ESTIMASI
A. Dasar Teori 1. Penaksiran atau Estimasi Penaksiran atau estimasi adalah metode untuk memperkirakan nilai populasi dengan menggunakan nilai sampel. Nilai penduga disebut estimator, estimator yang baik adalah tidak bias,memiliki varians minimum, efisien dan konsisten. Terdapat 3 penaksir parameter, yakni : estimasi rata-rata µ, estimasi proporsi, dan estimasi simpangan baku. a. Penaksir Simbol dari parameter populasi adalah
(baca: tetha).
µ, proporsi π, simpangan baku σ, dll. Jika dengan harga dikatakan bahwa
bisa berupa rata-rata
tidak diketahui, maka ditaksir
(baca: tetha topi) yang dinamakan penaksir. Maka dapat =
dan menunjukkan harga
tidak menutup kemungkinan menaksir
yang sebenarnya. Namun
dengan
terlalu tinggi atau
sebaliknya. Berikut adalah ciri penaksir yang baik : 1. Penaksir dikatakan takbias apabila rata-rata semua harga
sama dengan
. 2. Penaksir yang memiliki varians minimum adalah penaksir yang memiliki varians terkecil di antara seluruh penaksir untuk parameter yang sama. 3. Penaksir dikatakan konsisten apabila ukuran sampel n mendekati ukuran populasi dan menyebabkan mendekati . b. Cara menaksir Jika parameter penaksir. Secara umum
ditaksir
dengan harga tertentu, maka
disebut
adalah penaksir untuk µ.titik taksiran untuk suatu
parameter µ harganya berlainan tergantung pada harga
yang didapat dari
sampel yang ada. Untuk lebih meyakinkan, dapat digunakan interval taksiran/selang taksiran untuk menaksir nilai parameter diantara batas dua nilai. Pada pelaksanaannya, terlebih dahulu harus mencari interval taksiran yang sempit dengan derajat kepercayaan yang memuaskan. Derajat kepercayaan menaksir disebut koefisien kepercayaan yang dinyatakan dalam bentuk peluang. Pada umumnya koefisien kepercayaan dinyatakan dengan simbol (baca: gamma), dimana 0<
< 1. Harga
tergantung pada kebutuhan dan 1
seberapa besar keyakinan peneliti saat membuat pernyataan. Biasanya digunakan 0,95 atau 0,99, yang ditulis atau . Dalam menentukan nilai interval taksiran parameter koefisien kepercayaan
dengan
, ambil sampel secara acak, kemudian hitung nilai
statistik yang diperlukan. Rumus yang digunakan untuk menghitung peluang parameter antara A-B adalah sebagai berikut : Dimana A dan B merupakan fungsi statistik berupa variabel acak namun bukan 0. Artinya, peluang berupa interval acak yang terbentang antara A-B berisikan . Apabila A-B dihitung harganya berdasarkan sampel, maka A-B merupakan bilangan tetap. Namun pernyataan tersebut harus dinyatakan sebagai berikut : “seseorang hanya yakin 100 % bahwa terletak antara A-B” Pernyataan diatas harus dipahami, karena peluang
memang terletak
atau tidak terletak diantara A-B adalah 1 atau 0. c. Menaksir rata-rata µ Dalam sebuah populasi N dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ,parameter µ akan ditaksir dengan cara mengambil sampel acak berukuran n pada data, lalu hitung sebagai titik taksiran dari rata-rata µ dan hitung s. Jika ingin mendapatkan taksiran yang lebih tinggi kepercayaannya, maka dapat menggunakan interval taksiran/selang yang disertai dengan nilai koefisien kepercayaan yang diinginkan. dibedakan menjadi 3, yakni : 1. Simpanan baku σ diketahui & populasinya berdistribusi Dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
derajat taksiran Hal ini normal.
Keterangan : = koefisien kepercayaan z1/2 = bilangan z didapat dari table normal baku untuk peluang
.
