PERBANDINGAN METODE ESTIMASI-, ESTIMASI-, DAN ESTIMASI- PADA MODEL REGRESI ROBUST UNTUK MEMPREDIKSI PRODUKSI KEDELAI DI INDONESIA

PERBANDINGAN METODE ESTIMASI- , ESTIMASI- , DAN ESTIMASI-

PADA MODEL REGRESI ROBUST UNTUK

MEMPREDIKSI PRODUKSI KEDELAI DI INDONESIA Jurnal Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Oleh Wening Dyah Pratitis NIM 12305144023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2016

Perbandingan Metode Estimasi-M .... (Wening Dyah Pratitis) 1

PERBANDINGAN METODE ESTIMASI-𝑴, ESTIMASI-𝑺, DAN ESTIMASI-𝑴𝑴 PADA MODEL REGRESI ROBUST COMPARISON OF M-ESTIMATION, S-ESTIMATION, AND MM-ESTIMATION METHODS OF ROBUST REGRESSION Oleh: Wening Dyah Pratitis1), Endang Listyani2) Program Studi Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY 1) [email protected] 2)[email protected] Abstrak Analisis regresi linier adalah analisis terhadap hubungan satu variabel dependen (𝑌) dengan satu atau lebih variabel independen (𝑋). Estimasi parameter yang sering digunakan adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). MKT memberikan nilai error yang besar apabila data mengandung pencilan. untuk itu diperlukannya model regresi robust yang dapat menangani keberadaan pencilan. Permasalahan yang akan dikaji adalah membandingkan metode estimasi-𝑀, estimasi-𝑆, dan estimasi-𝑀𝑀 pada model regresi robust. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membandingkan manakah dari ketiga metode estimasi yang paling efektif untuk memprediksi produksi kedelai di Indonesia. Dalam penelitian ini diambil data produksi kedelai sebagai variabel 𝑌 dan variabel independen yang meliputi luas panen, suhu, curah hujan, kelembaban, dan lama penyinaran. Keefektifan suatu metode dapat dibandingkan dengan melihat nilai 𝑅 2. Dari hasil pembahasan diperoleh metode estimasi paling efektif untuk memprediksi produksi kedelai di Indonesia adalah metode estimasi-𝑆 dengan nilai R2 sebesar 97,73%, estimasi𝑀𝑀 sebesar 82,22%, dan estimasi-𝑀 sebesar 67,38%. Kata kunci: analisis regresi, metode kuadrat terkecil, regresi robust, estimasi-𝑀, estimasi-𝑆, estimasi-𝑀𝑀. Abstract Linear regression analysis is an analysis of the relationship of one dependent variable (Y) with one or more independent variables (X). Frequently used parameter estimation is the Ordinary Least Squares (OLS). OLS is not precise when the data has outlier, it needs robust regression models that can handle the presence of outlier. The issue that will be examined is to compare methods of M-estimation, S- estimation and MM-estimation of robust regression model. The purpose of this study is to compare which of these three methods of estimation is the most effective way to predict the production of soybean in Indonesia. In this study, The Y variable is the soybean production data, and the X variables include crop land area, temperature, precipitation, humidity, and length shines. The effectiveness of a method can be compared by looking at the value of 𝑅 2. From the results, it is obtained that the most effective estimation methods to predict the production of soybean in Indonesia is S-estimation method with R2 value of 97,73%, MM-estimation of 82,22%, and M-estimation of 67,38%. Keywords: regression analysis, ordinary least square, robust regression, M-estimation, S-estimation, MM-estimation

atau sering disebut Ordinary Least Squares

PENDAHULUAN Analisis

regresi

merupakan

metode

(OLS). Penggunaan metode ini membutuhkan

analisis yang dapat digunakan untuk menganalisis

beberapa asumsi

data dan mengambil kesimpulan yang bermakna

menghasilkan model yang baik, yaitu model

tentang hubungan ketergantungan variabel satu

estimasi linier tidak bias terbaik atau Best Linier

terhadap variabel lainnya Salah satu metode

Unbiased Estimator (BLUE), yaitu tidak terdapat

estimasi

sering

multikolinieritas, homoskedastisitas, dan tidak

digunakan adalah metode kuadrat terkecil (MKT)

terdapat autokorelasi. Masalah yang sering terjadi

dalam

regresi

linier

yang

yang harus dipenuhi untuk

pada data amatan adalah adanya pencilan

2 Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains Edisi ... Tahun ..ke.. 20...

(outlier). Keberadaan pencilan pada suatu data

Regresi Linier

dapat mengganggu proses analisis data, sehingga

Regresi linier merupakan suatu metode

pendeteksian pencilan merupakan hal yang sangat

analisis statistik yang mempelajari pola hubungan

penting untuk dilakukan.

antara dua variabel atau lebih menggunakan dapat

model persamaan linier, sehingga salah satu

mengakibatkan estimasi koefisien regresi yang

variabel pada model regresi dapat diduga dari

diperoleh kurang efisien karena memberikan nilai

variabel lainnya.

