Aplikovaná ekonometrie 7 Lukáš Frýd
Nestacionární časové řady Možné příčinny • • • •
Sezonost Deterministický trend (time trend) Jednotkový kořen (Stochastický trend) Strukturní zlomy
Časový trend (deterministický trend)
𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡 + 𝜖𝑡
𝜖𝑡 ~𝑖. 𝑖. 𝑑(0, 𝜎 2 ) Kvadratický trend
𝐸(𝑦𝑡 ) = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡 𝑦𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑡 + 𝛼2 𝑡 2 + 𝜖𝑡
Exponenciální trend 𝑦𝑡 = exp(𝛽0 + 𝛽1 𝑡 + 𝜖𝑡 ) log(𝑦𝑡 ) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑡 + 𝜖𝑡
Náhodná procházka
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝜙1 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡
Jedná se o speciální typ AR(1) procesu 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡
𝜖𝑡 ~𝑖. 𝑖. 𝑑.
𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−2 + 𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡 = 𝑦𝑡−3 + 𝜖𝑡−2 + 𝜖𝑡−1 + 𝜖𝑡
𝑦𝑡 = 𝜖𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡 + 𝑦0
Trvalý dopad počáteční hodnoty
𝑖=1
𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡 ) = 𝑉𝑎𝑟 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡
Stochastický trend Na rozdíl od deterministického trendu, je přírůstek náhodný
2
𝐸(𝑦𝑡 ) = 𝜖𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡 + 𝑦0 𝑖=1
𝑉𝑎𝑟(𝑦𝑡 ) = 𝜎 2 𝑡 𝐸 𝑦𝑡 − 𝐸(𝑦𝑡 ) 𝑦𝑡−𝑠 − 𝐸(𝑦𝑡−𝑠
=𝐸
𝜖𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡 + 𝑦0 − 𝑦0
𝜖𝑡−𝑖−𝑠 + 𝜖𝑡−𝑠 + 𝑦0 − 𝑦0
𝑖=1
𝑖=1
= 𝑡 − 𝑠 𝜎2
Náhodná procházka s „driftem“
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡
𝜙0 − 𝑑𝑟𝑖𝑓𝑡
𝑦𝑡 = 𝛿𝑡 + 𝜖𝑖 + 𝑦0 𝑖=1
Proces obsahuje jak deterministický, tak stochastický trend
Závislost 2 RW
Stochastický trend a integrovaný proces
Proces 𝑦𝑡 obsahující stochastický trend nazveme integrovaným procesem řádu d – I(d) Pokud 𝑦𝑡 není kovariančně stacionární proces a po d diferencích Δ𝑑 𝑦(𝑡) bude kovariančně stacionární I(0) Nejčastěji se setkáme s procesem I(1) Po 1 diferenci je proces stacionární I(0) - Δ𝑦 𝑡 ~𝐼(0)
𝑦𝑡 = 𝜖𝑡−𝑖 + 𝜖𝑡 + 𝑦0 𝑖=1
Integrovaný proces
Jednotkový kořen (unit root) Pokud proces obsahuje jednotkový kořen, je daný proces nestacionární Operátor zpoždění L
𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡 𝑦𝑡 = 𝐿𝑦𝑡 + 𝜖𝑡
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝜙1 𝑦𝑡−1 + 𝜙2 𝑦𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑘 𝑦𝑡−𝑘 + 𝜖𝑡 𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝐿𝜙1 𝑦𝑡 + 𝐿2 𝜙2 𝑦𝑡 + ⋯ + 𝐿𝑘 𝜙𝑘 𝑦𝑡 + 𝜖𝑡
𝑦𝑡 − 𝐿𝑦𝑡 = 𝜖𝑡 𝑦𝑡 (1 − 𝐿) = 𝜖𝑡
Zde je často problém ve značení charakteristické rovnice Vycházíme z diferenčních rovnic
Sestavíme charakteristickou rovnici a zjistíme její kořeny 1−𝑧 =0 𝑧=1
Proces obsahuje jednotkový kořen Proces není stacionární
𝑦𝑡 = 3𝑦𝑡−1 − 2.753𝑦𝑡−2 + 0.753𝑦𝑡−3 + 𝜖𝑡 𝑦𝑡 = 3𝐿𝑦𝑡 − 2.753𝐿2 𝑦𝑡 + 0.753𝐿3 𝑦𝑡 + 𝜖𝑡
(1 − 3𝐿 + 2.75𝐿2 − 0.753𝐿3 )𝑦𝑡 = 𝜖𝑡
Charakteristická rovnice 1 − 3𝑧 +
2.75𝑧 2
−
0.753𝑧 3
=0
1 − 𝑧 1 − 1.5𝑧 1 − 0.5𝑧 = 0
Kořeny jsou 𝑧=1 2 𝑧= 3 𝒛=𝟐
𝑧 3 − 3𝑧 2 + 2.75𝑧 − 0.753 = 0
Stacionarita AR procesu Proces MA je vždy stacionární To však již neplatí u AR procesu
U AR(1) procesu je zřejmé, že pro 𝜙1 > 1 proces exploduje
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝐿𝜙1 𝑦𝑡 + 𝜖𝑡 𝑦𝑡 − 𝐿𝜙1 𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝜖𝑡
𝑦𝑡 (1 − 𝐿𝜙1 ) = 𝜙0 + 𝜖𝑡 1 − 𝜙1 𝑧 = 0 1 =𝑧 𝜙1
Hodnota |z| musí být vyšší jak 1! Tedy |𝜙1 | < 1
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝜙1 𝑦𝑡−1 + 𝜙2 𝑦𝑡−2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑦𝑡−𝑝 + 𝜖𝑡 2
𝑝
