TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR
MODUL
9
TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR
1. Pendahuluan Untuk menginginkan mengumpulkan populasi kita lakukan dengan statistik berdasarkan data yang diambil secara sampling yang telah dipelajari di atas. Data sampel dianalisa, dihitung dan dari nilai-nilai ini kita simpulkan bagaimana parameter populasi tersebut. Cara pengambilan kesimpulan mengenai paramater ini sehubungan dengan cara-cara menaksir atau estimasi harga parameter. Jadi harga parameternya sebenarnya tetap tak diketahui itu akan ditaksir atau diestimasi berdasarkan statistik dari sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan. 2. Estimator. Parameter populasi diberi simbol jadi bisa merupakan rata-rata µ, simpangan baku τ , proporsi p dan sebagainya. Nilai-nilai itu ditaksir oleh harga , maka , dinamakan estimasi. Nilai merupakan hal yang boleh dibilang sangat ideal. Mungkin terlalu tinggi atau sebaliknya. Keduanya ini jelas tidak dikehendaki. Karenanya kita menginginkan estimasi yang baik. 3. Ciri-ciri penduga yang baik a. Estimator dikatakan estimator tak bisa jika rata-rata dari semua harga yang mungkin akan sama dengan : E( )≠0 Sebaliknya, penduga dianggap bisa jika E ( ) ≠ 0 dan bisa dapat dirumuskan sebagai berikut : bias E ( ) ≠ 0 b. Konsisten, penduga yang konsisten merupakan penduga yang berkonsentrasi secara sempurna pada parameter jika sebenarnya sampel bertambah secara tidak terhitung
57
STATISTIKA
c. Estimator bervariasi minimum ialah estimator dengan variasi terkecil diantara semua estimator untuk parameter yang sama. Jika 1 dan 2 estimator untuk dimana variasi untuk 1 kecil dari variasi 2 merupakan estimator bervariasi minimum 4. Cara-cara menaksir. Parameter hanya ditaksir oleh sebuah harga yang tertentu maka dinamakan estimator, tepatnya titik tak siran. Titik taksiran untuk sebuah parameter µ misalnya harganya akan berlainan tergantung dari pada harga x yang di dapat dari sampel-sampel yang diambil. Karena orang sering merasa kurang yakin (kurang konfiden) atas hasil taksiran macam ini. Sebagai gantinya, dipakai interval taksiran atau daerah taksiran yaitu menaksir harga parameter diantara batas-batas dua harga. Dalam prakteknya harus dicari interval taksiran yang baik dengan derajad konfidensi yang memuaskan. Jika koefisien konfidensi dinyatakan dengan α, maka 0 < α < 1 harga yang digunakan tergantung dari pada persoalan yang dihadapi dan berapa besar si peneliti ingin yakin dalam membuat pernyataanya yang biasa digunakan ialah 0,95 atau 0,99. Perumusan yang didapat adalah sebagai berikut : P(A<0
58
TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR
Teladan : Dengan demikian jika ada suatu perubahan acak Y yang menyebar normal dengan nilai tengan µ yang tidak diketahui dan ragam = τ = 4 atau τ = 2, maka bagi suatu nilai pengamatan Y = 12 berlaku p(12 – 1,96(2) < µ < 12 + 1,96(2)>)=0,95 Atau p(8,08 < µ < 15,92 >) = 0,95 Berarti bahwa selang nilai diantara 8,08 dan 15,92 akan mencakup nilai tengan µ yang tidak diketahui dengan peluang sebesar 95 % Dengan kata lain, kita yakin 95 % bahwa nilai tengah yang tidak diketahui itu ada diantara 8,08 dan 15,92 Misalkanlah bahwa ingin diduga nilai tengah µ dari perubahan acak x yang menyebar secara normal dengan random yang diketahui nilainya. Dari populasi dapat diambil suatu contoh berukuran n maka µ diduga xi m dengan ragam
m
oleh
2
mN P
,
n
Maka
Z /2
m
2 2 m
n
karena
N (0,1) sehingga :
/ n m
z / 2 (1 ) /n P(m – z α / 2.τ / v n µ < m + z α / 2.µ / vn) = ( 1 – α ) Di dalam praktek biasanya populasi tidak pernah diketahui sehingga batas bawah dan batas pada persamaan tadi mengandung parameter yang tidak diketahui. Untuk mengetahui hal tersebut maka biasanya ditaksir/ diduga oleh S2 dan V . S2. Akan tetapi bila ke dalam suatu perubahan acak
berbentuk x
x
ternyata tidak s s memenuhi syarat sebagai perubah acak normal baku. Perubahan acak ini telah ditentukan penyebarannya oleh student dan kemudian secara teori ditemukan oleh KA. Fisher sebagai berikut :
t
disisipkan penduga s, maka
x s
59
STATISTIKA
Misal : jika rata-rata sampel tinggi mahasiswa antara adalah 160 cm, maka rata-rata populasi bisa antara 155-165, seperti pada gambar berikut :
155
165
atau bisa antara 150-170, seperti pada gambar berikut
150
170
Makin besar interval taksiran akan lebih merasa besar keyakinan benarnya, makin kecil interval taksiran akan lebih merasa kecil keyakinan benarnya. Tetapi, semakin kecil interval, semakin baik. Kita akan membuat interval yang sekecil mungkin tapi dengan tingkat keyakinan benarnya sebesar mungkin, atau tingkat keyakinannya sebesar mungkin. Tingkat keyakinan dinotasikan dengan dan dinyatakan dalam bentuk peluang P ( A < < B ) = 1 – α Artinya kita yakin 1 – α bahwa nilai akan berada antara A dan B 6. Penaksiran Rata-rata Pada sampling rata-rata Jika kita punya rata-rata populasi µ = 5, maka belum tentu rata-rata sampel x = 5, bisa bervariasi. Rata-rata dari seluruh sampel yang mungkin akan berkisar antara 4,33 – 5,67 Peluang penyimpangan itu bisa diperhitungkan dengan Error! Not a valid embedded object.
