4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace
LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE
1. Časové řady Data: HDP.wf1 Zdroj: Zouhar, J.: http://nb.vse.cz/~zouharj/zek.html Proměnné: hdp: HDP ČR v letech 1993 až 2007 v mld CZK Budeme zkoumat vývoj HDP a předpovídat jeho hodnoty.
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
1. Časové řady - lineární trend 1. Odhadněte model:
ℎ𝑑𝑝𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑡 + 𝑢𝑡
Použijte všechna data (1995 - 2007). 2. Předpovězte hodnotu HDP pro rok 2008 ručně i v EViews. Jde o ex-post
nebo ex-ante predikci?
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
1. Časové řady - bodová ex-ante předpověď 1. Odhadněte model:
ℎ𝑑𝑝𝑡 = 1459 + 156,3 ∙ 𝑡 V EViews: Quick Estimate Equation hdp c @trend ◦ Pozn. @trend je funkce, která generuje řadu 0, 1, 2… (začíná od nuly)
2. Předpovězte hodnotu HDP pro rok 2008 ručně i v EViews. Jde o ex-post nebo ex-ante predikci? Jde o ex-ante predikci.
Bodová předpověď: ℎ𝑑𝑝2008 = 1459 + 156,3 ∙ 13 = 3491 Jak bychom udělali intervalovou předpověď?
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
1. Časové řady - intervalová ex-ante předpověď Intervalová předpověď: kde
𝑠𝑝2
=
𝑠2
1+
𝐱 T𝑇+1
∗ 𝑦𝑝 ± 𝑡1−𝛼/2 ∙ 𝑠𝑝 −1 T 𝐗 𝐗 𝐱
𝑇+1
, kde 𝑠 je S.E. of regression
Co je zdrojem chyby předpovědi? Co bude větší: 𝑠𝑝 či 𝑠 2 ? Platí to obecně? V EViews: Proc Structure/Resize current page 1995 2008 Forecast zadat Forecast sample, Forecast name, S.E.,
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
1. Časové řady - ex-post předpověď 1. Odhadněte model:
ℎ𝑑𝑝𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑡 + 𝑢𝑡
Použijte pouze data 1995 až 2003. 2. Předpovězte hodnotu HDP pro roky 2004 až 2007 v EViews.
Jde o ex-post nebo ex-ante predikci?
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
1. Časové řady 1. Odhadněte model:
ℎ𝑑𝑝𝑡 = 1532 + 134,3 ∙ 𝑡
V EViews: Quick Estimate Equation hdp c @trend Sample 1995 až 2003 2. Předpovězte hodnotu HDP pro roky 2004 až 2007 v EViews. Jde o ex-post nebo ex-ante predikci? Jde o ex-post predikci. Často se tak testuje kvalita modelu. Ve výstupu EViews jsou hodnoty RMSE, Mean Absolute Error, Mean Abs. Percent Error. Poslední zmiňovaná by měla být nejvýše kolem 5 %.
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
1. Časové řady - exponenciální trend 1. Odhadněte model:
ln(ℎ𝑑𝑝𝑡 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑡 + 𝑢𝑡
2. Jak se liší interpretace parametru 𝛽1 od předchozího případu?
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
1. Časové řady - exponenciální trend 1. Odhadněte model:
ln(ℎ𝑑𝑝𝑡 ) = 7,35 + 0,07𝑡 + 𝑢𝑡 2. Je-li vysvětlovaná proměnná zlogaritmovaná, zjistíme, o kolik procent se přibližně v průměru změní vysvětlovaná proměnná s jednotkovou změnou vysvětlující proměnné.
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
2. Autokorelace - teorie Zopakujte si G-M předpoklady. 1. E(u) = 0
2. E(uuT) = σ2In 3. X je nestochastická matice 4. X je má plnou hodnost
CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL
10
2. Autokorelace - teorie Druhý předpoklad: týká se kovarianční matice náhodné složky 2. E(uuT) = σ2In
Jsou-li mimo diagonálu kovarianční matice nenulové prvky, je v modelu autokorelace.
CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL
11
2. Autokorelace - teorie • V případě autokorelace existuje závislost mezi hodnotami jedné proměnné. • Náhodné složky nejsou sériově nezávislé. • Například při autokorelaci prvního řádu: 𝑢𝑡 = 𝜌 ∙ 𝑢𝑡−1 + 𝜀𝑡 , kde • •
𝜌 je tzv. koeficient autokorelace prvního řádu, -1 < 𝜌 < 1 𝜀𝑡 je normálně rozdělená náhodná složka
• Pokud: • • •
𝜌>0 𝜌<0 𝜌=0
pozitivní autokorelace negativní autokorelace sériová nezávislost
CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL
12
2. Autokorelace - teorie
Zdroj: Prezentace Zuzana Dlouhá, http://nb.vse.cz/~figlova/4ek211_5.pdf
CVIČENÍ 7 ČASOVÉ ŘADY, AUTOKORELACE
2. Autokorelace - teorie • Příčiny: • Setrvačnost ekonomických veličin • Chybná specifikace modelu chyba se stane součástí náhodné složky • Chyby měření (promítnou se do náhodné složky) • Odhad modelu z dat, která obsahují zpožděné, zprůměrované, extrapolované atd. vysvětlující proměnné • Důsledky: • Odhady jsou nestranné a konzistentní, ale nejsou vydatné ani asymptoticky vydatné • Odhady rozptylu náhodné složky a odhady směrodatných chyb odhadnutých koeficientů jsou vychýlené (problém - potřebujeme je při testování hypotéz a konstrukci intervalů spolehlivosti) CVIČENÍ 3 LINEÁRNÍ REGRESNÍ MODEL
14
3. Autokorelace - příklad 1 • Makroekonomická data (roční, 1959 až 1994): usa • Zdroj: Zouhar, J.: http://nb.vse.cz/~zouharj/zek.html • Data: • •
gdp = agregátní hrubý domácí produkt v USA cons = agregátní spotřeba v USA
• Odhadněte regresi: 𝑔𝑑𝑝𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝛽2 𝑡 + 𝑢𝑡
• Zjistěte, jestli je v modelu autokorelace.
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 Uložte si rezidua a podívejte se na jejich graf. Myslíte si, že je v modelu autokorelace? E
Proc Make residual series
120
80
Graph
40
0
-40
-80
-120 1960
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
1965
1970
1975
1980
1985
1990
3. Autokorelace - příklad 1 •
Je-li v modelu autokorelace první řádu, pak: 𝑢𝑡 = 𝜌 ∙ 𝑢𝑡−1 + 𝜀𝑡 , kde • •
•
𝜌 je tzv. koeficient autokorelace prvního řádu (při autokorelaci bude různý od nuly) 𝜀𝑡 je normálně rozdělená náhodná složka
Koeficient autokorelace sice neznáme (protože neznáme náhodné složky), ale můžeme ho zkusit odhadnout z reziduí: 𝑒𝑡 = 𝑟 ∙ 𝑒𝑡−1 + 𝑣𝑡 𝑒𝑡 = 0,46 ∙ 𝑒𝑡−1 + 𝑣𝑡
• Z výstupu vidíme, že odhad koeficientu autokorelace je významně odlišný od nuly, v modelu asi bude pozitivní autokorelace.
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 • DURBIN-WATSONŮV TEST • Testujeme nulovou hypotézu: • •
H0: neexistence autokorelace, 𝜌 = 0 H1: v modelu je autokorelace, 𝜌 ≠ 0
• Testová statistika: 𝑑=
• Získáme v EViews • Platí 𝑟 ≈ 1 −
𝑇 2 𝑡=2(𝑒𝑡 − 𝑒𝑡−1 ) 𝑇 2 𝑡=1 𝑒𝑡
𝑑 ( ) 2
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1
1,05 ) 2
• Platí 0,46 ≈ 1 − (
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 • DURBIN-WATSONŮV TEST • Porovnáme s DW tabulkami, potřebujeme přitom znát: • • •
n = počet pozorování = 36 k = počet vysvětlujících proměnných = 2 hladinu významnosti - tabulky jsou pro 5 % hladinu významnosti
• V tabulkách najdeme dolní mez: dL = 1,35 a horní mez dU = 1,59
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 1,05
0
1,35
1,59
2
Zdroj: prezentace Zuzana Dlouhá, http://nb.vse.cz/~figlova/4ek211_5.pdf CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
2,41
2,65
4
3. Autokorelace - příklad 1 • • • •
DURBIN-WATSONŮV TEST Zamítáme nulovou hypotézu o neexistenci autokorelace. V modelu se vyskytuje pozitivní autokorelace. Durbin-Watsonův test nelze použít, pokud je v modelu zpožděná vysvětlovaná proměnná nebo pro testování korelace vyššího než druhého řádu.
