Model Antrian Tito Adi Dewanto S.TP tito math’s blog
[email protected]
LOGO
Intro Menunggu dalam suatu antrian adalah hal yang paling sering terjadi dalam kehidupan sehari-hari
Intro
Siapapun yang pergi berbelanja atau ke bioskop telah mengalami ketidaknyamanan dalam mengantri untuk membeli atau membayar tiket
Theatre 1
Skip
Intro Dengan memperhatikan hal ini, banyak perusahaan mengusahakan untuk mengurangi waktu menunggu sebagai komponen utama dari perbaikan kualitas.
Skip
Intro Umumnya, perusahaan dapat mengurangi waktu menunggu dan memberikan pelayanan yang lebih cepat dengan menambah jumlah pelayanan, seperti jumlah teller pada bank atau jumlah kasir pada supermarket.
Skip
Intro Namun, menambah kapasitas pelayanan memerlukan biaya dan dasar analisi waktu menunggu adalah adanya trade-off antara biaya perbaikan pelayanan dan biaya yang berasal dari waktu menunggu pelanggan.
Teori Antrian : Menunggu giliran untuk mendapatkan pelayanan dari suatu fasilitas Antrian terjadi karena kemampuan pelayanan tidak bisa mengimbangi kebutuhan pelayanan
Next
CONTOH SISTEM ANTRIAN
Sistem
Garis tunggu atau antrian
Fasilitas
1. Lapangan terbang
Pesawat menunggu di landasan
Landasan pacu
2. Bank
Nasabah (orang)
Kasir
3. Pencucian Mobil
Mobil
Tempat pencucian mobil
4. Bongkar muat barang
Kapal dan truk
Fasilitas bongkar muat
5. Sistem komputer
Program komputer
CPU, Printer, dll
6. Bantuan pengobatan darurat
Orang
Ambulance
7. Perpustakaan
Anggota perpustakaan
Pegawai perpustakaan
8. Registrasi mahasiswa
Mahasiswa
Pusat registrasi
9. Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan
Pengadilan
Tabel 1 Hubungan kedatangan, waktu menganggur, waktu tunggu dan panjang anterian dalam pelayanan nasabah TABANAS di Bank XYZ
Contoh 1. Misal pelayanan terhadap nasabah TABANAS pada suatu bank sebagai berikut : Kapasitas pelayanan rata-rata 10 kali setiap jam berarti pelayanan memerlukan waktu 6 menit, sedangkan kedatangan orang/nasabah setiap jam rata-rata 6 orang. Waktu kedatangannya bersifat random dapat dilihat tabel sbb : Nasabah Ke -
Jam Datang
Jam Pelayanan
1
8.07
8.07
8.13
Waktu Menganggur (teller) 0
2
8.14
8.14
8.20
1’
0
0
3
8.25
8.25
8.31
5’
0
0
4
8.29
8.39
8.45
8’
0
0
5
8.43
8.45
8.51
0
2’
1
6
8.56
8.56
9.02
5’
0
0
Mulai
Selesai
8
Waktu Tunggu (cust) 0
Panjang Antrian 0
Tabel 2
Pada tabel diatas terlihat terjadi banyak pengangguran petugas (unit pelayanan) oleh karena itu untuk mengurangi pengangguran kita kurangi petugas sehingga kapasitas pelayanan menjadi 9 menit tiap nasabah. Nasabah Ke -
Jam Datang
Jam Pelayanan
Waktu Tunggu
Panjang Antrian
8.16
Waktu Mengangg ur 0
Mulai
Selesai
1
8.07
8.07
0
0
2
8.14
8.16
8.25
0
0
1
3
8.25
8.25
8.34
0
0
0
4
8.29
8.39
8.48
5’
0
0
5
8.43
8.48
8.57
0
2’
1
6
8.56
8.57
9.06
0
1’
1
Yang kita cari adalah alternatif meminimalkan jumlah kedua biaya yaitu biaya pengangguran fasilitas pelayanan dan biaya karena meningkatnya waktu tunggu. 9
Analisis Antrian
Waktu Tunggu Rerata dalam Antrian (tq )
Pelayanan Rerata kedatangan (
Jumlah Rerata dalam Antrian (nq )
Laju Pelayanan (
Waktu Rerata dalam Sistem (tt
) Jumlah Rerata dalam Sistem (nt ) 10
Grafik hubungan antara biaya, jumlah server dan kinerja
Jumlah Server
Biaya Pelayanan Optimal Biaya & jumlah server
Kinerja
Cost / biaya
11
Biaya Sistem Antrian
Biaya Fasilitas Pelayanan
Biaya Perkiraan Total Biaya Pelayanan Optimal Biaya Waktu Tunggu
Biaya Pengadaan Layanan
= 0.0
*
=1.0
12
Karakteristik Kedatangan Ukuran Populasi Kedatangan Tak terbatas (essentially infinite) Terbatas (finite) Pola kedatangan pada sistem Terjadwal Secara acak distribusi Poisson e P x = x x!
