4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 10: Heteroskedasticita

LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE

1. Heteroskedasticita - teorie Druhý GM předpoklad: týká se kovarianční matice náhodné složky

2. E(uuT) = σ2In

Rozptyl náhodných složek je konečný a konstantní: 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎 2  homoskedasticita

CVIČENÍ 10 HETEROSKEDASTICITA

1. Heteroskedasticita - teorie Pokud platí, že 𝐸 𝑢𝑖2 = 𝜎𝑖2  heteroskedasticita Rozptyl náhodných složek není stejný pro všechna pozorování. Př:

Zdroj: http://www.acastat.com/Statbook/molsassump018.jpg


1. Heteroskedasticita - příčiny  Průřezová data: variabilita vysvětlované proměnné, a tedy i reziduí, může být závislá na některé vysvětlující proměnné  Chyby měření: s rostoucí hodnotou endogenní proměnné dochází ke kumulaci chyb měření, což zvyšuje rozptyl endogenní proměnné, a tedy i rozptyl reziduí

 Chybná specifikace modelu: vynechání podstatné proměnné, nevhodná funkční forma  Odhad z upravených dat (skupinové průměry apod.) Zdroj: Zuzana Dlouhá - prezentace


1. Heteroskedasticita - důsledky • Odhady jsou nestranné a konzistentní, ale nejsou vydatné ani asymptoticky vydatné

• Odhad rozptylu náhodné složky a odhady směrodatných chyb odhadnutých koeficientů jsou vychýlené (problém - potřebujeme je při testování hypotéz a konstrukci intervalů spolehlivosti)


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Data: vacation.wf1 Zdroj: ECON2300, University of Queensland, 2012 Proměnné:  miles:

počet mil ujetých za rok

 income:

roční příjem (tis. USD)

 age:

průměrný věk dospělých členů domácnosti

 kids:

počet dětí


2. Heteroskedasticita - příklad 1 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒 + 𝛽2 𝑎𝑔𝑒 + 𝛽3 𝑘𝑖𝑑𝑠 + 𝑢 Vykreslete rezidua oproti proměnným age a income.


2. Heteroskedasticita - příklad 1 2,000

1,500

1,500

1,000

1,000

500

500

E

E

2,000

0

0

-500

-500

-1,000

-1,000

-1,500

-1,500

20

25

30

35

40

45

50

55

60

0

AGE

20

40

60 INCOME


80

100

120

2. Heteroskedasticita - příklad 1 Goldfeldův-Quandův test (neparametrický) ◦ H0: homoskedasticita ◦ H1: heteroskedasticita 1. Seřadíme pozorování podle proměnné income (sestupně) Proc  Sort Current Page (income, descending)


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Goldfeldův-Quandův test (neparametrický) 2. Rozdělíme data na dvě stejné poloviny, kolem středu můžeme vynechat q hodnot (q ≤ n/4) 3. Vypočteme stupně volnosti: v =

𝑛−𝑞 2

− 𝑘 − 1 = 96

4. Odhadneme dvě regrese pro jednotlivé poloviny dat - zjistíme součty čtverců reziduí s1 a s2 a spočítáme testovou statistiku: F(v,v) = s2 / s1 5. Porovnáme s F* s (v, v) stupni volnosti


2. Heteroskedasticita - příklad 1 sample 1 100


2. Heteroskedasticita - příklad 1 sample 101 200


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Goldfeldův-Quandův test (neparametrický) 4. Odhadneme dvě regrese pro jednotlivé poloviny dat - zjistíme součty čtverců reziduí s1 a s2 a spočítáme testovou statistiku: F(v,v) = s2 / s1 = 29635382 / 10251955 = 2,89

5. Porovnáme s F* s (v, v) stupni volnosti - 5% hladina významnosti


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Goldfeldův-Quandův test (neparametrický) 4. Odhadneme dvě regrese pro jednotlivé poloviny dat - zjistíme součty čtverců reziduí s1 a s2 a spočítáme testovou statistiku: F(v,v) = s2 / s1 = 29635382 / 10251955 = 2,89

5. Porovnáme s F0,95(96, 96) = 1,405


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Goldfeldův-Quandův test (neparametrický) 2,89 > 1,405  zamítáme nulovou hypotézu o homoskedasticitě


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Parametrické testy

 pomocné regrese  k posouzení, zda rozptyl náhodné složky závisí na některé / některých z vysvětlujících proměnných. Hodnoty náhodné složky neznáme,

používáme rezidua.


