e. 238 a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e Bilangan bulat ganjil positip disusun sebagai berikut Angka yang terletak pada baris 40, kolom 20 adalah

Soal Babak Penyisihan OMITS 2007 1

1

1. Jika𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 dengan R bilangan real. Jika𝑓 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 3 + 𝑥 3 maka nilai 𝑓 5 adalah… a. 5 5

b. 4 5

c. 3 5

d. 2 5

e.

2. Nilaidari ∞

𝑘=1

4𝑘 + 3.5𝑘+1 + 1 7𝑘

adalah… a. 30

b. 35

c. 39

d. 40

e. 45

3. Sukubanyak𝑥 3 + 5𝑥 2 + 𝑥 − 1 dan 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑎 − 1 𝑥 2 + 3𝑎𝑥 + 5 jika dibagi (𝑥 + 2)akan mempunyai nilai yang sama, makanilaiaadalah… a. 5

b. 4

c. -5

d. -4

e. 6

4. Jika 𝑎 ∶ 𝑏 = 2 ∶ 3, 𝑎. 𝑏 = 3 dan 𝑎 × 𝑏 = 4, maka 𝑎 + 𝑏 bernilai … 101

a.

6

b.

103 6

107

c.

d.

6

109 6

111

e.

6

5. Suku banyak 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + ⋯ − 𝑥17 dapat ditulis sebagai polynomial dalam 𝑦 = 1 + 𝑥. Koefisien 𝑦 3 adalah …. a. -3060 b. 3060

c. 2576

e. 238

d. -2576

1

6. Jika𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 0, maka nilai 𝑥 5 − 29𝑥 + 3 adalah … a. 3

b. -5

c. -9

7. Jika diketahui 𝑆𝑛 = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + −1

d. 8 𝑛−1

e. -7

. 𝑛 dimana 𝑛 = 1,2,3, … maka

𝑆17 + 𝑆23 + 𝑆50 adalah… a. -2

b. -1

c. 0

d. 1

e. 2

8. Bilangan bulat ganjil positip disusun sebagai berikut 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 … … … Angka yang terletak pada baris 40, kolom 20 adalah …

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

1

5

a. 140

b. 159

0

c. 160

d. 165

0

2

9

e.1799

9. Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 =

𝑥2

𝑥−5 − 5𝑥 + 6

maka tentukan semua nilai x yang memenuhi fungsi tersebut agar terdefinisi. a. 𝑥 < 2 atau 3 < 𝑥 ≤ 5

d. 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 atau x > 5

b. 𝑥 ≤ 2 atau 3 ≤ x ≤ 5

e. 𝑥 ≤ 2 atau x ≥ 5

c. 2 < 𝑥 < 3atau x ≥ 5 10. Sebuah karung berisi tiga kotak, dimana kotak tersebut berisi kelereng merah, kelereng hitam dan kelereng putih. Kotak pertama berisi 4 kelereng merah, 4 kelereng hitam, 3 kelereng putih. Kotak kedua berisi 5 kelereng merah, 2 kelereng hitam, 4 kelereng putih. Berapakah kemungkinan terambilnya kelereng putih? a.

175

b.

594

175

c.

198

3

d.

198

3 11

e.

1 9

11. Dapatkan determinan dari matrix ini log 2 3 1231 log 2 32

2513 4651 5026

cos 75 1111 2 cos 75

a.

2 cos 75° . log 2 3 4651

d. 0

b.

log 2 3 4651

e.

log 2 32 4651 2 cos 75°

c. 2513

12. Penyelesaian yang bulat positif dari persamaan 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) 115 = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 116 adalah… a. 231

b. 230

c. 116

d. 115

e. 58

13. Suatu darma wisata ditaksirakan memakan biaya sebanyak Rp. 12.600.000,-dan ini akan dipikul oleh semua pengikutnya sama rata. Kemudian ada tambahan 4 pengikut lagi sehingga biayanya naik menjadiRp. 13.000.000,-tetapi menyebabkan pengikut membayar Rp. 25.000,- kurang dari yang seharusnya dibayar. Berapa orang jumlah pengikut sekarang?

