Pengertian Estimasi Titik. Estimasi (Pendugaan) Estimasi (Pendugaan) Estimasi (Pendugaan) Populasi dan Sampel. Mean Proporsi

Chapter 6

Student Lecture Notes

6-1

Hal-1

Hal-2

Estimasi (Pendugaan)

Estimasi (Pendugaan)

TOPIK • Pengertian Estimasi • Estimasi titik • Nilai rata-rata populasi • Nilai proporsi populasi • Estimasi Interval • Estimasi interval terhadap rata-rata populasi • Estimasi interval terhadap proporsi populasi • Estimasi interval terhadap perbedaan rata-rata populasi • Estimasi interval terhadap perbedaan proporsi populasi



Statistik Inferensi (Statistik Induktif) 



Estimasi (pendugaan)  pendugaan karakteristik populasi (parameter) melalui karakteristik sampel (statistik). Uji hipotesis  pengujian karakteristik populasi (parameter) terhadap nilai tertentu atau perbandingan nilai tertentu melalui karakteristik sampel (statistik).

Hal-3

Pengertian Estimasi Titik

Estimasi (Pendugaan) 

Populasi dan Sampel Populasi

Hal-4

Parameter Populasi

Sampel

Statistik Sampel

deduktif

Parameter

Statistik

Mean () Proporsi (p) Varians (2)

Mean



Proporsi

p

X

ps s2

Varians induktif

Selisih rata2 

Central Limit Theorem Hal-5

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 3/e



X PS 2

1   2

S2

X1  X 2 Hal-6

© 2002 Prentice-Hall, Inc.

Chapter 6


Pengertian Estimasi Interval

Pengetian Estimasi Interval

Distribusi sampling Mean _ 

X   Z / 2 X

 /2

  Z / 2 X

/2

1 





100 1    %



interval memuat parameter

Interval kepercayaan



Rata-rata Hb Bumil sampel X =12.0 gr%

90%, 95%, 99% CI (Confidence Interval) Dalam statistik tidak ada kepercayaan 100%

Hal-7

Hal-8

Estimasi (Pendugaan) Data Kuantitatif

Random Sampel

Rata Hb Bumil di Populasi tidak diketahui

Dari 100 kali pengambilan sampel akan diperoleh sebanyak 100 1    % sampel yang memuat parameter populasi (µ, p).

(Jika mau percaya 100% silakan ukur seluruh populasi /sensus)

Pengertian Estimasi Titik dan Interval Populasi

Dinotasikan dengan 100 1    % Interpretasi frequensi relatif

X

X  

6-2

Estimasi titik: Rata-rata Hb Bumil di Populasi adalah 12.0 gr%

Estimasi Interval

Mean/Rata-rata

Proporsi

..%CI  P  Z ( / 2 )

Peneliti-1

 diketahui Peneliti-2 Rata-rata Hb Bumil sampel =12.5 gr%

Data Kualitatif

Estimasi Interval: Saya percaya pada tingkat kepercayaan …...% rata-rata Hb Bumil di populasi berkisar antara 10.0 gr% - 14.0 gr%

..CI    Z / 2

p (1  p) n

 tak diketahui

 n

..CI    t ( / 2, df  n 1)

SD n

Hal-9

Hal-10

Estimasi (Pendugaan) 





Suatu penelitian bertujuan untuk mengestimasi ‘uric acid’ pada populasi Lansia (umur di atas 65 tahun). Dari 100 orang sampel Lansia yang diambil secara random dari populasi Lansia tersebut, peneliti melaporkan bahwa rata-rata ‘uric acid’ pada Lansia adalah 5.9 mg/100 (point estimate) dengan standar deviasi 1.5 mg/100 ml. 95% tingkat kepercayaan peneliti bahwa rata-rata ‘uric acid’ pada populasi Lansia berkisar antara 5.6-6.2 mg/100 ml (interval estimate).

