EKONOMETRIE – 2. přednáška Modely chování výrobce I. • • •
analýza racionálního chování firmy při rozhodování o objemu výroby, vstupů a nákladů při maximalizaci zisku – základní princip při rozhodování výrobců
Produkční funkce • model popisující závislost objemu produktu q (výstupu) • na velikosti n vstupů x1, x2 , ... ,xn • q = f(x1, x2 , ... ,xn ). • model se dvěma vstupy: q = f(x1, x2 ). • analýza krátkodobého chování firmy: • jeden variabilní a jeden fixní vstup • • produkční funkce: funkce jedné proměnné (velikosti prvního vstupu): q = f(x). • produkční funkci předpokládáme, že je o rostoucí, o shora omezená o konkávní • Celkový produkt (TP > 0): TP = q = f(x). q f(x) • Průměrný produkt (AP > 0): AP = = . x x dq df(x) • Mezní produkt ( MP> 0, MP < 0): MP = = . dx dx •
•
• •
Podmínka 1. řádu pro maximum TP:
dq = 0, MP = 0 dx
q d x Podmínka 1. řádu pro maximum AP: = 0 , AP = MP. dx d 2q Podmínka 1. řádu pro maximum MP: =0 dx 2 pro maximalizaci – zápornost druhé derivace v bodě maxima
Elasticita relativní změna jedné proměnné vztažená k relativní změně jiné proměnné • • elasticitu výstupu q vzhledem ke vstupu x
• o
o
dq q ex = = MP dx AP x
3 oblasti hodnot proměnného vstupu x: nezajímavé oblasti (z pohledu výrobního plánování): – výstup roste rychleji než vstup – růst vstupu přináší pokles výstupu oblast efektivního výrobního rozhodování je mezi maximálním průměrným produktem a maximálním celkovým produktem, je tedy určena dvojicí bodů: 1) bod maxima průměrného produktu (AP = MP) 2) bod maxima celkového produktu (MP = 0)
Př. 1 Krátkodobá rovnováha firmy – předpokládejme produkční funkci s jedním proměnným vstupem q = f(x) – p cena produktu – c jednotkové variabilní náklady – r fixní náklady – zisková funkce je potom vyjádřena ve tvaru: z(x) = pf(x) – cx – r – maximalizace zisku – úloha na volný extrém: MP = c p produkční funkce se dvěma proměnnými (variabilními) vstupy • q = f(x1, x2) • funkce více proměnných (odpovídající matematický aparát) • předpoklad: produkční funkce je rostoucí, shora omezená a konkávní, z toho plyne •
∂f > 0, ∂f > 0. ∂x2 ∂x1
• •
pro každý objem q0 určuje řešení rovnice f(x1, x2) = q0 množinu všech možných kombinací vstupů, které produkují stejnou hodnotu výstupu grafickým vyjádřením těchto kombinací jsou izokvanty pro různé hodnoty q dostáváme systém izokvant (obr.)
•
záporně braný poměr změn
•
− dx2 se označuje jako mezní míra technické dx1
substituce změny hodnoty produkční funkce q = f(x1, x2) v závislosti na změnách vstupů udává totální diferenciál dq = ∂f dx1 + ∂f dx2 ∂x1 ∂x 2
zkoumáme změny vstupů na izokvantě, kde nedochází ke změně hodnoty ∂f dx2 ∂x1 produktu, tj. dq = 0, čili − = dx1 ∂f ∂x 2
Nákladové modely • při výrobním rozhodování je potřeba brát v úvahu náklady • označme c1, c2 – ceny vstupů 1, 2, r – fixní náklady, C – celkové náklady. • nákladová funkce – velikost celkových nákladů na velikosti vstupů C(x1, x2) = c1x1 + c2x2 + r . • pro každou úroveň nákladů C0 lze množství vstupu vyjádřit lineární rovnicí: c1x1 + c2x2 = C0 – r . graficky: nákladová přímka • o ta společně s osami x1 a x2 definuje přípustnou oblast pro kombinace vstupů, jejichž čerpání nepřekročí stanovenou úroveň celkových nákladů C0 (viz obr.) o … analogie s množinou přípustných řešení v úloze LP • dva typy úloh o maximalizace výstupu při zadaných celkových nákladech o minimalizace nákladů při zadané velikosti výstupu • jedná se o analogii s duálně sdruženými úlohami v LP Maximalizace výstupu při zadaných nákladech úloha na vázaný extrém: q = f(x1, x2) → MAX • při omezení c1x1 + c2x2 + r = C0 . • graficky: systém izokvant pro různé objemy výstupu a množinou přípustných kombinací vstupů • optimální hodnoty vstupů odpovídají bodu dotyku izokvanty na nákladové přímce •
k řešení úlohy na vázaný extrém: Lagrangeova metoda
•
Lagrangeova funkce pro tuto úlohu:
•
L(x1, x2,λ) = f(x1, x2) – λ [c1x1 + c2x2 + r – C0]. řešení soustavy podmínek 1.řádu je hledaným bodem maxima, jestliže je splněna podmínka 2. řádu (Hessova matice)
∂f dx c ∂x − 2 = 1 = 1 ∂f dx1 c2 ∂x2
Minimalizace nákladů při zadaném výstupu •
jedná se o úlohu na vázaný extrém: C = c1x1 + c2x2 + r → MIN při omezení
•
f(x1, x2) = q0
opět Lagrangeova metoda ∂f dx 2 ∂x 1 c1 − = = ∂f dx 1 c2 ∂x 2
• • •
• • • • •
• • •
Při maximalizaci výstupu při zadaných nákladech při minimalizaci nákladů při zadaném výstupu i při maximalizaci zisku (jak uvidíme za chvíli) musí být v bodě optima splněna uvedená podmínka která popisuje trajektorii rozvoje firmy pro každou zadanou úroveň výstupu q existuje kombinace vstupů (x1,x2), která minimalizuje náklady, a pro každou úroveň nákladů C existuje kombinace vstupů (x1,x2), která maximalizuje výstup trajektorie rozvoje je křivka spojující body (x1,x2), optimalizující kritérium výstupu nebo nákladů při různých zadaných hodnotách nákladů nebo výstupu závislost nákladů na výstupu: C(x1,x2) = c1x1 + c2x2 + r . ∂f ∂x1 c1 podmínka optimálního rozhodování: = , ∂f c2 ∂x2 (dostaneme vztah mezi proměnnými x1 a x2) vyjdeme z tvaru produkční funkce: q = f(x1x2) určíme hodnoty proměnných x1 a x2 v závislosti na hodnotě výstupu o x1(q) , x2(q). dosazením těchto hodnot do nákladové funkce dostaneme vyjádření nákladové funkce v závislosti na výstupu: C(q) = v(q) + r.
Nákladová analýza firmy: •
TC = VC + FC, kde TC = C(q) = v(q) + r, VC = v(q), FC = r
•
ATC = AVC + AFC, ATC =
• • • •
C( q ) v(q ) , AVC = , AFC = r . q q q
dC(q) dv(q) = . dq dq Analyzujme hodnoty průměrných celkových, průměrných variabilních a mezních nákladů dv v(q) Podmínka 1. řádu pro minimum AVC: = , AVC = MC . dq q dv v(q ) + r Podmínka 1. řádu pro minimum ATC: = , ATC = MC. dq q MC =