2


a. 20

b. 30

c. 40

d. 50

e. 60

d. 60

e. 62

1

14. Jika𝑥1/3 + 𝑥 −1/3 = 4, maka nilai 𝑥 + 𝑥 adalah… a. 32

b. 42

c. 52

15. Dari angka 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dibuat bilangan yang terdiri dari 4 angka berbeda. Peluang tersusun bilangan lebih dari 8000 dan habis dibagi 5 adalah… a.

1

b.

42

2

c.

81

1

d.

36

1

e.

9

2 3

16. Garis g sejajar garis3𝑥 − 𝑦 + 12 = 0 dan menyinggung kurva 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 − 6. Ordinat titik singgung garis g pada kurva tersebut adalah… a. -4

b. -12

c. -2

d. 2

e. 4

17. Daerah yang dibatasi𝑦 = 𝑥 2 , garis 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 dan sumbu y diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º. Volume benda putar yang terjadi adalah… 2

3

a. 2 15 𝜋

2

b.10 15 𝜋

c. 14 15 𝜋

3

d. 14 15 𝜋

2

e. 15 15 𝜋

18. P adalah titik pusat lingkaran luar segitiga ABC. Jikasin < 𝐶 = 𝑎maka sin < 𝐴𝑃𝐵 = … a. b.

1

𝑎 2 𝑎

1−𝑎 1−𝑎

2

2

c.

2𝑎

d.

2𝑎

1−𝑎

2

e.

2𝑎2

19. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Jika titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga PB = 2a dan titik Q pada perpanjangan FG sehingga QG = a, maka PQ = … a. 𝑎 5

b. 2𝑎 2

d. 4𝑎

c. 𝑎 7

e. 3𝑎

20. Banyaknya himpunan penyelesaian yang real dari persamaan : 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 + 4 𝑥 + 5 = 360 adalah… a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

21. Jika AB = 2 dan sudut ABC = 60º maka luas yang diarsir adalah…

a. 𝜋 𝜋 b. 3 c. 𝜋 3 𝜋 d. 3+3 e.

2 𝜋 3

− 3


3

22. Jika𝑎 > 0, 𝑏 > 0 dan 𝑏 − 3 𝑥2 + 5 1 = 𝑥→𝑎 𝑎2 − 𝑥 2 𝑎 lim

Nilai𝑎 + 𝑏 = ⋯ a. 7 𝑑𝑥

23.

𝑥 2 −10

b. 13

c. 9

d. 15

= c.

3 C a. b.

e. 11

d.

1

ln

2 10 1

ln

2 10

𝑥+ 10

+𝐶

𝑥− 10

e.

−𝑥+ 10

+𝐶

𝑥− 10

1 2 10

ln

1 2

ln 10

1 2 10

ln

−𝑥− 10 𝑥− 10 𝑥+ 10 𝑥+ 10 𝑥− 10 𝑥− 10

+𝐶 +𝐶 +𝐶

24. Segitiga ABC siku – siku di B, BE tegak lurus AC dan DE sejajar AB, jika luas segitiga ABC = L dan sudut A = θ, maka luas segitiga BDE adalah… A.

C

B. C. D

E

D. E.

1 4 1 8

𝐿(1 − cos 4𝜃) 𝐿(1 − cos 4𝜃)

1 4 1 8 1 4

𝐿(1 + cos 4𝜃) 𝐿(1 − cos 𝜃)

𝐿(1 − cos 𝜃)

θ B

A 1 A

25.

B

4 Nilaicos 𝜃 pada gambar di samping adalah…

θ 2 D

4

A. B. C. D. E.

– 1/2 – 1/3 1/4 1/5 2/3


3

26. 𝑡 4 3 − 5𝑡 𝑑𝑡 = ⋯ 4

a. − 75 3 − 5𝑡 100

4/3

+𝐶

d.