Estimasi Interval terhadap µ di populasi bila σ diketahui Beberapa asumsi   



Standard deviation populasi diketahui. Populasi berdistribusi normal. Jika populasi tidak normal, gunakan sampel besar

Estimasi Interval terhadap nilai 

X  Z / 2

Dari 10.000 wanita berusia 50-54 tahun yang diteliti ditemukan sebanyak 400 menderita kanker payudara. Dari data tersebut, maka prevalensi kanker payudara pada populasi adalah sebesar 400/10.000=0.04 atau 4% (point estimate) dengan 95% tingkat kepercayaan peneliti bahwa prevalensi kanker payudara pada populasi wanita tersebut berkisar antara 3.6%4.4% (interval estimate).

     X  Z / 2 n n

• Z/2 pada 90% CI = 1.64 (tabel Z) • Z/2 pada 95% CI = 1.96 (tabel Z) • Z/2 pada 99% CI = 2.58 (tabel Z) Hal-11


Hal-12


Chapter 6


Estimasi Interval terhadap µ di populasi bila σ di populasi tidak diketahui

Estimasi Interval terhadap µ di populasi bila σ di populasi diketahui 



Data Lansia. Bila standar deviasi ‘urid acid’ di populasi diketahui sebesar 1.5 mg/100 ml dengan rata-rata dari 100 sampel Lansia adalah 5.9 mg/100ml. Maka estimasi interval terhadap rata-rata ‘uric acid’ pada populasi Lansia adalah sebagai berikut: 

6-3

Beberapa asumsi  

Pada tingkat kepercayaan 90% = 5.9 + (1.64)(1.5/100) = 5.9 + 0.246 5.654<  <6.146 mg/100 ml



Pada tingkat kepercayaan 95% = 5.9 - (1.96)(1.5/100)<  <5.9 + (1.96)(1.5/100) = 5.9 – 0,294 <  < 5.9 + 0,294 5.606 <  <6.194 mg/100 ml

Standart deviasi populasi tidak diketahui Populasi berdistribusi normal Jika populasi tidak berdistribusi normal gunakan sampel besar



Menggunakan distribusi student’s t



Estimasi Interval terhadap nilai 





X  t / 2,n 1

Pada tingkat kepercayaan 99% 5.9 - (2.58)(1.5/100)<  <5.9 + (2.58)(1.5/100) 5.51<  <6.29 mg/100 ml

S S    X  t / 2, n 1 n n

Hal-13

Hal-14

Estimasi Interval terhadap µ di populasi bila σ di populasi tidak diketahui 

Distribusi Student’s t

Data Lansia. Bila standar deviasi populasi tidak diketahui maka digunakan standar deviasi sampel, misalnya 1.5 mg/100 ml dengan rata-rata dari 100 sampel Lansia adalah 5.9 mg/100ml. Maka estitmasi interval terhadap rata-rata ‘uric acid’ pada populasi Lansia adalah sebagai berikut: 





Normal Standart Bell-Shaped Simetris ‘ekor lebih gemuk’

Pada tingkat kepercayaan 90% 5.9 - (1.66)(1.5/100)<  <5.9 + (1.66)(1.5/100) 5.65<  <6.15 mg/100 ml =0.1 Pada tingkat kepercayaan 95% Tabel t pada /2 5.9 - (1.98)(1.5/100)<  <5.9 + (1.98)(1.5/100) dan df=100-1=99. 5.60<  <6.20 mg/100 ml =0.05 =0.01 Pada tingkat kepercayaan 99% 5.9 - (2.63)(1.5/100)<  <5.9 + (2.63)(1.5/100)

t (df = 13) t (df = 5)

Z t

0

5.51<  <6.29 mg/100 ml

Hal-15

Hal-16

Tabel Student’s t Luas ekor kanan db .05

.025

.01

Derajat bebas (df)

Let: n = 12 db = n - 1 = 11  = .05 /2 =.025





Jumlah observasi sampel yang bebas linear terhadap rata-rata sampel Contoh degrees of freedom 

