Ir. Tito Adi Dewanto

Ir. Tito Adi Dewanto

•

•

Dengan mengetahui nilai rata-rata saja,informasi yang didapat kadang-kadang bisa salah interpretasi. Misalnya, dari dua kelompok data diketahui rata-ratanya sama, kalau hanya dari informasi ini kita sudah menyatakan bahwa dua kelompok ini sama, mungkin saja kita bisa salah kalau tidak diketahui bagaimana bervariasinya data di dalam kelompok masing-masing

•

•

•

Didapat info tambahan ttg penyimpangan yg terjadi pada suatu distribusi data. Dapat menilai ketepatan nilai tengah dalam mewakili distribusinya. Untuk analisis melalui perhitungan statistik yang lebih mendalam

•

•

Adalah nilai yang menunjukkan bagaimana bervariasinya data di dalam kelompok data itu terhadap nilai rata-ratanya. Jadi, semakin besar nilai variasi maka semakin bervariasi pula data tersebut.

• •

•

Variasi merupakan peristiwa alamiah  dapat terjadi pada semua kejadian Misal : 1) beberapa orang analis mengukur leukosit seseorang (hasil berbeda2), perbedaan disebabkan variasi antar individu  variasi eksterna 2) leukosit seseorang diukur oleh analis berkali2 pada waktu berbeda (hasilnya berbeda2), variasi disebabkan adanya variasi intra-individu  variasi interna

A. Dispersi absolut : • Rentang (range), • Simpangan Rata-rata/SR (mean deviation), • Simpangan Baku (standar deviation), dan • Varians • Inter Quartile Range • Semi Inter Quartile Range B. Dipersi relatif berupa koefisien variasi

•

•

•

Ukuran dispersi paling sederhana

Range adalah : selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil dari data yang telah disusun berurutan (R = Xmax – Xmin) Contoh 1 Range: Berat Badan 5 orang dewasa 48,52,56,62,dan 67 kg Range adalah 67 – 48 = 17 kg

Nilai ujian

No

Kampung 1

Kampung 2

1 2 3 4 5

400 450 500 550 600

100 150 200 300 1750

Jumlah

2500

2500

Rata-rata

500

500

Range

200

1650

•

• •

Dilihat nilai rata2, kedua kelompok seolah-olah punya nilai sama Namun, Range keduanya ternyata berbeda Kesimpulan : - kelompok 1 punya penghasilan merata - penghasilan kelompok 2 sangat bevariasi (ada yang kaya banget dan kurang banget)

Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah: nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.

a. Data tunggal



xx SR = Contoh 2 : n Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa adalah : 7,5,6,3,8,7.Tentukan simpangan rata-ratanya!

Jawab:

x

=

7 5 638 7 6 6

xx  SR  n

SR = 7  6  5  6  6  6  3  6  8  6  7  6 =

8 6

= 1,33

6

X (kg)

[x–x]

[ x – x ]2

48 52 56 62 67

-9 -5 -1 5 10

81 25 1 25 100

285

0

232

Mean = 48 + 52 + 56 + 62 + 67 = 57 kg 5 SR=Mean Deviasi = 9 + 5 + 1+ 5 + 10 = 6 kg 5

SR =

f x x f

x = data ke-i (data berbobot ) = titik tengah kelas interval ke-i f = frekuensi

Contoh : Tentukan simpangan dari data berikut : Data

f

x

f.x

xx

f xx

3-5 6-8 9-11 12-14

2 4 8 6

4 7 10 13

8 28 80 78

5,7 2,7 0,3 3,3

11,4 10,8 2,4 19,8

Jumlah

20

194

44,4

x

=

SR =

 

f .x

=

f

 f xx = f

194 20

= 9,7

44,4 20

= 2,22

Simpangan standar (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.

S=

 (x

 x)

i

2

atau

n

S=

x n

2

 x     n 

2

Contoh : Tentukan simpangan baku (deviasi standar) dari data : 2,3,5,8,7.

Jawab :

x

= =5

2358 7 5

x 2 3 5 8 7

x  x  x  x

2

-3 -2 0 3 2

9 4 0 9 4 26

S=

 x  x 

2

n

=

=

26 5

5,2

2. Data berbobot / berkelompok S=

S=

 f x  x  f

2

 fx f

2

atau

  f.x      f 

2

Contoh: Tentukan standar deviasi dari data berikut

Data

f

x

f.x

x2

f.x2

3-5 6-8 9-11 12-14

2 4 8 6

4 7 10 13

8 28 80 78

16 49 100 169

32 196 800 1014

Jumlah 20

198

2024

S=

= =

 fx f

2

  f.x      f 

2042 194   20  20 

8,01

2

2

= 2,83

Yaitu rata-rata perbedaan antara mean dengan nilai masing-masing observasi. • Merupakan kuadrat dari simpangan baku (X  X ) • Rumus :  2 S  n 1 Contoh: Hitung Varians dari data : 2,3,5,7,8 ? Dari hasil perhitungan nomor sebelumnya 2 = 5,2 didapat S = , Sehingga Varian S 5,2 •

•

Hitunglah Range, rata-rata , varians dan simpangan baku dari data nilai tugas mahasiswa UT Bina Mahunika berikut ini: 40, 90, 55, 58, 85, 78, 45, 88, 62, 78, 69, 70, 80, 78, 65, 89, 64, 78 ,62 ,71

Untuk keperluan perbandingan 2 (dua) kelompok nilai Misalnya : - berat 10 ekor gajah dengan berat 10 ekor semut

 V X 100% , untuk populasi  S V X 100% , untuk sampel X

Contoh : Suatu perusahaan menghasilkan 2 mesin untuk Memproduksi tekstil dengan data sbb:

X A  64,8

S A  6,96

X B  50,0

SB  5

Mesin mana yang menghasilkan kain yang lebih seragam ?