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Parametrické testy H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita  Parkův: 𝑙𝑛𝑒𝑖2 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑙𝑛𝑋𝑖 + 𝑣𝑖  t-test

 Glejserův: |𝑒𝑖 | = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑣𝑖 |𝑒𝑖 | = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋𝑖 + 𝑣𝑖 |𝑒𝑖 | = 𝛽0 + …

1 𝛽1 𝑋𝑖

+ 𝑣𝑖  t-test


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Parametrické testy

H0: homoskedasticita H1: heteroskedasticita  Whiteův:

Závislost druhé mocniny reziduí na vysvětlujících proměnných z původní regrese, jejich druhých mocninách, příp. i násobcích 𝑒𝑖2 = 𝛽0 +𝛽1 𝑋1𝑖 +𝛽2 𝑋2𝑖 + 𝛽3 𝑋1𝑖 2 +𝛽4 𝑋2𝑖 2 +𝛽5 𝑋1𝑖 𝑋2𝑖 + 𝑣𝑖

𝑛 ∙ 𝑅2 ~ chí-kvadrát rozdělení s k stupni volnosti (n počet pozorování, k počet vysvětlujících proměnných v pomocné regresi) 𝑛 ∙ 𝑅2 > χ2k  zamítáme nulovou hypotézu o homoskedasticitě CVIČENÍ 10 HETEROSKEDASTICITA

2. Heteroskedasticita View  Residual Tests  Heteroskedasticity tests


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Metoda zobecněných nejmenších čtverců  Zvolíme vhodnou transformační matici T.  Pronásobíme maticí T proměnné původního modelu a odhadneme nový model s takto upravenými proměnnými.  Náhodná složka tohoto nového modelu už bude splňovat G-M předpoklady.  Musíme však zvolit vhodnou matici T.


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Metoda zobecněných nejmenších čtverců

Př: rozptyl je funkcí čtverců některé vysvětlující proměnné x 𝜎𝑖2 = 𝜎 2 𝑥𝑖2  vydělíme 𝑥𝑖

Zdroj: Zuzana Dlouhá, prezentace



Př: rozptyl je funkcí čtverců některé vysvětlující proměnné x 𝜎𝑖2 = 𝜎 2 𝑥𝑖2  vydělíme 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖 + 𝑢𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖

=

𝛽0 𝑥𝑖

+ 𝛽1 +

𝑢𝑖 𝑥𝑖

kde 𝜎𝑖2 = 𝐸(𝑢𝑖2 ) = 𝜎 2 𝑥𝑖2 tzn.:

𝑢𝑖 2 1 E( ) = 2 𝐸(𝑢𝑖2 ) 𝑥𝑖 𝑥𝑖


=

1 2𝑥 2) (𝜎 𝑖 𝑥𝑖2

= 𝜎2


Př: rozptyl je funkcí některé vysvětlující proměnné x 𝜎𝑖2 = 𝜎 2 𝑥𝑖  vydělíme 𝑥𝑖

Zdroj: Zuzana Dlouhá, prezentace


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Na původní model 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒 + 𝛽2 𝑎𝑔𝑒 + 𝛽3 𝑘𝑖𝑑𝑠 + 𝑢

použijte metodu zobecněných nejmenších čtverců. Předpokládejte přitom, že 𝜎𝑖2 = 𝜎 2 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖2

Estimate Equation  Options  Weighted LS/TSLS  Weight 1/income (EViews 6) Estimate Equation -> Options -> type = Standard deviation, weight series = income (Eviews 8) Přesvědčte se Whiteovým testem, že se nám podařilo odstranit heteroskedasticitu.


2. Heteroskedasticita - příklad 1 Na původní model 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒 + 𝛽2 𝑎𝑔𝑒 + 𝛽3 𝑘𝑖𝑑𝑠 + 𝑢

použijte metodu zobecněných nejmenších čtverců. Předpokládejte přitom, že 𝜎𝑖2 = 𝜎 2 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑖2 Ručně: 1) Odhadnout model:

𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒

=

1 𝛽0 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒

+ 𝛽1 +

2) Pronásobit zpět proměnnou income CVIČENÍ 10 HETEROSKEDASTICITA

𝑎𝑔𝑒 𝛽2 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒

+

𝑘𝑖𝑑𝑠 𝛽3 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒

+𝑢∗

2. Heteroskedasticita - příklad 1


3. Heteroskedasticita - příklad 2 Data: research.wf1 (zdroj: Zuzana Dlouhá, prezentace)

Proměnné: rd = výdaje na výzkum a vývoj, sales = prodeje (obojí mil. USD) Odhadněte model: 𝑟𝑑 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 + 𝑢 Otestujte Whiteovým testem, jestli je v modelu heteroskedasticita (na 10% hladině významnosti), a pokud ano, pokuste se ji odstranit.


Na doma: Co byste měli umět 1. Co je to heteroskedasticita?

2. Co je příčinou a důsledkem heteroskedasticity? 3. Jaké existují testy na heteroskedasticitu? 4. Jak otestovat přítomnost heteroskedasticity Whiteovým testem?

5. Co je to MZNČ? 6. Jak odstranit z modelu heteroskedasticitu?


4EK211 Základy ekonometrie

Recommend Documents