Mean dari 3 angka adalah 2 = n -1 = 3 -1 =2

10 1.812 2.228 2.764 11 1.796 2.201 2.718

/2 = .025

X 1 = 1 ; X2 = 2 ; X 3 = 3

12 1.782 2.179 2.681

Nilai t

0 2.201

t Hal-17


Hal-18


Chapter 6


Estimasi Interval terhadap proporsi di populasi 

Estimasi Interval terhadap proporsi di populasi

Beberapa asumsi  

 





Data berupa dua kategori Populasi mengikuti distribusi binomial 

6-4

Estimasi Interval Proporsi 

Rata-rata p SD  p (1- p) SE  p (1- p)/n

ps adalah proporsi sampel

pS  Z /2

pS 1 pS  n

Pendekatan Distribusi Normal dapat digunakan jika np  5 dan n 1  p  5



 p  pS  Z /2

pS 1 pS  n



Hal-19

Hal-20

ESTIMASI Perbedaan dua mean

Estimasi Interval terhadap proporsi di populasi  

Data Kanker Payudara. ps=0.04, qs=1-ps=1-0.04=0.96, n=10.000. Maka estitmasi interval terhadap proporsi kanker payudara pada populasi adalah sebagai berikut:

Estimasi perbedaan dua mean (1- 2 ) independen  Estimasi Interval ( di populasi diketahui)

(X1- X 2)  z1-/2 (12)/n1 +(22) /n2

Pada tingkat kepercayaan 90% = 0.04 + {1.64 [(0.04)(0.96)/10.000]} = 0.04 + 0,00321 = 0.037 < p < 0.043 





Pada tingkat kepercayaan 95% 0.04 – [1.96 (0.04)(0.96)/10.000]< p <0.04 + [1.96  (0.04)(0.96)/10.000] 0.036 < p < 0.044



Estimasi Interval ( pop tdk diketahui dan var sampel sama) (X1- X 2)  t1-/2,n1+n2-2 sp1/n1 +1/n2 sp=[(n1-1)s12+(n2-1)s22 ]/(n1+n2-2)

Estimasi perbedaan dua mean (1- 2 ) dependen (pairs)  Estimasi Interval: d  t1-/2, s d / n

Hal-21

Hal-22

ESTIMASI Perbedaan dua Proporsi 



ESTIMASI Perbedaan dua mean 

Ada dua proporsi yang dibandingkan p1 dan p2 Menggunakan distribusi normal bila  ns1ps1 dan ns2ps2 > 5





SE 

(p1- p2)

= p(1-p)(1/ns1+1/ns2)

n

p=(ns1ps1+ns2ps2)/(ns1+ns2)

Estimasi Perbedaan dua proprosi (p1- p2) ± Z/2 SE

Diketahui: Laki-laki Perempuan





Data Lansia. Diketahui bahwa rata-rata ‘uric acid’ pada 50 orang Lansia laki-laki adalah 4.5 mg/100 ml dengan standar deviasi ‘uric acid’ populasi laki-laki adalah 1.0 mg/100 ml. Sedangkan pada 50 orang Lansia perempuan rata-rata ‘uric acid’ adalah 5.9 mg/100 ml dengan standar deviasi ‘uric acid’ populasi perempuan adalah 1.2 mg/100 ml. Maka hitunglah estimasi interval perbedaan rata-rata ‘uric acid’ antara laki-laki dan perempuan dengan tingkat kepercayaan sebesar 95%.

50 50

Mean



4.5 mg/100 ml 5.9 mg/100 ml

1.0 mg/100 ml 1.2 mg/100 ml

Estimasi interval perbedaan rata-rata ‘urid acid’ antara laki-laki dan perempuan dengan asumsi  populasi diketahui adalah sbb: (5.9-4.5)  1.96 ((1.0)2)/50 +(1.2)2) /50= [0.97 - 1.83]

(p1- p2)

Hal-23


Hal-24


Chapter 6


ESTIMASI Interval Perbedaan Dua Sampel (Mean) yang Dependen/Berpasangan (Pairs)

