Cvičení z ekonometrie Česká zemědělská univerzita v Praze Provozně ekonomická fakulta Katedra ekonomiky
Ing. Lukáš Čechura, Ph.D. Dr. Ing. Pavlína Hálová Ing. Zdeňka Kroupová Ing. Michal Malý, Ph.D. Ing. Jarmila Peterová, CSc. Ing. Lenka Šobrová
Určeno pro posluchače oborů PAE, PAA, INFO, SYI, Tato publikace neprošla redakční ani jazykovou úpravou.
Autoři jednotlivých kapitol: Ing. Lukáš Čechura, Ph.D. Dr. Ing. Pavlína Hálová Ing. Zdeňka Kroupová Ing. Michal Malý, Ph.D. Ing. Jarmila Peterová, CSc. Ing. Lenka Šobrová
- cvičení č. 1, 2, 3, 4, 14 - cvičení č. 9 - cvičení č. 6, 7, 8 - cvičení č. 10, 11, 12, 13 - cvičení č. 5 - cvičení č. 2, 3, 4
Pozn.: Teoretický úvod cvičení č. 1, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14 vychází z Tvrdoň, et al. 2001
Lektoroval: Ing. Michal Mejdrech, Ph.D.
Praha, 2008 ©
Předmluva Skripta, která se Vám dostávají do ruky, jsou určena pro posluchače oboru PAE, PAA, INFO a SYI na provozně ekonomické fakultě ČZU v Praze. „Cvičení z ekonometrie“ jsou zpracovány jako doplňkový učební text k přednáškám z předmětu Ekonometrie a Ekonometrické modelování. Učební text tedy není náhradou přednášek, ale slouží k praktickému procvičení probírané teorie. Jednotlivá cvičení jsou zpracována tak, aby tvořila relativně samostatný okruh problémů, které jsou osvojovány postupným řešením zadaných úkolů. Každé cvičení je složeno z úvodu do problematiky, praktických cvičení a úkolů k samostatnému procvičení. Úvod do problematiky obsahuje stručný přehled teorie, kterou by měl mít student před začátkem každého praktického cvičení ovládnutu do té míry, aby se při řešení zadaných úkolů neztrácel v neznámých pojmech. Praktická cvičení obsahují jednoduché úkoly, které však svým rozsahem a uspořádáním umožňují komplexní procvičení daného tématu. Řešení úkolů k samostatnému procvičení potom slouží k hlubšímu pochopení probírané látky a rovněž stimulují k zamyšlení nad analyzovanými problémy, a tím umocňují efekt kontaktní výuky. Za kolektiv autorů Vám přeji hodně zdaru a rovněž příjemných chvil při pronikání do krás předmětu Ekonometrie, resp. Ekonometrického modelování. Ing. Lukáš Čechura, Ph.D. garant předmětu
Obsah: Cvičení 1
Opakování základních pojmů
str. 5
Cvičení 2
Konstrukce lineárního regresního modelu (LRM)
str. 12
Cvičení 3
Předpoklady a odhad LRM
str. 20
Cvičení 4
Aplikace modelu, dynamizace modelu, dummy proměnné
str. 28
Cvičení 5
Modely simultánních rovnic
str. 33
Cvičení 6
Odhad modelu – dvoustupňová metoda nejmenších čtverců
str. 39
Cvičení 7
Odhad modelu – metoda minimalizace poměru rozptylů
str. 48
Cvičení 8
Verifikace ekonometrického modelu, interpretace a aplikace
str. 57
Cvičení 9
Konstrukce nelineárních spotřebních funkcí
str. 65
Cvičení 10
Konstrukce produkčních funkcí
str. 73
Cvičení 11
Konstrukce nákladových funkcí a odvození nabídkové funkce
str. 77
Cvičení 12
Konstrukce vícefaktorové produkční funkce
str. 81
Cvičení 13
Vztahy mezi výrobními faktory a mezi produkty
str. 87
Cvičení 14
Aplikace EKM v prognostické oblasti
str. 93
Přílohy
str. 99
1. cvičení Opakování základních pojmů Opakování vybraných partií z: – Matematiky (lineární algebra, matematická analýza) – Statistiky (regresní analýza)
1.1 Úvod do problematiky 1.1.1. Vektorový počet Vektor lze definovat jako m-tici reálných čísel.
x1 . x1 = . xm Čísla xi (i = 1,...,m) jsou prvky (komponenty, složky nebo souřadnice) sloupcového vektoru. Obecně lze vektor chápat jako abstraktní prvek vektorového prostoru. Dva sloupcové vektory jsou si rovny, právě když jsou si rovny jejich odpovídající prvky, tj.: x = y tehdy a jen tehdy, když xi = yi (i = 1,...,m). Základní operace definované na sloupcových vektorech jsou sčítání a násobení skalárem. Sčítání: z = x + y tehdy a jen tehdy, když zi = xi + yi (i = 1,...,m). Součet dvou sloupcových vektorů je definován pouze pro případ, kdy oba vektory mají stejný počet prvků. Násobení skalárem: y = cx tehdy a jen tehdy, když yi = cxi (i = 1,..,m). Uvedené operace lze kombinovat a dostat lineární kombinaci množiny vektorů ve tvaru: y = c1x(1)+ ...+ cnx(n) tehdy a jen tehdy, když yi = c1xi(1)+ ...+ cnxi(n) (i = 1, ...,m), kde xi(j) je itý prvek j-tého vektoru. O množině vektorů pravíme, že je lineárně závislá v případě, že existuje netriviální kombinace vektorů, která je rovna nulovému vektoru. Přesněji, množina n vektorů typu m x 1 {x(1), ..., x(n)} je lineárně závislá tehdy a jen tehdy, existuje-li množina skalárů {c1, ... ,cn} s alespoň jedním nenulovým prvkem taková, že c1x(1) + ...+ cnx(n) = 0.
-5-
1.1.2. Maticový počet Matice typu [m x n] je uspořádání (m.n) čísel ve tvaru obdélníku majícího m řádků a n sloupců.
a11 a 21 . A= .
a12 a 22 . .
.
.
a m1
am2
. . . .
. . . .
. a1n . a2n . . . .
. . . . . . . a mn
Čísla aij (i = 1,...,m; j = 1,...,n) nazýváme prvky (nebo též elementy) matice A. Matice (m.n) se nazývá matice typu m krát n. Dvě matice jsou si rovny, jsou-li si rovny jejich odpovídající prvky, tj.: A = B tehdy a jen tehdy, když aij = bij (i = 1..m, j = 1..n). Sečíst dvě matice znamená provést součet jejich odpovídajících prvků. Dostáváme C = A + B tehdy a jen tehdy, když cij = aij + bij pro (i = 1,..m; j = 1,..n). Součet dvou matic je definován pouze pro případ, kdy obě matice mají stejný rozměr. Násobení matice skalárem znamená násobení každého jejího prvku tímto skalárem, tj.: B = cA tehdy a jen tehdy, když bij = caij (i = 1,..m; j = 1,..n). Kombinací a rozšířením těchto operací dostáváme lineární kombinaci z množiny matic: B = c1A(1) + ... + cpA(p) tehdy a jen tehdy, když bij =c1aij(1) +... + cpaij(p) pro (i=1,..m;j=1,..n), kde aij(p) je i,j prvek p-té matice A(p) typu [m x n]. Z uvedených definic a z vlastností reálných čísel plyne: A+B=B+A (A + B) + C = A + (B + C) = A + B +C c(A + B) = cA + cB (c + d) A = cA + dA Srovnáme-li definované operace s maticemi s operacemi se sloupcovými vektory, zjistíme, že platí pro matice i vektory. Třetí základní operací s maticemi je násobení matic. Součin matice A typu m x n s maticí B typu n x p je matice C typu m x p, jejíž (i,j)-tý prvek je součtem n-tice součinů příslušných prvků i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B, tj.: n
C = AB tehdy a jen tehdy, když cij = ∑ aik bkj (i = 1,..m, j = 1,..n). k =1
Z postupu pro násobení matic je zřejmé, že prvek ležící na průsečíku i-tého řádku a j-tého sloupce matice C=AB dostaneme jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Pro součin C = AB musí mít matice B právě tolik řádků, kolik má matice A sloupců. Jedině za těchto podmínek lze definovat součin dvou matic. -6-
Z uvedených definic a z vlastností reálných čísel plyne: (AB)C = A(BC) = ABC A(B + C) = AB + AC AcB = cAB Násobení matic však není obecně komutativní. Obecně neplatí rovnost BA = AB. Proto je důležité rozlišovat pořadí násobení matic, zda jde o násobení zleva či zprava a zachovávat pořadí i při dílčích součinech více než dvou matic. Matici transponovanou dostaneme vzájemnou výměnou řádků a sloupců dané matice. Označujeme ji čárkou nebo písmenem T nahoře. Platí, že AT tehdy a jen tehdy, když aijT = a ji (i=1,…,m; j=1,...,n). Matice transponovaná k transponované matici je rovna matici původní. Je zřejmé, že součet transponovaných matic je roven transponované matici ze součtu těchto matic. Transponovaná matice ze součinu matic je rovna součinu těchto transponovaných matic, ale v obráceném pořadí. Matice se nazývá čtvercová, když má stejný počet řádků a sloupců, tj. když m=n. Čtvercová matice se nazývá symetrickou, když je rovna matici k ní transponované, tj. platí-li aij = aji. Čtvercová matice, jejíž všechny prvky na diagonále jsou rovny jedničce a všechny prvky mimo ní pak nule, se nazývá jednotkovou maticí. Jednotková matice má stejnou funkci jako jednička v algebře. Hodnost matice A (též Rank) lze definovat jako maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Jelikož platí, že maximální počet lineárně nezávislých řádků matice je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých sloupců, lze definici hodnosti formulovat i jako maximální počet lineárně nezávislých sloupců. Hodnost matice A značíme h(A). Pro matici A typu m x n tedy platí h( A) ≤ min{m, n} . Hodnost matice lze určit např. pomocí Gaussovy eliminace. Inversní matice k matici A typu n x n je matice typu n x n, kterou když zprava či z leva vynásobíme maticí původní, dostaneme matici jednotkovou. Matici inversní k matici A značíme A-1. Je-li matice A typu n x n, pak k ní existuje matice inversní tehdy a jen tehdy, když A = 0, nebo h(A) = n nebo matice A je regulární. Inversní matice k matici transponované je rovna transponované inversní matici. Je-li matice A symetrická a regulární, pak i A-1 je symetrická. Jednotková matice je zároveň k sobě inversní. A konečně inversní matice k součinu matic je rovna součinu inversních matic v opačném pořadí, tzn., že jsou-li matice A a B regulární, pak AB-1 = B-1 A-1.
-7-
1.2 Praktická cvičení 1. Napište libovolný sloupcový vektor. 2. Napište k němu vektor transponovaný. 3. Proveďte skalární součin zapsaných vektorů. 4. Proveďte následující operace s vektory. Předem určete, zda výsledek bude vektor nebo skalár. Zobecněte podmínky sčítání a násobení vektorů. 1 1 4 2 − 5 + 31 = 52 + 2 = 7 4 2 4 1 5. Napište libovolnou matici typu 2 x 3. Napište k ní jinou matici stejného typu. Proveďte součet obou matic.
3
7
6. Lze-li, proveďte součet následujících matic: 1 4 3 5 7 +2 = 5 7 2 1 3 7. Určete, co vznikne vynásobením matic typu: 3x5 2x3 2x1
x x x
5x2 2x3 1x5
= = =
8. Uveďte velikost následujících matic a zjistěte, jaký rozměr bude mít matice C vzniklá jejich vzájemným vynásobením. Lze-li, vyčíslete ji.
a)
3 −1 0 A= 2 3 1
x
5 B= 1 2
b)
A=
4 3 2 6
x
B=
-8-
2 4 4 2
C=
C=
c)
A=
3 1 2 −1 2 4
x
B=
1 4 −1 0 3 1
C=
9. Zjistěte, zda pro matice z příkladu číslo 8. platí, že A x B ≠ B x A. Z výsledků odvoďte obecné pravidlo pro násobení matic.
10. Proveďte součin matic A x B a B x A a uveďte, čím se liší od bodu číslo 9.
3 0 1 A= 2 1 0
x
pro následující matice, zdůvodněte jejich výsledek
3 2 0 B=1 0 2
2 0 1 3 1 0 Ze získaných poznatků vyvoďte obecné pravidlo pro součin čtvercových matic. 11. K následujícím maticím utvořte matice inversní a přesvědčte se o jejich správném tvaru. a) matice původní A=
matice inversní 3 2 − −1 7 A = 7 1 3 − 7 7
3 2 1 3
Zkouška:
3 2 A= 1 3
b)
1 4 5 B= 3 2 5 4 3 5
c)
C=
x
3 −1 A = 7 1 − 7
2 7 3 7
−
=
1 0 0 1
B-1 =
−1 3 4 −2
C
-9-
−1
=
0,2 0,3 0,4 0,1
12. Vypočítejte hodnost následujících matic a) 0 −3 1 0 0 0 2 1 2 3 −1 0 3 2 1 −4
b) 1 −1 −1 −2
13. Napište první derivaci následujících funkcí y = 2x3 + 3x + 6 y´ =
y = x + 22 x3 y´ = y = 4x (2 + 5x2) y´ =
(
y = x 5 + 3x 2 − 2 y´ = y=
)
4
2x3 + 3 3x 2
y´ =
x2 −1 y = 2 1 + x y´ = y = e5x y´ = y = xe 4 − x y´ =
y = ln x 2 y´ = y = (ln x) 2 y´ = y = ln( x 2 + 3 x + 4) y´ =
- 10 -
0 2 1 1
2 3 6 7 2 2 0 −1
Úkoly k samostatnému procvičení 1.
Je dána množina bodů o následujících souřadnicích x a y
∑ Ø
x
y
1 2 3 4 5 6 21 3,5
2 4 3 5 6 8 28 4,66
a)
Zakreslete body do grafu
b) c)
Vypočítejte rozptyl hodnot závisle proměnné y. Proložte množinou bodů přímky: y1 = 2,5 + x y2 = 3,6 + 0,4x
d)
Zakreslete uvedené přímky do grafu a určete, která z nich lépe popisuje vztah mezi skutečnými hodnotami bodů x a y. Přesvědčte se, zda mimo dvou výše uvedených přímek existuje některá jiná lineární funkce, která by pole bodů popsala přesněji. K výpočtu jejích parametrů použijte řešení normálních rovnic a běžnou metodu nejmenších čtverců.
- 11 -
2. cvičení Konstrukce lineárního regresního modelu (LRM)
2.1
Úvod do problematiky
2.1.1 Fáze konstrukce ekonometrického modelu Konstrukci ekonometrického modelu lze rozdělit do následujících kroků (fází): (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii)
Ekonomická teorie – studium dokumentů Tvorba ekonomického modelu Tvorba ekonometrického modelu Sběr, zpracování a analýza vstupních dat Odhad parametrů ekonometrického modelu Ekonomické ověření modelu – interpretovatelnost Statistické a ekonometrické ověření Aplikace ekonometrického modelu nebo jeho zamítnutí, které vrací postup k bodu (i)
2.1.2 Ekonomický vs. ekonometrický model Ekonomický model je odvozen z ekonomické teorie a je zjednodušenou abstrakcí reálného světa. Ekonomický model, tj. vztahy mezi ekonomickými proměnnými, mohou být zapsány třemi způsoby: a) slovně, b) graficky a c) algebraicky. Definovaný ekonomický model slouží ke konfrontaci ekonomické teorie s realitou, resp. se statistickými daty. Ekonomický model (ve formě algebraického zápisu) vyjadřuje přesný vztah, resp. deterministický vztah mezi vysvětlující proměnou a vysvětlovanou proměnnou. Při konfrontaci ekonomického modelu se statistickými (ekonomickými) daty je přesného (deterministického) vztahu zřídkakdy dosaženo. Hlavním důvodem je pravděpodobnostní povaha ekonomických dat. Ekonomický model proto musí být modifikován tak, aby odrážel vlastnosti ekonomických dat, tj. zohledňoval pravděpodobnostní povahu procesu generování ekonomických dat. Ekonomický model se stane ekonometrickým modelem určením funkční formy modelu a přidáním náhodné složky (proměnné). Přidáním náhodné složky je tak respektována stochastická povaha modelovaného vztahu. 2.1.3 Značení proměnných V ekonometrických modelech jsou rozlišovány následující typy proměnných: (i) (ii) (iii) (iv)
endogenní proměnné, exogenní proměnné, predeterminované proměnné, náhodné proměnné.
- 12 -
Endogenní proměnné jsou proměnné, které jsou modelem vysvětlovány. Podle toho se tyto proměnné rovněž nazývají vysvětlované proměnné. Jejich hodnoty jsou tedy generovány modelem. Endogenní proměnné jsou zpravidla označovány písmenem y s příslušnými indexy, které umožňují jednoznačnou identifikaci proměnné a její hodnoty v příslušném období. To znamená, že obecný zápis yit vyjadřuje, že se jedná o i-tou endogenní proměnnou v čase t. Exogenní proměnné jsou proměnné, které vysvětlují endogenní proměnné. Proto se též nazývají vysvětlující proměnné. Pro jejich označení je zpravidla používáno písmeno x. Obdobně jako u endogenních proměnných xjt značí j-tou exogenní proměnnou v čase t. Jelikož se vnější prostředí, které má být modelem popsáno, vyznačuje značnou dynamikou vztahů mezi proměnnými, statické modely nejsou obvykle při modelování dostačující. Jedním ze způsobů, jak lze model dynamizovat, je použití zpožděných proměnných (viz též 2.1.5), a to jak endogenních, tak exogenních. Například xi(t-1) je zpožděná hodnota i-té exogenní proměnné o jedno období. Zahrnutím této proměnné do modelu vyjádříme, že vysvětlovaná proměnná je závislá na hodnotě i-té exogenní proměnné, která předchází období t. Soubor exogenních proměnných, zpožděných exogenních proměnných a rovněž zpožděných endogenních proměnných je nazýván jako predeterminované proměnné. Predeterminovanými proto, že jejich hodnoty jsou dány vnějším prostředí. Náhodná složka obsahuje vliv všech dalších proměnných na závisle proměnnou, které nejsou v modelu zahrnuty. Dále obsahuje chyby měření a zkreslení plynoucí z volby nevhodného typu funkce. Náhodná proměnná bude označována písmenem u, případně v (podrobněji viz modely simultánních rovnic). 2.1.4 Multikolinearita Multikolinearita vyjadřuje závislost mezi dvěma či více vysvětlujícími proměnnými v rovnici. Při výskytu vysoké multikolinearity není možné separovat vlivy jednotlivých vysvětlujících proměnných na vysvětlovanou proměnou, a proto je vysoká multikolinearita nežádoucí. Perfektní multikolinearita nastává v případech, kdy závislost mezi dvěma či více vysvětlujícími proměnnými je deterministická, tj. párový korelační koeficient nebo koeficient vícenásobné korelace je roven 1. V případě, že je v modelu přítomna perfektní multikolinearita, nelze takovýto model odhadnout. Vysoká multikolinearita se zpravidla vyskytuje tehdy, když hodnoty vysvětlujících proměnných mají nízkou variabilitu. Z toho plyne, že vyvarování se problému přítomnosti vysoké multikolinearity lze dosáhnout zajištěním dostatečné variability vysvětlujících proměnných. Avšak určitá výše multikolinearity je v modelu vždy přítomna. Přítomnost vysoké multikolinearity neumožňuje dosáhnout přesného odhadu parametrů vysvětlujících proměnných, které multikolinearitu způsobují. Tato skutečnost působí problémy při aplikaci modelu ve strukturální analýze, kde co nejlepší znalost velikosti parametrů je nezbytností. Přítomnost vysoké multikolinearity lze identifikovat vyčíslením korelační matice. Korelační matice obsahuje párové korelační koeficienty jednotlivých vysvětlujících proměnných a lze ji vyčíslit z následujícího vztahu: (2.1) X ′T X ′ , kde X´ je matice normalizovaných vektorů, které lze získat podle (2.2). i = (1........k ) x − xi xit′ = it , (2.2) t = (1........n) n .σ xi kde xit je hodnota i-té vysvětlující proměnné v čase t, xi je její průměr a σ xi směrodatná odchylka n je počet pozorování. - 13 -
Z konstrukce korelační matice je zřejmé, že tato matice je symetrická podle hlavní diagonály. Vysoká multikolinearita je přítomna tehdy, jestliže je některý z párových korelačních koeficientů vyšší než 0,8, resp. 0,9. Multikolinearita může být snížena použitím dummy proměnné(ých) nebo vhodnou transformací podkladových údajů (např. vyjádřením proměnné(ých) v postupných diferencích nebo relativně). V krajním případě lze vysokou multikolinearitu odstranit tím, že proměnnou způsobující vysokou multikolinearitu z modelu vypustíme. 2.1.5 Dynamizace modelu Model lze dynamizovat následujícími způsoby: (i) zahrnutím zpožděné(ých) proměnné(ých), (ii) vyjádřením proměnných v postupných diferencích nebo relativně, (iii) zahrnutím časového vektoru, (iv) zahrnutím dummy proměnné(ých). 2.2 Praktická cvičení Zadání: Podkladová data Rok
Sp VM (kg/os./rok)
SpC VM (Kč/kg)
Označení proměnné 1995 8,04 84,20 1996 8,87 90,42 1997 8,74 92,11 1998 10,36 86,39 1999 9,78 80,47 2000 8,94 90,04 2001 9,05 101,66 2002 9,55 89,84 2003 10,14 82,74 2004 9,97 85,36 2005 11,18 85,30 Průměr 9,51 88,05 * Čisté peněžní příjmy na domácnost
SpC HM (Kč/kg)
94,81 102,12 104,82 110,16 107,80 111,53 112,56 112,99 108,02 112,84 117,73 108,67
SpC DM (Kč/kg)
52,32 55 578,0 62,77 64 114,0 70,64 70 968,0 73,31 77 942,0 56,51 80 771,0 61,83 83 422,0 71,28 90 167,0 62,40 93 153,0 60,67 98 102,0 62,55 102 217,0 62,73 116 573,5 63,36 84 818,9
Korelační matice Proměnná Sp VM SpC VM SpC HM SpC DM Př
Sp VM
SpC VM
1 -0,369659 0,751629 0,209048 0,814929
1 0,165662 0,626810 -0,069005
- 14 -
SpC HM
Příjem (Kč) *
SpC DM
1 0,416617 1 0,892922 0,144044
Př
1
Ekonomický model Spotřeba vepřového masa je závislá na spotřebitelské ceně vepřového masa, spotřebitelské ceně hovězího masa, spotřebitelské ceně drůbežího masa a výši příjmu. Předpokládané vztahy (na základě poznatků z ekonomické teorie): • vepřové a drůbeží maso jsou substituty; • vepřové a hovězí maso jsou substituty; • zvýšení úrovně příjmu vyvolá zvýšení spotřeby vepřového masa. Úkoly 1. Proveďte jednoznačné označení výše uvedených proměnných (tj. pomocí symbolů y a x s příslušnými indexy). 2. Vypište hodnoty pro následující proměnné: a. y1,6 = b. x2,10 = c. x4,1 = 3. Přepište výše uvedenou slovní podobu modelu do podoby algebraické. Předpokládejte lineární vztah mezi endogenní proměnnou a exogenními proměnnými.