Adanya

pencilan

dalam

data

error yang besar apabila menggunakan MKT.

Model

regresi

linier

sederhana

ini

Sedangkan tindakan membuang begitu saja suatu

merupakan suatu model regresi dasar yang

pencilan bukanlah tindakan yang tepat karena ada

melibatkan satu variabel independen saja. Bentuk

kalanya pencilan memberikan informasi yang

umum regresi linier sederhana dapat dituliskan

cukup berarti. Oleh karena itu, diperlukan suatu

sebagai berikut:

estimasi yang lebih efisien dalam menangani

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖 + 𝑒𝑖

(1)

suatu pencilan yang dikenal dengan regresi robust. Regresi robust merupakan metode regresi

(Draper & Smith, 1998:22) dengan 𝑦𝑖 merupakan

yang digunakan ketika distribusi dari sisaan tidak

variabel dependen pada observasi ke-𝑖, 𝑥𝑖 adalah

normal dan/atau adanya beberapa pencilan yang

konstanta yang diketahui yaitu nilai variabel

berpengaruh pada model (Ryan, 1997:150).

independen yang diketahui, 𝛽0 dan 𝛽1 adalah

Regresi robust adalah metode yang penting

untuk

menganalisis

data

yang

parameter

koefisien

regresi,

sedangkan

𝑒𝑖

merupakan suatu error.

mengandung pencilan. Untuk menaksir parameter

Menurut Montgomery & Peck (1992:53),

regresi robust dapat digunakan beberapa metode

Model regresi linier berganda dengan 𝑘 variabel

antara

lain:

𝑆-estimator,

𝑀-estimator,

independen adalah sebagai berikut:

𝑀𝑀-estimator, Least Median of Squares (LMS), dan Least Trimmed Squares (LTS) (Chen,

𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖1 + 𝛽2 𝑥𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘 𝑥𝑖𝑘 + 𝑒𝑖 atau dapat ditulis

2002:1). 𝑦𝑖 = 𝛽0 + ∑𝑘𝑗=1 𝛽𝑗 𝑥𝑖𝑗 + 𝑒𝑖

Pada penelitian ini, akan dibahas regresi robust

dengan

estimasi-𝑀,

estimasi-𝑆,

dan

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛

estimasi-𝑀𝑀, serta ditunjukkan estimasi yang

dengan:

paling efektif dengan membandingkan nilai

𝑦𝑖

= nilai variabel dependen pada

koefisien determinasi dari ketiga metode tersebut

observasi ke-𝑖

untuk memodelkan data pada produksi kedelai di

𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 = parameter koefisien regresi

Indonesia. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk

𝑥𝑖𝑗

membandingkan keefektifan model melalui nilai 𝑅2.

(2)

= nilai variabel independen yang ke-𝑗 pada observasi ke-𝑖

𝑒𝑖

= random error


Parameter 𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 tidak diketahui Uji Asumsi

dan perlu ditentukan nilai estimasinya. Menurut

Pada penelitian ini, diambil simulasi data

Montgomery

&

Peck

Terkecil

(1992:112),

(MKT)

Metode

dari Badan Pusat Statistika (BPS) dan Dinas

Kuadrat

digunakan

untuk

Pertanian. Data yang diambil adalah data dari 34

mengestimasi koefisien 𝛽0 , 𝛽1 , 𝛽2 , … , 𝛽𝑘 yaitu

propinsi di Indonesia meliputi produksi kedelai

dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

sebagai variabel dependen, dan beberapa variabel

Fungsi yang meminimumkan adalah: 𝑛

independen yang meliputi luas area panen, suhu,

𝑆(𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ) = ∑ 𝑒𝑖 2

curah hujan, kelembaban, dan lama penyinaran.

𝑖=1

Pada model regresi, perlu dilakukan uji

= ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝛽0 − ∑𝑘𝑗=1 𝛽𝑗 𝑥𝑖𝑗 )

2

(3)

asumsi analisis regresi untuk mengetahui apakah model baik (memenuhi asumsi) atau tidak.

Fungsi 𝑆 akan diminimalkan dengan menentukan

Asumsi yang memenuhi analisis regresi dengan

turunannya

MKT antara lain: data berdistribusi normal,

memenuhi

homoskedastisitas, non autokorelasi, dan non

𝜕𝑆 𝜕𝛽

terhadap

𝛽0 , 𝛽1 , … , 𝛽𝑘 ,

harus

= −2 ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝛽0 − ∑𝑘𝑗=1 𝛽𝑗 𝑥𝑖𝑗 ) = 0

multikolinieritas.