S 6,96 VA   x100%  10,7% X 64,8 S 5 VB   x100%  20% X 50

Terlihat koefisien variasi A lebih kecil dari B Artinya, Mesin A lebih seragam dari B

Rerata gaji perusahaan A = Rp400.000,. Per orang dengan simpangan baku Rp100.000,. Rerata gaji perusahaan B = Rp250.000,. Per orang dengan simpangan baku Rp50.000,. Maka, VA = (100.000/400.000) 100% = 25% VB = (50.000/250.000) 100% = 20% Artinya dispersi gaji di perusahaan B relatif lebih kecil dibanding perusahaan A atau perusahaan B lebih seragam (homogen) 

Inter Quartile Range (IQR): Adalah Selisih antara Kuartil 3 dan kuartil 1

IQR = K3 – K1 Misal diketahui K1=20 dan K3=60, IQR = 60 – 20 = 40 Semi Inter Quartile Range (dk):

Adalah Setengah dari IQR,

dk = ½ ( K3 – K1)

Dari soal diatas maka dk = ½ (60 – 20) = 20

Tingkat Kecondongan menurut Pearson:





3 X  Med Sk  , atau S

X  Mo S S

Ketentuannya : 1. Bila Koefisien Kecondongan (Sk) = 0, maka med= mean=mod sehingga kurva Simetris 2. Bila Sk=Negatif, maka mean<med<mod sehingga kurva menceng ke kiri 3. Bila Sk=Positif, maka mod<med<mean sehingga kurva menceng ke kanan

Data:  Rerata (Mean) = 115.2 L/orang/hari  Median = 115 L/orang/hari  Simpangan baku = 14.63 L/orang/hari Maka ukuran kemencengan = Sk = [3(115.2 – 115)] / 14.63 = +0.041 Artinya grafik condong ke kanan, dan rerata (mean) ada di kanan median.

Mo Med Mean

TK berdasarkan Momen ketiga n



M3 1 3  3  3  X i  X S nS i 1 n





3



3

M3 1 3  3  3  fi M i  X S nS i 1 Momen koefisien kemencengan 3 k k k k  c 1 1  1   3 2  1  3  3   f i di  3  f i di   f i di   2  f i di   S  n i 1  n i 1  n i 1   n i 1   3

Contoh

Kelas

X

f

fX

d

fd

fd2

fd3

fd4

118 – 126

122

3

366

-3

-9

27

-81

243

127 – 135

131

5

655

-2

-10

20

-40

80

136 – 144

140

9

1.260

-1

-9

9

-9

9

145 – 153

149

12

1.788

0

0

0

0

0

154 – 162

158

5

790

1

5

5

5

5

163 – 171

167

4

668

2

8

16

32

64

172 – 180

176

2

352

3

6

18

54

162

40

5.879

-9

95

-39

563

Jumlah

k

X

X i 1 k

f

i i

f i 1



5.879  146,975 40

i

 fi d   fi di  S  c i 1   i 1 n  n  k

k

2 i

    

95   9  S c    13,72 40  40  2

n     f 2  1 0 Med  L0  c   f m      20  17  Med  144,5  9    146,75  12 

2





3 X  Med Sk  S 3146,975  146,75 Sk  13,72 S k  0,049

3 k k k k  c 1 1  1   3 2  1  3  3   f i d i  3  f i d i   f i d i   2  f i d i   S  n i 1  n i 1  n i 1   n i 1   3

3  9 1  1  1   1    39  3 95   9  2  9  3  3  13,72  40  40  40   40    0,2820,605 3

 0,17 Karena + maka Condong kekanan Mo Med Mean

Dilihat dari tingkat keruncingannya : • Leptokurtis (puncaknya sangat runcing) • Platykurtis (puncaknya agak datar/merata) • Mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing) Momen koefisien keruncingan



1 n Xi  X  M 4 n i 1 4  4  S S4



4

Data tak berkelompok

Data berkelompok



1 k fi M i  X  M 4 n i 1 4  4  S S4



4

4

>3  kurva leptokurtis (meruncing) < 3  kurva platykurtis (mendatar) = 3  kurva mesokurtis (normal)

 4  KoefisienK eruncingan ( Kurtosis)

Untuk kelas interval ( c ) sama k C 4 1 k 1 k  4 3  1  4  4    f i d i  4  f i d i   f i d i   S  n i 1  n i 1   n i 1 2

1  1  2  1 6  f i d i   f i d i   3  f i d i   n i 1  n i 1   n i 1  k

k

k

4

    

Contoh 6.10 2 4 k k C4  1 k  1 k  1 k  1 k 4 3  1 2  1  4  4    f i d i  4  f i d i   f i d i   6  f i d i   f i d i   3  f i d i  S   n i 1  n i 1   n i 1  n i 1   n i 1   n i 1

94 4  13,724

2 4  1  39  9 95  9  9              563  4  6  3             40 40 40 40 40 40            

 2,57

4

> 3  kurva leptokurtis (meruncing) = 3  kurva mesokurtis (normal) < 3  kurva platykurtis (mendatar)

Man Jadda Wa Jadda Siapa sungguh2 pasti berhasil

Man Shobaro Zhafiro Siapa bersabar maka beruntung