60
TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR
Dengan cara yang sama, Jika kita punya rata-rata sampel µ=
z
x , maka belum tentu rata-rata populasi
x . Rata-rata populasi akan mempunyai nilai dimana x n atau x µ = z
Artinya selisih µ dari
x
n
n
x adalah z
zr
x
zr
2 2 n Atau Yang dituliskan dalam bentuk peluang
P( x z r
2
x zr
n
2
n
n
)
Jika digambarkan
2
z
y 2
Sehingga besarnya penyimpangan adalah
zr
2
n
Sehingga pedugaan µ dengan interval keyakinan 95% dapat diberikan sebagai berikut :
Px
tps / vn / u
Px
tp / 2vn / u
x
tpss / vn x
tps / 2vn
0,95
61
STATISTIKA
Dimana : α : Koefisien konfidensi dan t p : nilai t di dapat dari daftar distribusi student dengan p = ½ (1 + α) dan dk = r - 1. Selang kepercayaan untuk µ pada taraf kepercayaan 1 - α bagi keadaankeadaan dengan yang tidak diketahui sebagai berikut :
Px
tpdst
Teladan : Sebuah sampel random terdiri dari 100 mahasiswa telah diambil dari sebuah Universitas, lalu nilai-nilai IQ-nya dicatat. Di dapat
x 112 dan S
10
a. Jika diketahui interval taksiran rata-rata IQ dengan koefisien konfidensi 0,96 maka dipakai rumus di atas, untuk P = 0,975 dan dk = 99 dengan interpolasi di dapat t p = 1,987. (112 – (1,9870). 10 < 112 + (1,987) . 10 100 100 Atau 110,0 < <114,0 Kita merasa 95 % yakin (konfiden) bahwa rata-rata IQ mahasiswa akan ada dalam interval dengan batas 110,0 dan 114,0 2 Kalau kita ingin menaksir variable τ dari sebuah populasi sampel 2 variansi S perlu dihitung, dan rumus yang digunakan ialah
S
xi
2
x
2
n 1
Ternyata bahwa variansi S2 adalah estimator tak bias untuk variansi τ tetapi simpangan baku S bukan estimator tak bias untuk simpangan 2 2 baku τ jadi titik taksiran S untuk τ adalah bias. 2 Jika populasi berdistribusi normal dengan variansi τ maka 100 % 2 interval konfidensi untuk τ ditentukan dengan menggunakan distribusi Chi-kuadrat. Dapat ditentukan penduga selangnya karena 2 diduga oleh S2 sedang : 2
JK ( x) 2
62
(n 1) S 2 2
xi
x 2
2
TEORI ESTIMASI ATAU MENAKSIR
Jumlah kuadrat simpangan n buah pengamatan dari suatu contoh acak terhadap nilai tengah populasi. Dibagi oleh ragam populasi. Penyebar secara Chi-kuadrat dengan derajat bebas r = (n – 1) akibatnya dapat ditentukan suatu selang yang memenuhi syarat :
P( x12
JK ( x)
/2
2
x 2 / 2) 1
F(x)
x12
x2
/2
/2
x2
2
Karena x a merupakan nilai x2 yang menyebabkan bahwa :
P x2
x s2 = a maka luas bagian bidang di bawah grafik yang tidak digarisi pada gambar di atas sama dengan 1 - α P( x12 / 2 JK ( x) 1 / 2 x 2 / 2 / JK ( x)) 1
(n 1)S 2 X2 /2
Kalau misal 1 -
x
2 0,995
dan x
(n 1)S 2 1 X 12 /2
2
α = 0,95 maka yang perlu dilihat dari daftar ialah
2 0, 025
63
STATISTIKA
Teladan : Suatu sampel random berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan baku harga S2 = 7,2 dengan koefisien konfidensi 0,95, maka didapat
29 (7,8) 45,7
2
(29 (7,8 atau 4,95 16 ,0
2
14 ,14
Interval taksiran untuk simpangan baku adalah : 2,23 < τ < 3,75 Kata merasa 95 % konfiden bahwa simpangan baku σ akan ada dalam interval yang ditasi 2,23 dan 3,75
64