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝐿𝜙1 𝑦𝑡 + 𝐿 𝜙2 𝑦𝑡 + ⋯ + 𝐿 𝜙𝑝 𝑦𝑡 + 𝜖𝑡
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝜙1 𝑦𝑡−1 + 𝜙2 𝑦𝑡−2 + 𝜖𝑡 𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝐿𝜙1 𝑦𝑡 + 𝐿2 𝜙2 𝑦𝑡 + 𝜖𝑡 (1 − 𝐿𝜙1 − 𝐿2 𝜙2 )𝑦𝑡 = 0
1 − 𝜙1 𝑧 + 𝜙2 𝑧 2 + ⋯ + 𝜙𝑝 𝑧 𝑝 = 0
𝑥 2 − 𝜙1 𝑥 − 𝜙2 = 0
Testování stacionarity – testy hypotéz
𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝜙1 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡 𝐻0 : 𝜙1 = 1
𝐻0 : 𝜙1 < 1
V ekonomii a financích se většinou setkáváme s procesy 0 < 𝜙1 < 1
Pokud 𝜙0 = 0 𝑎 𝜙1 = 1 – pak se jedná o AR(1) proces, který má jednotkový kořen – konkrétně jde o RW
Pokud 𝜙0 ≠ 0 𝑎 𝜙1 = 1 – pak se jedná o AR(1) proces, který má jednotkový kořen – konkrétně jde o RW s driftem
Pro testování jednotkového kořene však pracujeme s upravenou formou – od rovnice odečteme 𝑦𝑡−1 Δ𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝜙1 𝑦𝑡−1 − 𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡 Δ𝑦𝑡 = 𝜙0 + Θ𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡
Θ = 𝜙1 − 1
𝐻0 : Θ = 0 𝐻0 : 𝜙1 = 1
Jedná se o tzv. Dickey-Fuller test
𝐻1 : Θ < 0 𝐻1 : 𝜙1 < 1
Jedná se o t-test POZOR nemá však t-rozdělení. Kritické hodnoty jsou tabelovány viz. Článek DF H0: NEstacionární H1: Stacionární
Augment Dickey-Fuller test (ADF)
DF test pracuje s předpokladem, že náhodná složka je WN. Problémem je, že časové řady mají často dynamický charakter. Upravíme DF test do dynamické podoby, tzv. ADF test Δ𝑦𝑡 = 𝜙0 + Θ𝑦𝑡−1 + 𝛾1 Δ𝑦𝑡−1 + ⋯ + 𝛾𝑝 Δ𝑦𝑡−𝑝 + 𝜖𝑡
𝐻0 : Θ = 0 𝐻1 : Θ < 0
Otázkou je zjistit, kolik zvolit zpoždění. Použít například AIC
Další otázkou je, jak odlišit proces se stochastickým a proces s deterministickým trendem
Δ𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝛿𝑡 + Θ𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡
Δ𝑦𝑡 = 𝜙0 + 𝛿1 𝑡 + 𝛿2 𝑡 2 + +Θ𝑦𝑡−1 + 𝜖𝑡
𝐻0 : Θ = 0 𝐻1 : Θ < 0 𝐻0 : 𝛿 = 0 −většinou však neřešíme Zamítnutí obou hypotéz vede k trendově stacionárnímu procesu Δ𝑦𝑡 = 𝜙0 + Θ𝑦𝑡−1 + 𝛿𝑡 + 𝛾1 Δ𝑦𝑡−1 + ⋯ + 𝛾𝑝 Δ𝑦𝑡−𝑝 + 𝜖𝑡
DF i ADF test jsou náchylné na špatnou specifikaci. Hodnoty parametru 𝜙1 se v ekonomii často pohybují Blízko jedné. Je proto vhodné co nejpřesněji specifikovat data generující proces Vynechání časového trendu, nebo důležitého zpoždění bude mít vliv na rozptyl residuí a tím i na hodnoty testu
Co když zjistíme, že je časová nestacionární?
Bude záležet, o jaký typ nestacionarity se jedná. My zde budeme předpokládat, že se jedná o unit root proces Provedeme první diferenci a otestujeme na stacionaritu. Tímto způsobem určíme o jaký typ I(d) procesu se jedná
I(2) proces obsahuje 2 jednotkové kořeny I(d) proces obsahuje d jednotkových kořenů
rw <- function(k,initial.value,drift) { samples = rnorm(k,0,1) initial.value + c(drift, cumsum(samples))
}
sim1=rw(1000,100,0) sim2=rw(1000,0,0) sim3=rw(1000,0,10) sim4=cumsum(rnorm(n=1001, mean=1.5, sd=sqrt(100))) t=1:1001 sim5=cumsum(rnorm(n=1001, mean=0, sd=sqrt(100)))+2*t
sim6=2*t+rnorm(1001,0,50)
Box-Jenkins metodologie
1) 2) 3) 4)
Stacionarita AFC,PACF Odhad modelu AR,MA,ARMA Kontrola residuí, chovají se jako bílý šum?
Informační kritéria Box and Pierce test Ljung-Box test
Pokud by se residua chovala jako Gauss bílý šum Tak to pro nás znamená, že se nám podařilo Extrahovat všechny důležité informace
Identifikace Odhad Diagnostika
Co ovlivňuje úrokovou míru
𝑙𝑖𝑏𝑜𝑟𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑡 + 𝛼2 𝐺𝑑𝑝𝐺𝑎𝑝𝑡 + 𝜖
Poptávka po penězích
log 𝑀1𝑡 = 𝛼0 + 𝛼1 log 𝐶𝑃𝐼𝑡 + 𝛼2 𝑟𝑒𝑎𝑙𝐺𝐷𝑃𝑡 + 𝛼3 𝑡𝑏𝑖𝑙𝑟𝑎𝑡𝑒𝑡 + 𝜖𝑡