4. Zapište výše uvedený model v mocninném tvaru.
5. Upravte model (lineární verzi) tak, aby se stal modelem ekonometrickým.
6. Vysvětlete, co reprezentuje u1t.
7. Matematicky zapište způsob výpočtu u1,5 .
8. V korelační matici identifikujte přítomnost vysoké multikolinearity a navrhněte způsob její eliminace.
- 15 -
9. Příprava podkladových údajů: a. Upravte model tak, aby obsahoval konstantu. Jak se změní tabulka podkladových údajů?
b. Jaký problém způsobují odlehlá pozorování (hodnoty)? Jak zjistíte přítomnost odlehlých pozorování v podkladových datech? Navrhněte způsob řešení problému přítomnosti odlehlých pozorování.
c. Navrhněte způsob řešení problému chybějících pozorování.
d. Upravte data tak, aby byla vhodná pro odhad parametrů modelu v prostředí Microsoft Excel. 10. Proveďte dynamizaci modelu (výsledky zapište do následující tabulky): a. Pomocí časového vektoru.
b. Zavedením zpožděné hodnoty vysvětlující proměnné o jedno období. Jak se změní tabulka podkladových údajů? Uveďte vektor hodnot zpožděné proměnné y1t, tzn. hodnoty vektoru y1(t-1).
c. Vyjádřením proměnných v postupných diferencích. hodnotami budete pracovat u proměnných y1t, x1t a x2t .
Uveďte,
s jakými
Tabulka dalších proměnných Rok
JV (zavedení konstanty)
Časový vektor
y1(t-1)
Označení proměnné 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Průměr
- 16 -
y1t x1t x2t (postupné (postupné (postupné diference) diference) diference)
Upravená podkladová data Rok
Sp VM SpC VM (kg/os./rok) (Kč/kg)
SpC HM (Kč/kg)
Označení proměnné 1996 8,87 90,42 1997 8,74 92,11 1998 10,36 86,39 1999 9,78 80,47 2000 8,94 90,04 2001 9,05 101,66 2002 9,55 89,84 2003 10,14 82,74 2004 9,97 85,36 2005 11,18 85,30 Průměr 9,66 88,43 * Čisté peněžní příjmy na domácnost
SpC DM (Kč/kg)
102,12 104,82 110,16 107,80 111,53 112,56 112,99 108,02 112,84 117,73 110,06
62,77 70,64 73,31 56,51 61,83 71,28 62,40 60,67 62,55 62,73 64,47
SpC HM
SpC DM
Upravená korelační matice Proměnná Sp VM SpC VM SpC HM SpC DM Př
Sp VM
SpC VM
1 -0,602642 1 0,614154 0,005568 1 -0,163091 0,628116 -0,017416 1 0,456484 0,091175 0,220278 0,279075
Příjem postupné diference (tis. Kč) *
8,536 6,854 6,974 2,829 2,651 6,745 2,986 4,949 4,115 14,357 6,100
Př
1
Úkoly k samostatnému procvičení 1. Na základě tabulky podkladových údajů uvedené v příloze č. 1 sestavte jednorovnicový lineární model, který popisuje, že výdaje domácností na konečnou spotřebu jsou ovlivněny výdaji domácností na konečnou spotřebu v předchozím období, mírou inflace, úrokovou sazbou domácností a výší mzdy. Definujte předpokládané vztahy mezi proměnnými (na základě poznatků z ekonomické teorie).
2. Proveďte jednoznačné označení výše uvedených proměnných (tj. pomocí symbolů y a x s příslušnými indexy).
- 17 -
3. Vypište hodnoty pro následující proměnné: a. y1,4 = b. x2,8 = c. x3,2 = 4. Přepište výše uvedenou slovní podobu modelu do podoby algebraické. Předpokládejte lineární vztah mezi endogenní proměnnou a exogenními proměnnými.
5. Zapište výše uvedený model v mocninném tvaru.
6. Upravte model (lineární verzi) tak, aby se stal modelem ekonometrickým.
7. Matematicky zapište způsob výpočtu u1,3 .
8. V korelační matici identifikujte přítomnost vysoké multikolinearity a navrhněte způsob její eliminace.
- 18 -
9. Příprava podkladových údajů: a. Upravte model tak, aby obsahoval konstantu.
b. Upravte data tak, aby byla vhodná pro odhad parametrů modelu v prostředí Microsoft Excel.
10. Uveďte, zda se jedná o model statický či dynamický. Pokud je model statický, navrhněte způsob jeho dynamizace.
- 19 -
3. cvičení Předpoklady a odhad LRM 3.1 Úvod do problematiky 3.1.1 Předpoklady LRM Odhadnuté parametry ekonometrického modelu mají požadované vlastnosti, tj. jsou nejlepší, nestranné a konzistentní, jestliže jsou splněny jisté předpoklady. Mezi podstatné předpoklady u lineárních regresních modelů patří: (i)
(ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii)
Specifikační předpoklady a. Neopomenutí podstatné vysvětlující proměnné; b. Vypuštění irelevantních vysvětlujících proměnných; c. Volba správné funkční formy modelu; d. Stabilní odhadnuté parametry, časová invariantnost; e. Respektování simultánnosti vztahů mezi proměnnými; Nulový průměr náhodné složky ut Homoskedasticita [ Var (ui | X i ) = σ 2 ] Nepřítomnost autokorelace reziduí Nezávisle proměnné jsou nenáhodné a fixní v opakujících se souborech Neexistence perfektní multikolinearity Normální rozdělení náhodné složky
3.1.2 Odhad LRM K odhadu parametrů lineárního regresního modelu se pro svou jednoduchost nejčastěji využívá běžná metoda nejmenších čtverců (BMNČ). Tato metoda poskytuje nejlepší, nestranné a konzistentní odhady parametrů modelu, právě když jsou splněny výše uvedené předpoklady. Podstatou BMNČ je nalezení parametrů, které minimalizují součet čtverců odchylek teoretických hodnot vysvětlované proměnné od jejích skutečných hodnot. Jinými slovy, odhadnuté parametry LRM jsou nejlepší, nestranné a konzistentní, jestliže jsou splněny výše uvedené předpoklady a kritérium (3.1). n
min
∑ (y t =1
t
2 − yˆ t )
(3.1)
Vzorec pro odhad parametrů lze z kritéria (3.1) získat jednoduchým způsobem s využitím matematické analýzy. Je-li úkolem nalézt parametry modelu, které minimalizují (3.1), stačí provést parciální derivace vztahu (3.1) podle odhadovaných parametrů a položit je rovny nule. Řešením získané soustavy rovnic lze obdržet hledané parametry.
- 20 -
Pro praktické účely lze z obdržené soustavy rovnic zobecněním pro „k“ vysvětlujících proměnných získat následující vztah (3.2).
γ = ( X T X ) −1 X T y kde
,
(3.2)
γ .......... je vektor (k x 1) odhadovaných parametrů, X ...........matice o rozměru n x k, která obsahuje napozorované hodnoty „k“ vysvětlujících proměnných, y ...........je vektor (n x 1) obsahující napozorované hodnoty vysvětlované proměnné.
Vztah (3.2) reprezentuje vzorec pro odhad parametrů modelu běžnou metodou nejmenších čtverců. 3.1.3 Verifikace ekonometrického modelu Odhadnutý ekonometrický model je nutné před jeho aplikací verifikovat, tzn. ověřit, zda jsou odhadnuté parametry v souladu s výchozími ekonomickými hypotézami a zda mají požadované statistické charakteristiky. Verifikaci modelu lze rozdělit do tří kroků, a to podle toho, co je ověřováno. (i)
Ekonomická verifikace V rámci ekonomické verifikace se posuzuje zejména směr a intenzita působení vysvětlujících proměnných na proměnnou vysvětlovanou. Ověřuje se zde správnost znamének a velikost číselných hodnot odhadnutých parametrů. Pokud získané parametry nejsou v souladu s předpoklady, je zpravidla nutné ověřit správnost specifikace modelu.
(ii)
Statistická verifikace Statistická verifikace slouží k posouzení statistické významnosti odhadnutých parametrů, jednotlivých rovnic i celého modelu. V rámci statistické verifikace se hodnotí: a. shoda odhadnutého modelu s daty; b. statistická významnost odhadnutých parametrů.
(iii)
Ekonometrická verifikace V rámci ekonometrické verifikace se ověřují podmínky nutné pro aplikaci konkrétních ekonometrických metod, testů a technik, tj. předpoklady ekonometrického modelu. Zahrnuje např. test autokorelace náhodných složek či multikolinearity vysvětlujících proměnných.
add (ii) a. Shoda odhadnutého modelu s daty Kvalita odhadnuté rovnice se v případě lineární funkce posuzuje pomocí koeficientu vícenásobné determinace R2. Tento ukazatel je založen na rozkladu celkového rozptylu vysvětlované proměnné (𝑆𝑆𝑦𝑦2 ) na rozptyl teoretický (regresní, 𝑆𝑆ŷ2 ) a reziduální (𝑆𝑆𝑢𝑢2 ): 𝑆𝑆𝑦𝑦2 = 𝑆𝑆ŷ2 + 𝑆𝑆𝑢𝑢2 - 21 -
(3.3)
n
S y2 = kde
∑ (y t =1
− y)
t
,
n
(3.4)
yt ...........jsou skutečné hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech pozorování, 𝑦𝑦�........... je průměr skutečných hodnot vysvětlované proměnné, 𝑛𝑛 ...........je délka časové řady. n
S y2ˆ = kde
2
∑ ( yˆ t =1
− y)
t
2
,
n
(3.5)
yˆ t ........... jsou teoretické hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech pozorování. n
S u2 =
∑ (y t =1
− yˆ t )
t
2
(3.6)
n
Koeficient vícenásobné determinace je dán vztahem: 𝑆𝑆 2
𝑅𝑅 2 = 1 − 𝑆𝑆𝑢𝑢2 𝑦𝑦
(3.7)
Vyjadřuje se obvykle v % a udává, z kolika % jsou změny závisle proměnné vysvětleny změnami nezávisle proměnných. Hodnota R2 se pohybuje od 0 % do 100 %. Pokud R2 = 0 %, všechny odhadnuté koeficienty jsou nulové, celkový rozptyl je roven reziduálnímu a daná funkce nevysvětluje vůbec zkoumaný vztah. Naopak R2 = 100 % nastane, když všechna rezidua jsou nulová, tudíž také reziduální rozptyl je nulový a daná funkce plně vystihuje zkoumaný vztah. Protože hodnota R2 nikdy neklesne (zpravidla vždy vzroste) přidáním dalších vysvětlujících proměnných do modelu, je často používán korigovaný koeficient vícenásobné determinace:
kde
�𝑅𝑅��2� = 1 − (1 − 𝑅𝑅 2 ) 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛−𝑝𝑝
(3.8)
p ........... je počet odhadovaných parametrů v dané rovnici.
Hodnota korigovaného koeficientu determinace je zpravidla nižší, než hodnota R2. Odchylka těchto dvou koeficientů se snižuje s růstem počtu stupňů volnosti (n-p). Při velkém počtu ����2 liší velice málo. Při malém počtu stupňů volnosti může nabývat ���� stupňů volnosti se R2 a 𝑅𝑅 𝑅𝑅 2 i záporných hodnot. V takovém případě se hodnota korigovaného koeficientu vícenásobné determinace interpretuje jako nulová.
- 22 -
Statistickou významnost modelu jako celku lze testovat pomocí F-testu, v jehož rámci se porovnává F poměr s tabulkovou hodnotou F*. Je-li F poměr větší než tabulková hodnota na zvolené hladině významnosti a při daném počtu stupňů volnosti, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti R2, a tedy shoda odhadnutého modelu s daty je statisticky významná. U nelineární funkce je jako míra těsnosti závislosti používán index determinace I2, jeho výpočet i interpretace se však shodují s R2. add (ii) b. Testování statistické významnosti strukturálních parametrů Statistická významnost jednotlivých strukturálních parametrů se hodnotí t-testem. Při výpočtu testovacího kritéria, t-hodnoty, je používán korigovaný reziduální rozptyl. Korekce se provádí opět počtem stupňů volnosti v daném vztahu. Korigovaný reziduální rozptyl je tedy určen jako: n
S u2 =
∑ (y t =1
t
− yˆ t )
2
.
n− p
(3.9)
Ověření statistické významnosti strukturálních parametrů se liší v závislosti na použité metodě, kterou byly parametry odhadnuty. 3.1.4 Postup statistické verifikace strukturálních parametrů LRM odhadnutých BMNČ (i)
(
Výpočet matice pro ověření statistické významnosti parametrů: X T X n
(ii)
Výpočet korigovaného reziduálního rozptylu: S u2 =
∑ (y t =1
t
− yˆ t )
n− p
)
−1
.
2
.
(iii) Výpočet rozptylu odhadnutých parametrů: S11 −1 2 T S ii = S u X X = . S ii Prvky na hlavní diagonále matice vzniklé vynásobením korigovaného
(
)
(
reziduálního rozptylu S u2 a matice X T X
)
−1
jsou rozptyly odhadnutých parametrů
S ii . (iv) Výpočet standardní chyby odhadnutých parametrů: S bi = S ii . Vyčíslení standardních chyb jednotlivých parametrů jako odmocniny prvků z hlavní diagonály výše uvedené matice S ii .
- 23 -
(v)
Výpočet testovacího kriteria: t − hodnota =
hodnota parametru γ it . = chyba odhadu S bi
(vi) Zjištění statistické významnosti odhadnutých parametrů: porovnání vypočtené thodnoty s tabulkovou hodnotou t-testu na zvolené hladině významnosti s přihlédnutím k příslušnému počtu stupňů volnosti tα. Je-li t > tα, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti parametrů. Vysvětlující proměnná je z hlediska svého vlivu na vysvětlovanou proměnnou na hladině významnosti α a při n-p stupních volnosti významnou proměnnou. Je-li t < tα, s pravděpodobností 100(1-α)% není parametr statisticky významný, tj. statisticky významně odlišný od nuly. Zamítnutí nulové hypotézy ještě neznamená, že bodové odhady parametrů jsou přesnými odhady jejich skutečných hodnot. Pro určení stupně shody skutečné hodnoty parametru s odhadem se stanovuje interval spolehlivosti, tzv. konfidenční interval. Neboli hledají se meze, v nichž se bude skutečná hodnota parametru při opakovaných výběrech nacházet s určitým stupněm spolehlivosti, tj. s určitou zvolenou pravděpodobností. Intervalový odhad parametrů se stanovuje pomocí vztahu:
γ ii int erval = γ ii ± tα S bi . Odhadnutý parametr se významně liší od nuly, pokud tento interval nulu neobsahuje. Obsahuje-li konfidenční interval nulu, je parametr statisticky nevýznamný. 3.2 Praktická cvičení Úkoly 1. Sestavte matici X a vektor y pro odhad parametrů modelu z úkolu 5 předchozího cvičení s využitím BMNČ, do modelu zahrňte konstantu a v tomto odhadu abstrahujte od přítomnosti multikolinearity. (Pozn. model zohledňující přítomnost vysoké multikolinearity mezi proměnnými SpC HM a Př bude odhadnut v následujícím cvičení).
- 24 -
2. Proveďte odhad parametrů tohoto modelu na základě následující tabulky podkladových dat. Tabulka podkladových dat: Sp VM SpC VM (kg/os./rok) (Kč/kg)
Rok Označení proměnné 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Průměr
8,04 8,87 8,74 10,36 9,78 8,94 9,05 9,55 10,14 9,97 11,18 9,66
SpC HM (Kč/kg)
84,20 90,42 92,11 86,39 80,47 90,04 101,66 89,84 82,74 85,36 85,30 88,43
94,81 102,12 104,82 110,16 107,80 111,53 112,56 112,99 108,02 112,84 117,73 110,06
SpC DM (Kč/kg)
52,32 62,77 70,64 73,31 56,51 61,83 71,28 62,40 60,67 62,55 62,73 64,47
Příjem (tis. Kč)
55,578 64,114 70,968 77,942 80,771 83,422 90,167 93,153 98,102 102,217 116,574 84,819
Možný postup (sled kroků) odhadu parametrů podle vztahu (3.2): 1. krok: X T X
(
)
(
)
2. krok: X T X 3. krok: X T y 4. krok: X T X
−1
−1
XTy
3. Proveďte ekonomickou verifikaci modelu.
- 25 -
4. Otestujte statistickou významnost odhadnutých parametrů a vypočítejte koeficient determinace. Kritické hodnoty t-testu jsou uvedeny v příloze č. 2. Tabulka pro výpočet korigovaného reziduálního rozptylu a koeficientu determinace Sp VM Sp VM yt − y ( yt − y ) 2 Rok u u2 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
skutečná teoretická 8,04 8,87 8,74 10,36 9,78 8,94 9,05 9,55 10,14 9,97 11,18
Počet pozorování = Počet stupňů volnosti = Korigovaný reziduální rozptyl ( S u2 ) =
(
Matice pro ověření statistické významnosti parametrů: X T X JV 106,894340
SpC VM
SpC HM
)
−1
Př
SpC DM
0,005298 0,021988 0,005787 0,002402
Ověření statistické významnosti parametrů
JV SpC VM SpC HM SpC DM Př Sii Sbi t-hodnota t-tab. (α=0,1) V/N* * V = parametr statisticky významný, N = parametr statisticky nevýznamný
5. Vypočítejte interval, ve s pravděpodobností 95 %.
kterém
se
- 26 -
budou
odhadnuté
parametry
nacházet
6. Zjistěte, zdali je model prostý autokorelace reziduí. Test lze provést s využitím Durbin-Watsonova testu (DW), jehož vzorec je následující:
∑ (u n
DW =
t =2
− u ( t −1) )
2
t
.
n
∑u t =1
2 t
Úkoly k samostatnému procvičení 1. Sestavte matici X a vektor y pro odhad parametrů modelu z úkolu k samostatnému procvičení 6 předchozího cvičení s využitím BMNČ, do modelu zahrňte konstantu. 2. Proveďte odhad parametrů tohoto modelu. 3. Proveďte ekonomickou verifikaci modelu. 4. Otestujte statistickou významnost odhadnutých parametrů a vypočítejte R 2 . 5. Zjistěte, zdali je model prostý autokorelace reziduí.
- 27 -
4. cvičení Aplikace modelu, dynamizace modelu, dummy proměnné 4.1 Úvod do problematiky 4.1.1 Aplikace modelu Výsledkem ekonomického a statistického, resp. ekonometrického ověření modelu je rozhodnutí o jeho praktickém využití nebo jeho zamítnutí. Zamítnutím modelu se vše vrací na začátek. Naopak kvalitní, resp. přijatelný ekonometrický model je využitelný v oblasti, pro kterou byl odvozen. Oblasti aplikace ekonometrického modelu lze rozdělit do tří skupin. První skupina představuje prognostické využití ekonometrického modelu, druhá skupina oblast strukturální analýzy a třetí oblast použití modelu je v simulaci efektů a výsledků různých scénářů. Při aplikaci modelu se často využívají pružnosti (elasticity). Zatímco odhadnutý parametr vyjadřuje, jak příslušná vysvětlující proměnná působí na vysvětlovanou proměnou v jednotkách, v jakých jsou obě proměnné sledovány, potom pružnost (elasticita) umožňuje vyjádřit toto působení v procentech. Jinými slovy odhadnutý parametr je absolutním vyjádřením vlivu vysvětlující proměnné na vysvětlovanou proměnnou a pružnost relativním. Relativní vyjádření potom umožňuje srovnat intenzitu působení jednotlivých vysvětlujících proměnných na proměnnou vysvětlovanou (vedle jiného), tj. porovnání při odlišných jednotkách. Obecný vzorec pro výpočet pružnosti (elasticity) je následující:
E=
∂y xi ∂xi yˆ
(4.1)
Ze vzorce (4.1) je patrné, že pružnost (elasticita) je podílem procentické změny vysvětlované proměnné ku procentické změně i-té vysvětlující proměnné. Proto samotná pružnost (elasticita) vychází v procentech a informuje o procentické změně vysvětlované proměnné při jednoprocentní změně příslušné i-té vysvětlující proměnné. V simulacích či při prognózování často nastává situace, kdy vysvětlující proměnná se mění o h %. V tomto případě při práci s nelineární funkcí dochází při použití pružnosti pro určení výsledné změny závisle proměnné ke zkreslení, které pramení ze skutečnosti, že nelineární průběh funkce je aproximován průběhem lineárním (tečnou) se sklonem rovným hodnotě derivace v daném bodě. Tuto nepřesnost lze odstranit použitím rozdílového koeficientu pružnosti. Rozdílový koeficient pružnosti respektuje zakřivení funkce (viz vyšší derivace) a lze ho vypočíst dle následujícího vztahu:
E( r ) = E((1xi)) + E((x2i))
- 28 -
h h + ... + E((xni)) 2! n!
,
(4.2)
kde
E(r)....... rozdílový koeficient pružnosti E(mxi ) ..... koeficient pružnosti m-tého řádu funkce y v bodě xi, tj. E (mxi ) =
h .......... přírůstek (procentický) nezávisle proměnné xi.
∂ m y xi ∂xim yˆ
4.1.2 Dynamizace modelu Jak již bylo uvedeno ve 2. cvičení, model lze dynamizovat následujícími způsoby: (i) (ii) (iii) (iv)
zahrnutím zpožděné(ých) proměnné(ých), vyjádřením proměnných v postupných diferencích nebo relativně, zahrnutím časového vektoru, zahrnutím dummy proměnné(ých).
4.1.3 Dummy proměnné Dummy proměnné jsou v ekonometrických modelech využívány pro zachycení efektů, které mění, resp. posouvají hodnotu vysvětlované proměnné, pro označení podskupiny v rámci analyzovaného souboru, pro označení sledovaného jevu, pro zachycení sezónnosti, apod. Dummy proměnné nabývají 0, 1 podoby. 0 reprezentuje situaci, kdy daný efekt, jev, apod. nenastává. Naopak 1 informuje o přítomnosti daného efektu, jevu, apod. 4.2 Praktická cvičení Úkoly 1. Proveďte ekonomickou interpretaci modelu odhadnutého v předchozím cvičení, tj. modelu: y1t = 8,994 – 0,101x2t+0,278x3t+0,065x4t+0,027x5t + u1t kde
,
y1t .........spotřeba vepřového masa (kg/os./rok) x2t..........spotřebitelská cena vepřového masa (Kč/kg) x3t..........spotřebitelská cena hovězího masa (Kč/kg) x4t..........spotřebitelská cena drůbežího masa (Kč/kg) x5t..........příjem (tis. Kč) u1t ~ nid(0, σ2)
Uveďte, jak byste odhadnuté parametry využili ve strukturální analýze.
- 29 -
2. Vypočítejte přímou cenovou, křížovou a příjmovou pružnost pro poslední období a interpretujte je.
Dále vypočítejte: a) úroveň spotřeby vepřového masa při poklesu ceny hovězího masa o 10 % oproti úrovni posledního období, ceteris paribus.
b) úroveň spotřeby vepřového masa při růstu příjmu o 5 % oproti úrovni posledního období, ceteris paribus.
3. Simulujte následující scénáře: a) změnu ceny vepřového masa (stanovte ji), ceteris paribus, aby se v 10. roce spotřeba vepřového masa na obyvatele zvýšila na 12 kg.
b) změnu příjmu (uveďte jeho výši), ceteris paribus, aby se v 10. roce spotřeba vepřového masa na obyvatele zvýšila na 12 kg.
c) Jak by se pro udržení tržní rovnováhy musela změnit nabídka vepřového masa (při absenci zahraničního obchodu), jestliže by se za jinak stejných okolností příjem v 9. roce zvýšil o 6 000 Kč?
- 30 -
d) Jak by se musela změnit cena hovězího masa, aby se spotřeba vepřového masa v 10. roce zvýšila ve srovnání s předcházejícím obdobím o 4 % při růstu cen vepřového masa o 2 %?
4. Odhadněte dynamickou verzi modelu, ve které bude příjem vyjádřen v postupných diferencích. Model ověřte a následně interpretujte. Porovnejte výsledky modelu se statickou verzí. Dále vypočtěte koeficient pružnosti pro proměnnou příjem (vyjádřenou v postupných diferencích) v posledním období a interpretujte ji.