3 − 5𝑡 5

4/3

+𝐶

c. − 100 3 − 5𝑡 5

4/3

+𝐶

b. −

3 3

75 4

3 − 5𝑡 5

4/3

1

e. − 25 3 − 5𝑡 5

+𝐶

4/3

+𝐶

27. Jika A + B + C = 360º maka nilai dari 𝐴 sin 2 sin

𝐵+𝐶 2

adalah… 𝐴

a. tan 2

c. sec 𝐴

𝐵+𝐶

e. 1

2

d. 0

b. cotan 2

28. Suku keempat dari 𝑥 − 2𝑦

10

adalah…

a. −240𝑥 7 𝑦 3

c. 960𝑥 3 𝑦 3

b. 120𝑥 3 𝑦 3

d. −960𝑥 7 𝑦 3

e. 240𝑥 7 𝑦 3

29. Nilai dari 3

lim

𝑥→0

8+𝑥 2−4 𝑥

Adalah… a. 1

c. ∞

b. 0

d. ½

e. 3

30. Turunan dari 𝑓 𝑥 =

sin 𝑥 sec 𝑥 1 + x tan 𝑥

adalah… a. b.

sec 2 𝑥 1+𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥

2

1+tan 𝑥 1+𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥 2

c. d.

1 1+𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥

e.

1+sec 2 𝑥 1+𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥 2

1 1+𝑥𝑡𝑎𝑛 𝑥 2

31. Jika x1 dan x2 merupakan akar persamaan𝑥 2 − 𝑎 − 1 𝑥 + 𝑎 = 0 nilai stationer dari 𝑥13 + 3𝑥1 𝑥2 + 𝑥23 dicapai untuk a = … a. 1 dan 3

c. 2 dan 3

b. 1 dan 2

d. -1


e. 0, -1 dan 1

5

32. Suatu data dengan rata – rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data dikalikan dengan p kemudian dikurangi dengan q didapat data baru dengan rata – rata 20 dan jangkauan 9. Nilai 2p + q adalah… a. 5

b. 6

𝜋

33. Untuk– 8 < 𝑥 <

𝜋 8

maka

c. 7

e. 9

1 − tan2 2𝑥 + tan4 2𝑥 − tan6 2𝑥 + ⋯ 𝑑𝑥

1

a. − 2 sin 2𝑥 + 𝑘 b.

d. 8

c.

1

sin 2𝑥 + 𝑘 2

d.

1 2 1 2

1

tan 2𝑥 + 𝑘

e. − 2 cos 2𝑥 + 𝑘

cos 2𝑥 + 𝑘

34. Nilai dari 𝑑 𝑥 2 sin 𝑥 ln 𝑑𝑥 1+𝑥 a. b. c.

2

1

cos 𝑥 − 2+2𝑥 𝑥 2 𝑥 2 𝑥

d.

1

cot 𝑥 + 2+2𝑥

=

2

+ cot 𝑥 − 𝑥

e.

2 𝑥

cosec 𝑥 +

1

1

2+2𝑥

2+2𝑥

1

cos 𝑥 + 2+2𝑥

35. Diketahui 𝑢dan𝑣 vector tak nol sebarang, 𝑤 = 𝑣 𝑢 + |𝑢|𝑣. Jika ∅ = (𝑢, 𝑤 ) maka … a. ∅ − 𝜃 = 90°

c. 𝜃 = 90°

b. ∅ = 𝜃

d. ∅ + 𝜃 = 90°

e. ∅ + 𝜃 = 180°

36. Diketahui suku banyak𝑓 𝑥 jika dibagi 𝑥 + 1 bersisa 8 dan dibagi 𝑥 − 3 bersisa 4. Suku banyak 𝑔 𝑥 jika dibagi 𝑥 + 1 bersisa -9 dan jika dibagi 𝑥 − 3 bersisa 15. Jika 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , maka sisa pembagian 𝑕 𝑥 oleh 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 adalah... a. −𝑥 + 7

c. −6𝑥 − 21

b. 6𝑥 − 3

d. 11𝑥 − 13

3𝑎+4𝑏

37. Jika 2−2𝑏 = 5, maka nilai dari a. 4

b. 4 ½

𝑎 2 +6𝑏 2 𝑎𝑏

e. 33𝑥 − 39

adalah… c. 5

d. 6

e. 7 ½

d. 6/5

e. 2

38. Jika 8 𝑦+ 𝑥 5 =3 = 𝑦 𝑥 + 24 5 5 , maka y bernilai… a. 4/5

6

b. 3/4

c. 1


39. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 buah keran. Dari keadaan penuh, dengan membuka keran pertama dan kedua saja tong itu dapat dikosongkan dalam waktu 70 menit, jika yang dibuka keran pertama dam ketiga saja tong itu kosong dalam waktu 64 menit, jika yang dibukakerankeduadanketiga, tong itukosongdalamwaktu 140 menit, jika keran itu dibuka bersama, tong dapat dikosongkan dalam waktu… menit. a. 45 1