13
Komponen sistem antrian 1. Populasi masukan
Berapa banyak pelanggan potensial yang masuk sistem antrian
2. Distribusi kedatangan
Menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu dan dalam periode waktu tertentu berturut-turut dalam waktu yang berbeda
3. Disiplin pelayanan
Pelanggan yang mana yang akan dilayani lebih dulu : a. FCFS (first come, first served) b. LCFS (last come, first served) c. Acak (SIRO) d. Prioritas (UGD)
4. Fasilitas Pelayanan
mengelompokkan fasilitas pelayanan menurut jumlah yang tersedia : a. Single-channel b. multiple-channel
5. Distribusi Pelayanan
a. Berapa banyak pelanggan yang dapat dilayani per satuan waktu b. Berapa lama setiap pelanggan dapat dilayani
6. Kapasitas sistem pelayanan
memaksimumkan jumlah pelanggan yang diperkenankan masuk dalam sistem
6. Karakteristik sistem lainnya
pelanggan akan meninggalkan sistem jika antrian penuh, dsb
Notasi dalam sistem antrian
nt = jumlah pelanggan dalam sistem Pn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem λ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktu µ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu Po = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem p = tingkat intensitas fasilitas pelayanan nt = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem nq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian tt = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem tq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian 1/µ = waktu rata-rata pelayanan 1/λ = waktu rata-rata antar kedatangan S = jumlah fasilitas pelayanan Ct = Biaya Total = S.Cs + nt.Cw
Konfigurasi Sistem Antrian
Single Channel, Single Phase System
Single Channel, Multiphase System
16
Konfigurasi Sistem Antrian Multichannel, Single Phase System
Multichannel, Multiphase System
17
Disiplin Antrian Bagaimana pelanggan diseleksi dari antrian untuk dilayani? First Come First Served (FCFS) Last Come First Served (LCFS) Served in Random Order (SIRO) Priority (jobs are in different priority classes)/UGD Untuk kebanyakan model diasumsikan FCFS
Pemrograman Simulasi
18
Penamaan Antrian X / Y / k (notasi Kendall) X = distribusi kedatangan (iid) Y = distribusi waktu pelayanan (iid) M = distribusi eksponensial untuk waktu layanan dan kedatangan Ek = distribusi Erlang k G = general (antrian secara umum) D = deterministic (layanan dan kedatangan konstan) k = jumlah server 19
Model Antrian
1. M/M/1 atau M/M/I/I/I 2. M/M/s atau M/M/S/I/I
3. Model Waktu Pelayanan Konstan 4. G/G/k 5. Model Populasi Terbatas
20
Antrian M/M/1
21
Asumsi M/M/1 Laju kedatangan (distribusi Poisson) Laju pelayanan (distribusi exponential) Server tunggal (satu fasilitas pelayanan) First-come-first-served (FCFS) Panjang antrian tak terbatas Jumlah pelanggan tak terbatas
22
SINGLE CHANNEL MODEL
Model yang paling sederhana yaitu model saluran tunggal atau sistem M/M/1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Populasi input tak terbatas Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi poisson Disipliln pelayanan mengikuti FCFS Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal Distribusi pelayanan mengikuti distribusi poisson Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas Tidak ada penolakan maupun pengingkaran
Karakteristik Operasi M/M/1
Faktor Utilitas
= =n=s = Rerata Waktu Tunggu