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 • BREUSCH GODFREY TEST: • •
• •
• •
Chceme testovat autokorelaci prvního řádu Formulujeme hypotézy: • H0: neexistence autokorelace • H1: v modelu je autokorelace Odhadneme model a uložíme rezidua: et Odhadneme pomocnou regresi, kde vysvětlovaná proměnná je et, vysvětlující proměnné jsou všechny vysvětlující proměnné z původního modelu a et-1. Zjistíme R2 z této regrese. Testová statistika: LM = N ∙ R2 má přibližně chí-kvadrát rozdělení s 1 stupněm volnosti
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 • BREUSCH GODFREY TEST: View Residual Test Serial Correlation LM test V našem případě děláme regresi 𝑒𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝛽2 𝑡 + 𝛽3 𝑒𝑡−1 + 𝑣𝑡 LM = N ∙ R2 = 36∙ 0,233748 = 8,41
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 •
Nyní odhadněte regresi: 𝑔𝑑𝑝𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝛽2 𝑔𝑑𝑝𝑡−1 + 𝑢𝑡
• Zjistěte, jestli je v modelu autokorelace. • V modelu je zpožděná endogenní proměnná, nemůžeme použít DW statistiku.
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
3. Autokorelace - příklad 1 • BRESUCH GODFREY TEST View Residual Test Serial Correlation LM test
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
4. Autokorelace - příklad 2 • Makroekonomická data (čtvrtletní, 1980 až 2004): Makro.wf1 • Zdroj: Zouhar, J.: http://nb.vse.cz/~zouharj/zek.html • Odhadněte regresi: 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑡 + 𝛽2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝑢𝑡
• Zjistěte, jestli je v modelu autokorelace (graf, DW test, BG test).
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
4. Autokorelace - příklad 2 Asi jste zjistili, že je modelu autokorelace. Odstraníme ji dvěma možnými způsoby.
COCHRANE-ORCUTT 1. Máme model: 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑡 + 𝛽2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝑢𝑡 Víme, že: 𝑢𝑡 = 𝜌 ∙ 𝑢𝑡−1 + 𝜀𝑡 , kde 𝜀𝑡 je náhodná složka vyhovující G-M předpokladům
2. Vyjádříme si model v čase t - 1: 𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡−1 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑡−1 + 𝛽2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡−1 + 𝑢𝑡−1 3. Rovnici z bodu 2. vynásobíme 𝜌: 𝜌∙𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡−1 = 𝜌∙𝛽0 + 𝜌∙𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑡−1 + 𝜌∙𝛽2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡−1 + 𝜌∙𝑢𝑡−1 4. Rovnici z bodu 3. odečteme od rovnice z bodu 1 a dostaneme:
(𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡 − 𝜌∙𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡−1 ) = 𝛽0 (1 − 𝜌) + 𝛽1 (𝑖𝑛𝑐𝑡 − 𝜌∙𝑖𝑛𝑐𝑡−1 ) +… … + 𝛽2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 − 𝜌∙𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡−1 + (𝑢𝑡 −𝜌∙𝑢𝑡−1 ) 5. To můžeme odhadnout MNČ, protože (𝑢𝑡 −𝜌∙𝑢𝑡−1 ) = 𝜀𝑡 , která vyhovuje G-M předpokladům CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
4. Autokorelace - příklad 1 COCHRANE-ORCUTT
Je to iterativní procedura. Není bohužel v Eviews automaticky implementovaná (je např. v Gretlu), ale můžeme postupovat například takto: Z reziduí odhadneme 𝜌: 𝑒𝑡 = 0,75 ∙ 𝑒𝑡−1 + 𝑣𝑡 Odhadneme model: (output - 0.75*output(-1)) (1 - 0.75) (inc - 0.75*inc(-1)) (cons - 0.75*cons(-1))
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
4. Autokorelace - příklad 2 NELINEÁRNÍ NEJMENŠÍ ČTVERCE
𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑡 + 𝛽2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 + 𝜌(𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑡−1 − 𝛽0 − 𝛽1 𝑖𝑛𝑐𝑡−1 − 𝛽2 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡−1 ) + 𝑣𝑡 V Eviews: output c inc cons AR(1)
CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE
Na doma: Co byste měli umět 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Jaký je rozdíl mezi bodovou a intervalovou předpovědí? Jaký je rozdíl mezi předpovědí ex-post a ex-ante? Jak zahrneme do modelu sezónnost? Co je to autokorelace? Který G-M předpoklad je v tom případě porušen? Co je důsledkem autokorelace? Jak se pozná, je-li v modelu autokorelace? Co je to Durbin-Watson test a BG test, jak se provedou? Jak odstranit z modelu autokorelaci? CVIČENÍ 8 AUTOKORELACE