40. 1−

b. 50

1

− 2

2−

c. 55

1

+ 3

1

− ⋯− 3−2

a. -46

2024 − 2025

b. -44

d. 60

e. 65

d. 45

e. 46

=⋯ c. 44

41. Pada barisan bilangan 4, x, y, 12 diketahui 3 suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Nilaix + y =… a. 0 atau 15

c. 1 atau 11

b. -1 atau 14

d. 2 atau 17

e. 2 atau 10 2

42. Harga x yang memenuhi persamaan

3+2 2

2

−

a. log

3− 2

2

c. log

b. log

3− 2

3

d. log 2 (1 + 2)

3−2 2

2

1+ 2

3

= 2 adalah…

e. log

3

2

43. Volume maksimum kerucut yang terletak di dalam bola yang berjari – jari R adalah… a.

32 81

𝜋𝑅 3

b.

32 27

𝜋𝑅 3

c.

15 64

𝜋𝑅 3

64

d.

81

𝜋𝑅 3

e.

64 26

𝜋𝑅 3

44. X dan Y bilangan nyata, X > 1999 dan Y > 2000. 1

𝑋 + 1999 + 𝑋 − 1999 + 2000 (𝑌 + 2000)(𝑌 − 2000) = 2 (𝑋 2 +

Jika1999

𝑌 2 ). Maka nilai dari X + Y =… b. 3999 3

a. 3999 2

d. 7998 3

c. 7998 2

e. 3999 5

45. 𝐶0𝑛 + 𝐶1𝑛 + 𝐶2𝑛 + … + 𝐶𝑛𝑛 = ⋯ a. 𝑛2

b. 3𝑛+1

c. 2𝑛

d. 2𝑛−1

e. 𝑛𝑛−1

46. 3 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 264 + 1 = ⋯ a. 3(2126 + 1) b.

1 2

d. 2128 − 1 e. 2128 + 6.264 +

2126 − 1

1

c. 3(2126 − 1) 3

47. Himpunan penyelesaian dari|2𝑥−3| ≥ 4 adalah… a. b.

9 8 9 8

≤𝑥≤

15

c. 𝑥 ≤

8 3

3

≤ 𝑥 ≤ 2 𝑎𝑡𝑎𝑢 2 ≤ 𝑥 ≤

15 8


d.

9 8

9 8

𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥

15 8

3

≤𝑥≤2

7

e.

3

≤𝑥≤ 2

15 8

48. Sebuah parabola 𝑦 = 𝑥 2 + 2 dilalui oleh dua garis singgung di titik A ( -2, 6 ) dan B (1,3). Berapa luas daerah yang dibatasi oleh busur AB, garis singgung di A dan garis singgung di B. a. 7/8

b. 𝑥 49. Nilai dari determinan 𝑎 𝑎 𝑎

9/8 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎 𝑎 𝑥 𝑎𝑎

c. 5/4

𝑥 − 𝑎 3 . 𝑥 + 3𝑎

c.

𝑥−𝑎

e. 9/4

𝑎 𝑎 adalah.. 𝑎 𝑥

a. 𝑥 4 − 𝑎4 b.

d. 7/4

d.

𝑥 − 𝑎 3 . 3𝑥 + 𝑎

e.

𝑥 − 𝑎 4 . 𝑥 + 3𝑎

3

4

𝑥(𝐶𝑂𝑆 2 6𝑥−1)

50. Nilailim𝑥→0 sin 3𝑥 tan 2 2𝑥 adalah … a. -3

b. 3

c. 0

d. -1

e. 1

51. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaanlog 3 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 ≤ log 3 2𝑥 + 2 adalah… a. -3

b. 3

52. Dapatkan integral berikut,

c. 0

d. -1

e. 1

sin3 𝑥 cos 5 𝑥 𝑑𝑥

a. sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐 b. c. d. e. 53.