Notasi matriks yang diberikan pada Persamaan

Identifikasi Outlier

(2) adalah 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝒆

Untuk mengidentifikasi adanya outlier, penulis menggunakan pengujian residu Jackknife atau

externally

R-student.

studendized

Menurut

residual

Chatterjee

&

atau Hadi

(1986:380), definisi Jackknife atau biasa juga disebut sebagai R-student, yang dilambangkan dengan 𝑡𝑖 adalah: ̂𝑖) = 𝑡𝑖 = 𝑒𝑖 (𝜎

dengan

𝑒𝑖

(4)

̂ (𝑖) √1 − ℎ𝑖𝑖 𝜎

𝑝 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 + 1

dan

𝑡𝑖

berdistribusi 𝑡𝑛−𝑝−1 jika model asumsi terpenuhi dan 𝑒𝑖

~𝑁(0, 𝜎2 𝐼).

dengan 𝑦1 𝑦2 𝑌 = [ ⋮ ]; 𝑦𝑛

1 1 𝑋 = [⋮ 1

𝛽1 𝛽2 𝛽 = [ ]; ⋮ 𝛽𝑘

𝑒1 𝑒2 𝑒=[⋮] 𝑒𝑛

𝑥11 𝑥21 ⋮ 𝑥𝑛1

𝑥12 … 𝑥22 … ⋮ ⋱ 𝑥𝑛2 …

𝑥1𝑘 𝑥2𝑘 ⋮ ]; 𝑥𝑛𝑘

Regresi Robust Regresi robust merupakan metode regresi

Notasi ℎ𝑖𝑖 merupakan elemen

yang digunakan ketika distribusi dari sisaan tidak

diagonal ke-𝑖 dari matriks hat dan 𝑒𝑖 merupakan

normal dan/atau adanya beberapa pencilan yang

residu ke-𝑖. Metode Kuadrat Terkecil

berpengaruh pada model (Ryan, 1997:150). Metode ini merupakan alat penting untuk

Setelah pengujian asumsi dan outlier,

menganalisa data yang dipengaruhi oleh pencilan

langkah selanjutnya yaitu membuat persamaan

sehingga dihasilkan model yang robust atau

regresi dengan metode kuadrat terkecil.

resistance terhadap pencilan. Estimasi-𝑴

4 Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains Edisi ... Tahun ..ke.. 20... k    y i   x ij  j  j 0     ˆ s     w(u i )  k    y i   x ij  j  j 0     ˆ s    

Menurut Montgomery, Peck, & Vining (2006:372), Estimasi-𝑀 adalah suatu kelas dari regresi robust yang meminimalkan suatu fungsi residu 𝜌 sebagai berikut: n

̂ = min  (e ) 𝛽  i 𝑀 𝜷

i 1

n k   ̂ = min   𝛽  y  x    i ij j 𝑀   𝜷 i 1 j  0  

(5)

(8)

𝑒

karena nilai 𝑢𝑖 = 𝜎̂𝑖 sebagai pengganti 𝑒𝑖 , 𝑠

maka persamaan (8) menjadi: Fungsi 𝜌 merupakan fungsi representasi pembobot dari residu. fungsi ini merupakan gabungan dari MKT dan Least Absolute Value (LAV). Fungsi Huber lebih resisten terhadap outlier daripada MKT. Sehingga fungsi 𝜌 yang digunakan adalah fungsi objektif Huber dengan persamaan sebagai berikut: 1 2

(𝑢𝑖 )2

𝜌(𝑢𝑖 ) = { 1 𝑐|𝑢𝑖 | − 2 𝑐 2

, |𝑢𝑖 | ≤ 𝑐

1 𝜓(𝑢𝑖 ) 𝑤𝑖 = 𝑤(𝑢𝑖 ) = ={ 𝑐 (𝑢𝑖 ) |𝑢𝑖 |

, |𝑢𝑖 | > 𝑐

untuk fungsi pembobot Huber, konstanta yang digunakan adalah 𝑐 = 1,345 (Fox, 2002:3). Pada umumnya, fungsi 𝜓 merupakan fungsi yang tidak linear dan Persamaan (7) harus diselesaikan

, |𝑢𝑖 | ≤ 𝑐 , |𝑢𝑖 | > 𝑐

dengan menggunakan iteratively reweighted least (6)

squares (IRLS), maka diperoleh k  y  xij  j   i n j 0  xij   ˆ s i 1  

dengan 𝜌(𝑢𝑖 ) adalah fungsi simetris dari residu atau fungsi yang memberikan kontribusi pada masing-masing residu pada fungsi objektif, 𝑒

dengan 𝑢𝑖 = 𝜎̂𝑖 .