Bentuk lain dari rumus di atas untuk memperoleh 100% interval kepercayaan parameter µ adalah sebagai berikut:
2
2. Simpanan baku σ tidak diketahui dan populasinya berdistribusi normal. Kenyataannya, parameter σ sering tidak diketahui. Karena itu menggunakan rumus sebagai berikut :
Keterangan : = koefisien kepercayaan tp = nilai t didapat dari daftar distribusi student dengan p =
dan
Untuk interval kepercayaannya adalah sebagai berikut
Bilangan yang didapat dari
dinamakan batas bawah dan
dinamakan batas atas. Jika ukuran sampel lebih besar daripada ukuran populasi N, rumus yabg digunakan adalah sebagai berikut :
Kemudian berubah menjadi :
3. Simpanan baku σ tidak diketahui dan populasinya tidak berdistribusi normal. Dalam hal ini jika distribusi populasi menyimpang dari normal & ukuran sampelnya terlalu kecil, maka harus menggunakan bentuk distribusi yang asli dari populas. Makin besar koefisien kepercayaan, makin lebar jarak interval kepercayaan dan sebaliknya. Jika batas selang kepercayaan menjadi satu, maka diperoleh titik taksiran dengan derajat kepercayaan terkecil. d. Menaksir proporsi π Merupakan suatu penelitian yang bertujuan untuk menggambarkan suatu variabel pada populasi tertentu. Misal pada suatu populasi binom berukuran N 3
terdapat proporsi π untuk sebuah peristiwa dalam populasi itu. Maka dapat diambil sebuah sampel secara acak -n dari populasi tersebut. Misal terdapat x peristiwa A, maka dapat dimisalkan proporsi sampel untuk sebuah peristiwa A = (x/n). Maka titik taksiran untuk sebuah π adalah (x/n). Jika 100 % interval kepercayaan untuk penaksiran π dikehendaki, maka rumusnya adalah sebagai berikut :
Keterangan : p = x/n, q= 1 –p, adalah bilangan z yang didapat dari daftar normal yang baku untuk peluang
.
e. Menaksir simpangan baku Untuk menaksir varians 2 dari sebuah populasi, sampel varians s2 berdasarkan sampel acak berukuran n perlu dihitung. Variansi untuk data kelompok hampir sama dengan variansi data tunggal, namun dikalikan dengan frekuensi setiap kelas. Berikut adalah rumusnya : Variansi Standar Deviasi data tunggal
Keterangan : = varian sampel = jumlah frekuensi tiap kelas = nilai setiap data = nilai rata – rata hitung dalam sampel n = jumlah total data Variansi Standar Deviasi data kelompok : =
4
varian s2 tersebut merupakan penaksir takbias untuk varians 2. Dengan kata lain simpangan baku s bukan penaksir takbias untuk simpangan baku . Jadi titik taksiran s untuk adalah bias. Apabila populasinya berdistribusi normal dengan varians 2 maka dapat dirumuskan dengan menggunakan distribusi chi kuadrat, maka rumus yang digunakan adalah sebagia berikut :
Keterangan : n = ukuran sampel dan
didapat dari daftar chi kuadrat yang berurutan untuk
p = 1⁄2(1+ γ) dan p = 1⁄2(1-γ) dengan dk = (n -1).
B. Permasalahan Tugas 2, berdasarkan datanya sendiri – sendiri mahasiswa menghitung : 1. Mengestimasi mean 2. Standar deviasi 3. Proporsi Tabel 3.1: Distribusi frekuensi Nilai Frekuensi 45-52
5
53-60
2
61-68
3
69-76
29
77-84
4
85-92
2
Jumlah
45
5
C. Pembahasan Pembahasan taksiran mean Analisis: 1. Menentukan sampel (n=45) dari 45 data. 2. Berdasarkan tugas 1b rata-rata hitung data individu didapat x 70,11 . 3. Berdasarkan tugas 1c simpangan baku data individu didapat s 9,41 . A. Kepercayaan 95% dengan γ=95, maka α=1-γ=1-95%=0,05, diperoleh p=1-α/2=1-0,05/2=0,975, diperoleh tp=t(0,975) dengan derajat kebebasan dk=45 adalah 1,98.
