Ir. Tito Adi Dewanto

1

Ir. Tito Adi Dewanto Cara dan formulasi masalah ke dalam persamaan linier sama dengan metode grafik. Perbedaan pada langkah-langkah untuk pemecahan optimal. Kelebihan metode Simpleks dibanding dengan metode sebelumnya (metode Grafik) adalah metode ini bisa digunakan untuk memecahkan masalah yang memiliki variable lebih dari dua macam. Langkah-langkah Metode Simpleks :

Langkah 1: Formulasikan ke dalam SPL Contoh

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2 Batasan – batasan : (1) 2X1 + X2  6000 (2) 2X1 + 3X2  9000 (3) X1  0 ; X2  0

Langkah 2 : Mengubah Fungsi Tujuan dan Batasan Maksimumkan Maksimumkan

Z = 3X1 + 4X2 Z - 3X1 - 4X2 = 0

Batasan 

2X1 + X2  6000 2X1 + X2 + S1 = 6000



2X1 + 3X2  9000 2X1 + 3X2 + S2 = 9000

Fungsi Tujuan Maksimumkan Batasan-batasan

diubah menjadi

diubah menjadi S adalah slack variable yang mengubah tanda  menjadi =

Z - 3X1 - 4X2 = 0 (1) 2X1 + X2 + S1 = 6000 (2) 2X1 + 3X2 + S2 = 9000 (3) X1 , X2 , S1, S2  0

Langkah 3 : Menyusun Persamaan-persamaan ke dalam table V.D Z S1 S2

Z 1 0 0

X1 X2 S 1 -3 -4 0 2 1 1 2 3 0

S2 0 0 1

N.K 0 6000 9000

Langkah 4 : Memilih Kolom Kunci  Pilih kolom pada baris Z nilai negative terkecil.  Lingkari kolom tsb untuk kemudahan

Langkah 5 : Memilih Baris Kunci 

Indeks.baris 

Nilai . pada.kolom.N .K Nilai . pada.kolom.kunci

Pilih baris kunci, yaitu baris yang punya indeks + terkecil.(lalu lingkari)

2 .

 Didapat angka kunci yaitu 3

 Indeks terkecil baris S2 (jadi X2) Langkah 6: Mengubah Nilai Baris Kunci

 Ubah nilai pada baris kunci dengan membaginya angka kunci (3)  Ubah VD dengan variable yg kolomnya terpilih sbg kolom kunci. (S2  X2) Langkah 7: Mengubah Nilai diluar baris kunci

3

Langkah 8 : Melanjutkan Perbaikan  Selama masih ada nilai negative pada baris Z maka ulangi langkah 3-7.  Bila tidak ada negative lagi berarti sudah Optimal

Arti: Produk I dihasilkan 2.250 unit (X1 = 2250), produk II=1500 unit (X2=1.500) Sumbangan terhadap laba sebesar Rp 12.750 (Z=12.750)

C. Ketentuan Tambahan 1. Terdapat 2 atau lebih Nilai Negatif Terkecil pada baris Z  Bebas pilih nilai Z terkecil (hasil akan sama), Misalnya table sbb :

2. Terdapat 2 baris atau lebih Memiliki Indeks Negatif Terkecil  Bebas pilih Indeks Negative Terkecil.(Optimal sama)

3. Multiple Optimal Solutions  Bila diperoleh 2 atau lebih solusi dengan nilai Z optimal sama.

4

D. Penyimpangan dari Bentuk STANDAR 1. Fungsi Tujuan Bersifat Meminimumkan Nilai Z.  Ubah menjadi memaksimumkan, fungsi tujuan kali (-1) Minimumkan Z = 3X1 + 4 X2 Maksimumkan [Z = 3X1 + 4 X2] . (-1) Maksimumkan –Z = - 3X1 - 4 X2 atau Maksimumkan –Z + 3X1 + 4 X2 = 0 2. Batasan Bertanda Sama Dengan (=)  Z  3X 1  4 X 2  Z  3 X 1  4 X 2  MR1  0  (1)2 X  X  6000..  (1)2 X  X  R  6000..   1 2 1 2 1    (2)2 X 1  3 X 2  9000 (2)2 X 1  3 X 2  S 2  9000  (3) X 1 , X 2  0............  (3) X 1 , X 2  0....................