5. V následující tabulce jsou uvedena hypotetická data pro spotřebu vepřového masa, která byla v letech 2000 a 2001 ovlivněna významným šokem (např. v důsledku šíření vážných nemocí prasat), který zapříčinil propad ve spotřebě. S využitím dummy proměnné eliminujte tento šok. Specifikaci modelu s dummy proměnnou založte na dynamické verzi modelu v podobě použité v úkolu č. 4. Rok Označení proměnné 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Sp VM (kg/os./rok)
SpC VM (Kč/kg)
SpC HM (Kč/kg)
SpC DM (Kč/kg)
Diference Příjem (Kč)
8,87 8,74 10,36 9,78 5,94 6,05 9,55 10,14 9,97 11,18
90,42 92,11 86,39 80,47 90,04 101,66 89,84 82,74 85,36 85,3
102,12 104,82 110,16 107,8 111,53 112,56 112,99 108,02 112,84 117,73
62,77 70,64 73,31 56,51 61,83 71,28 62,4 60,67 62,55 62,73
8536 6854 6974 2829 2651 6745 2986 4949 4115 14356,5
- 31 -
Úkoly k samostatnému procvičení 1. Pro následující model vypočítejte rozdílový koeficient pružnosti 3. řádu při předpokládané změně příjmu o 5 % oproti úrovni posledního období.
yˆ t = 37,5 x 2−t0,5 x30t, 2 kde,
yˆ t .......spotřeba x2t.......cena x3t.......příjem
Proměnné nabývají v posledním období následujících hodnot:
- 32 -
yt = 41 x2t = 5 x3t = 102
5. cvičení Modely simultánních rovnic
5.1 Úvod do problematiky 5.1.1 Zásady konstrukce simultánních modelů a práce s nimi Vztah mezi vysvětlující a vysvětlovanou proměnnou může být simultánního charakteru. Vzájemná determinace vysvětlující a vysvětlované proměnné plyne z povahy ekonomických jevů a procesů, které jsou modelem popisovány. Lze-li předpokládat simultánní vztah mezi proměnnými, měl by být při konstrukci modelu zohledněn. V opačném případě je v modelu přítomna specifikační chyba. Model obsahující vzájemné vazby mezi proměnnými (vysvětlovanými neboli endogenními) je potom nazýván modelem simultánním. Simultánní model může obsahovat vedle stochastických rovnic rovněž rovnici(e) identitní. Vztahy mezi proměnnými v modelu lze popsat s využitím matice Beta (В) a Gama (Γ). Je-li model simultánní, má matice B nenulové prvky (parametry endogenních proměnných modelu) nad i pod hlavní diagonálou. Sama je vždy čtvercová o rozměru [g x g]. Simultánní modely je nutné identifikovat - zajistit jejich řešitelnost, resp. jednoznačnost. Identifikace se provádí samostatně pro každou rovnici. Model je identifikovaný, jsou-li identifikované všechny jeho rovnice. Podmínka identifikace je: k ** ≥ g ∆ -1 kde
,
(5.1)
g je počet endogenních proměnných v modelu celkem, k je počet predeterminovaných proměnných v modelu celkem, symbol *, ∆, nebo v znamenají, že proměnná je zahrnuta v identifikované rovnici, symbol **,∆∆, nebo n znamená, že proměnná v rovnici, pro niž se provádí identifikace, není obsažena, ale je obsažena v jiných rovnicích modelu.
Výsledek: • platí-li ostrá nerovnost - rovnice je identifikovaná (přeidentifikovaná); • nastává-li rovnost - rovnice je přesně identifikovaná; • neplatí-li nerovnost, pak je rovnice neidentifikovaná (podidentifikovaná). Model ve strukturální formě představuje závislost endogenních proměnných jak na predeterminovaných proměnných, tak na jiných vysvětlujících endogenních, s nimiž jsou v simultánním vztahu. Jeho maticová forma zápisu má podobu: B yt + Г xt = ut
(5.2)
Model v redukované formě představuje závislost endogenních proměnných pouze na predeterminovaných proměnných. Jeho maticová forma zápisu je: yt = M xt + vt
(5.3)
Matici multiplikátorů lze kvantifikovat ze vztahu: M = - B -1 Г - 33 -
(5.4)
5.2 Praktická cvičení 5.2.1 Konstrukce ekonometrického modelu Z tabulky podkladových údajů uvedených v příloze č. 1 byl sestaven čtyřrovnicový simultánní model, který obsahuje následující ekonomické vazby: 1) výdaje domácností na spotřebu jsou funkcí SAZO, míry inflace, úrokové sazby pro domácnosti, míry investic a míry nezaměstnanosti. 2) tvorba fix. kapitálu je funkcí SAZO, zaměstnaných.
úrokové
sazby pro podniky, počtu
3) SAZO je funkcí výdajů domácností na spotřebu, kursu koruny a objemu fix. kapitálu. 4) HDP celkem je součet výdajů na spotřebu domácností, investic, SAZO a vládních výdajů Formální obecný zápis ekonomického modelu: y1 y2 y3 y4
= fce (y3, x3, x4 , x10, x11) = fce (y3, x5, x12) = fce (y1, x9, x15) = y1 + y2 + y3 + x13
Ekonometrický model má následující tvar: 𝛽𝛽11 𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝛽𝛽13 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾13 𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾14 𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 𝛾𝛾110 𝑥𝑥10𝑡𝑡 + 𝛾𝛾111 𝑥𝑥11𝑡𝑡 + 𝑢𝑢1𝑡𝑡 𝛽𝛽22 𝑦𝑦2𝑡𝑡 = 𝛽𝛽23 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾25 𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 𝛾𝛾212 𝑥𝑥12𝑡𝑡 + 𝑢𝑢2𝑡𝑡 𝛽𝛽33 𝑦𝑦3𝑡𝑡 = 𝛽𝛽31 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾39 𝑥𝑥9𝑡𝑡 + 𝛾𝛾315 𝑥𝑥15𝑡𝑡 + 𝑢𝑢3𝑡𝑡
𝛽𝛽44 𝑦𝑦4𝑡𝑡 = 𝛽𝛽41 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛽𝛽42 𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝛽𝛽43 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾413 𝑥𝑥13𝑡𝑡 5.2.2 Maticový zápis modelu Vzhledem ke skutečnosti, že mnohdy se v praxi koncipují velmi rozsáhlé modely, a to jak z hlediska počtu zahrnutých proměnných, tak i počtu rovnic daného modelu, vzniká požadavek na jednoduchý zápis modelu, který by přitom věrně zachycoval veškeré vazby. Uvedený problém je řešen pomocí maticového zápisu modelu dle vztahu 5.2, přičemž obsah jednotlivých matic a vektorů je následující: • • • • •
matice В obsahuje parametry endogenních proměnných modelu, matice Г obsahuje parametry predeterminovaných proměnných modelu, vektor yt obsahuje endogenní proměnné modelu, vektor xt obsahuje predeterminované proměnné modelu, vektor ut obsahuje stochastické proměnné modelu.
- 34 -
Pro výše uvedený model má matice B rozměr [4 x 4] a její zápis je následující: 1 0 � −𝛽𝛽31 −𝛽𝛽41
0 1 0 −𝛽𝛽42
−𝛽𝛽13 −𝛽𝛽23 1 −𝛽𝛽43
0 0 � 0 1
Matice В zachycuje strukturu vztahů mezi endogenními proměnnými, tj. obsahuje strukturální parametry endogenních proměnných modelu. Z povahy věci je patrné, že matice В je vždy maticí čtvercovou o rozměru [g x g], tj. rozměr odpovídá počtu rovnic neboli počtu endogenních proměnných daného modelu. Na hlavní diagonále obsahuje jedničky, protože křížové prvky β 11 až β 44 se vždy rovnají 1. Rovněž parametry identitní rovnice jsou předem známé, a proto je lze místo obecného záznamu v tomto případě zapsat ve formě -1. Dalším důležitým poznatkem je skutečnost, že maticový zápis zachycuje model v podobě, kdy všechny endogenní a predeterminované proměnné jsou převedeny na levou stranu jednotlivých rovnic modelu (viz vztah č. 5.2). Z tohoto důvodu mají parametry vysvětlujících endogenních proměnných zápornou hodnotu. Matice Г zachycuje strukturu vztahů mezi endogenními proměnnými a predeterminovanými proměnnými, jejich přímé vazby neboli obsahuje strukturální parametry predeterminovaných proměnných modelu. Matice Γ uvedeného modelu bude proto mít rozměr [4 x 9] (obecně [g x k], tj. počet endogenních proměnných x počet predeterminovaných proměnných), a má následující zápis: −𝛾𝛾13 0 � 0 0
−𝛾𝛾14 0 0 0
0 −𝛾𝛾25 0 0
0 0 −𝛾𝛾39 0
−𝛾𝛾110 0 0 0
−𝛾𝛾111 0 0 0
0 −𝛾𝛾212 0 0
0 0 0 −𝛾𝛾413
0 0 � −𝛾𝛾315 0
Matice Г je konstruována obdobným způsobem jako matice В. Proto i v matici Г mají parametry záporné znaménko. 5.2.3 Identifikace jednotlivých rovnic modelu Celkový počet endogenních proměnných modelu g = 4. Celkový počet predeterminovaných proměnných modelu k = 9. Identifikace 1. rovnice:
k * = 4 → k ** = 5 tj. 9-4 g∆ = 2
g∆ -1 = 1
rovnice je identifikovaná s výsledkem 5 > 1 a je tedy přeidentifikovaná. Identifikace 2. rovnice:
k * = 2 → k ** = 7 tj. 9-2 g∆ = 2
g∆ -1 = 1
rovnice je identifikovaná s výsledkem 7 > 1 a je tedy přeidentifikovaná.
- 35 -
Identifikace 3. rovnice:
k * = 2 → k ** = 7 tj. 9-2 g∆ = 2
g∆ -1 = 1
rovnice je identifikovaná s výsledkem 7 > 1 a je tedy přeidentifikovaná. Identifikace 4. rovnice: u identitní rovnice se identifikace neprovádí, je vždy považována za identifikovanou. 5.2.4 Konstrukce a obsah matice multiplikátorů M Matice multiplikátorů M obsahuje parametry ekonometrického modelu v redukovaném tvaru, tj. vyjadřuje komplexní – přímé a zprostředkované – vazby mezi endogenním a predeterminovanými proměnnými. Matici multiplikátorů lze kvantifikovat podle vztahu (5.4). Vyčíslením matice multiplikátorů je tedy získán redukovaný tvar ekonometrického modelu. U velmi jednoduchých modelů lze redukovaný tvar modelu odvodit prostou substitucí. Např. je-li kvantifikovaný model ve tvaru: y1t = 2x2t - x3t y2t = -2y1t - 3x1t + 2x3t, pak redukovaná forma tohoto rekursívního modelu má tvar: y1t = 2x2t - x3t y2t = -2 (2x2t - x3t) -3x1t + 2x3t = -4x2t +2x3t -3x1t+2x3t = -3x1t - 4x2t +4x3t Parametr -3 ve druhé rovnici je vazbou přímou, neboť se ve srovnání se strukturálním tvarem nezměnil. Parametr -4 je vazbou zprostředkovanou, neboť proměnná x2t se v původním strukturálním tvaru nevyskytuje. Parametr 4 vyjadřuje komplexní působení proměnné x3t na endogenní proměnnou y2t (jak přímé, tak zprostředkované přes endogenní proměnnou y1t). Matice M výše uvedeného modelu bude mít rozměr [4 x 9] a její parametry představují přímé a zprostředkované vazby predeterminovaných proměnných na příslušné endogenní proměnné. 𝑚𝑚13 𝑚𝑚23 � 𝑚𝑚33 𝑚𝑚43
𝑚𝑚14 𝑚𝑚24 𝑚𝑚34 𝑚𝑚44
0 𝑚𝑚25 0 𝑚𝑚45
𝑚𝑚19 𝑚𝑚29 𝑚𝑚39 𝑚𝑚49
𝑚𝑚110 𝑚𝑚210 𝑚𝑚310 𝑚𝑚410
𝑚𝑚111 𝑚𝑚211 𝑚𝑚311 𝑚𝑚411
0 𝑚𝑚212 0 𝑚𝑚412
0 0 0 𝑚𝑚413
𝑚𝑚115 𝑚𝑚215 � 𝑚𝑚315 𝑚𝑚415
Redukovaný tvar modelu tak v tomto případě umožňuje vyjádřit vliv všech proměnných na HDP, který by bylo obtížné stanovit přímým výpočtem, a to s ohledem na vysokou multikolinearitu.
- 36 -
Úkoly 1. U následujících modelů určete jejich typ, proveďte identifikaci, sestavte matici B, Γ a naznačte obsah matice M. a)
y1t = γ13 x3t + γ14 x 4t + u1t
b)
y2t = β21y 1t + γ22x2t + γ25x5t + u2t
c)
y1t = β12y2t + γ11 x1t + u1t y2t = β21y1t + γ21 x1t + u2t
d)
y1t = 5 + 3y2t + 4x1t + u1t y2t = 3 - y1t + 0,5 x2t + 2y1t-1 +u2t y3t = y1t - y2t
- 37 -
2. Sestavte obecný simultánní dvourovnicový model přesně identifikovaný
3. Sestavte obecný simultánní třírovnicový model tak, aby matice B byla symetrická a její prvky β13 a β23 byly jedinými prvky nad diagonálou rovny nule. Proveďte identifikaci modelu a udělejte z něho model přesně identifikovaný.
4. Proveďte redukci následujícího modelu a zapište jeho rovnice y1t = 3y3t - 2x6t + u1t y2t = 4x2t - 3x3t + x5t + u2t y3t = -2y2t +1 -3x3t +u3t
Úkoly k samostatnému procvičení 1. Co řeší v modelu endogenní proměnná v pozici vysvětlující? 2. Za jakých podmínek se do modelu řadí identitní rovnice, co je podmínkou její konstrukce? 3. Co obsahují a jak se konstruují matice B, Γ, M a jak se kvantifikují vektory ut a vt .
- 38 -
6. cvičení Odhad modelu - dvoustupňová metoda nejmenších čtverců 6.1 Úvod do problematiky 6.1.1 Podstata dvoustupňové metody nejmenších čtverců Dvoustupňová metoda nejmenších čtverců (DMNČ) je jednou z nejrozšířenějších metod odhadu strukturálních parametrů simultánního modelu. Patří mezi metody s omezenou informací, tzn. odhad parametrů se provádí pro každou rovnici modelu zvlášť. Je využitelná pro všechny přesně identifikované a přeidentifikované rovnice simultánního modelu. Podstatou DMNČ je opakovaná aplikace běžné metody nejmenších čtverců, a to nejprve k odhadu teoretických hodnot vysvětlujících endogenních proměnných v dané rovnici a podruhé k vlastnímu odhadu strukturálních parametrů této rovnice. Základní myšlenkou je v 1. stupni DMNČ nahrazení matice napozorovaných hodnot Y2 (tj. matice skutečně napozorovaných hodnot vysvětlujících endogenních proměnných v rovnici, pro niž se odhad provádí) maticí Ŷ2 (tj. maticí teoretických hodnot vysvětlujících endogenních proměnných), v níž jsou hodnoty proměnných Ŷ2 odhadnuty na základě regrese na všech predeterminovaných proměnných v modelu. Dochází tak k nahrazení vysvětlujících proměnných zkorelovaných s náhodnými složkami nestochastickými hodnotami Ŷ2, čímž je splněn předpoklad pro aplikaci běžné metody nejmenších čtverců pro vlastní odhad strukturálních parametrů (2. stupeň). 6.1.2
Postup výpočtu strukturálních parametrů pomocí DMNČ a) Sestavení vektorů a matic napozorovaných hodnot pro odhadovanou rovnici: y1t = β12y2t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t+u1t y1.....vektor skutečných hodnot vysvětlované endogenní proměnné; Y2.....matice napozorovaných hodnot vysvětlujících endogenních proměnných zahrnutých v odhadované rovnici; X*.....matice hodnot predeterminovaných proměnných zahrnutých v odhadované rovnici; X**.....matice hodnot predeterminovaných proměnných v odhadované rovnici nezahrnutých, ale obsažených v ostatních rovnicích modelu; X = [X*, X**]…..matice hodnot všech predeterminovaných proměnných modelu. b) 1. stupeň DMNČ - vyčíslení matice teoretických hodnot Ŷ2 ze vztahu: Ŷ2 = X(XTX)-1XTY2
- 39 -
(6.1)
c) 2. stupeň DMNČ – vyčíslení vektoru strukturálních parametrů odhadované rovnice ze vztahu: Ŷ𝑇𝑇 Ŷ 𝛽𝛽 � 2 � = � 2𝑇𝑇 2 𝛾𝛾1∗ 𝑋𝑋∗ 𝑌𝑌2 Ŷ𝑻𝑻 Ŷ Výraz: � 𝟐𝟐𝑇𝑇 𝟐𝟐 𝑋𝑋∗ 𝑌𝑌2 submaticemi.
−1
𝑌𝑌2𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ � 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗
Ŷ𝑇𝑇 � 2𝑇𝑇 � 𝑦𝑦1 𝑋𝑋∗
(6.2.)
𝑌𝑌2𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ � je tzv. matice K, což je komplexní matice, tvořená čtyřmi 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗
Vypočtené parametry jsou ve výsledném vektoru řazeny následujícím způsobem – nejprve jsou uvedeny parametry endogenních proměnných v pořadí, v jakém vstupují hodnoty jednotlivých proměnných do matice Y2. Následují parametry predeterminovaných proměnných v pořadí, v jakém byly jednotlivé predeterminované proměnné zařazeny do matice X*. d) Zápis vyčíslených parametrů do rovnice. Výpočet parametrů vychází z rovnice v klasickém tvaru: y1t = β12y2t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t+u1t. Při zápisu parametrů zůstávají znaménka nezměněna. 6.2 Praktická cvičení Úkoly 1. Proveďte odhad parametrů 1. rovnice následujícího ekonometrického modelu s použitím DMNČ. Odhadovaný model: 𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝛽𝛽13 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾11 𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾13 𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾14 𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 𝛾𝛾110 𝑥𝑥10𝑡𝑡 + 𝛾𝛾111 𝑥𝑥11𝑡𝑡 + 𝑢𝑢1𝑡𝑡
𝑦𝑦2𝑡𝑡 = 𝛽𝛽23 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾21 𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾25 𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 𝛾𝛾212 𝑥𝑥12𝑡𝑡 + 𝑢𝑢2𝑡𝑡 𝑦𝑦3𝑡𝑡 = 𝛽𝛽31 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾31 𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾315 𝑥𝑥15𝑡𝑡 + 𝑢𝑢3𝑡𝑡
𝑦𝑦4𝑡𝑡 = 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝑥𝑥13𝑡𝑡
Deklarace proměnných: y1t…výdaje domácností na konečnou spotřebu v mld. Kč y2t…tvorba hrubého fixního kapitálu v mld. Kč y3t…saldo zahraničního obchodu v mld. Kč y4t…hrubý domácí produkt v mld. Kč x1t…jednotkový vektor x3t…míra inflace v % x4t…úroková sazba domácností v % x5t…úroková sazba podniků v % x10t…míra investic v % x11t…obecná míra nezaměstnanosti v % x12t…zaměstnaní v mil. x13t…výdaje na konečnou spotřebu vlády v mld. Kč x15t…přímé zahraniční investice do ČR v mld. Kč - 40 -
Podkladové údaje: Rok
y1
y2
y3
y4
x1
x3
x4
x5
x10
x11
x12 x13
x15
1992
411,8
285,9
-20,3
846,8
1
11,1
5,4
15,6
33,7
2,7
4,9
169,4
28,4
1993
531,7
289,6
-19,5 1002,3
1
20,8
7,2
14,6
28,4
4,3
4,9
200,5
16,6
1994
592,7
361,2
-39,5 1143,0
1
10,0
7,6
13,9
31,6
4,3
4,9
228,6
24,8
1995
761,9
461,8
-63,5 1466,5