ESTIMASI Perbedaan dua mean 

Data

Data fiktif Lansia. Rata-rata ‘uric acid’ pada 50 orang Lansia laki-laki

adalah 4.5 mg/100 ml dengan standar deviasi sampel sebesar 1.0 mg/100 ml. Sedangkan pada 50 orang Lansia perempuan rata-rata ‘uric acid’ adalah 5.9 mg/100 ml dengan standar deviasi sampel sebesar 1.2 mg/100 ml. Maka hitunglah estimasi perbedaan rata-rata ‘uirc acid’ antara lakilaki dan perempuan pada tingkat kepercayaan 95% 

n



50 50

Dev

11

-1

12

12

0

11

12

-1

10

11

-1

12

13

-1

14

14

0

S

15

14

1

1.0 mg/100 ml 1.2 mg/100 ml

12

14

-2

10

12

-2

10

12

-2

9

11

-2

8

Standar deviasi gabungan (Sp) Sp=[(n1-1)s12+(n2-1)s22 ]/(n1+n2-2)



Hb2

10

Mean 4.5 mg/100 ml 5.9 mg/100 ml

Statistik Deskriptif

Hb1

Diketahui: Laki-laki Perempuan

6-5

= [(49)(1.0)2+(49)(1.2)2]/98=1.10

Tingkat kepercayaan 95% dan  populasi tidak diketahui (5.9-4.5)  (1.98)(1.10) (1/50 +1/50)= [0.96 - 1.84]

10

-2

9

10

-1

10

11

-1

12

13

-1

13

13

0

14

14

0

13

14

-1

14

15

-1

13

14

-1

Mean Hb1=11.55, SD=1.9861, n=20 Mean Hb2=12.50, SD=1.5044, n=20 Mean Dev = - 0.95 SDDev= 0.8256 SEDev= 0.1846

Estimasi Interval 95% thdp perbedaan Hb Mean Dev ± t /2 SEDev -0.95 ± (2.093)(0.1846) -0.95 ± 0.386 95% CI [-1.336 s/d -0.564]=[0.564 s/d 1.336]

Hal-25

Hal-26

Faktor yang Berpengaruh Terhadap Lebar Interval

ESTIMASI Interval Perbedaan Dua Proporsi Data Dari 500 wanita berumur 50-54 tahun di daerah perkotaan ditemukan ada sebanyak 50 wanita yang menderita kanker payu dara. Sedangkan d daerah pedesaan dengan umur yang sama ditemukan 25 dari 500 wanita menderita kanker payudara. Hitunglah estimasi interval perbedaan proporsi kejadian kanker payudara diantara kedua daerah tersebut pada interval kepercayaan 95%?



Variasi data 



Jawaban

• p=(50+25)/(500+500)=75/1000=0.075 • SE (pk-pd)=

[(0.075)(1-0.075)][(1/500+1/500)]=0.0167



• 95% CI pk-pd = (0.1-0.05) ± (1.96)(0.0167)= 0.05 ± 0.033

• [0.017 s/d

Interval konfidensi



Ukuran sampel 

• pk=50/500=0.1, pd=25/500=0.05

Diukur dengan

X - Z

x

to X + Z 

x

 X  n

Tingkat kepercayaan 

100 1    %

0.083]

Perbedaan proprosi kejadian kanker payudara wanita 50-54 antara wanita yag tinggal di perkotaan dan wanita yang tinggal di pedesaan adalah 5% dengan interval kepercayaan 95% perbedaan tersebut berkisar antara 1.7 % sampai dengan 8.3%

© 1984-1994 T/Maker Co. Hal-27

Hal-28

ESTIMASI (Pendugaan) 

Ciri-ciri Estimator yang Baik 





Tidak Bias: hasil estimasinya mengandung nilai parameter yang diestimasi Efisien: dalam rentang (interval) yang kecil atau sempit saja sudah mengandung nilai parameter yang diestimasi Konsisten: berapapun besarnya sampel pada rentangnya (interval) mengandung nilai parameter yang diestimasi

Hal-29



Pengertian Estimasi Titik. Estimasi (Pendugaan) Estimasi (Pendugaan) Estimasi (Pendugaan) Populasi dan Sampel. Mean Proporsi

Recommend Documents