   0  

(9)

sehingga

𝑠

k    x w y  x ij  j   0 ,   ij i 0  i i 1 j 0   n

Untuk meminimalkan Persamaan (5), akan digunakan turunan parsial pertama fungsi 𝜌 terhadap 𝛽𝑗 (𝑗 = 0, 1, … , 𝑘) sama dengan 0, sehingga menghasilkan suatu kondisi minimum. Sehingga diperoleh k  y   i  xij  j n j 0  xij   ˆ s i 1  

dengan

𝜓 = 𝜌′

dan

   0   𝑥𝑖𝑗

(7)

merupakan

(10)

dengan  1   k    y  x ij  j   i   j 0      ˆ s wi 0         k  y  x   i ij j  j 0   ˆ s

k

, y i   x iˆj  j j 0

(11) k

, y i   x ij  j j 0

observasi ke-i pada regressor ke-j dan 𝑥𝑖0 = 1. Berdasarkan definisi, fungsi pembobot 𝑤(𝑢𝑖 ) dari persamaan (7), yaitu:

Untuk kasus regresi berganda, persamaan (10) menjadi:


dengan 𝑒𝑖 merupakan residu ke-i dari 𝛽 k    x w y  x ij  j   0   ij i 0  i i 1 j 0  

̂ 𝑠 (𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 ) didefinisikan sebagai solusi dan 𝜎

n

n

n

dari: k  y  x ij  j   i 1 n  ei  1 n  j 0       n i 1  ˆ s  n i 1  ˆ s  

k

 xij wi 0 y i   x wi 0  j  0 i 1

n

2 ij

i 1 j  0

k

n

 xij2 wi 0  j   xij wi 0 y i i 1 j  0

(12)

i 1

k  y  x ij  j   i 1 n  j 0  n i 1  ˆ s  

dalam notasi matriks, persamaan (12) di atas menjadi: 𝑿𝑻 𝑾𝟎 𝑿𝜷 = 𝑿𝑻 𝑾𝟎 𝒀

(13)

dengan 𝑾0 adalah matriks bobot berordo 𝑛×𝑛

dengan

elemen

diagonal

utama

didefinisikan

𝐾 =0,1995

sebagai

2011:415).

(11). Persamaan (13) dikenal sebagai persamaan

(𝜎̂𝑖 ) sehingga menghasilkan

karena itu, estimator satu-langkah (one-step estimator) adalah: 𝜷 = (𝑿𝑻 𝑾0 𝑿)−1 𝑿𝑻 𝑾0 𝒀 ulang

𝑒

Persamaan

(17)

(Alma,

dibagi

dengan

2

𝑠

ˆ s 

1 nK

n

w e i 1

2 i i

(18)

(14)

Salah satu fungsi 𝜌 (pembobot) untuk

Langkah berikutnya adalah menghitung

Persamaan (17) adalah fungsi Tukey bisquare

bobot

dari

Persamaan

(3.9)

tetapi

̂ 1 bukan 𝜷 ̂ 0 . Pada umumnya, menggunakan 𝜷 untuk

(17)

dengan 𝐾 merupakan suatu konstanta yang

𝑤10 , 𝑤20 , … , 𝑤𝑛0 yang diberikan pada Persamaan normal weighted least squares (WLS). Oleh

   K  

   ;  

𝑾𝑗

bobot

yang

diberikan

dapat

menyelesaikan: ̂ 𝑗+1 = (𝑿𝑻 𝑾𝑗 𝑿)−1 𝑿𝑻 𝑾𝑗 𝒀 𝜷

(15)

(Rousseeuw & Leroy, 1987). Berikut merupakan fungsi pembobot Tukey bisquare: 𝑢𝑖2 𝑢𝑖4 𝑢𝑖6 − 2+ 4 𝜌(𝑢𝑖 ) = 2 2𝑐2 6𝑐 𝑐 { 6

𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 |𝑢𝑖 | ≤ 𝑐 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 |𝑢𝑖 | > 𝑐

Iterasi terus dilakukan hingga mencapai

dengan 𝜌(𝑢𝑖 ) adalah fungsi simetris dari

̂ 𝑗+1 dengan konvergen, yaitu hingga selisih nilai 𝜷

residu yaitu fungsi yang memberikan kontribusi

̂ 𝑗 mendekati 0. 𝜷

pada masing-masing residu pada fungsi objektif. Turunan dari fungsi 𝜌 adalah:

Estimasi-𝑺 (Scale) Menurut Montgomery, Peck, & Vining, (2006:388), estimasi-𝑆 akan meminimumkan suatu ukuran skala residu, dapat didefinisikan hasil estimasi dari persamaan berikut: ̂ = min𝛽 𝜎 ̂ 𝑠 [𝑒1 (𝛽), 𝑒2 (𝛽), … , 𝑒𝑛 (𝛽)] 𝛽 𝑠

(16)