1
9,1
7,2
13,5
31,5
4,0
5
306,3
67,9
1996
900,8
540,4
-98,3 1683,3
1
8,8
7,1
13,1
32,1
3,9
5
340,4
38,8
1997
983,5
542,1
-93,8 1811,1
1
8,5
8,7
13,7
29,9
4,8
4,9
379,3
41,3
1998
1056,1
562,4
-21,7 1996,5
1
10,7
9,4
13,3
28,2
6,5
4,9
399,7
81,9
1999
1102,2
562,3
-24,3 2080,8
1
2,1
9,1
9,0
27,0
8,7
4,8
440,6
168,7
2000
1181,9
612,5
-66,1 2189,2
1
3,9
9,0
7,3
28,0
8,8
4,7
460,9
129,8
2001
1255,0
659,3
-58,8 2352,2
1
4,7
9,0
6,8
28,0
8,1
4,7
496,7
214,6
2002
1288,5
677,8
-51,4 2464,4
1
1,8
8,8
5,9
27,5
7,3
4,8
549,5
277,7
2003
1345,2
687,5
-58,8 2577,1
1
0,1
8,2
4,5
26,7
7,8
4,7
603,2
59,3
2004
1464,1
727,2
1,9 2814,8
1
2,8
8,0
4,8
25,8
8,3
4,7
621,6
114,7
2005
1488,7
746,1
94,7 2987,7
1
1,9
7,2
4,2
24,9
7,9
4,8
658,2
263,2
2006
1622,1
812,9 111,2 3231,6
1
2,5
6,8
4,5
25,2
7,1
4,8
685,4
134,7
2007
1966,1
850,2
1
2,8
8,5
2,1
23,9
5,3
4,9
711,5
218,0
29,9 3557,7
Zdroj: ČSÚ
Řešení 1. rovnice: a. Deklarace matic a vektorů pro výpočet strukturálních parametrů funkce y1 = (y3,x1,x3,x4,x10,x11). X*
X x4
x3
x1 1
11,1
5,4
x10 33,7
x11 2,7
x4
x3
x1 1
11,1
x10
5,4 33,7
x11
x12
x5
2,7 15,6
x13
4,9 169,4
x15 28,4
Y2
y1
y3
y1
-20,3
411,8
1
20,8
7,2
28,4
4,3
1
20,8
7,2 28,4
4,3 14,6
4,9 200,5
16,6
-19,5
531,7
1
10,0
7,6
31,6
4,3
1
10,0
7,6 31,6
4,3 13,9
4,9 228,6
24,8
-39,5
592,7
1
9,1
7,2
31,5
4,0
1
9,1
7,2 31,5
4,0 13,5
5,0 306,3
67,9
-63,5
761,9
1
8,8
7,1
32,1
3,9
1
8,8
7,1 32,1
3,9 13,1
5,0 340,4
38,8
-98,3
900,8
1
8,5
8,7
29,9
4,8
1
8,5
8,7 29,9
4,8 13,7
4,9 379,3
41,3
-93,8
983,5
1
10,7
9,4
28,2
6,5
1
10,7
9,4 28,2
6,5 13,3
4,9 399,7
81,9
-21,7
1056,1
1
2,1
9,1
27,0
8,7
1
2,1
9,1 27,0
8,7
9,0
4,8 440,6 168,7
-24,3
1102,2
1
3,9
9,0
28,0
8,8
1
3,9
9,0 28,0
8,8
7,3
4,7 460,9 129,8
-66,1
1181,9
1
4,7
9,0
28,0
8,1
1
4,7
9,0 28,0
8,1
6,8
4,7 496,7 214,6
-58,8
1255,0
1
1,8
8,8
27,5
7,3
1
1,8
8,8 27,5
7,3
5,9
4,8 549,5 277,7
-51,4
1288,5
1
0,1
8,2
26,7
7,8
1
0,1
8,2 26,7
7,8
4,5
4,7 603,2
59,3
-58,8
1345,2
1
2,8
8,0
25,8
8,3
1
2,8
8,0 25,8
8,3
4,8
4,7 621,6 114,7
1,9
1464,1
1
1,9
7,2
24,9
7,9
1
1,9
7,2 24,9
7,9
4,2
4,8 658,2 263,2
94,7
1488,7
1
2,5
6,8
25,2
7,1
1
2,5
6,8 25,2
7,1
4,5
4,8 685,4 134,7
111,2
1622,1
1
2,8
8,5
23,9
5,3
1
2,8
8,5 23,9
5,3
2,1
4,9 711,5 218,0
29,9
1966,1
- 41 -
b. Vyčíslení matice teoretických hodnot Ŷ2: Pro výpočet teoretických hodnot je nutné nejprve transponovat matici X. Z původní matice X o rozměru [16x9] je získána matice [9x16]. XT 1 11 5,4 34 2,7 16 4,9 169 28
1 1 1 21 10 9,1 7,2 7,6 7,18 28 32 31,5 4,3 4,3 4 15 14 13,5 4,9 4,9 4,96 200 229 306 17 25 67,9
1 8,8 7,1 32 3,9 13 5 340 39
1 8,5 8,7 30 4,8 14 4,9 379 41
1 11 9,4 28 6,5 13 4,9 400 82
1 2,1 9,08 27 8,7 9,02 4,76 441 169
1 3,9 9 28 8,8 7,3 4,7 461 130
1 4,7 8,99 28 8,1 6,78 4,73 497 215
1 1,8 8,8 28 7,3 5,9 4,8 550 278
1 0,1 8,24 26,7 7,8 4,53 4,73 603 59,3
1 2,8 8 26 8,3 4,8 4,7 622 115
1 1,9 7,2 24,9 7,9 4,2 4,76 658 263
1 2,5 6,79 25,2 7,1 4,45 4,83 685 135
1 2,8 8,51 23,9 5,3 2,1 4,92 712 218
Následně je proveden součin matice XT s maticí X. Výsledkem tohoto násobení je matice o rozměru [9x9]. T
XX 16 102 127 452 99,8 147 77,4 7252 1880
101,6 1073 777,9 3005 518,9 1240 496,1 34423 7237
127,1 777,9 1028 3576 813,2 1142 614,4 58585 15499
452,4 3005 3576 12911 2761 4317 2191 2E+05 50674
99,8 518,9 813,2 2761 683,4 812,5 480,1 48899 13389
146,6 1240 1142 4317 812,5 1666 713,6 54739 12629
77,4 496,1 614,4 2191 480,1 713,6 374,6 34939 9028
7252 34423 58585 2E+05 48899 54739 34939 4E+06 1E+06
1880 7237 15499 50674 13389 12629 9028 1E+06 3E+05
V dalším kroku je provedena inverze matice XTX. T
-1
(X X) 3465 -5,75 7,317 -11,9 -37,8 10,9 -628 0,051 0,004
-5,746 0,0295 -0,004 0,0547 0,0658 -0,026 0,7451 0,0006 7E-05
7,3169 -0,004 0,133 0,0067 -0,129 -0,004 -1,608 0,0003 -3E-04
-11,88 0,055 0,007 0,148 0,125 -0,054 1,308 0,001 1E-04
-37,76 0,0658 -0,129 0,1247 0,4666 -0,108 6,8627 -6E-04 -9E-05
10,895 -0,026 -0,004 -0,054 -0,108 0,0945 -2,049 0,0011 0,0004
- 42 -
-628,1 0,745 -1,608 1,308 6,863 -2,049 121,5 -0,027 -0,003
0,0508 0,0006 0,0003 0,0015 -6E-04 0,0011 -0,027 6E-05 5E-06
0,0039 7E-05 -3E-04 0,0001 -9E-05 0,0004 -0,003 5E-06 2E-05
Po provedení inverze lze k matici (𝑿𝑿𝑻𝑻 𝑿𝑿)−𝟏𝟏 zleva přinásobit matici X. T
-1
X(X X) 23,14 6,398 -6,23 -14,3 -25,4 11,31 1,944 -0,79 -25,1 -3,75 17,51 20,48 15,23 0,654 -15,7 -4,42
-0,052 0,0475 -0,025 0,0092 0,0612 -0,034 0,0175 -0,092 0,0517 0,0651 -0,014 -0,048 0,0052 -0,006 0,0247 -0,011
-0,075 -0,017 0,0135 -0,043 -0,04 0,1164 0,0828 -0,058 -0,013 0,0751 0,1065 0,0893 0,0042 -0,169 -0,184 0,1108
-0,058 -0,068 -0,035 0,051 0,19 -0,047 7E-05 -0,208 0,126 0,166 0,017 -0,049 0,012 -0,049 0,022 -0,07
-0,247 -0,02 0,0423 0,1207 0,2346 -0,185 -0,017 0,0773 0,3366 0,0554 -0,234 -0,218 -0,108 0,0548 0,2182 -0,11
0,0663 -0,04 -0,074 -0,025 -0,067 0,1255 0,1217 0,0491 -0,15 -0,065 0,0403 -0,006 0,0361 0,0757 0,0085 -0,098
-4,021 -0,721 1,896 2,622 3,794 -2,387 -1,041 1,795 4,444 -0,492 -3,763 -3,628 -3,292 0,119 2,99 1,686
-4E-04 -0,001 -0,003 -2E-04 0,0018 0,0021 0,003 -0,004 -0,002 0,0013 0,0008 -3E-04 0,0018 0,0007 0,0014 -0,002
0,0006 -2E-04 -8E-04 0,0003 -2E-04 -5E-04 0,0002 0,0003 -8E-04 0,0012 0,0023 -0,003 -0,001 0,002 -5E-04 -6E-05
K matici 𝑿𝑿(𝑿𝑿𝑻𝑻 𝑿𝑿)−𝟏𝟏 je dále zprava přinásobena matice XT. X(XTX)-1 XT 0,69
0,1
0,18
0,1
0,9
0,11 -0,03
0,18
0,11
0,33
0,17 0,121
0,16 -0,03
0,17
0,08 -0,11
0,12
0,04 -0,07 -0,17
0,148 0,089 0,047
0,11 -0,04
0,04 0,045
-0,111
0,02 -0,01 0,069
0,038 -0,077 0,198
0,16
-0,051 0,087
0,24 0,284
0,093
0,033 0,036
0,06 0,006
-0,004
-0,1
0,28 0,491
0,093
0,055
0,15
0,1
-0,071
-0,07
0,04
0,09 0,093
0,474
0,397 0,053 -0,17
-0,08
0,13 -0,08
0,03 0,055
0,397
0,04
0,053
-0,01 -0,06
0,2
-0,19
0,04
-0,05
0,04 -0,04
0,16
0,15 -0,11 -0,05 0,09 -0,08
0,16 0,076 -0,11
-0,21
0,039
-0,17
-0,01 -0,19
-0,07
0,134
-0,06
-0,04
0,27 0,473
0,066
-0,11
0,056
0,111 -0,074 0,023
0,08
-0,1 -0,11
-0,05
0,042
0,06 0,099
0,03
-0,05 -0,095
-0,16
0,06 6E-04
0,11
0,18 6E-04
0,01
-0,11
0,54 0,273
0,08 0,179 -0,035
0,08 0,056
0,025 0,023
0,17
-0,07
0,02 -0,15
0,03
-0,05 -0,05
0,037
0,77
-0,07
0,11
-0,11
0,075
0,01
-0,04 -0,01 -0,09
-0,1 -0,15 -0,09 0,105
0,565 0,075 -0,03 0,066
-0
0,08
-0,16
-0,1 -0,04 0,048
0,06 0,154 -0,168 -0,033 0,173 0,1 -0,076
-0,08 0,077
0,056 0,111 0,042
-0,1
0,09
0,05
0,07
-0,21
-0,05
0,037 0,025 -0,04 0,332 0,064
-0,08
-0,02
0,01 0,167 -0,06 0,046 0,013
0,048 -0,095
- 43 -
-0,01
0,04
-0,11
-0,03 -0,07
-0,04
-0,07 0,064 -0,08
0,01
-0,1
0,17 -0,01
-0,03
0,04
-0,07
0,332
-0,04 0,085 0,056 -0,06 -0,02 0,099
0,05 -0,11
-0,04
0,545
-0,02 0,032
0,17 -0,19 0,147
-0,018 0,643 0,363 -0,16
0,05 0,081
0,032 0,363 0,377
0,09
0,17
0,169
-0,16 0,086
0,53
0,33 0,022
-0,194 0,049 0,175
0,33
0,55 0,073
0,02
0,07 0,881
0,147 0,081
-0,08
-0,08
Teoretické hodnoty vysvětlujících endogenních proměnných jsou vypočteny vynásobením matice 𝑿𝑿(𝑿𝑿𝑻𝑻 𝑿𝑿)−𝟏𝟏 𝑿𝑿𝑻𝑻 maticí Y2. Ŷ2 = X(XTX)-1 XTY2 -36,6981711 1,644228681 -79,8573837 -47,9756123 -68,1384075 -75,7000274 -54,5791802 -6,74333753 -67,8641829 -70,5539121 -43,1780061 -46,8330777 3,000954113 100,967747 90,33065533 23,75924669
c. Pro výpočet matice K v druhém kroku DMNČ je zapotřebí transponovat matici teoretických hodnot Ŷ2, matici 𝑿𝑿∗ a matici skutečných hodnot Y2. Transponovanou matici 𝑿𝑿∗ je vhodné umístit pod transponovanou matici Ŷ2, neboť v dalším výpočtu je s nimi počítáno jako s jednou maticí složenou ze dvou submatic. Ŷ2 T
-37 1,64
X*T
1
-80
-48
-68
-75,7
-54,6
-6,7
-67,9
-70,6
-43
-46,8
3
101
90,3 23,76
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11 20,8
10
9,1
8,8
8,5
10,7
2,1
3,9
4,7
1,8
0,1
2,8
1,9
2,5
2,8
8,95
8,99 8,84
8,24 7,96
7,2
28 27,5
26,7 25,8
24,9
25,2
23,9
7,9
7,1
5,3
5,4
7,2
7,56
7,18 7,05
8,72
9,43 9,08
34 28,4
31,6
31,5 32,1
29,9
28,2
27
28
4,8
6,5
8,7
8,8
2,7
4,3
4,3
4
3,9
8,1
7,3
7,8
8,3
6,79 8,512
Y2 T -20,3
-19,5 -39,5 -63,5
-98,3
-93,8 -21,7 -24,3
-66,1 -58,8 -51,4 -58,8 1,91
94,7
K 55994,717
-378,41847
-3635,6116
-3295,1983
-12274,479
-1929,1999
-378,41847
16
101,6
127,1421
452,4
99,8
-3635,6116
101,6
1073,34
777,88187
3004,95
518,9
-3295,1983
127,1421
777,88187
1027,9791
3575,6161
813,1721
-12274,479
452,4
3004,95
3575,6161
12910,76
2760,55
-1929,1999
99,8
518,9
813,1721
2760,55
683,44
- 44 -
111
29,86
Dále je provedena inverze matice K. K-1 0,0001769
-1E-04
-0,143874
-0,0001922
0,0067737
0,0034579
-0,0003722
-0,143874
141,171
0,1359261
-5,9801548
-3,4004053
-0,2737268
-0,0001922
0,1359261
0,0051875
-0,0110634
-0,0051446
0,0096137
0,0067737
-5,9801548
-0,0110634
0,3530869
0,132019
-0,052583
0,0034579
-3,4004053
-0,0051446
0,132019
0,085409
0,0081515
-0,0003722
-0,2737268
0,0096137
-0,052583
0,0081515
0,0627236
K inverzní matici K je přinásobena matice � -0,001
0,002
0,003
0,006
2,956 0,1799
-1,835
-0,21
-1,92
-3,59
-6,066
0,322 0,7706
-0,746
5,72
-0,007
0,059
-0,002
-0,011
-0,011
-0,01
0,015
-0,008
0,011 0,0082
-0,016
-0,008
-0,124
-0,134
-0,017
0,078
-0,017 0,187
0,243
0,264
0,0341
-0,091
0,004
0,058
0,023 0,038
0,062
0,141
0,0047
0,048
-0,018
-0,038
-0,01
0,037
0,0949
-0,002
-3E-04 0,002
-0,028
-0,08
-0,002
Ŷ𝑇𝑇2 � složená ze dvou submatic. 𝑋𝑋∗𝑇𝑇
-0,003 0,0004
-0,007 -0,004
0,009 -0,005
-0,089
-0,065 0,0754
-0,274 -0,211
-0,01
-0,024 0,0163
-0,131 -0,082
0,099 0,0613
-0,023
0,018
0,006 0,002 -0,002
3,515 -2,987 0,276
0,064
0,097
4,509
-0
-0,02
-0,04
0,032
0,081 0,006 -0,124 0,027
0,01 -0,176
Strukturální parametry jsou poté vyčísleny přinásobením vektoru y1. -1,07 β13 5868,90 γ11 -43,42 γ13 9,53 γ14 -142,12 γ110 -88,78 γ111
Odhadnutá rovnice má následující podobu: ŷ1𝑡𝑡 = −1,07𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 5868,9 − 43,42𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 9,53𝑥𝑥4𝑡𝑡 − 142,12𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 88,78𝑥𝑥11𝑡𝑡
Pro ověření správnosti výpočtu je provedena zkouška dosazením průměrů skutečných hodnot jednotlivých vysvětlujících proměnných do dané rovnice a srovnáním s průměrem skutečných hodnot vysvětlované proměnné y1. Zkouška: 1122 = 1122. 2. Proveďte ekonomickou interpretaci 1. rovnice.
- 45 -
3. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 2. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí DMNČ.
4. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 3. rovnice modelu z příkladu č. 1 použitím DMNČ.
- 46 -
Úkoly k samostatnému procvičení 1. Vyčíslete parametry 2. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí DMNČ. 2. Vyčíslete parametry 3. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí DMNČ. 3. Vyčíslete strukturální parametry rovnice 𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦2𝑡𝑡 , 𝑥𝑥1𝑡𝑡 , 𝑥𝑥2𝑡𝑡 ) + 𝑢𝑢 metodou DMNČ, znáte-li matici K-1, matici X*, matici Ŷ2 a vektor y1. Ŷ2
X*
2 1 -1
K
y1
1 1 1
3 1 2
-1 1 2
-1
0,24 0,08 -0,1 0,08 2,36 -1 -0,1 -1,04 0,56
4. Vyčíslete matici K, jsou-li matice X*, matice Ŷ2 následující: Ŷ2
X* 3 1 1
1 1 1
3 4 5
2 2 1
Návod k řešení: Lze dokázat, že submatice 𝑌𝑌2𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ je rovna submatici Ŷ𝑇𝑇2 𝑋𝑋∗ a rovněž 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑌𝑌2 =
𝑋𝑋∗𝑇𝑇 Ŷ2 .
5. Vypočítejte vektor teoretických hodnot vysvětlující endogenní proměnné, znáte-li: X(XTX)-1X
T
0,1 -1 1,7 0,4 0,4 0,6 -1,3 0
Y2 0,7 -0,8 -0,5 0,6
3 2 1 1
6. Vyčíslete matici K, jsou-li matice X*, matice Ŷ2 následující: Ŷ2
X* 2 1 -1 2
4 3 3 5
3 2 4 1
7. Určete, jakého rozměru bude matice K, je-li rozměr matice Ŷ2 [15x2] a matice X* [15x3]. 8. Určete, jakého rozměru bude matice K, je-li v odhadované rovnici 5 predeterminovaných proměnných a 1 vysvětlující endogenní proměnná. Délka časové řady je 7 let.
- 47 -
7. cvičení Odhad modelu – metoda minimalizace poměru rozptylů 7.1 Úvod do problematiky 7.1.1
Podstata metody minimalizace poměru rozptylů
Metoda minimalizace poměru rozptylů (MPR) patří rovněž do skupiny metod s omezenou informací. Podstatou MPR je odhad parametrů všech endogenních proměnných v dané rovnici zahrnutých tak, aby reziduální rozptyl při regresi na predeterminovaných proměnných v dané rovnici obsažených (X*) byl v poměru k reziduálnímu rozptylu při regresi na všech predeterminovaných proměnných modelu (X) co nejmenší. Základní myšlenka metody minimalizace poměru rozptylů vychází z toho, že odhadovanou strukturální rovnici lze zapsat ve tvaru: β1∆Y∆ = γ1*X* + 0X** + u, kde Y∆….. zahrnuje všechny endogenní proměnné v dané rovnici; X*…...obsahuje predeterminované proměnné zahrnuté v dané rovnici; X**….predeterminované proměnné nezahrnuté v dané rovnici. Výraz β1∆Y∆ lze nahradit ỹ. Cílem pak je zvolit β1∆ tak, aby ỹ bylo vysvětleno závislostí na X* téměř tak dobře, jako závislostí na všech predeterminovaných proměnných X. Pokud je tato podmínka splněna, podíl reziduálního rozptylu závislosti ỹ na X* a reziduálního rozptylu závislosti ỹ na X je jen nepatrně větší než 1. Podstatou je tedy odhadnout takové β1∆, při němž bude podíl rozptylů minimální. 7.1.2
Postup výpočtu strukturálních parametrů pomocí MPR a) Sestavení matic napozorovaných hodnot pro odhadovanou rovnici ve tvaru: β11y1t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t = u1t Y∆.....matice skutečných hodnot všech endogenních proměnných zahrnutých v odhadované rovnici; X*.....matice skutečných hodnot predeterminovaných proměnných zahrnutých v odhadované rovnici; X**.....matice skutečných hodnot predeterminovaných proměnných v odhadované rovnici nezahrnutých, ale obsažených v ostatních rovnicích modelu; X = [X*, X**]…..matice napozorovaných hodnot všech predeterminovaných proměnných modelu. b) Výpočet reziduálního rozptylu při regresi na zahrnutých predeterminovaných proměnných v dané rovnici: (7.1) W* = 𝑌𝑌∆𝑇𝑇 𝑌𝑌∆ − 𝑌𝑌∆𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ (𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ )−1 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑌𝑌∆ - 48 -
c) Výpočet reziduálního rozptylu při regresi na všech predeterminovaných proměnných modelu: W = 𝑌𝑌∆𝑇𝑇 𝑌𝑌∆ − 𝑌𝑌∆𝑇𝑇 𝑋𝑋(𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑋𝑋)−1 𝑋𝑋 𝑇𝑇 𝑌𝑌∆ (7.2)
d) Výpočet vektoru strukturálních parametrů který minimalizuje poměr reziduálních rozptylů:
𝑘𝑘 =
endogenních
𝑇𝑇 𝛽𝛽 1∆ 𝑊𝑊∗ 𝛽𝛽 1∆ 𝑇𝑇 𝛽𝛽 1∆ 𝑊𝑊𝛽𝛽 1∆
proměnných,
(7.3)
Pro nalezení minimálního poměru rozptylů musí být derivace tohoto vztahu podle 𝑇𝑇 β1∆ rovna nule, tj. (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘)𝛽𝛽1∆ = 0. Tato rovnost platí v případě, že determinant det|𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘| = 0. Pro výpočet strukturálních parametrů endogenních proměnných je tedy nejprve hledáno „k“, při kterém je determinant matice |𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘| roven nule. Řešením determinantu je polynomní funkce, jejíž nejmenší kořen představuje hledané „k“. 𝑇𝑇 = 0 umožní vyčíslit vektor Dosazení tohoto „k“ zpět do vztahu (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘)𝛽𝛽1∆ strukturálních parametrů 𝛽𝛽1∆. Řazení parametrů v uvedeném vektoru odpovídá řazení hodnot endogenních proměnných v matici Y∆. e) Vyčíslení parametrů predeterminovaných proměnných ze vztahu: 𝛾𝛾1∗ = −𝛽𝛽1∆ 𝑌𝑌∆𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ (𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ )−1
(7.4)
Jednotlivé parametry predeterminovaných proměnných jsou ve výsledném vektoru 𝛾𝛾1∗ řazeny dle pořadí predeterminovaných proměnných v matici X*.
f) Zápis parametrů do rovnice. Vzhledem k výchozímu tvaru rovnice v podobě: β11y1t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t = u1t, jsou při přepisu parametrů do rovnice v klasickém tvaru: y1t = β12y2t +…..+ β1g∆yg∆t + γ11x1t+….+ γ1k*xk*t + u1t otáčena znaménka.