tq = ( )
1 tt = Rerata Jumlah Pelanggan
nLt =
nq = ( ) 2
24
Karakteristik Operasi M/M/1
Persentasi Waktu Luang
P0 = 1 Prob ada n Pelanggan dalam Sistem k 1 n
Pn P=n k1=
Biaya Pengeluaran Total Total Cost = Waiting Cost + Service Cost
Ct
= Biaya Total = nt.Cw + S.Cs 25
Contoh 1 Sebuah bank memiliki 1 mesin ATM. Kenyataanya : Waktu rata-rata untuk melayani customer 50 detik Rata-rata customer yang akan memakai atm 60 org/jam Dirancang pembuatan mesin ATM yang baru. Pihak bank ingin mengetahui probabilitas seorang customer pasti harus mengantri untuk memakai ATM Penyelesaian : =Tingkat kedatangan = 60 org/jam = 1 org/mnt = tingkat layanan = 1 org/50 detik x 3600 detik /1 jam= 72 org/jam = 60/72 = 0,833 Sehingga tingkat kesibukan =
tq =
( )
Rata waktu tunggu dalam antrian = 0,0694 jam = 4,167menit Artinya P(seorang customer harus mengantri) = 0,833 Lama menunggu rata-rata = 4,167 menit 2 Rata jumlah customer dalam antrian = 4,2 = 4 org nq = ( ) 26
Contoh 2 Suatu toko variasi mobil memiliki data sbb: Selama 1 jam rata-rata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan/pembeli. Hitunglah : A. Rata-rata jumlah langganan yang antri sebelum dilayani B. Rata-rata jumlah langganan dalam sistem C. Rata-rata lama langganan sebelum dilayani D. Rata-rata lama langganan dalam sistem E. Prob ada n langganan dalam sistem F. Rata-rata banyak langganan yang sedang dilayani G. Kalau biaya pelayanan setiap jam Rp 500 dan biaya karena langganan menunggu setiap jam Rp 100, maka hitunglah jumlah seluruhnya setiap jam.
27
=Tingkat kedatangan = 3 org/jam = tingkat layanan = 8 org/jam
2 A nq = = 0,225 ( )
B nt =
C tq =
=
3 = 0,6 83
3 = = 0,075 ( ) 8(8 3)
D tt =
1 1 = = 0,2 83
F=
3 = 8
G> E(Ct) = S.Cs + nt.Cw = 1.500 + 0,6.100=560 E Pn = 1
n
n
0
1
2
3
4
5
6
7
>8
P 0,625 0,324 0,088 0,012 0,005 0,002 0,001 0 28
Contoh 3 PT CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan per jam. Operator dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan waktu pelayanan setiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah : 1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p) 2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem 3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian 4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) 5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian Fasilitas Pelayanan
Kedatangan mobil, 15 per jam
s Mobil antri menunggu pelayanan
1 pompa bensin melayani 20 mobil per jam
SPBU CIARD
Mobil Keluar
Penyelesaian λ = 20 dan µ = 25 λ 20 1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan atau p = = = 0,80 μ
25
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya. Sedangkan 20% dari waktunya (1 – p) yang sering disebut idle time akan digunakan operator untuk istirahat, dll
λ 20 = = 4, atau 2 nt = μ - λ 25 20 p 0,80 nt = = =4 1 - p 1 0,80
Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat mengharapkan 4 mobil yang berada dalam sistem
3
λ2 (20) 2 400 nq = = = = 3,20 μ(μ - λ) 25(25 20) 125
Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3,20 kendaraan 4
tt =
1 1 1 = = = 0,20 jam atau 12 menit μ - λ 25 20 25
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
5
tq =
λ 20 20 = = = 0,16 jam atau 9,6 menit μ(μ - λ) 25(25 20) 125
Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9,6 menit
