4EK211 Základy ekonometrie Speciální případy použití MNČ Cvičení 8
Zuzana Dlouhá
Speciální případy použití MNČ •
•
cvičení 1 – 7 = ekonometrický model, který byl lineární v proměnných i v parametrech MNČ můžeme použít, i když je funkce a) nelineární v parametrech – před použitím MNČ musíme funkci vhodně transformovat – semilogaritmická nebo logaritmická transformace b) lineární v parametrech a nelineární v proměnných – v těchto případech aplikujeme přímo MNČ – nelinearitu je možné jednoduše odstranit vhodnou substitucí, případně odlišnou definicí proměnných
2
Nelineární v parametrech – semilogaritmický model •
• a)
speciální forma logaritmické transformace, za předpokladu, že relativní změna vysvětlované proměnné y závisí lineárně na absolutní změně vysvětlující proměnné/proměnných x logaritmus je po transformaci pouze na jedné straně rovnice logaritmicko-lineární model (log-lin) odpovídá exponenciálnímu y e β0 β1 x i ui ln yi = β0 + β1xi + ui i modelu
β1= o kolik procent se změní y, když se x změní o 1 měrnou jednotku aplikace: růstový model HDP / populace b)
lineárně-logaritmický model (lin-log) yi = β0 + β1ln xi + ui β1= o kolik měrných jednotek se změní y, když se x změní o 1 % aplikace: Engelova křivka (individuální příjem vs spotřeba)
3
Nelineární v parametrech - log-log model •
•
logaritmická transformace regresního modelu nelineárního v parametrech, logaritmování mocninné produkční nebo poptávkové funkce logaritmus je po transformaci na obou stranách rovnice
y i β0 x1βi1 x 2βi2 ui ln yi = ln β0 + β1 ln x1i + β2 ln x2i + ln ui β1, β2 = koeficienty relativní pružnosti, = o kolik procent se změní proměnná y, když se x1 nebo x2 změní o jedno procento aplikace: Cobb-Douglasova produkční funkce •
v EViews log znamená ln
4
Nelineární v proměnných •
hyperbola / inverzní model 1 y i β0 β1 ui transformace xi
x i
1 xi
po transformaci y i β0 β1x i ui aplikace: Phillipsova křivka (inflace vs nezaměstnanost) •
parabola / polynomický model
y i β0 β1x1i β2 x 22i ui aplikace: nákladová funkce
5
Příklady na interpretaci
6
Příklady na interpretaci
7
Produkční funkce • •
vztah = vstupní výrobní faktory / inputy vs výstup / output cíl = maximalizace zisku + efektivní kombinace vstupů
Cobb-Douglasova produkční funkce • statická: y = AKαLβeu • dynamická: y = AKαLβerteu •
s podmínkou L = φ(K) pro y = y konstantní – definuje křivku – IZOKVANTA L
Y2 Y1 K
8
Cobb-Douglasova produkční funkce • • •
α, β, r, A = parametry A = úrovňová konstanta, její hodnota závisí na zvolených měřících jednotkách, je určena efektivností výrobního procesu α, β = koeficienty relativní pružnosti (interpretují se v %)
𝜕𝑌 𝐾 𝛼= 𝜕𝐾 𝑌
– – –
•
𝜕𝑌 𝐿 𝛽= 𝜕𝐿 𝑌
z intervalu <0,1> = ekonomická verifikace y měla být funkce rostoucí a konkávní př. α = 0,4 ... vzroste-li K o 1% (L je pevné), potom vzroste y v průměru o 0,4%
r = definuje nezpředmětněný technický pokrok (TP) = je mírou TP
r –
Y *100 t př. r = 2% ... objem produkce y roste ročně (čtvrtletně,...) o 2% (za předpokladu K a L pevné) 9
Cobb-Douglasova produkční funkce •
•
•
odhad parametrů CDPF – je třeba provést logaritmickou transformaci: ln y = ln A + α ln K + β ln L + u ln y = ln A + α ln K + β ln L + rt + u v EViews: log (y) = log A + α log (K) + β log (L) + u log (y) = log A + α log (K) + β log (L) + rt + u odhadem MNČ získáme: – log A (vyjde jako konstanta) – α, β (ty vyjdou přímo) eventuelně r
10
Cobb-Douglasova produkční funkce Přírůstkové produktivity faktorů • mezní produkt kapitálu Y Y
K
K
Y Y L L
•
mezní produkt práce
• •
převod na absolutní pružnost počítají se vždy pro konkrétní rok t nebo konkrétní pozorování i
Přírůstkové míry substituce • mezní míra substituce pracovních sil kapitálem
R
L K
1 R
•
mezní míra substituce kapitálu pracovními silami
•
počítají se vždy pro konkrétní rok t nebo konkrétní pozorování i 11
Cobb-Douglasova produkční funkce Pružnost substituce faktorů • snadnost záměny K za L dána koeficienty pružnosti substituce