- 49 -
7.2 Praktická cvičení Úkoly 1. Proveďte odhad parametrů 1. rovnice následujícího ekonometrického modelu s použitím MPR. Odhadovaný model: 𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝛽𝛽13 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾11 𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾13 𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾14 𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 𝛾𝛾110 𝑥𝑥10𝑡𝑡 + 𝛾𝛾111 𝑥𝑥11𝑡𝑡 + 𝑢𝑢1𝑡𝑡
𝑦𝑦2𝑡𝑡 = 𝛽𝛽23 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝛾𝛾21 𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾25 𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 𝛾𝛾212 𝑥𝑥12𝑡𝑡 + 𝑢𝑢2𝑡𝑡 𝑦𝑦3𝑡𝑡 = 𝛽𝛽31 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾31 𝑥𝑥1𝑡𝑡 + 𝛾𝛾315 𝑥𝑥15𝑡𝑡 + 𝑢𝑢3𝑡𝑡 𝑦𝑦4𝑡𝑡 = 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝑥𝑥13𝑡𝑡
Deklarace proměnných: y1t…výdaje domácností na konečnou spotřebu v mld. Kč y2t…tvorba hrubého fixního kapitálu v mld. Kč y3t…saldo zahraničního obchodu v mld. Kč y4t…hrubý domácí produkt v mld. Kč x1t…jednotkový vektor x3t…míra inflace v % x4t…úroková sazba domácností v % x5t…úroková sazba podniků v % x10t…míra investic v % x11t…obecná míra nezaměstnanosti v % x12t…zaměstnaní v mil. x13t…výdaje na konečnou spotřebu vlády v mld. Kč x15t…přímé zahraniční investice do ČR v mld. Kč Podkladové údaje: Rok
y1
y2
y3
y4
x1
x3
x4
x5
x10
x11
x12 x13
x15
1992
411,8
285,9
-20,3
846,8
1
11,1
5,4
15,6
33,7
2,7
4,9
169,4
28,4
1993
531,7
289,6
-19,5 1002,3
1
20,8
7,2
14,6
28,4
4,3
4,9
200,5
16,6
1994
592,7
361,2
-39,5 1143,0
1
10,0
7,6
13,9
31,6
4,3
4,9
228,6
24,8
1995
761,9
461,8
-63,5 1466,5
1
9,1
7,2
13,5
31,5
4,0
5
306,3
67,9
1996
900,8
540,4
-98,3 1683,3
1
8,8
7,1
13,1
32,1
3,9
5
340,4
38,8
1997
983,5
542,1
-93,8 1811,1
1
8,5
8,7
13,7
29,9
4,8
4,9
379,3
41,3
1998
1056,1
562,4
-21,7 1996,5
1
10,7
9,4
13,3
28,2
6,5
4,9
399,7
81,9
1999
1102,2
562,3
-24,3 2080,8
1
2,1
9,1
9,0
27,0
8,7
4,8
440,6
168,7
2000
1181,9
612,5
-66,1 2189,2
1
3,9
9,0
7,3
28,0
8,8
4,7
460,9
129,8
2001
1255,0
659,3
-58,8 2352,2
1
4,7
9,0
6,8
28,0
8,1
4,7
496,7
214,6
2002
1288,5
677,8
-51,4 2464,4
1
1,8
8,8
5,9
27,5
7,3
4,8
549,5
277,7
2003
1345,2
687,5
-58,8 2577,1
1
0,1
8,2
4,5
26,7
7,8
4,7
603,2
59,3
2004
1464,1
727,2
1,9 2814,8
1
2,8
8,0
4,8
25,8
8,3
4,7
621,6
114,7
2005
1488,7
746,1
94,7 2987,7
1
1,9
7,2
4,2
24,9
7,9
4,8
658,2
263,2
2006
1622,1
812,9 111,2 3231,6
1
2,5
6,8
4,5
25,2
7,1
4,8
685,4
134,7
2007
1966,1
850,2
1
2,8
8,5
2,1
23,9
5,3
4,9
711,5
218,0
29,9 3557,7
Zdroj: ČSÚ - 50 -
Řešení 1. rovnice: Deklarace matic a vektorů pro výpočet strukturálních parametrů funkce y1 = (y3,x1,x3,x4,x10,x11). X
X*
y3
y1
x 15
x 12 x 13
x 11 x 5
x 4 x 10
x1 x3
x 11
x 4 x 10
x1 x3
Y∆
1
11,1 5,4
33,7 2,7
1
11,1 5,4
33,7 2,7
15,6 4,9 169,4
28,4
411,8
-20,3
1
20,8 7,2
28,4 4,3
1
20,8 7,2
28,4 4,3
14,6 4,9 200,5
16,6
531,7
-19,5
1
10,0 7,6
31,6 4,3
1
10,0 7,6
31,6 4,3
13,9 4,9 228,6
24,8
592,7
-39,5
1
9,1 7,2
31,5 4,0
1
9,1 7,2
31,5 4,0
13,5 5,0 306,3
67,9
761,9
-63,5
1
8,8 7,1
32,1 3,9
1
8,8 7,1
32,1 3,9
13,1 5,0 340,4
38,8
900,8
-98,3
1
8,5 8,7
29,9 4,8
1
8,5 8,7
29,9 4,8
13,7 4,9 379,3
41,3
983,5
-93,8
1
10,7 9,4
28,2 6,5
1
10,7 9,4
28,2 6,5
13,3 4,9 399,7
81,9
1056,1
-21,7
1
2,1 9,1
27,0 8,7
1
2,1 9,1
27,0 8,7
9,0 4,8 440,6 168,7
1102,2
-24,3
1
3,9 9,0
28,0 8,8
1
3,9 9,0
28,0 8,8
7,3 4,7 460,9 129,8
1181,9
-66,1
1
4,7 9,0
28,0 8,1
1
4,7 9,0
28,0 8,1
6,8 4,7 496,7 214,6
1255,0
-58,8
1
1,8 8,8
27,5 7,3
1
1,8 8,8
27,5 7,3
5,9 4,8 549,5 277,7
1288,5
-51,4
1
0,1 8,2
26,7 7,8
1
0,1 8,2
26,7 7,8
4,5 4,7 603,2
59,3
1345,2
-58,8
1
2,8 8,0
25,8 8,3
1
2,8 8,0
25,8 8,3
4,8 4,7 621,6 114,7
1464,1
1,9
1
1,9 7,2
24,9 7,9
1
1,9 7,2
24,9 7,9
4,2 4,8 658,2 263,2
1488,7
94,7
1
2,5 6,8
25,2 7,1
1
2,5 6,8
25,2 7,1
4,5 4,8 685,4 134,7
1622,1 111,2
1
2,8 8,5
23,9 5,3
1
2,8 8,5
23,9 5,3
2,1 4,9 711,5 218,0
1966,1
29,9
Pro odhad strukturálních parametrů je nutné tyto matice transponovat. Y∆T 412
532 593
762
901
984
1056
1102
1182
1255
1288
1345
-20
-19
-63
-98
-94
-21,7 -24,3
-66,1
-58,8
-51,4
-58,8
-40
1464
1489
1622
1966
1,914 94,71 111,2 29,86
X* T 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11,1 20,8
10
9,1
8,8
8,5
11
2,1
3,9
4,7
1,8
0,1
2,8
1,9
2,5
2,8
9,08 8,95
7,2
7,6
7,2 7,05
8,72
9,4
8,99
8,84 8,24
8
7,2
6,79
8,51
33,7 28,4
5,44
32
32 32,1
29,9
28
27
28
28
27,5 26,7
26
24,9
25,2
23,9
4,8
6,5
8,7
8,8
8,1
7,3
7,8
8,3
7,9
7,1
5,3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,1
2,7
4,3
4,3
4
3,9
XT 1
1
1
1
8,8
1
11,1
20,8
10
9,1
8,5 10,7
2,1
3,9
4,7
1,8
2,8
1,9
2,5
2,8
5,44
7,2
7,56
7,18
7,05 8,72 9,43
9,08
8,95
8,99
8,84
8,24 7,96
7,2
6,79
8,51
33,7
28,4
31,6
31,5
32,1 29,9 28,2
26,7 25,8 24,9
2,7
4,3
4,3
4
15,6
14,6
4,93 169 28,4
27
28
28
27,5
6,5
8,7
8,8
8,1
7,3
13,9
13,5 13,09 13,7 13,3
9,02
7,28
6,78
4,87
4,93
4,96 4,972 4,94 4,87
200
229
16,6
24,8
3,9
4,8
25,2
23,9
8,3
7,9
7,1
5,3
5,85
4,53 4,75
4,2
4,45
2,1
4,73 4,71 4,76
7,8
4,76 4,731
4,73
4,76
4,83
4,92
400
441 460,9
497
550
603
622
658
685
712
67,9 38,78 41,3 81,9
169 129,8
215
278
59,3
115
263
135
218
306 340,4
379
- 51 -
Dále pro výpočet reziduálních rozptylů je proveden součin matic 𝑌𝑌△𝑇𝑇 𝑌𝑌△ . Y∆TY∆
22791498 -235511,95 -235511,95
62067,055
Výpočet reziduálního rozptylu při regresi na zahrnutých predeterminovaných proměnných je pak proveden v posloupnosti následujících kroků: a) Součin matic 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 a 𝑋𝑋∗. X* TX*
16
101,6
127,1
452,4
99,8
101,6
1073,3
777,9
3005
518,9
127,1
777,9
1028,0
3575,6
813,2
3575,6 12910,8
2760,6
452,4
3005
99,8
518,9
813,2
b) Inverze matice 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ .
2760,6
683,4
(X* TX* ) -1
24,13
-0,02
-0,47
-0,59
-0,58
-0,02
0,00
0,00
0,00
0,01
-0,47
0,00
0,09
0,00
-0,04
-0,59
0,00
0,00
0,02
0,02
-0,58
0,01
-0,04
0,02
0,06
c) Součin matic 𝑌𝑌△𝑇𝑇 a X*. Y∆TX*
17952,46
87844,23
145372,41
491868,50
119997,66
-378,42
-3635,61
-3295,20
-12274,48
-1929,20
d) Součin matice 𝑌𝑌△𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ a matice (𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ )−1 . Y∆TX* (X* TX* ) -1 5001,38
-44,58
50,37
-121,27
-91,02
813,47
1,09
-38,30
-19,55
2,10
e) Součin matice 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 a matice 𝑌𝑌△ . X* TY∆
17952,46
-378,42
87844,23
-3635,61
145372,41
-3295,20
491868,50
-12274,48
119997,66
-1929,20
- 52 -
f) Přinásobení matice 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑌𝑌△ zprava k matici 𝑌𝑌△𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ (𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ )−1 . Y∆TX* (X* TX* ) -1 X* TY∆
22624372 -232448,32
-232448,32
50340,705
g) Reziduální rozptyl při regresi na zahrnutých predeterminovaných proměnných je rozdílem matic 𝑌𝑌△𝑇𝑇 𝑌𝑌△ a matice 𝑌𝑌△𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ (𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ )−1 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑌𝑌△ . W*
167125,50
-3063,63
-3063,63
11726,35
Stejným postupem, pouze s použitím matice X místo matice 𝑋𝑋∗, je počítán reziduální rozptyl při regresi na všech predeterminovaných proměnných modelu. W
26637,348
2966,0663
2966,0663
6072,3381
Dále pro výpočet strukturálních parametrů endogenních proměnných je nutné vyjádřit matici (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘). �
167125,5 − 26637,35𝑘𝑘 −3063,632 − 2966,066𝑘𝑘
−3063,6321 − 2966,07𝑘𝑘 � 11726,35 − 6072,34𝑘𝑘
Následuje výpočet determinantu této matice.
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘) = (167125,5 − 26637,35𝑘𝑘)(11726,35 − 6072,34𝑘𝑘) − (−3063,632 − 2966,066𝑘𝑘)2
Úpravou uvedeného vztahu je získána kvadratická funkce.
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘) = 152953437𝑘𝑘 2 − 1345375307𝑘𝑘 + 1950386324
Pro nalezení kořenu „k“, při kterém je poměr reziduálních rozptylů minimální, je nutné tento determinant položit roven nule a hledat kořeny kvadratické funkce. k1 = 1,8307 k2 = 6,9652 Hledané „k“ představuje kořen s nižší hodnotou, tzn. v tomto případě k1. Ten je dosazen zpět do matice (𝑊𝑊∗ − 𝑘𝑘𝑘𝑘). W * -kW
118359,65
-8493,71
-8493,71
609,52
Parametry vysvětlujících endogenních proměnných lze poté vyčíslit vynásobením této matice vektorem parametrů β a položením daného součinu rovno nule. 1
Vektor parametrů β v odhadované 1. rovnici modelu je �𝛽𝛽 �. 13
118359,65 -8493,7058
-8493,7058
609,52394
*
1
=
β 13
0
0
- 53 -
Výsledek uvedeného součinu je následující:
118359,645 − 8493,7𝛽𝛽13 = 0 −8493,7 + 609,5𝛽𝛽13 = 0
Pro získání jednoznačné hodnoty parametru 𝛽𝛽13 jsou sečteny tyto dvě rovnice dohromady: 118359,645 − 8493,7 − 8493,7𝛽𝛽13 + 609,5𝛽𝛽13 = 0 109865,94 − 7884,2𝛽𝛽13 = 0 109865,94 𝛽𝛽13 = = −13,93 7884,2
Posledním krokem je vyčíslení parametrů predeterminovaných proměnných, a to vynásobením transponovaného vektoru parametrů β mínus jedn ičkou a následně maticí 𝑌𝑌△𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ (𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ )−1 . -1
13,93
*
5001,4
813,5
-44,6
50,4 -121,3
1,1 -38,3
-19,6
-91,0
=
6334
γ11
2,1
59,7
γ13
-584
γ14
-151
γ110
120
γ111
Odhadnutá rovnice má následující podobu: ŷ1𝑡𝑡 = 13,93𝑦𝑦3𝑡𝑡 − 6334 − 59,7𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 584𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 151𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 120𝑥𝑥11𝑡𝑡
Pro ověření správnosti výpočtu je provedena zkouška dosazením průměrů skutečných hodnot jednotlivých vysvětlujících proměnných do dané rovnice a srovnáním s průměrem skutečných hodnot vysvětlované proměnné y1. Zkouška: 1122 = 1122. 2. Proveďte ekonomickou interpretaci 1. rovnice.
3. Srovnejte parametry 1. rovnice vyčíslené pomocí DMNČ s parametry získané pomocí MPR a zdůvodněte rozdíly. DMNČ MPR
β13
γ11
γ13
- 54 -
γ14
γ110
γ111
4. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 2. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí MPR.
5. Sestavte matice a vektory potřebné pro odhad 3. rovnice modelu z příkladu č. 1 použitím MPR.
- 55 -
Úkoly k samostatnému procvičení 1. Vyčíslete parametry 2. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí MPR. 2. Vyčíslete parametry 3. rovnice modelu z příkladu č. 1 pomocí MPR. 3. Vypočítejte kořeny „k“, znáte-li matice W* a W a vyberte vhodný kořen pro výpočet strukturálních parametrů pomocí MPR. W*
W 5 10
10 72
2 0,4
0,4 40
4. Vypočítejte hodnotu parametruβ 12, znáte-li matici (W* - kW) a víte-li, že matici Y△ tvoří hodnoty proměnných y1 a y2 v uvedeném pořadí. W*-kW 15 4
4 3
5. Vyčíslete hodnotu parametrů predeterminovaných proměnných rovnice 𝑦𝑦1𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑦𝑦2𝑡𝑡 , 𝑥𝑥1𝑡𝑡 , 𝑥𝑥2𝑡𝑡 ) + 𝑢𝑢, znáte-li matici 𝑌𝑌△𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ (𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ )−1 a hodnotu parametru β12. β12 = -2 Y∆TX*(X*TX*) 5 2
-1
3 5
6. Určete, jakého rozměru bude matice W, je-li v modelu 5 predeterminovaných proměnných, z nichž jsou v dané rovnici zahrnuty tři z nich, dále jsou v odhadované rovnici dvě vysvětlující endogenní proměnné a délka časové řady je 10 let.
- 56 -
8. Cvičení Verifikace ekonometrického modelu, interpretace a aplikace 8.1 Úvod do problematiky 8.1.1 Verifikace ekonometrického modelu Odhadnutý ekonometrický model je nutné před jeho aplikací verifikovat, tzn. ověřit, zda jsou odhadnuté parametry v souladu s výchozími ekonomickými hypotézami a zda mají požadované statistické charakteristiky. Verifikace modelu se provádí jako: (i) Ekonomická verifikace V rámci ekonomické verifikace se posuzuje zejména směr a intenzita působení vysvětlujících proměnných na proměnnou vysvětlovanou. Ověřuje se zde správnost znamének a velikost číselných hodnot odhadnutých parametrů. Pokud získané parametry nejsou v souladu s předpoklady, je zpravidla nutné ověřit správnost specifikace modelu. (ii) Statistická verifikace Statistická verifikace slouží k posouzení statistické významnosti odhadnutých parametrů, jednotlivých rovnic i celého modelu. V rámci statistické verifikace se hodnotí: a. shoda odhadnutého modelu s daty, b. statistická významnost strukturálních parametrů. (iii)Ekonometrická verifikace V rámci ekonometrické verifikace se ověřují podmínky nutné pro aplikaci konkrétních ekonometrických metod, testů a technik, tj. předpoklady ekonometrického modelu. Zahrnuje např. test autokorelace náhodných složek, multikolinearity vysvětlujících proměnných. add (ii) a. Shoda odhadnutého modelu s daty Kvalita odhadnuté rovnice se v případě lineární funkce posuzuje pomocí koeficientu vícenásobné determinace R2. Tento ukazatel je založen na rozkladu celkového rozptylu vysvětlované proměnné (𝑆𝑆𝑦𝑦2 ) na rozptyl teoretický (regresní, 𝑆𝑆ŷ2 ) a reziduální (𝑆𝑆𝑢𝑢2 ): 𝑆𝑆𝑦𝑦2 = 𝑆𝑆ŷ2 + 𝑆𝑆𝑢𝑢2 (8.1) kde
𝑆𝑆𝑦𝑦2 =
∑𝑛𝑛𝑡𝑡=1(𝑦𝑦𝑡𝑡 −𝑦𝑦�)2 𝑛𝑛
,
yt jsou skutečné hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech pozorování, 𝑦𝑦� je průměr skutečných hodnot vysvětlované proměnné, 𝑛𝑛 je délka časové řady. - 57 -
(8.2)
kde
𝑆𝑆ŷ2 =
∑𝑛𝑛𝑡𝑡=1 (ŷ𝑡𝑡 −𝑦𝑦�)2 𝑛𝑛
,
(8.3)
ŷ𝑡𝑡 jsou teoretické hodnoty vysvětlované proměnné v jednotlivých letech pozorování.
𝑆𝑆𝑢𝑢2 =
∑𝑛𝑛𝑡𝑡=1(𝑦𝑦𝑡𝑡 −ŷ𝑡𝑡 )2 𝑛𝑛
.
(8.4)
Koeficient vícenásobné determinace je dán vztahem: 𝑆𝑆 2
𝑅𝑅 2 = 1 − 𝑆𝑆𝑢𝑢2
(8.5)
𝑦𝑦
Vyjadřuje se obvykle v % a udává, z kolika % jsou změny závisle proměnné vysvětleny změnami nezávisle proměnných. Hodnota R2 se pohybuje od 0% do 100%. Pokud R2 = 0%, všechny odhadnuté koeficienty jsou nulové, celkový rozptyl je roven reziduálnímu a daná funkce nevysvětluje vůbec zkoumaný vztah. Naopak R2 = 100% nastane, když všechna rezidua jsou nulová, tudíž také reziduální rozptyl je nulový a daná funkce plně vystihuje zkoumaný vztah. Protože hodnota R2 nikdy neklesne (zpravidla vždy vzroste) přidáním dalších vysvětlujících proměnných do modelu, je často používán korigovaný koeficient vícenásobné determinace: �𝑅𝑅��2� = 1 − (1 − 𝑅𝑅 2 ) 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛−𝑝𝑝
(8.6)
kde, 𝑝𝑝 je počet odhadovaných parametrů v dané rovnici. Hodnota korigovaného koeficientu determinace je zpravidla nižší, než hodnota R2. Odchylka těchto dvou koeficientů se snižuje s růstem počtu stupňů volnosti (n-p). Při ���2� liší velice málo. Při malém počtu stupňů velkém počtu stupňů volnosti se R2 a 𝑅𝑅 ���2� i záporných hodnot. V takovém případě se hodnota volnosti může nabývat 𝑅𝑅 korigovaného koeficientu vícenásobné determinace interpretuje jako nulová. Statistickou významnost modelu jako celku lze testovat pomocí F-testu, v jehož rámci se porovnává F poměr s tabulkovou hodnotou F*. Je-li F poměr větší než tabulková hodnota na zvolené hladině významnosti a při daném počtu stupňů volnosti, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti R2, a tedy shoda odhadnutého modelu s daty je statisticky významná. U nelineární funkce je jako míra těsnosti závislosti používán index determinace I2, jeho výpočet i interpretace se však shodují s R2. add ii) b. Testování statistické významnosti strukturálních parametrů Statistická významnost jednotlivých strukturálních parametrů se testuje t-testem. Při výpočtu testovacího kritéria, t poměru, je používán korigovaný reziduální rozptyl. Korekce se provádí opět počtem stupňů volnosti v daném vztahu. Korigovaný reziduální rozptyl je tedy určen jako:
��� 𝑆𝑆𝑢𝑢2 =
∑𝑛𝑛𝑡𝑡=1(𝑦𝑦𝑡𝑡 −ŷ𝑡𝑡 )2 𝑛𝑛 − 𝑝𝑝
- 58 -
.
(8.7)
a) Postup testování parametrů odhadnutých DMNČ: 𝑎𝑎𝑎𝑎 I. Sestavení kovariační matice 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏 : 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏
II.
Ŷ𝑇𝑇 Ŷ = ��� 𝑆𝑆𝑢𝑢2 � 2𝑇𝑇 2 𝑋𝑋∗ 𝑌𝑌2
−1
𝑌𝑌2𝑇𝑇 𝑋𝑋∗ � 𝑋𝑋∗𝑇𝑇 𝑋𝑋∗
𝑆𝑆11 = �� ⋮
⋯ ⋱ ⋯
⋮ �� 𝑆𝑆𝑖𝑖𝑖𝑖
Prvky na diagonále kovariační matice jsou rozptyly strukturálních parametrů Sii. Nejdříve jsou zde uvedeny rozptyly parametrů endogenních proměnných, a to v takovém pořadí v jakém vytváří jednotlivé endogenní proměnné matici Y2. Následují rozptyly strukturálních parametrů predeterminovaných proměnných, a to v takovém pořadí v jakém tvoří jednotlivé predeterminované proměnné matici 𝑋𝑋∗. Vyčíslení standardních chyb jednotlivých parametrů jako odmocniny prvků z diagonály: Sbi = √𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆.
III.
Vyčíslení t-hodnoty:
IV.
𝑡𝑡 =
|𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖 | |𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖 | ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 = = 𝑐𝑐ℎ𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏
Porovnání t-hodnoty s tabulkovou hodnotou t-testu na zvolené hladině významnosti s přihlédnutím k příslušnému počtu stupňů volnosti. Je-li t > tα, zamítá se nulová hypotéza o statistické nevýznamnosti parametrů. Vysvětlující proměnná je z hlediska svého vlivu na vysvětlovanou proměnnou na hladině významnosti α a při (n-p) stupních volnosti významnou proměnnou. Je-li t < tα, s pravděpodobností 100(1-α)%, není odhad parametru statisticky významný, tj. statisticky významně odlišný od nuly.
b) Postup testování parametrů odhadnutých MPR: I. Vytvoření matice X, složené ze všech vysvětlujících proměnných (predeterminovaných i endogenních) v dané rovnici. II. Výpočet testovací matice (XTX)-1. III. Výpočet kovariační matice: 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑇𝑇 −1 2 ���� 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑆𝑆 𝑢𝑢 (𝑋𝑋 𝑋𝑋) Prvky na diagonále této matice jsou rozptyly strukturálních parametrů Sii, a to v takovém řazení v jakém vstupují jednotlivé proměnné do matice X. IV. Vyčíslení standardních chyb jednotlivých parametrů jako odmocniny prvků z diagonály kovariační matice. V. Vyčíslení t-hodnoty. VI. Porovnání t-hodnoty s tabulkovou hodnotou t testu. Zamítnutí nulové hypotézy ještě neznamená, že odhady strukturálních parametrů jsou přesnými odhady skutečných hodnot strukturálních parametrů. Pro určení stupně shody skutečné hodnoty parametru s odhadem se stanovuje interval spolehlivosti, tzv. konfidenční interval. Neboli hledají se meze, v nichž se bude skutečná hodnota parametru při opakovaných výběrech nacházet s určitým stupněm spolehlivosti, tj. s určitou zvolenou pravděpodobností. - 59 -
Intervalový odhad parametrů se stanovuje pomocí vztahu: 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝛽𝛽𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝛾𝛾𝑖𝑖𝑖𝑖 ∓ 𝑡𝑡𝛼𝛼 𝑆𝑆𝑏𝑏𝑏𝑏
(8.8)
Odhadnutý parametr se významně liší od nuly, pokud tento interval nulu neobsahuje. Obsahuje-li konfidenční interval nulu, je parametr statisticky nevýznamný. 8.2 Praktická cvičení Úkoly 1. Proveďte ekonomickou verifikaci 1. rovnice modelu ze cvičení č. 6 - Odhad modelu pomocí DMNČ. ŷ1𝑡𝑡 = −1,07𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 5868,9 − 43,42𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 9,53𝑥𝑥4𝑡𝑡 − 142,12𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 88,78𝑥𝑥11𝑡𝑡
2. Proveďte statistickou verifikaci rovnice z příkladu č. 1. Řešení: a) Pro testování shody odhadnuté rovnice s daty jsou nejprve vypočítány teoretické hodnoty vysvětlované proměnné y1, a to dosazením skutečných hodnot vysvětlujících proměnných do odhadnuté rovnice. Dále je vyčíslena odchylka skutečných hodnot od průměru a odchylka teoretických hodnot od skutečných. Následuje umocnění vyčíslených odchylek druhou mocninou a jejich součet. y1
ŷ1
y1 -ÿ1
(y 1 -ÿ 1 )2
y1 -ŷ1
(y1 -ŷ1 )2
411,849
431,399
-710,179 504354,888
-19,550
382,221
531,725
637,251
-590,303 348458,193
-105,526
11135,713
592,715
676,245
-529,313 280172,755
-83,530
6977,214
761,867
778,093
-360,161 129716,289
-16,226
263,298
900,813
750,652
-221,215
48936,287
150,161
22548,415
983,544
1007,579
-138,484
19177,950
-24,035
577,677
1056,131
932,581
-65,897
4342,477
123,550
15264,683
1102,201
1280,652
-19,827
393,129
-178,451
31844,758
1181,920
1094,856
59,892
3586,995
87,064
7580,200
1255,014
1114,852
132,986
17685,150
140,162
19645,419
1288,474
1373,497
166,446
27704,113
-85,023
7228,846
1345,197
1518,818
223,169
49804,190
-173,621
30144,290
1464,086
1417,677
342,058 117003,350
46,409
2153,840
1488,689
1513,968
366,661 134439,940
-25,279
639,029
1622,135
1494,848
500,107 250106,536
127,287
16201,895
1966,096
1929,489
844,067 712449,327
36,607
1340,070
Suma
- 60 -
Pro výpočet celkového a reziduálního rozptylu je dále zapotřebí určit délku časové řady, která je v tomto případě 16 let. Celkový rozptyl je poté roven podílu sumy čtverců odchylek skutečných hodnot 2 vysvětlované endogenní proměnné od průměru ((𝑦𝑦1 − 𝑦𝑦 ���) = 2648332) a počtu let 1 časové rady (n = 16), tj. 𝑆𝑆𝑦𝑦2 = 165520,7.