Antrian M/M/s
32
Asumsi M/M/s Laju kedatangan of (distribusi Poisson) Service rate of (distribusi exponential) Dua/lebih server First-come-first-served (FCFS) Panjang antrian tak terbatas Jumlah pelanggan tak terbatas Laju pelayanan sama pada semua server
33
Karakteristik Operasi M/M/s Faktor Utilitas/rata-rata banyaknya objek dalam fasilitas pelayanan
== M S .. Rerata Waktu Tunggu
Po S tq = .( ) 2 S ( S!)(1 ( / S )
tt = tq
Rerata Jumlah Pelanggan
( / ) nq = .P0 2 ( S 1)!( S ) S
34
nLtq ==nLq
1
Karakteristik Operasi M/M/s
Persentasi Waktu Luang
P0 =
1 S 1 1 n 1 S S n =0 n! S! S
35
Contoh 4 Sebuah supermaket memiliki 4 jalur keluar/pembayaran. Kedatangan customer dengan tingkatan 100 org/jam. Ratarata 1 customer dilayani 2 menit. Ingin diketahui : Berapa jumlah customer berada dalam antrian ! Probabilitas customer tidak harus antri ! Penyelesaian : M=4 = 100 org/jam = 30 org/jam 1 jam = ?? Org 1 org = 2 menit 1 jam = 60/2 = 30 org = M . = 0,8331 Sehingga Dari n = ( / ) .P dan nq = nt diperoleh nq = 3,29 org S
t
( S 1)!( S ) 2
0
36
SOAL UJIAN OPERATION RESEARCH
TEORI ANTRIAN 1. Pengertian Sistem Antrian adalah ……. A. Pelayanan kepada pelanggan B. Pelayanan setiap pelanggan dating C. Keseluruhaan dari layanan yang diberikan kepada pelanggan sejak ia datang sampai selesai dilayani. D. Keseluruhan dari layanan sejak pelanggan datang. 2. Penyebab timbulnya antrian adalah …… A. Orang yang perlu dilayani terlalu banyak B. Fasilitas layanan sedikit C. Antri yang lama mendatangkan kepuasan D. Kedatangan orang yang ingin dilayani persatuan waktu lebih tinggi dari lama pelayanan persatuan waktu.
37
3. ‘Traffic Intencity’ merupakan perbandingan rata-rata kedatangan dengan rata-rata kemampuan pelayanan. Formulanya adalah …. A. B. C. / D. / 4. Suatu toko variasi mobil memiliki data sebagai berikut : Selama 1 jam ratarata ada 3 pembeli yang datang. Kapasitas pelayanan yang ada rata-rata setiap jam mampu melayani 8 langganan. Traffic Intencity adalah ….. A. 3/8 B. 8/3 C. 24 D. 2 2/3
38
•Lihat diagram berikut :
MASUKAN
M
S
M
S
KELUARAN
PHASE 1 PHASE 2 5. Model antrian diatas adalah ….. A. Multi Channel-Single Phase B. Multi Channel-Multi Phase C. Single Channel-Multi Phase D. Single Channel-Single Phase 6. Tingkat pelayanan dalam suatu periode tertentu dalam antrian …… A. B. / C. / D. 7. Model distribusi kedatangan memiliki ketentuan jumlah … A. Macam fasilitas pelayanan banyak B. System lebih dari 1 C. Kapasitas antrian terbatas D. Masukan tidak terhingga 39
•Model antrian dibawah adalah …..
8. Model antrian dibawah adalah …..
S Masukan
M
Keluaran
S A. Multi Channel-Multi Phase B. Single Channel-Multi Phase C. Single Channel-Single Phase D. Multi Channel-Single Phase 9. Disiplin antrian secara acak tanpa memandang kedatangan disebut …. A. FCFS B. LCFS C. SIRO D. Emergency First 40
10. Toko jujur setiap jam dikunjungi 4 pembeli. Kapasitas pelayanan setiap jam di toko jujur adalah 6 orang. Hitung rata-rata waktu antrian sebelum dilayani…. A. 0,30 B. 0,31 C. 0,32 D. 0,33 11. Objek yang datang atau masuk ke dalam system yang memerlukan pelayanan disebut dengan …. A. Antri B. Antrian C. Input D. Output 12. Struktur yang dipakai di Rumah Sakit adalah ….. A. Multi Channel-Single Phase B. Multi Channel-Multi Phase C. Single Channel-Multi Phase D. Single Channel-Single Phase 41