2𝑢𝑖3 𝑢𝑖5 𝑢 − + 4 𝜓(𝑢𝑖 ) = 𝜌′ (𝑢𝑖 ) = { 𝑖 𝑐2 𝑐 0 𝑢𝑖 2 2 = {𝑢𝑖 (1 − ( 𝑐 ) ) 0

, |𝑢𝑖 | ≤ 𝑐 , |𝑢𝑖 | > 𝑐

, |𝑢𝑖 | ≤ 𝑐 , |𝑢𝑖 | > 𝑐


sehingga diperoleh 𝑤𝑖 yang merupakan suatu

5) Mengulang langkah 2, 3, 4 diulang (reiterasi

fungsi pembobot iteratively reweighted least

dengan skala residual tetap konstan) sampai

squares (IRLS)

∑𝑛𝑖=1|𝑒𝑖 (𝑚) | konvergen,

𝑢 2 𝑢𝑖 (1 − ( 𝑐𝑖 ) ) 𝑤𝑖 (𝑢𝑖 ) = 𝑢𝑖 { 0 dengan 𝑢𝑖 =

𝑒𝑖 𝑐

2

̂ 𝛽

, |𝑢𝑖 | ≤ 𝑐

(𝑚+1)

̂ (𝑚) mendekati 0, dengan 𝑚 dengan 𝛽 𝑗

adalah banyaknya iterasi.

, |𝑢𝑖 | > 𝑐

dan agar diperoleh breakdown

yaitu selisih nilai

Estimasi-𝑀𝑀

didefinisikan

sebagai

berikut 𝑛

𝑒𝑖 ̂ 𝛽 ⏟ 𝑚𝑖𝑛 ∑ 𝜌 ( ) 𝑀𝑀 = arg ̂𝑠 𝜎

point secara konsisten mendektai 50%, maka

𝛽

ditetapkan c = 1,547 (Fox, 2002:3). Persamaan

𝑖=1

𝑛 ̂ 𝛽 ⏟ 𝑚𝑖𝑛 ∑𝑖=1 𝜌 ( 𝑀𝑀 = arg

(17) pada estimasi-S dapat diselesaikan dengan

𝑦𝑖 −∑𝑘𝑗=0 𝑥𝑖𝑗 𝛽𝑗 ̂𝑠 𝜎

𝛽

metode IRLS hingga mencapai konvergen.

)

(19)

Untuk meminimunkan Persamaan (19), Estimasi-𝑴𝑴

turunan parsial pertama fungsi 𝜌 terhadap

Metode estimasi ini dikenalkan oleh Yohai (1987) yang menggabungkan suatu high breakdown point (50%) dengan efisiensi tinggi (95%). Alur dari estimasi-𝑀𝑀 dapat diuraikan

𝛽𝑗 (𝑗 = 0,1, … , 𝑘) akan sama dengan 0, sehingga menghasilkan minimum.

suatu

Dengan

kondisi

perlu

mendefinisikan

untuk fungsi

pembobot yang sama, Persamaan (19) dapat ditulis sebagai berikut

sebagai berikut: 1) Mengestimasi

koefisien

̂ 𝛽 𝑗

(1)

,

diperoleh residual 𝑒𝑖 (1) yang diambil dari regresi robust dengan high breakdown point. 2) Residual

𝑒𝑖 (1)

pada

langkah

pertama

digunakan untuk menghitung skala residual ̂ dan dihitung pula bobot awal estimasi-M, 𝜎

𝑤𝑖

∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖𝑗 𝑤𝑖 (𝑦𝑖 − ∑𝑘𝑗=0 𝑥𝑖𝑗 𝛽𝑗 ) = 0

sehingga

(1) .

̂ dari 3) Residual 𝑒𝑖 (1) dan skala residual 𝜎

(20)

Selanjutnya, Persamaan (20) akan diselesaikan ̂ menggunakan IRLS. Estimasi awal koefisien 𝛽

(1)

dan 𝑒𝑖 (1) , diambil dari regresi robust dengan high breakdown point (estimasi-S). Untuk pembobot permulaan

𝑤𝑖 (1) = 𝑤(𝑒𝑖 (1) ),

maka Persamaan

(20) dapat ditulis sebagai berikut: 𝑛

langkah (2) digunakan dalam iterasi awal

𝑘

∑ 𝑥𝑖𝑗 𝑤𝑖

dengan metode WLS untuk menghitung

(1)

(𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖𝑗 𝛽𝑗 ) = 0,

𝑖=1

𝑗=0

koefisien regresi. 𝑛

∑ 𝑤𝑖

𝑒 (1) ( 𝑖

𝑖−1

𝑗 = 0,1, … , 𝑘

(1)

̂ 𝜎

) 𝑥𝑖 = 0

dengan

dengan 𝑤𝑖 menggunakan pembobot Huber atau Tukey Bisquare 4) Menghitung bobot baru 𝑤𝑖 (2) menggunakan residual dari iterasi awal WLS (langkah 3).