Reziduální rozptyl je roven podílu sumy čtverců odchylek teoretických hodnot od skutečných hodnot vysvětlované endogenní proměnné ((y1-ŷ1)2 = 173927,6) a počtu let časové řady (n = 16), tj. 𝑆𝑆𝑢𝑢2 = 10870,47. 10870 ,47 Koeficient vícenásobné determinace, tj. R2 = �1 − 165520 ,7� ∗ 100 = 93,43%.
Pro výpočet korigovaného koeficientu vícenásobné determinace je nutné stanovit počet stupňů volnosti, odečtením počtu odhadovaných parametrů v dané rovnici od délky časové řady, tj. 16 – 6 = 10. Korigovaný koeficient vícenásobné determinace pak nabývá hodnoty 90,15%, 16−1 tj. �𝑅𝑅��2� = 1 − (1 − 0,9343) 10 . b) Pro otestování statistické významnosti strukturálních parametrů je vyčíslen korigovaný reziduální rozptyl, jako podíl sumy čtverců odchylek teoretických hodnot od skutečných a počtu stupňů volnosti, tj. ��� 𝑆𝑆𝑢𝑢2 = 17392,76.
Tímto korigovaným reziduálním rozptylem jsou násobeny prvky na diagonále matice K-1 (K-1 lze označit jako Cii), použité při výpočtu strukturálních parametrů. K-1 0,0002
-0,1439
-0,0002
0,0068
0,0035
-0,0004
-0,1439
141,1710
0,1359
-5,9802
-3,4004
-0,2737
-0,0002
0,1359
0,0052
-0,0111
-0,0051
0,0096
0,0068
-5,9802
-0,0111
0,3531
0,1320
-0,0526
0,0035
-3,4004
-0,0051
0,1320
0,0854
0,0082
-0,0004
-0,2737
0,0096
-0,0526
0,0082
0,0627
3,07618 2455353 90,2258 6141,155 1485,498 1090,937
Odmocniny těchto prvků tvoří standardní chybu odhadu strukturálních parametrů. Velikost t-hodnoty je stanovena jako podíl absolutní hodnoty strukturálního parametru a jeho standardní chyby. Vyčíslená t-hodnota je dále porovnána s tabulkovou hodnotou t-testu stanovenou na hladině významnosti 10% a 5% při 10 stupních volnosti, tj. t0,1 = 1,8121; t0,05 = 2,2281. - 61 -
Je-li t-hodnota vyšší než tabulková hodnota, je parametr průkazný (významný), v opačném případě neprůkazný (nevýznamný). β13 Sbi
γ11
γ13
γ14
γ110
γ111
1,753904 1566,957 9,498724 78,36552 38,54216 33,02933
abs parametr t-hodnota 90% 95%
1,066446 5868,896 43,42332 0,608041 3,74541 4,57149 N P P N P P
9,528851 0,121595 N N
142,1154 3,687272 P P
88,77884 2,687879 P N
3. Proveďte interpretaci výsledků příkladu č. 1 a navrhněte vhodnou úpravu pro zkvalitnění dané rovnice. 4. Vyčíslete intervaly spolehlivosti pro všechny parametry z příkladu č. 1.
5.
Proveďte ekonomickou a statistickou verifikaci 1. rovnice, odhadnuté pomocí MPR. ŷ1𝑡𝑡 = 13,93𝑦𝑦3𝑡𝑡 − 6334 − 59,7𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 584𝑥𝑥4𝑡𝑡 + 151𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 120𝑥𝑥11𝑡𝑡 ŷ1
y1
411,8
666,937
531,7
133,252
592,7
1193,16
761,9
712,186
900,8
271,339
983,5
885,998
1056,1
1712,59
1102,2
1539,78
1181,9
912,747
1255,0
1074,39
1288,5
1284,33
1345,2
750,868
1464,1
1075,85
1488,7
1890,92
1622,1
1986,54
1966,1
1861,56
y1 -ÿ1
(y1-ÿ1) 2
Průměr Suma Délka časové řady Počet stupňů volnosti Reziduální rozptyl Korigovaný reziduální rozptyl Celkový rozptyl Koeficient vícenásobné determinace Korigovaný koeficient vícenásobné determinace
- 62 -
y 1 -ŷ 1
(y 1 -ŷ 1 ) 2
Matice X vznikla z vektorů v pořadí x1, x3, x4, x10, x11, y3. -1
T (X X) 80,565 0,055 -3,127 -1,944
0,055 0,005 -0,007 -0,003
-3,127 -0,007 0,219 0,063
-1,944 -0,003 0,063 0,050
-0,431 0,009 -0,045 0,012
-0,069 0,000 0,003 0,002
-0,431 -0,069
0,009 0,000
-0,045 0,003
0,012 0,002
0,062 0,000
0,000 0,00009
γ11
γ13
γ14
γ110
γ111
β13
Sbi abs parametr t poměr 90% 95%
6.
Převeďte následující model do redukovaného tvaru:
ŷ1𝑡𝑡 = −1,07𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 5868,9 − 43,42𝑥𝑥3𝑡𝑡 + 9,53𝑥𝑥4𝑡𝑡 − 142,12𝑥𝑥10𝑡𝑡 − 88,78𝑥𝑥11𝑡𝑡 ŷ2𝑡𝑡 = −0,17𝑦𝑦3𝑡𝑡 − 1020,8 − 40,7𝑥𝑥5𝑡𝑡 + 408,42𝑥𝑥12𝑡𝑡 ŷ3𝑡𝑡 = 0,06𝑦𝑦1𝑡𝑡 − 99,27 + 0,08𝑥𝑥15𝑡𝑡 ŷ4𝑡𝑡 = 𝑦𝑦1𝑡𝑡 + 𝑦𝑦2𝑡𝑡 + 𝑦𝑦3𝑡𝑡 + 𝑥𝑥13𝑡𝑡
- 63 -
Úkoly k samostatnému procvičení 1. Otestujte 2. rovnici modelu odhadnutou pomocí DMNČ. 2. Otestujte 3. rovnici modelu odhadnutou pomocí DMNČ. 3. Proveďte statistickou verifikaci 1. rovnice modelu: y1t = fce (y2t, x1t, x2t) + u1t y2t = fce (y1t, x1t, x3t) + u2t, znáte-li skutečné hodnoty proměnných, hodnoty odhadnutých parametrů pomocí DMNČ a matici K-1. y1
Průměr
y2 4 3 5 3,5 3,875
x1 1,5 1,8 1,4 1,3 1,5
x2 1 1 1 1 1
x3 0,5 0,6 0,4 0,7 0,55
-1
K 34,9481 -52,4221 -52,422 84,9332 2,6E-13 -11
2,5E-13 -11 20
-3,0882 β12 11,5324 γ11 -5,5 γ12
4. Převeďte následující model do redukovaného tvaru: ŷ1t = 3y2t + 0,5x1t + 2x2t ŷ2t = 0,3x1t + 0,7x3t. 5. Převeďte následující model do redukovaného tvaru: ŷ1t = 3y2t + 1,5x1t + 2x2t ŷ2t = 0,5y1t + 0,3x1t + 0,7x3t.
- 64 -
1,1 2,1 2 3 2,05
9. Cvičení Konstrukce nelineárních spotřebních funkcí 9.1 Úvod do problematiky Spotřebu jednotlivých statků (komodit) je možné modelovat s pomocí lineárních či nelineárních funkcí. Nevýhodou použití lineárních funkcí je jejich vyjádření neomezeného růstu spotřeby v závislosti na růstu příjmu, což zcela neodpovídá skutečnému vývoji spotřeby zejména potravinářských výrobků. Toto lze eliminovat právě pomocí nelineárních funkcí, jako např. funkce mocninné, semilogaritmické či hyperbolické. Mocninný tvar funkce má i další výhodu – jednotlivé exponenty této funkce zároveň vyjadřují koeficienty pružnosti. Obecné tvary vybraných nelineárních funkcí jsou následující: - funkce mocninná
yi = ax1 b . x2 c . uik
v linearizované formě ve tvaru:
ln yi = ln a + b.ln x1 + c.ln x2 + k.ln ui
- funkce semilogaritmická
y = a1 + a2 ln x a a1 − 2 x
nebo její další tvar ve formě
yi = e
v linearizované formě ve tvaru:
a ln yi = a1 − 2 x
s pružností ve tvaru s pružností ve tvaru
Ei =
a2 y
Ei =
a2 x
Pro modelování spotřeby v závislosti na příjmu, zejména nezbytných a relativně zbytných statků, je vhodné použití funkcí, které umožňují vyjádřit hladinu nasycenosti. Toto obecně umožňují tzv. Engelovy funkce (lineární ani mocninná funkce toto neumožňují). Obecně lze definovat tři základní požadavky na tento typ funkcí. Funkce: a) by měly umožnit vyjádřit počáteční úroveň příjmu, tj. takový příjem, při kterém se spotřeba určitého výrobku nevyskytuje, b) by měly sledovat tendenci k nasycenosti spotřeby při dosažení určité výše příjmu, c) by neměly vyjadřovat záporné výdaje při libovolné výši příjmu. Pro zkoumání spotřeby v závislosti na příjmu se často používá speciálních funkcí, tzv. Tornquistových funkcí (TQ). Jejich tvar je následující:
xp
1. Tornquistova funkce:
y i = a1
2. Tornquistova funkce:
y i = a1
3. Tornquistova funkce:
y i = a1x p
a2 + x p
x p −a 3 + ui a2 + x p
x p −a 3 + ui a2 + x p
- 65 -
s pružností ve tvaru:
Ei =
a2 (x p + a 2 )
Odhad parametrů nelineárních funkcí je možné provést pomocí různých metod, a to i včetně BMNČ, která vyžaduje linearizovanou formu modelu. To znamená, že po provedení vhodné transformace lze odhad parametrů některých nelineárních funkcí provést BMNČ. V případě mocninné či semilogaritmické funkce lze pro převedení do linearizované podoby použít logaritmickou transformaci, v případě 1. TQ substituci. Linearizaci 1. TQ lze provést pomocí následujících substitučních vztahů:
1 a2 + x p a2 1 1 = = + yi a1 x p a1 x p a1
1 = y 1′ y1
Linearizovaná podoba 1.TQ funkce pak má tvar:
1 = x ′p xp
1 = a1′ a1
a2 = a 2′ a1
y 1′ = a1′ + a 2′ x ′p
(Matice X a vektor y pro odhad linearizované 1. TQ obsahují reciproké hodnoty původních proměnných.)
9.2. Praktická cvičení Analýza nelineárních spotřebních funkcí vychází z následujícího ekonomického modelu, který vyjadřuje závislost spotřeby vepřového masa na spotřebitelské ceně vepřového masa, spotřebitelské ceně drůbežího masa a příjmu. Model dále obsahuje konstantu. Ekonomický model: SpVM = fce (SpC VM, SpC DM, Příjem). Podkladová data, která byla použita pro odhad parametrů mocninné a semilogaritmické funkce metodou BMNČ, vychází ze SRÚ. Skutečné hodnoty podkladových údajů
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Sp VM kg 8,67 8,52 8,45 9,9 10,2 9,32 9,35 9,95 10,45 10,27 11,18
SpC VM Kč/kg 85 90,28 92,07 84,25 80,56 89,96 101,66 89,89 82,8 85,43 85,3
SpC DM Kč/kg 53,35 63,64 71,96 74,5 56,42 61,79 71,27 62,4 60,66 62,63 62,73
Příjem tis. Kč/ob. 72,3066 72,8801 82,7072 83,9766 86,237 89,056 95,9531 99,4625 104,5126 108,9004 116,5735
Průměr
9,66
87,93
63,76
92,05
Rok
- 66 -
Logaritmické hodnoty podkladových údajů
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Sp VM 2,16 2,14 2,13 2,29 2,32 2,23 2,24 2,3 2,35 2,33 2,41
SpC VM 4,44 4,5 4,52 4,43 4,39 4,5 4,62 4,5 4,42 4,45 4,44
SpC DM 3,98 4,15 4,28 4,31 4,03 4,12 4,27 4,13 4,11 4,14 4,14
Příjem 4,28 4,29 4,42 4,43 4,46 4,49 4,56 4,6 4,65 4,69 4,76
Průměr
2,26
4,48
4,15
4,49
Rok
1. Vysvětlete obsah matice X a vektoru y pro odhad parametrů výše definované funkce v mocninném tvaru pomocí BMNČ. y 2,16 2,14 . . 2,33 2,16
X 1 1 . . 1 1
4,44 4,5 . . 4,45 4,44
3,98 4,15 . . 4,14 4,14
4,28 4,29 . . 4,69 4,76
2. Vysvětlete obsah matice X a vektoru y pro odhad parametrů výše definované funkce v semilogaritmickém tvaru pomocí BMNČ. y 8,67 8,52 . . 10,27 11,18
X 1 1 . . 1 1
- 67 -
4,44 4,5 . . 4,45 4,44
3,98 4,15 . . 4,14 4,14
4,28 4,29 . . 4,69 4,76
3. Pomocí BMNČ byly odhadnuty následující parametry. Zapište linearizovanou formu mocninné funkce i samotnou mocninnou funkci a proveďte ekonomickou a statistickou interpretaci. Parametry MOC
2,68326 -0,60964 0,02426 0,489275
14,6327 Zkouška
9,66 2,26
= =
Korigovaný rez. rozptyl R2 - korig.
9,66 2,26
0,00138 0,8355
JV SpC VM SpC DM Příjem Parametr 2,68326 -0,60964 0,02426 0,489275 t-hodnota 2,94165 -2,76456 0,17675 6,43455 V/N V V N V Pro 7 stupňů volnosti a 5 % hladinu významnosti je kritická hodnota t-testu 2,36 Linearizovaný tvar mocninné funkce:
Mocninná funkce:
4. Přesvědčte se výpočtem, že u mocninné funkce exponenty vyjadřují koeficienty pružnosti.
- 68 -
5. Zapište semilogaritmickou funkci vyjadřující výše uvedenou závislost a proveďte její ekonomickou a statistickou verifikaci. Parametry SEMILOG
14,87502 -6,16874 0,33338 4,655213
Zkouška
9,66
=
Korigovaný rez. rozptyl R2 - korig.
9,66
0,114926 0,8507
JV SpC VM SpC DM Příjem Parametr 14,87502 -6,16874 0,33338 4,655213 t-hodnota 1,78869 -3,06832 0,26642 6,71514 V/N N V N V Pro 7 stupňů volnosti a 5 % hladinu významnosti je kritická hodnota t-testu 2,36
6. Vysvětlete rozdíl při výpočtu konstanty u mocninné a semilogaritmické funkce.
7. Porovnejte a zhodnoťte výsledky statistické verifikace mocninné a semilogaritmické funkce.
- 69 -
8. Vypočítejte koeficienty pružnosti u semilogaritmické funkce.
9. Definujte obsah matic a vektorů nezbytných pro odhad parametrů pomocí BMNČ mocninné a semilogaritmické funkce vyjadřující následující závislosti: Sp HM = fce (SpC HM, SpC VM, Příjem) + ui
Sp DM = fce ( SpC DM, SpC VM, SpC HM, Příjem) + ui
10. Podklady pro výpočty a analýzu 1. Tornquistovy funkce obsahují údaje za rok 2004. Jednotlivé proměnné mají následující deklaraci: čisté peněžní příjmy za rok na obyvatele v tis. Kč výdaje za hovězí maso za rok na obyvatele v tis. Kč spotřeba hovězího masa za rok na obyvatele v kg výdaje za vepřové maso za rok na obyvatele v tis. Kč spotřeba vepřového masa za rok na obyvatele v kg výdaje na drůbeží maso za rok na obyvatele v tis. Kč spotřeba drůbežího masa za rok na obyvatele v kg
x1 y1 y2 y3 y4 y5 y6
Údaje jsou převzaty ze Statistiky rodinných účtů roku 2004, přičemž jsou členěny do deseti příjmových skupin a lze z nich tedy analyzovat vliv příjmu na výdaje resp. naturální spotřebu jednotlivých druhů nebo skupin potravin. Uvedená forma podkladových údajů se nazývá průřezové šetření, protože sleduje změny ve spotřebě v rámci jednoho roku v několika samostatných skupinách, v tomto případě v příjmových skupinách v domácnostech zaměstnanců. Příjm.sk. x1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
56,77 72,117 81,424 87,787 93,888 101,815 110,723 126,083 151,390 207,007
y1
161
228
280
296
261
346
295
351
388
439
y2
1,45
2,03
2,6
2,68
2,38
3,14
2,59
3,09
3,3
3,72
y3
601
698
846
848
866
942
939
961
1000
1082
y4
7,24
8,03
10,52
10,12
10,31
10,62
11,38
10,88
11,36
12,22
y5
600
734
880
843
868
1031
968
1036
1121
1173
y6
9,89
11,99
14,87
14,12
14,45
16,23
14,95
16,03
17,25
17,36
- 70 -
11. Uveďte obsah matice X a vektoru y pro odhad 1. TQ popisující spotřebu hovězího masa, a to jak v naturálním, tak peněžním vyjádření, pro odhad parametrů pomocí BMNČ.
12. Kvantifikujte a interpretujte 1. TQ funkce pro vztah vyjadřující: a) závislost výdajů za hovězí maso na velikosti příjmů, jsou-li její linearizované parametry následující a1´= 0,0005486 a2´= 0,287204
b) závislost naturální spotřeby hovězího masa v kg na velikosti příjmů, jsou-li její linearizované parametry následující a1´= 0,08032991 a2´= 30,3476
13. Na základě rovnic z bodu 12. vypočítejte teoretickou výši výdajů za hovězí maso a naturální spotřebu v kg pro první a poslední příjmovou skupinu.
14. Vypočítejte příjmovou pružnost pro obě proměnné v těchto bodech a vyhodnoťte ji.
- 71 -
15. Na základě podkladových údajů vypočítejte v jednotlivých příjmových skupinách průměrné spotřebitelské ceny za kg hovězího masa. Přesvědčte se, zda je lze použít pro stanovení hladiny nasycenosti v příkladu č. 13.
16. Vypočítejte na jakou úroveň a o kolik kg se zvýší spotřeba v obou krajních skupinách, dojde-li v nich ke zvýšení příjmu na osobu: a) o 1000,- Kč
b) o 10 % proti úrovni posledního roku.
17. Porovnejte následující funkce, vyhodnoťte je jak z hlediska ekonomického, tak z hlediska statistického. Lineární funkce pro drůbeží maso Rovnice výdaje v Kč/obyv. spotřeba v kg/obyv.
yi = 536,56 + 0,0036 x p + ui
0,89
koeficient příjmové pružnosti 0,42 %
yi = 10,03 + 0,00004 x p + ui
0,81
0,29 %
Tornquistovy funkce pro drůbeží maso poptávka yi … spotřeba v kg/obyv. 1.TQ R2 2.TQ a1 23,86 0,91 a1 a2 62 323,56 a2 a3 poptávka yi … výdaje v Kč/obyv. 1.TQ R2 2.TQ a1 1 786,76 0,95 a1 a2 94 296,81 a2 a3
R2
19,3 -23 799,8 40 051,4
1 480,01 1 457,1 32 500,5
- 72 -
R2 0,96
3.TQ a1 a2 a3
R2 0,98
3.TQ a1 a2 a3
0,000 003 85 57 196,5 -5 888 000
0,000 287 86 865,1 -5 872 000
R2 0,91
R2 0,95
10. Cvičení Konstrukce produkčních funkcí 10.1 Úvod do problematiky Produkční funkce z mikroekonomického pohledu vyjadřuje technologický vztah faktor produkt, tj. vyjadřuje přeměnu jednoho (jednofaktorová produkční fce) nebo více výrobních faktorů (dvou a vícefaktorová produkční fce) ve výslednou produkci. V závislosti na charakteru vztahu faktor – produkt a účelu analýzy lze použít různé typy funkcí (viz např. Cobb-Douglasova produkční funkce, translog produkční funkce, CES produkční funkce apod.), přičemž vysvětlující i vysvětlované proměnné jsou zpravidla uváděny v naturálních jednotkách. Neoklasická produkční funkce má progresivně-degresivní průběh a reprezentuje typický průběh produkční funkce. Produkční funkce je vhodným nástrojem pro ekonomickou analýzu na podnikové, odvětvové i národohospodářské úrovni. Odhad konkrétního tvaru zvoleného typu produkční funkce s využitím ekonometrických postupů je proto prvním krokem v navazující analytické činnosti. V nejjednodušším pojetí lze produkční funkci chápat jako jednofaktorovou produkční funkci, kterou lze obecně zapsat jako: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥1 //𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) , (10.1) kde
y x1 x2 . . . .xn
produkce v naturálním vyjádření, variabilní faktor, jehož působení na produkci funkce popisuje, stálé faktory, jejichž vliv na produkci je v dané funkci neměnný.
Po odhadu parametrů produkční funkce lze odvodit její základní charakteristiky: jednotkovou produkci, mezní produkci a produkční pružnost. Jednotková produkce, označovaná taktéž jako průměrná produkce (z angl. average production „AP“), je definována jako takové množství produkce, které připadá na každou spotřebovanou jednotku výrobního faktoru. AP =
y x
(10.2)
Mezní produkce (z angl. marginal production „MP“), je přírůstkem množství produkce, které přinese využití dodatečné jednotky faktoru. Představuje poměr změny produkce ke změně faktoru. Z odhadnuté produkční funkce ji lze odvodit pomocí derivace funkce v daném bodě. MP =
∆y ∆x
resp. MP =
δ y δx
(10.3)
Produkční pružnost (z angl. elasticity of production „Ep“) vyjadřuje změnu produkce v procentech, změní-li se využívané množství faktoru o jedno procento. Přibližně ji lze vyčíslit pomocí vztahů pro bodovou či intervalovou pružnost. Při znalosti analytického tvaru funkce ji lze odvodit pomocí derivace funkce v daném bodě. EP =
δ y x ⋅ δ x yˆ
- 73 -
(10.4)
Kriterium optimality je podmínkou, která musí být splněna při požadavku na dosahování maximálního objemu zisku. Vyjadřuje bod, ve kterém je cena přírůstku spotřeby faktoru na poslední jednotku produkce právě rovna příjmu za poslední jednotku produkce. Cx · MP = MR = Cy, z čehož plyne MP =
Cx – cena za jednotku faktoru Cy – cena za jednotku produkce MR – mezní příjem y – množství produkce v naturálních jednotkách x – množství spotřebovaného faktoru příjem R = Cy · y, MR = Cy
δ y Cx = δ x Cy
10.2. Praktické cvičení 1. Na základě podkladových údajů uvedených v příloze č. 3 byly odhadnuty parametry jednofaktorové nelineární produkční funkce, definované v obecném tvaru: 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑥𝑥 2 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 3
vyjadřující závislost y – přírůstku ( kg/KD) na x - spotřeba krmných směsí ( kg/KD). Výsledný tvar odhadnuté funkce má následující průběh:
Průběh odhadnuté produkční funkce 0,83 y = -0,2788x3 + 1,7783x2 - 3,6307x + 3,1043
0,81 Přírůstek v kg/KD
0,79 0,77 0,75 0,73 0,71 0,69 0,67 1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
2,7
2,9
Spotřeba KS v kg/KD
2. Vyhodnoťte výsledek regrese a vypočítejte přírůstek v kg na krmný den při dosahované spotřebě krmných směsí na krmný den 2 kg a 2,5 kg.
- 74 -
3. Odvoďte funkci jednotkové produkce (AP) a vysvětlete ji.
4. Odvoďte funkci mezní produkce (MP) a vysvětlete ji.
5. Graficky znázorněte průběh mezní a jednotkové produkce (MP, AP) tak, aby alespoň přibližně reflektoval průběh odhadnuté produkční funkce. y
x
AP MP
x
- 75 -
6. Stanovte spotřebu krmných směsí, při které je mezní produkce (MP): a) v maximu a vysvětlete ekonomický význam této hodnoty, b) rovna nule a interpretujte její ekonomický význam.