•
δ = f(R) a leží v intervalu (0, ∞)
•
δ→ 0 – rektangulární izokvanta (tj. tvar L) – neexistuje substituce
•
δ→∞
•
– izokvanta je přímka – dokonalá substituce δ→1 – L = φ(K) ..... izokvanta CDPF
12
Cobb-Douglasova produkční funkce Efekt z rozsahu výroby • α + β dohromady slouží k určení efektu z rozsahu výroby – na vstupu – K a L vzrostou λ-krát – proces výroby – na výstupu – Y vzroste ρ-krát •
ρ = λα + β , kde ρ je efekt z rozsahu výroby
• •
α + β = 1 → ρ = λ ..... PF homogenní 1. stupně α + β > 1 → ρ > λ ..... PF intenzivního typu – rostoucí výnosy z rozsahu α + β < 1 → ρ < λ ..... PF extenzivního typu – klesající výnosy z rozsahu
•
13
CDPF – příklad Soubor: CV8_PR1.xls
Data:
y = objem produkce (tis. Kč) K = úroveň fixního kapitálu ve stálých cenách (tis. Kč) L = odpracované hodiny (tis. hod)
Zadání: Odhadněte statickou CDPF. Odhadněte dynamickou CDPF. Interpretujte pro rok 1979 (pro dynamickou CDPF): • relativní pružnost • mezní produkt kapitálu a práce • mezní míru substituce pracovních sil kapitálem • mezní míru substituce kapitálu pracovními silami • výnosy z rozsahu pro λ = 2 statická CDPF: y = AKαLβeu EViews → ls @log(y) c @log(k) @log(l) dynamická CDPF: y = AKαLβerteu EViews → ls @log(y) c @log(k) @log(l) @trend 14
CDPF – řešení – interpretace dynamické CDPF statická CDPF: 𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟒𝑲𝟎,𝟔𝟐𝟓 𝑳𝟏,𝟓𝟎𝟗 (kde log A = -8,308317 → A = e-8,308317 = 0,00024) dynamická CDPF: 𝒚 = 𝟐, 𝟗𝟐𝑲𝟎,𝟑𝟏 𝑳𝟎,𝟖𝟗 𝒆𝟎,𝟎𝟑𝒕 (kde log A = 1,071767 → A = e-8,308317 = 2,92)
relativní pružnost: - zvýši-li se K o 1 %, zvýši se Y o 0,31 %, ceteris paribus - zvýši-li se L o 1 %, zvýši se Y o 0,89 %, ceteris paribus - Y roste ročně o 3 % (hodnota 𝒆𝟎,𝟎𝟑𝒕 , musím 0,03*100 = 3 %), ceteris paribus mezní produkt kapitálu a práce pro rok 1979 𝑌 587798 𝑀𝑃𝐾 = 𝛼 = 0,31 = 0,2016 𝑡𝑖𝑠 𝐾č = 202 𝐾č 𝐾 903751 𝑀𝑃𝐾 = 𝛽
𝑌 587798 = 0,89 = 95, 33 𝑡𝑖𝑠 𝐾č = 95 330 𝐾č 𝐿 5500
mezní míra substituce pracovních sil kapitálem pro rok 1979 R = 0,0021 (pokud se K zvýší o 1000 Kč, L se sníží o 0,0021 tis. hod (2,1 hodiny)) mezní míru substituce kapitálu pracovními silami pro rok 1979 1/R = 476,2 (pokud se L zvýší o 1000 hodin, K se sníží o 476,2 tis. Kč) výnosy z rozsahu pro λ = 2 ρ = 20,31+0,89 = 2,3 → PF intenzivního typu – rostoucí výnosy z rozsahu 15
CDPF – příklad Soubor: CV8_PR2.xls
Data:
y = objem produkce (tis. Kč) K = úroveň fixního kapitálu ve stálých cenách (tis. Kč) L = odpracované hodiny (tis. hod)
Zadání: Odhadněte statickou CDPF. Odhadněte dynamickou CDPF. Interpretujte pro pozorování 18 (pro statickou CDPF): • relativní pružnost • mezní produkt kapitálu a práce • mezní míru substituce pracovních sil kapitálem • mezní míru substituce kapitálu pracovními silami • výnosy z rozsahu pro λ = 3 statická CDPF: y = AKαLβeu EViews → ls @log(y) c @log(k) @log(l) dynamická CDPF: y = AKαLβerteu EViews → ls @log(y) c @log(k) @log(l) @trend 16
CDPF – řešení – interpretace statické CDPF statická CDPF: 𝒚 = 𝟑, 𝟎𝟔𝟓𝟗𝟔𝟏𝑲𝟎,𝟑𝟔 𝑳𝟎,𝟔𝟑 (kde log A = 1,120361 → A = e-1,120361 = 3,065961) dynamická CDPF: 𝒚 = 𝟑, 𝟎𝟔𝟖𝟖𝟏𝑲𝟎,𝟑𝟓𝟕 𝑳𝟎,𝟔𝟑𝟏 𝒆𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟒𝒕 (kde log A = 1,12129 → A = e-1,12129 = 3,06881) relativní pružnost: - zvýši-li se K o 1 %, zvýši se Y o 0,36 %, ceteris paribus - zvýši-li se L o 1 %, zvýši se Y o 0,63 %, ceteris paribus mezní produkt kapitálu a práce pro pozorování 18 𝑌 8095,63 𝑀𝑃𝐾 = 𝛼 = 0,36 = 0,3196 𝑡𝑖𝑠 𝐾č = 319,6 𝐾č 𝐾 9119,70 𝑀𝑃𝐾 = 𝛽
𝑌 8096,63 = 0,63 = 4, 71 𝑡𝑖𝑠 𝐾č = 4 710 𝐾č 𝐿 1083,10
mezní míra substituce pracovních sil kapitálem pro pozorování 18 R = 0,068 (pokud se K zvýší o 1000 Kč, L se sníží o 0,068 tis. hod (68 hodin)) mezní míru substituce kapitálu pracovními silami pro pozorování 18 1/R = 14,735 (pokud se L zvýší o 1000 hodin, K se sníží o 14,735 tis. Kč) výnosy z rozsahu pro λ = 3 ρ = 30,36+0,63 = 2,97 → PF extenzivního typu – klesající výnosy z rozsahu 17
