EKONOMETRIE – 6. přednáška Modely národního důchodu • Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vztahů mezi agregátními ekonomickými veličinami jako je důchod, spotřeba, investice, vládní výdaje, úspory, úroková míra atd. • Zaměříme se na jednoduché statické i dynamické modely národního důchodu. • Ve statických modelech se zajímáme jen o konečný výsledek a ne o časový průběh realizace změn. • Kdežto v dynamických modelech jde o popis změn v závislosti na čase.
Statické modely – multiplikátor • Jednoduchý třísektorového modelu (sektor domácností, sektor podniků, vládní sektor), ve kterém označíme: Y C I G
- důchod, - celková spotřeba, - celkové čisté investice, - vládní výdaje.
• Spotřeba C je funkcí velikostí důchodu Y • předpoklad – lineární vztah, kde o absolutní část C0 vyjadřuje autonomní spotřebu, nezávislou na velikosti národního důchodu, o a lineární část s koeficientem c ( 0 < c < 1 ) představuje spotřebu indukovanou národním důchodem. • Definiční rovnice popisuje rovnováhu, kdy důchod Y je roven součtu celkové spotřeby C, celkových čistých investic I a vládních výdajů G. • Model pak můžeme zapsat ve tvaru: C = C(Y) = C0 + cY Y=C+I+G • Model je soustavou dvou rovnic o 4 proměnných. • Předpoklad: proměnné C a Y jsou endogenní a proměnné I a G jsou exogenní, jejichž hodnoty jsou zadány z vnějšku modelu. • Označme zadané hodnoty I0 a G0 a doplňme model o další dvě rovnice
I = I0 G = G0 • Proměnné G, Y jsou v pozici vysvětlujících i vysvětlovaných proměnných. • Upravme model na redukovaný tvar. • Dosazením do rovnice rovnováhy a úpravami dostáváme Y = C0 + cY + I0 + G0 Y(1 - c) = C0 + I0 + G0 • Hodnoty endogenních proměnných Y a C jsou dány výrazy Y=
C0 + I0 + G 0 1− c
C = C0 + c
C0 + I0 + G 0 1− c
• Derivace spotřební funkce C podle velikosti národního důchodu Y nám definuje mezní sklon ke spotřebě a v případě lineární závislosti je tato míra rovna koeficientu c
c = dC , dY • tato hodnota nám udává jak se změní spotřeba v důsledku změny velikosti národního důchodu. • Derivace funkce národního důchodu Y podle velikosti investic I nám definuje investiční multiplikátor k k=
dY 1 = , dI 1 − c
• tato hodnota nám udává jak se změní velikost národního důchodu v důsledku změny investic. • Z podmínky pro mezní sklon ke spotřebě, 0 < c < 1, dostáváme podmínku pro hodnoty investičního multiplikátoru k > 0. • To, že jsme předpokládali, že G a I jsou exogenní proměnné je zjednodušením modelu. • Předpokládejme, že chceme vysvětlit hodnotu I. ⇒ Zavedeme I jako endogenní proměnnou. • Předpokládejme, že výše investic závisí na úrokové míře r. • Potom model je však neúplný, máme 5 proměnných a 4 rovnice, musíme zadat hodnotu exogenní proměnné úrokové míry: r = r0 .
• Konkrétní příklad na cvičení. • Uvažujme modely, které pracují s úsporami S a investicemi I. • To je určitá alternativa k modelu, ve kterém vystupuje spotřeba a investice a který jsme použili při předchozí analýze. • Vezměme model ve tvaru C = C(Y) = C0 + cY Y=C+S. • Víme, že mezní sklon ke spotřebě je roven: c = dC . dY • Úspory S jsou funkcí velikosti národního důchodu Y S(Y) = Y - C(Y) = Y - C0 - cY • Derivace funkce úspor S podle velikosti národního důchodu Y nám definuje mezní sklon k úsporám s = dS = 1 - c, dY • tato hodnota nám udává jak se změní velikost úspor v důsledku změny velikosti národního důchodu. • Z podmínky pro mezní sklon ke spotřebě, 0 < c < 1, podmínku pro mezní sklon k úsporám, 0 < s < 1.