7. Navrhněte dva způsoby pro výpočet spotřeby krmných směsí, při které je jednotková produkce (AP) v maximu.
8. Teoreticky vymezte stádium racionality uvažované produkční funkce.
9. Vypočítejte bodovou a obloukovou pružnost produkční funkce při uvažované změně výrobního faktoru z příkladu č. 2 a zdůvodněte rozdíl mezi hodnotami bodové a intervalové pružnosti.
10. Určete hodnotu produkční pružnosti funkce (Ep) pro uvažované úrovně spotřeby krmných směsí z příkladu č. 2 a vysvětlete rozdíl oproti výsledku předcházejícího příkladu.
11. Stanovte, v jaké výši musí být spotřeba krmných směsí na krmný den, aby výrobce dosahoval maximálního zisku za podmínky, že cena jatečních prasat je 38,- Kč/kg ž.hm. při ceně krmných směsí 8900,- Kč/t.
12. Určete, v jaké výši budou tržby a náklady na krmiva (v přepočtu na KD) v bodě maxima zisku.
- 76 -
11. Cvičení Konstrukce nákladových funkcí a odvození nabídkové funkce 11.1 Úvod do problematiky Nákladová funkce je závislost množství celkových nákladů – vysvětlovaná proměnná (angl. total costs „TC“) na velikosti produkce – vysvětlující proměnná, přičemž náklad je peněžním vyjádřením množství vstupů do výroby a produkce je vyjádřena v naturálních jednotkách. Z uvedené definice následně plyne, že nákladová funkce je při dodržení podmínky neměnnosti cen faktorů funkcí inverzní k produkční funkci, přičemž je posunutá o velikost fixních nákladů. V případě progresivně-degresivní produkční funkce je tedy průběh nákladové funkce degresivně-progresivní se změnou umístění v kartézské soustavě souřadnic o velikost fixních nákladů. Celkové náklady (TC) lze podle různých kritérií dekomponovat na jednotlivé nákladové položky. Pro účely konstrukce nabídkové funkce je vhodné rozdělení na náklady fixní (z angl. fixed costs „FC“) a náklady variabilní (z angl. variable costs „VC“). Náklady fixní (FC) jsou ty nákladové položky, jejichž rozsah je při změnách objemu produkce v určitém intervalu neměnný (fixní). Náklady variabilní (VC) jsou ty nákladové položky, jejichž rozsah je při změnách objemu produkce proměnlivý (variabilní). Proměnlivost spotřeby variabilních faktorů může být popsána různým typem závislosti (lineární, progresivní, degresivní) a právě tento typ závislosti následně určuje průběh celkových nákladů. Celkové náklady (TC) jsou tedy součtem nákladů fixních (FC) a variabilních (VC): 𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝑉𝑉𝑉𝑉
Tvar nákladové funkce je dán průběhem nákladů variabilních, přičemž počátek nákladové křivky je posunut právě o velikost FC, které vznikají i při nulové produkci. Při znalosti analytického tvaru funkce nákladů (tedy po odhadu parametrů dané funkce) lze odvodit charakteristiky nákladové funkce, které lze využít v navazující ekonomické analýze. Jednotkové náklady, označované též jako průměrné náklady (z angl. average costs „AC“), jsou průměrnými náklady vynaloženými na každou jednotku celkové produkce. AC =
TC y
(11.1)
Mezní náklady, zvané též marginální náklady (z angl. marginal costs „MC“), jsou určeny přírůstkem nákladů vynaložených na dosažení každé další jednotky produkce (při znalosti tvaru nákladové funkce je lze odvodit derivací funkce v daném bodě). MC =
∆ TC ∆y
resp. MC =
- 77 -
δ TC δy
(11.2)
Kriterium optimality - maximální objem zisku je dosahován při takovém množství produkce, které je určeno rovností mezních tržeb (MR) a mezních nákladů (MC). Přičemž v podmínkách dokonalé konkurence platí, že mezní tržby se rovnají ceně produkce (P). V dokonalé konkurence lze kritérium optimality zapsat jako rovnost mezi cenou produkce (P) a mezních nákladů (MC). MR = MC ⇒ P = MC Znalost nákladové funkce je v podmínkách dokonalé konkurence předpokladem pro odvození mikroekonomické nabídkové funkce. Za předpokladu, že se výrobci (nabízející) snaží dosahovat maximálního objemu zisku, jsou při ceně produktu dané trhem (P) ochotni vyrábět pouze takové množství produkce, při kterém náklady na poslední jednotku produkce budou stejné s příjmy z poslední jednotky produkce. Vstupem nových výrobců do odvětví mohou být producenti s množstvím nabízené produkce stlačeni až k bodu minimálních jednotkových nákladů (AC) – vliv konkurence snižuje objem zisku. Naopak při růstu ceny mohou výrobci nabízet i produkci s vyššími mezními náklady, a proto zvyšují množství produkce. Za uvedených předpokladů lze nabídkovou funkci nahradit rostoucí částí funkce mezních nákladů od bodu, kde se mezní a jednotkové náklady protínají, tj. od minima AC. 11.2. Praktická cvičení 1. Z podkladových údajů uvedených v příloze č. 4 byla vypočtena nelineární nákladová funkce, definovaná v obecném tvaru: 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐𝑥𝑥 2 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 3
vyjadřující závislost y – nákladů ( Kč/kg/KD) na x – hmotnostním přírůstku ( kg/KD). Výsledný tvar odhadnuté funkce má následující průběh:
Průběh odhadnuté nákladové funkce 31,00
Náklady v Kč/kg/KD
29,00
y = 9694,2x3 - 20583x2 + 14570x - 3417,6
27,00 25,00 23,00 21,00 19,00 17,00 15,00 0,600
0,650
0,700
0,750
0,800
0,850
Přírůstek v kg/KD
2. Vypočítejte výši nákladů na krmný den při dosahovaném denním přírůstku 0,665 kg a 0,775 kg.
- 78 -
3. Odvoďte funkci jednotkových nákladů (AC).
4. Odvoďte funkci mezních nákladů (MC).
5. Graficky znázorněte průběh mezních a jednotkových nákladů (MC, AC) tak, aby alespoň přibližně reflektovaly průběh odhadnuté nákladové funkce. TC
y
AC MC
y
- 79 -
6. Naznačte matematicky výpočet bodu, v němž budou Přírůstek minimální jednotkové náklady. Zjistěte tento bod graficky, 0,68 pomocí hodnot uvedených v následující tabulce:
AC MC
přírůstek
0,68 0,69 0,69 0,69 0,70 0,71 0,71 0,71 0,72 0,72 0,73 0,74 0,74 0,74 0,75 0,77 0,78
AC 29,88 29,88 29,72 29,69 29,60 29,35 29,09 29,05 29,01 28,69 28,60 28,45 28,35 28,35 28,39 28,54 29,83 30,96
MC 21,22 21,22 11,10 10,10 7,43 3,26 1,94 1,98 2,08 5,62 7,84 13,86 30,34 32,18 40,15 53,85 111,04 145,46
7. Stanovte úroveň přírůstku, při němž lze dosáhnout maximálního objemu zisku, víte-li, že nákupní cena vepřového masa je 39 Kč za 1kg živé hmotnosti jatečního kusu.
8. Vypočítejte, jaká je při maximálním objemu zisku míra zisku (tj. kolik činí tento zisk na každý kg přírůstku).
- 80 -
9. Určete, k jaké změně v úrovni denního přírůstku stimuluje nákupní cena za 1kg přírůstku, zvýší-li se ze 39 Kč/kg na 45 Kč/kg živé hmotnosti.
10. Určete pružnost nabídky v uvažovaném intervalu v příkladu č. 9.
11. Fixní náklady na jeden krmný den dosahují v uvedeném souboru v průměru výše 7,45 Kč/KD. Určete jejich podíl v celkových nákladech při přírůstku 0,6 kg/KD a 0,7 kg/KD.
Úkol k samostatnému procvičení Dle obecného průběhu mezních a jednotkových nákladů při časovém rozlišení krátkého a dlouhého období zjistěte, jaký je rozdíl mezi křivkou nabídky v relativně krátkém a relativně dlouhém období. Uvedenou situaci znázorněte graficky a definujte počátek nabídkové funkce.
- 81 -
12. Cvičení Konstrukce vícefaktorové produkční funkce 12.1 Úvod do problematiky Produkční funkce vyjadřující současný vliv více (v tomto případě dvou) variabilních faktorů lze v obecném tvaru zapsat: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 //𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )
kde
,
y
reprezentuje produkci v naturálním vyjádření
x1, x2
představují nezávisle proměnné (vybrané variabilní faktory)
x3 … xn
jsou variabilní faktory, jež jsou považovány v dané funkci za neměnné.
Grafickým zobrazením dvoufaktorové produkční funkce je produkční povrch. Dvoufaktorová produkční funkce má zpravidla progresivně degresivní průběh - v případě vertikálních řezů povrchem, což je zobrazení jednofaktorové produkční funkce, je-li jeden z variabilních faktorů fixován k dané úrovni. Po odhadu parametrů zvolené funkce lze odvodit následující charakteristiky: Celkovou produkci představují hodnoty produkce (y), určené pro jednotlivé kombinace množství faktorů x1, x2 tvarem funkce. Tvar funkce celkové produkce musí být zvolen s ohledem na podmínku progresivně-degresivního průběhu s jedním extrémem (bod maximální produkce). Jednotková produkce (AP) je množství produkce připadající na každou jednotku faktoru x1, resp. x2. Funkce jednotkové produkce jsou proto pro dvoufaktorovou produkční funkci dvě a každá z nich je funkcí dvou proměnných.
APx1 =
y x1
APx2 =
y x2
(12.1,12.2)
Maximum jednotkové produkce je v bodě, ve kterém se první parciální derivace jednotkové produkce rovná nule, pokud je současně splněna podmínka, že druhá parciální derivace funkce jednotkové produkce (podle zvolené proměnné) je záporná. Mezní produkce (MP) je poměr změny (přírůstku x úbytku) produkce k přírůstku příslušného faktoru. Přesně ji vypočítáme jako parciální derivaci produkční funkce podle příslušné proměnné. Pro maximum mezní produkce platí obdobné vztahy jako pro maximum jednotkové produkce. MPx1 =
∂y ∂x1
MPx2 =
- 82 -
∂y ∂x2
(12.3,12.4)
Produkční pružnost (Ep) nabývá pro každý bod produkčního povrchu dvou hodnot, a to produkční pružnost faktoru x1 a produkční pružnost faktoru x2.
E p x1 =
∂y x1 [%] ∂x1 yˆ
E p x1 =
∂y x 2 [%] ∂x 2 yˆ
(12.5,12.6)
Kriterium optimality u dvoufaktorových produkčních funkcí musí současně platit pro faktor x1 a x2. Za předpokladu, že mezní produkce jsou vyjádřeny parciálními derivacemi, pro dosažení maximálního objemu zisku musí platit:
mPx1 =
∂y C x1 = ∂x1 C y
˄
mPx 2 =
∂y C x2 = ∂x 2 C y
(12.7,12.8)
12.2. Praktická cvičení 1. Na základě podkladových údajů uvedených v příloze č. 5 byla navržena a odhadnuta následující dvoufaktorová produkční funkce popisující závislost celkového přírůstku na hmotnosti zastavovaných selat celkem a celkové spotřebě krmných směsí (vše za turnus). y = a+ bx1 + cx2 + d(x1x2) + ex12 + fx22 y x1 x2
přírůstek celkem v tunách živé hmotnosti za turnus hmotnost zástavu v tunách za turnus spotřeba krmných směsí v tunách za turnus
Parametry navržené produkční funkce byly odhadnuty běžnou metodou nejmenších čtverců bii = (XTX)-1XTy v programu Statistica 8.0.
Výsledky regrese se závislou proměnnou: „y“ 2 2 R= ,92035149 R = ,84704686 Upravené R = ,82155467 F(5,30)=33,228 p Beta
Sm.chyba - beta
Abs.člen
B
Sm.chyba - B
t(30)
Úroveň p
-10,8108 16,53093
-0,65397 0,518111
x1
0,01043 1,057409
0,0040
0,40819
0,00986 0,992196
x2
2,22421 1,052280
4,2753
2,02265
2,11370 0,042965
x1x2
0,82676 1,634915
0,0087
0,01727
0,50569 0,616769
2 x1
0,07815 1,324040
0,0001
0,00207
0,05903 0,953322
2 x2
-2,33946 1,132862
-0,1293 0,06260
-2,06509 0,047650
- 83 -
2. Interpretujte výsledky odhadu navržené funkce se zaměřením na statistické charakteristiky.
3. S využitím podkladových údajů uvedených v příloze č. 5 vypočítejte, jak vysoká bude průměrná úroveň produkce za turnus.
4. Objasněte obsah a význam funkcí znázorněných na podstavě grafu.
- 84 -
Spotřeba krmných směsí za turnus ve výkrmu prasat v tunách
5. Vysvětlete obsah následující tabulky a najděte kombinace množství spotřeby faktorů, které vedou k přibližně shodné úrovni produkce. Uveďte, zda funkce má v reálném intervalu výroby hodnoty maximální produkce.
150 145 140 135 130 125 120 115 110 105 100 95
x2 x1
43,311 42,543 41,781 41,025 40,275 39,531 38,793 38,061 37,336 36,616 35,903 35,196
45,407 44,595 43,789 42,989 42,195 41,408 40,626 39,851 39,082 38,319 37,562 36,811
47,243 46,388 45,538 44,695 43,857 43,026 42,201 41,382 40,569 39,762 38,962 38,167
48,822 47,922 47,029 46,142 45,261 44,386 43,517 42,655 41,798 40,948 40,103 39,265
50,141 49,198 48,261 47,331 46,406 45,487 44,575 43,669 42,768 41,874 40,986 40,104
51,203 50,216 49,235 48,261 47,292 46,330 45,374 44,424 43,480 42,542 41,611 40,685
52,005 50,975 49,951 48,932 47,920 46,914 45,915 44,921 43,933 42,952 41,977 41,007
52,549 51,475 50,407 49,345 48,290 47,240 46,197 45,159 44,128 43,103 42,084 41,071
52,835 51,717 50,606 49,500 48,401 47,307 46,220 45,139 44,064 42,996 41,933 40,876
52,862 51,701 50,545 49,396 48,253 47,116 45,985 44,861 43,742 42,630 41,523 40,423
52,630 51,425 50,226 49,034 47,847 46,666 45,492 44,323 43,161 42,005 40,855 39,711
52,140 50,892 49,649 48,413 47,182 45,958 44,740 43,528 42,322 41,122 39,928 38,741
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Hmotnost selat zastavených do výkrmu celkem za turnus v tunách
6. Odvoďte rovnice jednotkové produkce pro obě proměnné (APx1, APx2), vypočítejte jejich průměrnou úroveň a výsledky interpretujte.
7. Naznačte výpočet bodu, ve kterém bude zvolená jednotková produkce v maximu, a výsledek zdůvodněte.
8. Odvoďte rovnice mezní produkce pro obě proměnné (MPx1, MPx2).
- 85 -
9. Vypočítejte produkční pružnost pro průměrné hodnoty produkční funkce.
10. Vypočítejte kombinaci x1 a x2 pro koncipovanou produkční funkci, při které bude dosaženo maxima produkce, a vyčíslete ji.
11. Vypočítejte vzájemnou kombinaci množství obou faktorů, při které bude dosaženo maximálního objemu zisku za podmínky, že ceny faktorů jsou: x1 = 68 Kč/kg x2 = 12 Kč/kg y = 39 Kč/kg
Úkoly k samostatnému procvičení Na stejných podkladových datech odhadněte dvoufaktorovou produkční funkci v obecném analytickém tvaru: y = a+ bx1 + cx2 + d(x1 + x2) + ex12 + fx22 1. Porovnejte obě získané funkce jak z hlediska dosahovaných hodnot produkce, tak i z hlediska statistických charakteristik a tvaru výsledného produkčního povrchu. 2. Odvoďte rovnice jednotkové produkce. 3. Odvoďte rovnice mezní produkce. 4. Podle různých kritérií navrhněte, která produkční funkce je vhodnější a proč. 5. Vypočtěte průměrnou úroveň produkce. 6. Vypočtěte produkční pružnost pro průměrné hodnoty produkční funkce a interpretujte je.
- 86 -
13. Cvičení Vztahy mezi výrobními faktory a mezi produkty 13.1. Úvod do problematiky 13.1.1. Vztahy mezi výrobními faktory Pro většinu podniků platí, že výsledná produkce nevzniká působením pouze jednoho výrobního faktoru, nýbrž že její úroveň je výsledkem použití více výrobních faktorů. Za předpokladu, že lze kombinovat odlišné výrobní faktory v různém množství k dosažení dané úrovně produkce, lze vztahy mezi jednotlivými výrobními faktory popsat pomocí konkrétních funkcí. Obecnou n-faktorovou produkční funkci, jež vyjadřuje vliv n faktorů na výsledné množství produkce, lze zjednodušit do podoby 2-faktorové produkční funkce. 2-faktorovou produkční funkci lze zapsat následovně: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 //𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )
Vztah mezi výrobními faktory lze z této produkční funkce vyjádřit následovně (za podmínky konstantního množství produkce): x1 = fce (x2 // y) x2 = fce (x1 // y) Tyto vztahy, kdy jeden faktor je v pozici závisle proměnné a druhý je nezávisle proměnnou nazýváme izoprodukčními funkcemi (z lat. izo = konstantní; izoprodukce = stále stejná úroveň produkce), zjednodušeně se ovšem běžně nazývají izokvantou. Izokvanta je tedy funkce vyjadřující veškeré kombinace faktorů (x1, x2), při zachování nezměněné úrovně celkové produkce. Pro kvantifikaci vztahu mezi výrobními faktory lze použít ukazatel mezní míra záměny faktoru (MMZF). MMZF lze vyjádřit jako podíl změny množství faktoru x1 a změny množství faktoru x2 (při stále stejné produkci). Tento podíl udává, o kolik jednotek se změní rozsah faktoru x1 při změně faktoru x2 o jednotku. Pokud je znám konkrétní tvar funkce izokvanty, je vhodné určit MMZF pomocí parciální derivace izokvantové funkce. pro x1 = fce (x2) →
∆𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = ∆𝑥𝑥 1 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 2
2
(13.1)
Na základě průběhu MMZF lze rozlišit různé typy vztahů mezi výrobními faktory a tomu odpovídající tvar izokvanty. Na různých izokvantách (tzn. při různých úrovních produkce) lze nalézt body, které mají stejnou hodnotu MMZF. Spojením těchto bodů vznikne tzv. izoklina. Izoklina je tedy funkce spojující na různých izokvantách body se stejnou mezní mírou záměny. Blízkou charakteristikou k MMZF je pružnost substituce, která je relativním vyjádřením míry záměny.
- 87 -
Pružnost substituce (Substitution elasticity) „Es“ vyjadřuje procentní změnu množství jednoho faktoru při změně množství druhého faktoru o 1 % (při konstantní úrovni produkce). Esx1 =
δ x1 x 2 ⋅ δ x 2 x1
[%]
(13.1)
Analogicky je platný i vztah pro Esx2
Kriterium optimality je dáno rovností mezní míry záměny faktoru a převráceného záporného poměru cen faktorů. Uvedené pravidlo pro nalezení optimální kombinace faktorů lze odvodit ze vztahu izokvanty a tzv. izonákladové funkce. MMZFx1 =
δ x1 Cx 2 =δ x2 Cx1
(13.2)
Analogicky je platný i vztah pro MMZFx2
Izonákladová funkce představuje takové kombinace množství výrobních faktorů (x1 a x2), jejichž pořízení představuje stále stejný náklad. Izonákladová funkce, neboli izokosta, je odvozena z funkce nákladů: N = Cx1 x1+ Cx2 x2
- 88 -
x1 = -
Cx2 N x2 + Cx1 Cx1
(13.3)
13.1.2. Vztahy mezi produkty (odvětvími) Pro zkoumání vztahů mezi výrobky (resp. mezi odvětvími) lze opět využít produkčních funkcí, které jsou podkladem pro odvození funkce popisující vztahy produkt – produkt. 𝑦𝑦1 = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥1 //𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )
𝑦𝑦2 = 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓(𝑥𝑥1 //𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥3 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 )
Jednoduchou substitucí lze z uvedených produkčních funkcí, za předpokladu konstantního množství výrobního faktoru (x1), získat vzájemnou závislost obou produkcí, tzv. izofaktorovou funkci: y1 = fce (y2 // x1) y2 = fce (y1 // x1) Izofaktorová funkce vyjadřuje veškeré kombinace různých množství produkce (y1) a (y2), které lze vyrobit z daného (konstantního) množství výrobního faktoru (x1) společného pro obě odvětví. Podle průběhu izofaktorových křivek můžeme rozdělit vztahy mezi odvětvími na vztahy konkurenční, podpůrné a doplňkové. Pro jejich charakteristiku a rozlišení lze použít tzv. mezní míru záměny produkce (MMZP): pro
y2 = fce (y1)
→
MMZP
=
δ y2 δ y1
(13.4)
MMZP představuje změnu v produkci (y2) způsobenou jednotkovou změnou v produkci odvětví (y1). Číselně lze MMZP vyjádřit z izofaktorové funkce pomocí parciální derivace funkce. Jsou-li vztahy mezi odvětvími konkurenční, MMZP je negativní a to buď konstantní, rostoucí nebo klesající. Při vztazích podpůrných je MMZP kladná, při doplňkových nulová. Kriterium optimality je dáno rovností hodnoty MMZP a převráceného záporného poměru cen produkce. Optimální kombinaci lze odvodit ze vztahu izofaktorové funkce a funkce izotržeb. Graficky je optimálním řešením bod, ve kterém je funkce izotržeb tečnou k izofaktorové funkci, tj. bod, ve kterém se sklon izofaktorové funkce rovná sklonu funkce izotržeb. Jelikož sklonem izofaktorové funkce je hodnota MMZP a sklonem funkce izotržeb je záporný poměr cen, rovnost MMZP a převráceného záporného poměru cen je optimálním řešením. Obdobně lze odvodit kriterium optimality i pro více produktů (odvětví), kde platí: MMZP =
δ y2 Cy1 =δ y1 Cy2 z toho vyplývá:
δ y2 Cy1 =δ y1 Cy2
δ y3 Cy1 =δ y1 Cy3
(13.5)
δ y3 Cy2 =δ y2 Cy3
(13.6)
δy1Cy1 = δy2Cy2 = δy3Cy3
To znamená, že cena mezní produkce jednotky faktoru musí být stejná ve všech odvětvích, která tento faktor používají.
- 89 -
13.2. Praktická cvičení (F – F) 1. Za předpokladu znalosti obecného tvaru 2-faktorové produkční funkce odvoďte izoprodukční funkci. Produkční funkce má tvar: 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏1 𝑥𝑥1 + 𝑏𝑏2 𝑥𝑥2 − 𝑏𝑏3 𝑥𝑥12 − 𝑏𝑏4 𝑥𝑥22 + 𝑏𝑏5 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
2. Na základě 2-faktorové produkční funkce, odhadnuté ve cvičení 12, která vyjadřuje závislost celkového přírůstku na hmotnosti zástavu a spotřebě krmných směsí, byla odvozena následující izokvantová funkce: 𝑥𝑥2 = −10810,8 + 4,275𝑥𝑥1 + 0,004𝑦𝑦 − 0,000129𝑥𝑥12 + 8,734 × 10𝑒𝑒 −6 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 + 1,224 × 10𝑒𝑒 −7 𝑦𝑦 2
Vypočítejte potřebné množství krmných směsí, má-li být dosaženo ve výkrmu prasat celkového přírůstku 50 t, pokud do výkrmu bylo zastaveno 600 selat v průměrné hmotnosti 28,5 kg na kus. Vypočtené hodnoty ověřte graficky.
