka 0% dapat dikatakan bahwa pemakaian nama baru tidak menambah luas pasar. Soal 5: Suatu survei diadakan terhadap pengunjung PRJ. Untuk itu diambil 2 kelompok sampel. Sampel 1 adalah ibu2 sebanyak 500 orang, sebanyak 325 mengatakan puas. Sampel 2 adalah bapak2 sebanyak 700 orang, sebanyak 400 menyatakan puas terhadap PRJ. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa sesungguhnya beda 2 populasi pengunjung yang puas dengan PRJ ? A. 0,01 < P1-P2 < 0,14 C. 0,01 < P1-P2 < 0,17 B. 0,02 < P1-P2 < 0,14 D. 0,02 < P1-P2 < 0,18
Peluang - t Dua sisi α/2 Satu sisi α
6