(21)

( 𝑤𝑖

(1)

=

(1) 𝑦𝑖 − ∑𝑘𝑗=0 𝑥𝑖𝑗 𝛽̂𝑗 ) 𝜎̂𝑠

𝑦𝑖 −

𝜎̂𝑠 {

1 , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦𝑖 = ∑𝑘𝑗=0 𝑥𝑖𝑗 𝛽̂𝑗

𝑘 (1) , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑦𝑖  ∑ 𝑥𝑖𝑗 𝛽̂𝑗

(1) ∑𝑘𝑗=0 𝑥𝑖𝑗 𝛽̂𝑗

𝑗=0 (1)


Untuk kasus regresi berganda, Persamaan

0,118 lebih besar dari 0.05 = α, maka residu

(20) menjadi: 𝑛

nilai signifikansi (Asymp. Sig. 2-Tailed) sebesar

𝑘

𝑛 2

∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗 𝑤𝑖

(1)

berdistibusi normal.

𝛽̂𝑗 = ∑ 𝑤𝑖 (1) 𝑥𝑖 𝑦𝑖

𝑖=1 𝑗=0

2.

𝑖=1

Uji Homoskedastisitas Uji homoskedastisitas dalam hal ini

dalam notasi matriks, Persamaan (20) di atas

menggunakan rank spearman. Berdasar hasil

menjadi: 𝑿′ 𝑾(𝟏) 𝑿𝜷 = 𝑿′ 𝑾(𝟏) 𝒀

(21)

maka, estimator satu langkah dapat

output SPSS, diperoleh sebagai berikut: Tabel 2. Hasil Uji Homoskedastisitas

ditulis sebagai berikut:

Variabel Independen

̂ (𝟐) = (𝑿′ 𝑾(𝟏) 𝑿)−𝟏 𝑿′𝑾(𝟏) 𝒀 𝜷 Pada

langkah

selanjutnya,

(22)

dihitung

(2) kembali bobot dari 𝑤𝑖 (2) menggunakan 𝛽̂𝑗 dan

skala residual 𝜎̂𝑠 . Untuk 𝑤𝑖 (𝑚) bobot yang diberikan, dapat diperoleh estimator 𝛽̂ (𝑚+1) =

X1 (Luas area panen) X2 (Suhu) X3 (Curah Hujan) X4 (Kelembaban) X5 (Lama Penyinaran)

Sig (2-Tailed) Unstandardized Residual 0,059 > 0,05 0,066 > 0,05 0,345 > 0,05 0,258 > 0,05 0,153 > 0,05

dibutuhkan

Pada Tabel 2. diperoleh nilai sig pada

beberapa iterasi hingga ∑𝑛𝑖=1|𝑒𝑖 (𝑚) | konvergen,

masing-masing variabel independen lebih dari

(𝑿′ 𝑾(𝒎) 𝑿)−𝟏 𝑿′𝑾(𝒎) 𝒀.

Biasanya

(𝑚) yaitu selisih nilai 𝛽̂ (𝑚+1) dengan 𝛽̂𝑗 mendekati

 = 0,05, maka masing-masing variabel tidak terjadi heteroskedastisitas.

0. 3. HASIL EMPIRIK

Uji Non Autokorelasi Berdasar hasil output SPSS, uji Durbin-

Pada penelitian ini, diambil data dari

Watson menghasilkan nilai 𝑑 sebesar 2,096,

Badan Pusat Statistik dan Dinas Pertanian.

dengan 𝑑𝑈 = 1,8076 dan (4 − 𝑑𝑈) = 2,1924.

Produksi kedelai sebagai variabel independen (𝑌),

Artinya nilai d berada diantara 𝑑𝑈 dan (4 − 𝑑𝑈)

dan variabel dependen (𝑋) meliputi luas area

sehingga dapat disimpulkan bahwa model regresi

panen (𝑋1), suhu (𝑋2), curah hujan (𝑋3),

tidak terdapat autokorelasi.

kelembaban (𝑋4), dan lama penyinaran (𝑋5).

4.

Langkah pengolahan data diawali dengan

Uji Non Multikolinieritas Uji

non

multikolinieritas

dilakukan

uji asumsi, pemodelan dengan MKT, uji outlier,

dengan membandingkan nilai tolerance dan VIF.

dan menentukan model estimasi-𝑀, estimasi-𝑆,

Berdasar hasil output SPSS, diperoleh hasil uji

dan estimasi-𝑀𝑀 serta membandingkan nilai

non multikolinieritas sebagai berikut:

efektifitas antara ketiga metode tersebut.

Tabel 3. Hasil Uji Non Multikolinieritas

Uji Asumsi 1.