dostáváme
• Když nedochází ke zpoždění ve spotřebě nebo produkci, máme model národního důchodu ve tvaru C = C(Y) Y = C + I. • Porovnáním s předchozím modelem dostáváme podmínku rovnováhy I = S(Y), investice se rovnají úsporám ex post. • Jestliže dochází ke zpoždění ve spotřebě nebo produkci dochází k rovnováze ex ante. Y = C + I0 , kde C = C(Y), I0 jsou autonomní investice. • Porovnáním dostáváme podmínku rovnováhy: I0 = S. • Jestliže spotřební funkce je lineární: C = C0 + cY,
• Potom podmínka rovnováhy je ve tvaru: Y - C0 - cY = I0 , • z čehož dostáváme: Y =
C0 + I0 C0 + I0 A = = , 1− c s s
• A = C0 + I0 jsou autonomní výdaje. • Dostáváme princip lineární multiplikátoru. • Je-li sklon k úsporám s konstantní, je rovnovážná úroveň důchodu Y (1/s)násobkem autonomních výdajů. • Jestliže máme obecnou spotřební funkci, oddělíme autonomní část C0 a přepíšeme: C = C(Y), kde C = 0 pro Y = 0. • Potom dostáváme rovnici: Y - C(Y) = A, rovnovážný důchod Y závisí na autonomních výdajích A. • Jestliže derivujeme předchozí rovnici, dostáváme dC = dA , (1 − dY ) dY
• z čehož po dosazení mezního sklonu ke spotřebě: c = dC dY dostáváme: dY = 1 = 1 . dA 1 − c s • Je-li mezní sklon k úsporám při rovnovážném důchodu roven s, způsobuje přírůstek ∆A autonomních výdajů zvýšení ∆Y důchodu, které je přibližně rovno (1/s) ∆A ∆Y = ∆A . s
Dynamické modely – akcelerátor • jsou užitečné pro sledování determinantu důchodu, který zase ovlivňuje hospodářský cyklus anebo inflaci. • Rozlišujeme diskrétní a spojité dynamické modely. • U diskrétních modelů předpokládáme, že se čas měří v jednotlivých obdobích (t = 0,1,2,…) a nástrojem dynamické analýzy jsou diferenční rovnice. • U spojitých modelů předpokládáme, že se čas mění spojitě a pro analýzu těchto modelů se používají diferenciální rovnice.
Diskrétní dynamický model • Úspory jsou indukovány velikostí důchodu s mezním sklonem k úsporám s. • Mezi investicemi a důchodem tentokrát existují dva vztahy:
o investice vyvolávají růst důchodu (multiplikátor), o zároveň tzv. vyvolané investice jsou indukovány změnou důchodu za poslední období (akcelerátor). • Podmínka rovnováhy je určena vztahem „investice se rovnají úsporám“. • Celý model můžeme zapsat ve tvaru S t = sYt I t = i(Yt − Yt −1 ) I t = St
• Dosazením do rovnice rovnováhy dostáváme Yt =
i Yt −1 = aYt −1 i -s
• Dostáváme lineární homogenní diferenční rovnici prvního řádu. • Pro řešení této rovnice musíme znát hodnotu národního důchodu v jednom období (např. t = 0 , Y0).
Y1 = aY0 Y2 = aY1 = a 2 Y0 Y3 = aY2 = a 3 Y0 …….. • V obecném období t je velikost národního důchodu určena velikostí národního důchodu v čase 0 a hodnotou koeficientu a: Y t = aY t -1 = a t Y0 .
• Pro hodnoty koeficientu a je závislost velikosti národního důchodu na čase : a>1,
rostoucí,
a=1,
konstantní s hodnotou Y0 ,
0 < a < 1, klesající, a=0 ,
konstantní s hodnotou 0,
-1
a=-1,
oscilující mezi hodnotami Y0 a -Y0,
a<-1,
oscilující divergující.
• Musí být však zajištěna predikce pouze pozitivních hodnot.
Spojitý dynamický model • Předpokládejme, že čas je spojitou veličinou a dostáváme analogii předchozího diskrétního modelu. • Úspory jsou indukovány velikostí důchodu s mezním sklonem k úsporám s. • Investice jsou indukovány změnou důchodu, kde změna je vyjádřena jako derivace národního důchodu podle času. • Podmínka rovnováhy je určena vztahem „investice se rovnají úsporám“. • Celý spojitý model můžeme zapsat ve tvaru S(t) = sY(t) dY dt S(t) = I(t) I(t) = i
• Dosazením do rovnice rovnováhy a po úpravách dostáváme dY s = Y(t) dt i
sY(t) = i
dY dt
1 dY s . = =b Y dt i
• Zavedením podílu b = s/i a integrováním rovnice dostáváme dY ∫ Y = ∫ bdt
• Řešení je až na konstantu K dáno
Y(t) = e (0,2t+K) = e bt .e K • Z počáteční podmínky dostáváme: Y0 = e K . • Po dosazení dostáváme exponenciální závislost velikosti národního důchodu na čase: Y(t) = Y0 e bt .