5

3. Batasan Dengan Tanda Lebih Besar atau Sama Dengan ()

6

7

8

Analisis Sensitivitas Menghitung akibat-akibat perubahan kendala dan fungsi tujuan pada nilai tujuan (hasil), pada metode simpleks menggunakan tabel optimal. A. Marginal Value  Adalah nilai baris Z pada kolom slack variable Contoh Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3X1 + 4X2 Batasan : (1) 2X1 + X2  6000 (2) 2X1 + 3X2  9000 (3) X1  0 ; X2  0  Jawaban Optimal : VD Z X1 X2 S1 S2 NK Z 1 0 0 ¼ 5/4 12.750 X1 0 1 0 ¾ -¼ 2.250 X2 0 0 1 -½ ½ 1.500 X1= 2.250 X2= 1.500 Z=12.750  Marginal Value input pertama adalah S1 yaitu sebesar ¼  Apabila nilai kanan kendala I ditambah 10 unit maka nilai Z bertambah 10.( ¼ )=2,5  Marginal Value input pertama adalah S2 yaitu sebesar 5/4  Apabila kendala II dilonggarkan 1 unit maka nilai Z bertambah 5/4 atau 1,25. B. Mencari nilai Optimal Baru Setelah Perubahan   

NK baru baris i = NK lama-nilai kolom i (tambahan = i). Pada kendala I bila ditambah dengan i : 2X1+X2 6.000 + i maka nilai kanan berubah (bila i=100)

(1) Baris Z X1 X2 

(2) NKlama 12.750 2.250 1.500

(3) Nilai S1 ¼ ¾ -½

(4) NK baru 12.750+ ¼ i 2.250+ ¾ i 1.500+ (-½i)

(5) 12.775 2.325 1.450

perubahan yang terjadi tidak boleh melanggar kondisi feasible, sehingga semua variable harus positif yang berarti: 2.250+ ¾ I  0 1.500+(- ½ ) I  0 ¾ i  -2.250 ½ I  1500 I  -3000 I  3000 jadi penggunaan tabel optimal hanya dapat dilakukan apabila -3000 I  3000 sehingga nilai kanan kendala I minimum adalah 3000 = (6000-3000) maksimum 9000 = (6000+3000), kalau melebihi batas itu maka ada variable (Xj) yang bernilai negative, berarti tidak feasible.

9

Tes Formatif 2 Diketahui fungsi tujuan memaksimumkan z = 5x1 + 3x2 Batasan-batasan : (1) 3x1 + 5x2 ≤ 15 (2) 5x1 + 2x2 ≤ 10 (3) x1 , x2 ≥ 0 Tabel optimal permasalahan tersebut sbb: V.D Z X2 X1

Z 1 0 0

X1 0 0 1

X2 0 1 0

S1 0,2632 0,2632 -0,1053

S2 0,8421 -0,1579 0,2632

N.K 12,37 2,368 1,053

Dari data tersebut jawab pertanyaan berikut : 1. Marginal value input pertama adalah ….. A. 0,2632 B. 0,368 C. 0,8421 D. 12,37 2. Berdasarkan marginal value input pertama maka apabila nilai kanan kendala 1 ditambah 10 unit maka nilai Z bertambah ….. A. 12,37 B. 8,421 C. 3,68 D. 2,632 3. Apabila kendala kedua dilonggarkan 1 unit maka nilai Z akan bertambah … A. -0,1579 B. 0,2632 C. 0,8421 D. 1,053 4. Apabila nilai kanan ken dala pertama ditambah dengan i maka penambahan nilai kanan kendala 1 akan berkisar …. A. -8,99 ≤ i ≤ 10 B. 8,99 ≤ i ≤ 10 C. 10 ≤ i ≤ 46,99 D. -46,99 ≤ i ≤ 10 5. Maksimal nilai kendala 1 adalah ……. A. 10 B. 15 C. 25 D. 35