3. Z hodnot propočtených na základě vztahů charakterizujících izokvanty byly sestaveny grafy těchto izokvant pro různé úrovně produkce. Vyhodnoťte jejich průběh. Izokvanty vyjadřující závislost x2 na x1 pro různé úrovně produkce a průběh izokliny pro MMZF = 0
300
250
y = 30 t
Spotřeba KS v t za turnus
y = 35 t 200
y = 40 t y = 45 t y = 50 t
150
y = 55 t y = 60 t
100
y = 70 t 50
0 13
15
17
19
21
23
25
27
Celkový přírůstek za turnus
- 90 -
29
31
33
35
4. Odvoďte rovnici izokliny pro nulovou mezní míru záměny, pro závislost zástavové hmotnosti selat (x2) na spotřebě krmných směsí (x1).
5. Vypočítejte optimální kombinaci faktorů x1 a x2, má-li být dosaženo celkového přírůstku ve výkrmu prasat 30 tun tak, aby náklady na dosažení této produkce byly minimální. Řešení proveďte pro Cx1 = 10 Kč/kg a Cx2 = 56 Kč/kg.
6. Pro optimum kvantifikované v příkladu č. 5 odvoďte izonákladovou funkci a vypočítejte výši nákladů celkem. Dále uvažujte pokles ceny faktoru x2 na Cx2 = 48 Kč/kg. Jakým způsobem bude reagovat podnik, pokud stále zůstává v platnosti kriterium optimality a množství produkce se nemění? Změny v úrovni faktoru x1 ověřte graficky.
- 91 -
13.2. Praktická cvičení (P – P) 1. Byly vypočteny produkční funkce pro tři odvětví popisující závislost mezi variabilními náklady a produkcí z hektaru. (pozn.: jedná se o funkce, kde faktor je v peněžním, nikoliv naturálním vyjádření) y1 = -8 (x - 2,5)2 + 50 y2 = -7,2 (x - 2,5)2 + 45 y3 = 3 (x + 0,5)2 – 0,75 Jednotlivé funkční hodnoty produkce uvádí následující tabulka: náklady/ha v tis. Kč Produkce v q/ha
x
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
y1
18,00
32,00
42,00
48,00
50,00
48,00
42,00
y2
16,20
28,80
37,80
43,20
45,00
43,20
37,80
y3
2,25
6,00
11,25
18,00
26,25
36,00
47,25
Určete pro zemědělský podnik optimální kombinace odvětví y1 a y2 za předpokladu, že souhrn nákladů vynaložených na 1 ha v obou odvětvích dohromady nemá překročit 2,6 tis. Kč. Dosažená realizační cena v odvětví y1 je Cy1 = 150 Kč, v odvětví y2 je Cy2 = 140 Kč/q a v odvětví y3 je Cy3 = 390 Kč/q.
2. Vypočítejte pro tuto funkci MMZP, bude-li y1 = 9,5; 39,57 a 45,5 a podle průběhu vypočtených hodnot určete, o jaký typ vztahů se mezi příslušnými odvětvími jedná.
3. Vypočítejte z produkčních funkcí mezní produkci, stanovte její cenu a řešením soustavy rovnic vypočítejte optimální rozdělení nákladu mezi všechna odvětví.
4. Určete rentabilitu vynaložených nákladů v jednotlivých odvětvích.
- 92 -
14. cvičení Aplikace EKM v prognostické oblasti 14.1. Úvod do problematiky Vlastnímu odvození prognózy z ekonometrického modelu předchází ověření prognostických vlastností jednotlivých rovnic, které lze posoudit nepřímo na základě rozboru: a) ekonomické interpretovatelnosti vypočtených parametrů b) multikolinearity mezi vysvětlujícími proměnnými vycházejícího vypracované Farrarem a Glaubertem c) těsnosti závislosti endogenních a vysvětlujících proměnných d) statistické významnosti parametrů e) autokorelace reziduí podle Durbin-Watsonova testu f) normovaných odchylek
z metody
Normovaná odchylka je podílem odchylky vyrovnané hodnoty od skutečné a směrodatné odchylky: N it =
yˆ it − y it s yi
i = (1 … g)
a
t = (1 … n)
(14.1)
yˆ it … teoretická hodnota i – té endogenní proměnné v časovém okamžiku t yit … skutečná hodnota i – té endogenní proměnné v časovém okamžiku t s yi … směrodatná odchylka i – té endogenní proměnné vyčíslená podle vztahu: odmocnina celkového rozptylu Jestliže hodnota Nit = 1 znamená to, že tentýž výsledek lze odvodit, když vyrovnanou hodnotu yˆ it nahradíme průměrem yi . V případě, že hodnota Nit > 1, výsledek prognózy je horší, než kdyby byl nahrazen průměrem. V případě shody prognózy se skutečností hodnota Nit = 0. Z normovaných odchylek lze vyčíslit ve formě kvadratických průměrů normovanou odchylku za jednotlivé endogenní proměnné modelu, za každý rok časové řady a za celý model. Normovaná odchylka pro i-tou endogenní proměnnou modelu se vyčíslí podle vzorce:
Ni =
1 n 2 ∑ N it n t =1
i = (1 ... g)
(14.2)
Normovaná odchylka pro jednotlivé roky časové řady se vyčíslí podle vzorce:
Nt =
1 g 2 ∑ N it g i =1
t = (1 … n)
(14.3)
Normovaná odchylka za celý model je ve tvaru:
N=
11 g n 2 ∑∑ N it g n i =1 t =1
(14.4)
- 93 -
Pro vyčíslení normovaných odchylek modelu je nejvhodnější podle vzorce 14.1 odvodit matici normovaných odchylek Nit. Matice je rozměru [g x n]. Výpočet podle vzorce 14.2 je pak vlastně kvadratickým průměrem prvků po řádcích a podle vzorce 14.3 po sloupcích. Po ověření prognostických vlastností modelu lze redukované formy ekonometrického modelu úspěšně používat při simulacích. Simulace je experiment uskutečněný na modelu, který určuje hodnoty endogenních proměnných, jež se liší při různých alternativách programových proměnných, jiných exogenních proměnných, stochastických proměnných a hodnot parametrů. Ekonometrické modely umožňují sestavení spojitých prognóz ve zvoleném prognostickém horizontu. V závislosti na kvalitě ekonometrického modelu se zpravidla jedná o krátkodobé a střednědobé prognózy tj. na období 1-3 roky, případně 5-7 let. Formulace prognózy vychází z následující rovnice: yˆ n + j = Mxˆ n + j
yˆ n + j
(14.5)
prognózované hodnoty jednotlivých endogenních proměnných v období
(
)
T n+j; yˆ n + j = yˆ 1,n + j ; yˆ 2,n + j ;....; yˆ g ,n + j ; Index n představuje poslední rok
časových řad proměnných, z nichž byly odvozeny parametry modelu, index j = (1,2, případně až 10) xˆ n + j
prognózované hodnoty predeterminovaných proměnných v období n+j;
(
xˆ n + j = xˆ 1,n + j ; xˆ 2,n + j ;....; xˆ k ,n + j
M
)
matice multiplikátorů
Ze vztahu 14.5 vyplývá, že formulace prognózy z ekonometrických modelů probíhá ve dvou etapách: V první etapě se jedná o zjištění očekávaných hodnot predeterminovaných proměnných v prognózovaném období. Mohou to být údaje, které jsou součástí hospodářského programu vlády, specializovaných prognóz, subjektivních odhadů apod. Často se používá extrapolace trendových funkcí predeterminovaných proměnných na základě lineárních, exponenciálních, mocninných a hyperbolických funkcí. Odvození parametrů trendových funkcí by mělo vycházet ze stejně dlouhých časových řad jako kvantifikace parametrů rovnic modelu. Teprve ve druhé etapě se podle vztahu 14.5 propočtou prognózované hodnoty endogenních proměnných, které představují tzv. střední, případně bodovou variantu prognózy.
- 94 -
14.2. Praktická cvičení Ověření prognostických vlastností modelu podle normovaných odchylek a formulaci prognózy z ekonometrického modelu procvičíme na následujícím modelu. Pro přehlednost nejprve uvedeme podkladové údaje a odhadnutý model. Podkladové údaje: y4 y1
Měr.j.
Průměr
HDP
Spotřeba
Investice
mil. Kč 540367 627100 761700 856500 1030600 1170600 1353500 1539400 1640200 1772700 1937314
mil. Kč 398781 452200 527100 613700 732900 862500 976800 1123200 1221400 1290200 1406764
mil. Kč 123086 158400 181600 235200 289600 339800 442400 500600 514400 508100 603450
Upravené podkladové údaje y1 y2 y3 45,22 52,71 61,37 73,29 86,25 97,68 112,32 122,14 129,02 140,676 92,0676
y2
15,84 18,16 23,52 28,96 33,98 44,24 50,06 51,44 50,81 60,345 37,736
1,65 5,3 0,76 0,81 -3,17 -6,57 -8,44 -9,56 -2,56 -7,29 -2,91
y3 Saldo zah.obch. mil. Kč 18500 16500 53000 7600 8100 -31700 -65700 -84400 -95600 -25600 -72900
y4
x1
y1(t-1)=x2
y2(t-1)=x3
62,71 76,17 85,65 103,06 117,06 135,35 153,94 164,02 177,27 193,731 126,896
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
39,8781 45,22 52,71 61,37 73,29 86,25 97,68 112,32 122,14 129,02 81,9878
12,3086 15,84 18,16 23,52 28,96 33,98 44,24 50,06 51,44 50,81 32,9319
Ekonometrický model: y1t = -2,64528 + 0,746381y4t + u1t y2t = -2,5756 + 0,2346y4t + 0,32006y2(t-1) + u2t y3t = 19,09553 - 1,56561y1t + 1,489y1(t-1) + u3t y4t = y1t + y2t + y3t
- 95 -
1. Dopočítejte normované odchylky pro první rovnici, znáte-li skutečné a teoretické hodnoty y1 a celkový rozptyl. Celkový rozptyl S y2 = 1014,677
Tabulka č. 1 Rok 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y1t
yˆ1t
45,22 52,71 61,37 73,29 86,25 97,68 112,32 122,14 129,02 140,68
44,160 54,207 61,282 74,277 84,726 98,377 112,253 119,776 129,666 141,952
Nit 0,033 -0,047
2. Vypočítejte normované odchylky pro i-tou endogenní proměnnou a pro jednotlivé roky časové řady podle tabulky č.2. Vypočtené hodnoty interpretujte. Tabulka č. 2 ∑Nit2
Nit2 y1t y2t y3t ∑Nit2 Nt
0,0011 0,0003 1,6439 1,6452 0,7405
0,0022 0,0219 0,0832 0,1073 0,1891
0,0000 0,0002 0,0271 0,0273
0,0010 0,0001 1,1355 1,1366
0,0023 0,0001 0,5764 0,5788
0,0005 0,0789 0,0674 0,1468
0,0000 0,0251 0,3506 0,3757
0,0055 0,0011 1,0147 1,0213
0,0004 0,0981 0,1169 0,2155
3. Vypočítejte normovanou odchylku za celý model a interpretujte ji.
4.
Formulujte střednědobou prognózu endogenních proměnných: a) dosazením do jednotlivých rovnic b) maticově podle vztahu 13.5 Matice multiplikátorů M:
8,67813853 0,98356807 5,50934055 15,1710472
0,93629078 0,29430709 0,02384286 1,25444074
- 96 -
0,20117389 0,38328652 -0,31492799 0,26953243
0,0016 0,0066 0,1226 0,1308
Ni 0,0146 0,0382 0,2324 5,1383 5,3852
5.
Vyčíslete intervalovou následujícího vztahu:
prognózu
pro
první
endogenní
yˆ t +1 ± tα tabulkove ∗ SE ( y t +1 − yˆ t +1 )
proměnnou
s využitím
(14.6)
kde SE ( y t +1 − yˆ t +1 ) je odhad RMSFE (Root Mean Squared Forecast Error). RMSFE reprezentuje velikost typické chyby vzniklé použitím modelu pro prognostické účely. RMSFE je vypočtena jako odmocnina průměru čtverce chyby prognózy (MSFE - Mean Squared Forecast Error). MSFE lze vyčíslit jako rozptyl ex-post prognózy. Pro krátkost časových řad aproximujme v našem případě rozptyl ex-post prognózy reziduálním rozptylem. Reziduální rozptyl S u2 = 1,47899
7.
Uvažujme nyní, že v našem modelu vystupují namísto zpožděných endogenních proměnných y1(t-1) a y2(t-1) exogenní proměnné x4t (index důvěry v ekonomiku) a x5t (reálný měnový kurz). Odhadnutý model má potom následující podobu: y1t = -3,645 + 0,6638y4t + u1t y2t = -1,0757 + 0,4191y4t - 0,2309x4t + u2t y3t = -2,6001 - 0,078y1t + 0,1101x5t + u3t y4t = y1t + y2t + y3t Matice multiplikátorů M:
146,4283 93,67532 -14,0215 226,0821
4,924604 2,878322 -0,38412 7,4188
-2,3482 -1,48257 0,293259 -3,53751
Formulujte střednědobou prognózu endogenních proměnných s využitím následujících trendových funkcí: xˆ 4t = 8,133 + 0,1939t (SE)
(0,724)
(0,022)
xˆ 5t = 14,01 + 1,0485t (SE)
(0,546)
- 97 -
(0,032)
8. Odvoďte krátkodobou intervalovou prognózu s využitím kvantifikovaných intervalových prognóz predeterminovaných (exogenních) proměnných x4t a x5t pomocí výše uvedených trendových funkcí a následujících vztahů (14.7) a (14.8). min xˆ n+ j = ( a − 2 SEa ) + (b − 2 SEb ).(n + j )
(14.7)
max xˆ n + j = (a + 2 SEa ) + (b + 2 SEb ).(n + j )
(14.8)
Úlohy k samostatnému procvičení 1. Ověřte prognostické vlastnosti ekonometrického modelu odhadnutého v 6. cvičení. 2. Formulujte střednědobou prognózu endogenních proměnných tohoto modelu.
- 98 -
Přílohy Příloha č. 1 Podkladové údaje pro konstrukci modelu
Výdaje domácností na konečnou spotřebu [mld.Kč]
Tvorba hrubého fixního kapitálu [mld.Kč]
Saldo zahraničního obchodu SAZO [mld.Kč]
HDP celkem [mld.Kč]
Jednotkový vektor
Míra inflace [%]
Úroková sazba domácností [%]
Úroková sazba podniků [%]
CZK/EUR
Míra investic [%]
Obecná míra nezaměstnanosti [%]
Zaměstnaní [mil.]
Výdaje na konečnou spotřebu vlády [mld.Kč]
Přímé zahraniční investice do ČR [mld.Kč]
Rok
y1
y2
y3
y4
x1
x3
x4
x5
x9
x10
x11
x12
x13
x15
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
411,8 531,7 592,7 761,9 900,8 983,5 1056,1 1102,2 1181,9 1255,0 1288,5 1345,2 1464,1 1488,7 1622,1
285,9 289,6 361,2 461,8 540,4 542,1 562,4 562,3 612,5 659,3 677,8 687,5 727,2 746,1 812,9
-20,3 -19,5 -39,5 -63,5 -98,3 -93,8 -21,7 -24,3 -66,1 -58,8 -51,4 -58,8 1,9 94,7 111,2
846,8 1002,3 1143,0 1466,5 1683,3 1811,1 1996,5 2080,8 2189,2 2352,2 2464,4 2577,1 2814,8 2987,7 3231,6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11,1 20,8 10,0 9,1 8,8 8,5 10,7 2,1 3,9 4,7 1,8 0,1 2,8 1,9 2,5
5,4 7,2 7,6 7,2 7,1 8,7 9,4 9,1 9,0 9,0 8,8 8,2 8,0 7,2 6,8
15,6 14,6 13,9 13,5 13,1 13,7 13,3 9,0 7,3 6,8 5,9 4,5 4,8 4,2 4,5
28,9 30,0 28,8 26,5 27,1 31,7 32,3 36,9 35,6 34,1 30,8 31,9 31,9 29,8 28,3
33,7 28,4 31,6 31,5 32,1 29,9 28,2 27,0 28,0 28,0 27,5 26,7 25,8 24,9 25,2
2,7 4,3 4,3 4,0 3,9 4,8 6,5 8,7 8,8 8,1 7,3 7,8 8,3 7,9 7,1
4,9 4,9 4,9 5,0 5,0 4,9 4,9 4,8 4,7 4,7 4,8 4,7 4,7 4,8 4,8
169,4 200,5 228,6 306,3 340,4 379,3 399,7 440,6 460,9 496,7 549,5 603,2 621,6 658,2 685,4
28,4 16,6 24,8 67,9 38,8 41,3 81,9 168,7 129,8 214,6 277,7 59,3 114,7 263,2 134,7
2007
1966,1
850,2
29,9
3557,7
1
2,8
8,5
2,1
27,8
23,9
5,3
4,9
711,5
218,0
Průměr
1122,0
586,2
-23,7
2137,8
1,0
6,4
7,9
9,2
30,8
28,3
6,2
4,8
453,2
117,5
Zdroj: ČSÚ
- 99 -
Příloha č. 2 Tabulka kritických hodnot rozdělení pro t-test hladina významnosti
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
stupně volnosti 1
6.3138 12.7060 25.4521 63.6570 127.321
2
2.9200
4.3027
6.2053
9.9248
14.089
3
2.3534
3.1825
4.1765
5.8409
7.4533
4
2.1318
2.7764
3.4954
4.6041
5.5976
5
2.0150
2.5706
3.1634
4.0321
4.7733
6
1.9432
2.4469
2.9687
3.7074
4.3168
7
1.8946
2.3646
2.8412
3.4995
4.0293
8
1.8595
2.3060
2.7515
3.3554
3.8325
9
1.8331
2.6222
2.6850
3.2498
3.6897
10
1.8125
2.2281
2.6338
3.1693
3.5814
11
1.7959
2.2010
2.5931
3.1058
3.4966
12
1.7823
2.1788
2.5600
3.0545
3.4284
13
1.7709
2.1604
2.5326
3.0123
3.3725
14
1.7613
2.1448
2.5096
2.9768
3.3257
15
1.7530
2.1315
2.4899
2.9467
3.2860
16
1.7459
2.1199
2.4729
2.9208
3.2520
17
1.7396
2.1098
2.4581
2.8982
3.2225
18
1.7341
2.1009
2.4450
2.8784
3.1966
19
1.7291
2.0903
2.4334
2.8609
3.1737
20
1.7247
2.0860
2.4231
2.8453
3.1534
21
1.7207
2.0796
2.4138
2.8314
3.1352
22
1.7171
2.0739
2.4055
2.8188
3.1188
23
1.7139
2.0687
2.3979
2.8073
3.1040
24
1.7109
2.0639
2.3910
2.7969
3.0905
25
1.7081
2.0595
2.3846
2.7874
3.0782
26
1.7056
2.0555
2.3788
2.7787
3.0669
27
1.7033
2.0518
2.3734
2.7707
3.0565
28
1.7011
2.0484
2.3685
2.7633
3.0469
29
1.6991
2.0452
2.3638
2.7564
3.0380
30
1.6973
2.0423
2.3596
2.7500
3.0298
40
1.6839
2.0211
2.3289
2.7045
2.9712
60
1.6707
2.0030
2.2991
2.6603
2.9146
120
1.6577
1.9799
2.2699
2.6174
2.8599
nekonečno
1.6449
1.9600
2.2414
2.5758
2.8070
Zdroj: Likeš, J., Laga, J.: Základní statistické tabulky, Praha, 1978
- 100 -
Příloha č. 3 Produkční funkce přírůstek kg/KD yt
x
1
0,724
1,99
2
0,722
1,97
3
0,710
1,87
4
0,723
1,98
0,727
Příloha č. 5
Nákladová funkce
Dvoufaktorová produkční funkce
Celkové náklady Kč/kg/KD
Přírůstek kg/KD
ys
x
turnus
y
x1
x2
1
28,95
0,801
1
49,504
133,358
22,442
2
21,53
0,744
2
53,252
141,310
20,002
3
21,73
0,740
3
44,669
117,902
20,779
4
22,14
0,750
4
45,237
126,136
24,376
5
21,32
0,728
5
47,917
132,383
24,234
6
25,93
0,781
6
53,453
143,208
20,816
7
20,96
0,769
7
49,101
137,991
23,975
8
19,30
0,667
8
43,699
139,046
20,779
9
20,81
0,750
9
52,111
138,488
20,761
10
24,79
0,778
10
49,590
136,477
20,850
11
19,99
0,722
11
50,480
141,568
21,882
12
20,30
0,728
12
28,091
76,255
10,074
13
20,59
0,701
13
45,972
129,802
23,030
14
20,18
0,719
14
49,680
125,671
19,884
15
26,63
0,804
15
28,447
91,288
9,569
16
20,10
0,690
16
51,726
131,234
22,760
17
20,88
0,694
17
47,538
117,800
20,850
18
19,28
0,662
18
52,603
132,740
16,141
19
18,57
0,651
19
51,072
131,845
19,644
20
19,86
0,676
20
48,009
126,107
21,526
21
18,11
0,672
21
55,540
147,941
20,520
22
16,16
0,645
22
45,569
142,317
17,615
23
19,25
0,650
23
48,309
126,325
20,315
24
19,89
0,691
24
47,307
126,835
21,869
25
17,36
0,652
25
48,657
133,057
21,026
26
18,65
0,652
26
49,629
142,985
22,148
27
20,89
0,709
27
31,271
98,568
12,995
50,155
136,421
20,889
spotřeba KS v kg/KD
Turnus
5
Příloha č. 4
2,01
6
0,714
1,91
7
0,730
2,03
turnus
8
0,786
2,53
9
0,715
1,92
10
0,719
1,95
11
0,718
1,94
12
0,703
1,77
13
0,703
1,76
14
0,703
1,76
15
0,703
1,77
16
0,704
1,78
17
0,704
1,79
18
0,706
1,82
19
0,712
1,89
20
0,710
1,87
21
0,722
1,97
22
0,786
2,51
23
0,711
1,88
24
0,715
1,92
25
0,724
1,99
26
0,737
2,08
27
0,778
2,39
28
0,731
2,04
29
0,724
1,99
30
0,752
2,18
31
0,785
2,5
31
32
0,738
2,09
33
0,750
2,17
34
0,744
2,13
34
35
0,741
2,11
36
0,780
2,67
přírůstek celkem v kg/turnus
spotřeba KS v kg/turnus
hmot. zástavu v kg
28
21,59
0,682
28
29
26,84
0,795
29
51,955
140,190
19,218
30
19,49
0,658
30
57,231
168,837
21,991
20,71
0,722
31
38,952
124,705
16,327
32
20,51
0,728
32
48,902
140,433
21,496
33
20,20
0,710
33
50,660
146,651
21,300
19,98
0,708
34
47,629
137,119
23,008
35
20,30
0,739
35
52,390
148,476
22,300
36
20,10
0,682
36
52,049
160,221
17,700
průměr
47,732
132,547
20,141
Zdroj pro přílohy č. 3,4 a 5: vlastní podnikové šetření
- 101 -
Literatura 1. HINDLS, R., HRONOVÁ, S., SEGER, J.: Statistika pro ekonomy. Praha: Professional Publishing, 2004. ISBN 80-86419-59-2 (5.vyd.) 2. HUŠEK, R.: Ekonometrická analýza. Praha: Ekopress, 1999. ISBN 80-86119-19-X. 3. HUŠEK, R.: Základy ekonometrie. Praha: VŠE, 1992. ISBN 80-7079-566-2. 4. HUŠEK, R., WALTER, J.: Ekonometrie. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1974. 5. SEDDIGHI, H.R., et al.: Econometrics – A Practical Approach, London: Routledge, 2000. ISBN 0-415-15645-9. 6. TVRDOŇ, J., et al.: Cvičení z ekonometrie. Praha: Credit - PEF ČZU v Praze, 2001. ISBN 80-213-0790-0. 7. TVRDOŇ, J.: Ekonometrie. Praha: Credit – PEF ČZU v Praze, 2000. ISBN 80-213-0620-3. 8. SINE: Vydání a spotřeba domácností dle statistiky rodinných účtů, ČSÚ Praha, Kód publikace 3001, Práce, sociální statistiky, dle let 1995 až 2007
- 102 -