B. Kepercayaan 99% dengan γ=99, maka α=1-γ=1-99%=0,01, diperoleh p=1-α/2=1-0,01/2=0,995, diperoleh tp=t(0,995) dengan derajat kebebasan dk=45 adalah 2,69.
Pembahasan Standar Deviasi Analisis: 1. Menentukan sampel (n=45) dari 45 data. 2. Berdasarkan tugas 1b rata-rata hitung data individu didapat x 70,11 .
3. Berdasarkan tugas 1c simpangan baku data individu didapat s 9,41 . 6
A. Kepercayaan 95% dengan γ=95%=0,95, dk= n-1= 45-1= 44,
B. Kepercayaan 99% dengan γ=99%=0,99, dk= n-1= 45-1= 44,
7
Pembahasan Proporsi Dimisalkan perbandingan komponen pasif dan komponen aktif dari sampel komponen elektronika sebanyak 450 buah ada 126 komponen aktif diperoleh: dan
A. Untuk kepercayaan 95%
B. Untuk kepercayaan 99%
8
D. Kesimpulan Dari perhitungan manual diperoleh hasil akhir sebagai berikut: 1. Estimasi Mean : Kepercayaan 95% = Kepercayaan 99% = 2. Estimasi Standar deviasi : Kepercayaan 95% = Kepercayaan 99% = 3. Estimasi Proporsi : Kepercayaan 95% = Kepercayaan 99% = Sedangkan untuk perhitungan dengan menggunakan software SPSS diperoleh hasil sebagai berikut: 1. Estimasi mean : Kepercayaan 95% = 66,78 < μ < 72,56 Kepercayaan 99% = 65,81 < μ < 73,52
Dari data diatas dapat disimpulkan bahwa perhitungan estimasi pada mean secara manual tidak jauh berbeda dibandingkan perhitungan menggunakan software SPSS. Namun dalam penggunaan perhitungan menggunakan software SPSS hanya dapat menghitung estimasi mean saja.
E. Daftar Pustaka Basuki, Ismet. 2005. Handout 4 Mata Kuliah Statistika (Print Out Power Point). Sudjana. 1992. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito. Riduwan. 2014. Dasar - dasar Statistika. Bandung: Alfabeta.
9
F. Lampiran Lampiran I: Hasil perhitungan dengan software SPSS. EXAMINE VARIABLES=Nilai /PLOT BOXPLOT STEMLEAF /COMPARE GROUPS /MESTIMATORS HUBER(1.339) ANDREW(1.34) HAMPEL(1.7,3.4,8.5) TUKEY(4.685) /PERCENTILES(5,10,25,50,75,90,95) HAVERAGE /STATISTICS DESCRIPTIVES EXTREME /CINTERVAL 95 /MISSING LISTWISE /NOTOTAL.
Explore [DataSet1] D:\Document\TUgas Kuliah\SmtVIII\Statistika\Tugas\Data.sav
Case Processing Summary Cases Valid N Nilai
Missing
Percent 45
N
100.0%
Total
Percent 0
N
0.0%
Percent 45
100.0%
Descriptives Statistic Mean 95% Confidence Interval for
Lower Bound
66.7772
Mean
Upper Bound
72.5561
5% Trimmed Mean
70.0617
Median
70.0000
Variance Nilai
69.6667
Std. Deviation
9.61769 45.00
Maximum
85.00
Range
40.00
Skewness Kurtosis
1.43372
92.500
Minimum
Interquartile Range
Std. Error
7.50 -1.044
.354
.558
.695
10
M-Estimators Huber's M-
Tukey's
Hampel's M-
Estimatora
Biweightb
Estimatorc
Nilai
71.4543
72.8233
71.5833
Andrews' Waved
72.8490
a. The weighting constant is 1.339. b. The weighting constant is 4.685. c. The weighting constants are 1.700, 3.400, and 8.500 d. The weighting constant is 1.340*pi. Extreme Values Case Number
Highest
Value
1
16
85.00
2
22
85.00
3
12
80.00
4
14
80.00
5
32
80.00a
1
10
45.00
2
39
50.00
3
29
50.00
4
23
50.00
5
15
50.00
Nilai
Lowest
a. Only a partial list of cases with the value 80.00 are shown in the table of upper extremes.