Uji Normalitas Berdasar

hasil

output

SPSS,

uji

Kolmogorov-Sminov pada data yang diperoleh

Variabel Independen 𝑋1 (Luas area panen)

Tolerance

VIF

0,947 > 0,1

1,056 < 10


𝑋2 (Suhu) 𝑋3 (Curah Hujan) 𝑋4 (Kelembaban) 𝑋5 (Lama Penyinaran)

0,235 > 0,1

4,252 < 10

0,676 > 0,1

1,479 < 10

0,365 > 0,1

R-Student 4 Jateng 2,7478

2

2,740 < 10

0

0,387 > 0,1

0

2,582 < 10

-2

Pada Tabel 3 diperoleh masing-masing nilai tolerance lebih besar dari 0,1 dan nilai VIF kurang dari 10, sehingga dapat diartikan bahwa tidak adanya multikolinieritas antara variabel independen.

-4

10

20

30

Aceh -2,4649 NTB -5,6674

-6 -8

Dari Gambar 1 dapat dilihat bahwa nilai R-student pada observasi ke−𝑖

Metode Kudrat Terkecil

40

(𝑡𝑖 ), yaitu

observasi pertama yaitu Provinsi Aceh (𝑡1 ), Jawa

Untuk memudahkan perhitungan, penulis menggunakan program SAS 9.1, diperoleh model regresi yang dapat dibentuk sebagai berikut: 𝑌̂𝑀𝐾𝑇 = −2136,63382 + 1,65022𝑋1 − 67,55636𝑋2

Tengah sebagai observasi ke-13 (𝑡13 ) dan Nusa Tenggara Barat sebagai obsetvasi ke-18 (𝑡18 ) terletak pada daerah penolakan, maka observasi ke-1, ke-13 dan ke-18 merupakan outlier. Dengan

− 3,78511𝑋3 + 69,48093𝑋4

demikian, metode kuadrat terkecil tidak dapat

− 483,48411𝑋5

digunakan untuk melihat pengaruh dari variabel independennya.

dengan:

Oleh

karena

itu,

metode

estimasi-𝑀, estimasi-𝑆, dan estimasi-𝑀𝑀 yang

𝑌̂ = Produksi kedelai

akan digunakan untuk menyelesaikan kasus ini.

𝑋1= Luas area panen

Ketiga metode tersebut akan dibandingkan satu

𝑋2= Suhu

dengan yang lainnya.

𝑋3= Curah hujan

Estimasi-𝑴

𝑋4= Kelembaban

Dengan menggunakan program SAS 9.1,

𝑋5= Lama Penyinaran

telah diperoleh model regresi sebagai berikut: Uji Outlier Dengan taraf nyata  = 5%, p = 6 dan 𝑛 = 34, maka dari tabel distribusi 𝑡 telah diperoleh 𝑡𝛼;(𝑛−𝑝−1) = 2,5018, sehingga nilai didapatkan 2

−2,0518 < |𝑅 − 𝑠𝑡𝑢𝑑𝑒𝑛𝑡| < 2,0518,

̂ 𝑀 = −1901,65 + 1,6596𝑋1 − 211,516𝑋2 𝑌

−5,0494𝑋3 + 101,1419𝑋4 − 144,070𝑋5 Estimasi-𝑺 Dengan menggunakan bantuan software

dengan

SAS 9.1 untuk menghitung estimasi dalam

menggunakan bantuan software, diperoleh nilai

regresi robust, model regresi yang dapat dibentuk

R-Student sebagai berikut

adalah sebagai berikut:

Gambar 1. Plot Nilai Residu Jackknife untuk Setiap Observasi

𝑌̂𝑆 = −960,84 + 1,4424𝑋1 − 106,18𝑋2 −3,4728𝑋3 + 58,5809𝑋4 − 129,65𝑋5


SIMPULAN DAN SARAN

Estimasi-𝑴𝑴 Dengan menggunakan program SAS 9.1,

Simpulan

telah diperoleh model regresi sebagai berikut:

Dari pembahasan yang telah dipaparkan

̂ 𝑀𝑀 = −967,961 + 1,4452𝑋1 − 108,804𝑋2 𝑌

Hasil

penulis, dapat disimpulkan bahwa berdasarkan

−3,4777𝑋3 + 58,7784𝑋4 − 116,122𝑋5 .

ketiga metode estimasi, telah diperoleh nilai R-

Perbandingan

square

Estimasi

Parameter

dari

estimasi-𝑀, nilai

dan

𝑅 − 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑆 >

Regresi Robust Estimasi-𝑴, Estimasi-𝑺, dan

estimasi-𝑀𝑀,

Estimasi-𝑴𝑴 pada Data Produksi Kedelai di

𝑅 − 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑀𝑀 > 𝑅 − 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑀

Indonesia Tahun 2014

82,22% > 67,38%. Dengan demikian dapat

Setelah mengetahui model regresi dari

dengan

estimasi-𝑆,

yaitu

97,73% >

disimpulkan bahwa regresi robust dengan metode

akan

estimasi-S merupakan penaksir yang memberikan

dibandingkan hasil dari ketiga metode estimasi

model paling efektif dari ketiga estimasi tersebut

yaitu antara metode estimasi-𝑀, estimasi-𝑆 dan

terhadap data faktor-faktor yang mempengaruhi

estimasi-𝑀𝑀. Dengan demikian dapat diketahui

produksi kedelai di Indonesia pada tahun 2014.

metode mana yang memberikan hasil terbaik

Saran

terhadap model.