Nilai Nilai Stem-and-Leaf Plot Frequency
Stem &
8.00 Extremes .00 6 . 3.00 6 . 13.00 7 . 15.00 7 . 4.00 8 . 2.00 Extremes Stem width: Each leaf:
Leaf
(=<60) 555 0000000000000 555555555555555 0000 (>=85) 10.00 1 case(s)
11
GET FILE='D:\Document\TUgas Kuliah\Smt VIII\Statistika\Tugas\Data.sav'. DATASET NAME DataSet1 WINDOW=FRONT. EXAMINE VARIABLES=Nilai /PLOT BOXPLOT STEMLEAF /COMPARE GROUPS /MESTIMATORS HUBER(1.339) ANDREW(1.34) HAMPEL(1.7,3.4,8.5) TUKEY(4.685) /PERCENTILES(5,10,25,50,75,90,95) HAVERAGE /STATISTICS DESCRIPTIVES EXTREME /CINTERVAL 99 /MISSING LISTWISE /NOTOTAL.
Explore [DataSet1] D:\Document\TUgas Kuliah\SmtVIII\Statistika\Tugas\Data.sav
12
Case Processing Summary Cases Valid N
Missing
Percent
Nilai
45
N
Total
Percent
100.0%
0
N
Percent
0.0%
45
100.0%
Descriptives Statistic Mean
69.6667
99% Confidence Interval for
Lower Bound
65.8067
Mean
Upper Bound
73.5266
5% Trimmed Mean
70.0617
Median
70.0000
Variance Nilai
Std. Error 1.43372
92.500
Std. Deviation
9.61769
Minimum
45.00
Maximum
85.00
Range
40.00
Interquartile Range
7.50
Skewness
-1.044
.354
.558
.695
Kurtosis
M-Estimators
Nilai
Huber's M-
Tukey's
Hampel's M-
Estimatora
Biweightb
Estimatorc
71.4543
72.8233
Andrews' Waved
71.5833
72.8490
a. The weighting constant is 1.339. b. The weighting constant is 4.685. c. The weighting constants are 1.700, 3.400, and 8.500 d. The weighting constant is 1.340*pi. Percentiles Percentiles 5 Weighted Average(Definition 1) Tukey's Hinges
Nilai Nilai
50.0000
10 50.0000
25
50
75
67.5000
70.0000
75.0000
70.0000
70.0000
75.0000
90
95
80.0000
83.5000
13
Extreme Values Case Number
Highest
Value
1
16
85.00
2
22
85.00
3
12
80.00
4
14
80.00
5
32
80.00a
1
10
45.00
2
39
50.00
3
29
50.00
4
23
50.00
5
15
50.00
Nilai
Lowest
a. Only a partial list of cases with the value 80.00 are shown in the table of upper extremes.
Nilai Nilai Stem-and-Leaf Plot Frequency
Stem &
8.00 Extremes .00 6 . 3.00 6 . 13.00 7 . 15.00 7 . 4.00 8 . 2.00 Extremes Stem width: Each leaf:
Leaf (=<60) 555 0000000000000 555555555555555 0000 (>=85)
10.00 1 case(s)
14
15
Lampiran II: Hasil software Plagiarsm Detector
16