1. Metode

masing-masing

parameter,

selanjutnya

estimasi-𝑀,

estimasi-𝑆,

dan

Tabel 8. Hasil Perbandingan Estimasi Parameter

estimasi-𝑀𝑀 merupakan metode yang baik

Regresi Robust antara Estimasi-𝑀, Estimasi-𝑆,

dalam menangani masalah pencilan dengan

dan Estimasi-𝑀𝑀 pada Data Produksi Kedelai di

memberikan nilai koefisien determinasi yang

Indonesia Tahun 2014

tinggi, namun perlu dipelajari juga metode

Metode

R-Square

estimasi yang lain dan pengaplikasiannya

Estimasi-𝑀

67,38

dalam menangani pencilan, seperti metode

Estimasi-𝑆

97,73

𝐿𝑀𝑆 dan 𝐿𝑇𝑆.

Estimasi-𝑀𝑀

82,22

2. Untuk penelitian selanjutnya, sekiranya dapat

Berdasarkan Tabel 8 di atas dapat dilihat

menggunakan teknik data influence serta bisa

bahwa nilai R-square (𝑅 2 ), dapat disimpulkan

lebih

bahwa nilai 𝑅 − 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑆 > 𝑅 − 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑀𝑀 >

mempengaruhi produksi kedelai di Indonesia

𝑅 − 𝑠𝑞𝑢𝑎𝑟𝑒𝑀

yaitu

97,73% > 82,22% >

67,38% yang berarti bahwa variansi yang dapat

memperhatikan

faktor-faktor

yang

sehingga dapat menghasilkan model regresi yang lebih baik lagi.

dijelaskan oleh model hasil estimasi-𝑀𝑀 yaitu

DAFTAR PUSTAKA

82,22% lebih tinggi dari estimasi-𝑀 67,38%, dan

Alma, O. G. (2011). Comparison of Robust Regression Methods in Linear Regression. Int. J. Contemp. Math. Sciences, 409-421.

nilai 𝑅 2 hasil estimasi-𝑆 sebesar 97,73% paling tinggi

di

antara

pembandingnya estimasi-𝑀𝑀.

model yaitu

kedua estimasi-𝑀

estimasi dan

Badan Pusat Statistik. (2014). Produksi Kedelai di Indonesia. www.bps.go.id. Diakses


pada tanggal 28 Januari 2016 pukul 20.00 WIB.

Pengaruh Outlier dalam Analisis Regresi Linier. Skripsi. Universitas Negeri Semarang.

Chatterjee, S., & Hadi, A.S. (1986). Influential Observations, High Leverage Points, and Outliers in Linear Regression. Statistical Science, Vol. 1 (3), 379-393.

Montgomery, D.C. & Peck, E.A. (1992). Introduction to Linear Regression Analysis. Toronto: John Wiley & Sons.

Chen, C., (2002). Robust Regression and Detection with The Robustreg Procedure. Sugi Paper 265-27, SAS Institute, Cary NC, www2.sas.com.

Montgomery, D.C., Peck, E.A., & Vining, G.G. (2006). Introduction to Linear Regression Analysis. 4th Ed. Toronto: John Wiley & Sons.

Dinas Tanaman Pangan dan Holtikultura. (2016). Mungkinkah Mewujudkan Swasembada Kedelai?. www.dishantor.rokanhulukab.go.id. Diakses pada tanggal 27 Januari 2016 pukul 20.56 WIB.

Rousseeuw, P.J., & Leroy, A.M. (1987). Robust Regression and Outlier Detection. New York: John Wiley & Sons.

Draper, N.R., & Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis. New York: John Wiley and sons. Fox, J. (2002). “Robust Regression. Apendix to An R and S-Plus Companion to Applied Regression”. January, 2002. Hanna

Ardiyanti. (2011). Perbandingan Keefektifan Metode Regresi Robust Estimasi-M dan Estimasi-MM karena

Ryan, T.P. (1997). Modern Regression Analysis for Scientists and Engineers. Ghaitersburg: NIST. Yuliana

Susanti., Hasih Pratiwi., & Sri Sulistijowati H. (2013). Optimasi Model Regresi Robust Untuk Memprediksi Produksi Kedelai Di Indonesia. Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Yogyakarta 9 November 2013, M253-M262.

PERBANDINGAN METODE ESTIMASI-, ESTIMASI-, DAN ESTIMASI- PADA MODEL REGRESI ROBUST UNTUK MEMPREDIKSI PRODUKSI KEDELAI DI INDONESIA

Recommend Documents