1 15 1 24 1 6 1 4

cos4 𝑥 sin6 𝑥 + 𝑐 cos4 𝑥 sin6 𝑥 + 𝑐 1

𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 − 7 cos7 𝑥 + 𝑐 1

sin4 𝑥 cos 5 𝑥 + 6 cos6 𝑥 sin3 𝑥 + 𝑐

H

G

Titik P, Q dan R masing – masingterletakpadarusuk – rusuk BC, FG dan EH sebuahkubus ABCD.EFGH.Jika BP = 1/3 BC, FQ = 2/3 FG

R

dan ER = 2/3 EH, maka perbandingan luas irisan bidang melalui P,

Q

F

E

Q, dan R dengan luas permukaan kubusa dalah… A. 1 : 6 D

C P

A

8

B

B.

8∶6

C.

10 ∶ 6

D.

8 ∶ 18

E.

10 ∶ 18


54. lim𝑥→1

𝑎𝑥 −𝑏− 𝑥 𝑥−1

a. 1/8

1

= 2,nilaia + badalah… b. 4

d. 2

c. 1

e. 3

55. Jika pengetahuan logika diperlukan atau pengetahuan aljabar diperlukan, maka semua orang akan belajar matematika. Pengetahuan logika diperlukan dan pengetahuan computer diperlukan. Jika l adalah pengetahuan logika, a adalah pengetahuan aljabar, m matematika dan k adalah computer, maka apakah konklusi dari argumentasi di atas? a. m b. m v k

c. m ᴧ

d. 𝑚 ᴧ 𝑘 ⟹

e. a

a

k

56. Diberikan bilangan bulat 1, 2, … , 30. Dalam berapa cara dapat dipilih 3 bilangan yang berbeda sehingga jumlah dari 3 bilangan tersebut habis dibagi 3? a. 360

b. 100

c. 1250

e. 161

0

d. 1360

0

57. Jika diketahui expansi binomial adalah 𝑛

𝑥+𝑦

𝑛

= 𝑘=0

𝑛 𝑘 𝑛−𝑘 𝑋 𝑌 𝑘

Maka hitunglah jumlah koefisien suku – suku dalam 𝑥 + 𝑦 𝑛 ? a. 2𝑛

b. 𝑛2

c. 2𝑛

d.

1𝑛

e. n

2

58. Tentukan persamaan bidang antara V//U : x – y + z = 1 serta melalui titik potong bidang V1= x – 3 = 0, V2= y – 4 = 0, dan V3= z = 0 a. 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 7 = 0

d. 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 7 = 0

b. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 7 = 0

e. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 7 = 0

c. 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 7 = 0 59. Diberikan argument : 𝑝 ∧ 𝑞 ⟹ 𝑝 ⟹ 𝑠 ∧ 𝑡

dan 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟. Dari kedua argument

di atas kesimpulan apa yang dapat diperoleh?


9

a. 𝑠 ∨ 𝑡 b. 𝑠 ∧ 𝑡 c. 𝑝 ∧ 𝑞 ∧ 𝑟 d. 𝑝 ∧ 𝑟 ⟹ 𝑟 e. 𝑝 ∨ 𝑟 60. Berapa banyak cara semut dapat memakan gula dengan melintasi satuan – satuan panjang kawat tersebut dengan lintasan terpendek? semut a. b. c. d. e.

35 31 30 27 19

gula

10


Soal Babak Semifinal OMITS 2007 1. Hubungan antara a dan b agar fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏 cos 𝑥 mempunyai nilai 𝜋 stasioner di 𝑥 = 3 adalah … a. 𝑎 = 𝑏

d. 𝑎 3 = 3𝑏

b. 𝑎 3 = 𝑏

e. 𝑎 = 𝑏 3

c. 3𝑎 = 𝑏 3 2. Untuk interval 0 < 𝑥 < 360°, nilai 𝑥 yang nantinya akan memenuhi persamaan 1

trigonometri 2 + 2 cos 𝑥° − 2 sin 𝑥° = 2 3 cos 22 2 ° adalah… a. {7 ½ °, 367 ½ °} b. {67 ½ °, 307 ½ °} c. {7 ½ °, 307 ½ °}

d. {307 ½ °, 367 ½ °} e. {67 ½ °, 367 ½ °}

3. 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 dan 𝑥4 adalah akar – akar dari persamaan : 𝑥 4 + 𝑚 − 5 𝑥 3 − 𝑚 + 3 𝑥 2 − 𝑚 − 1 𝑥 + 2𝑚 = 0.

Jika𝑥

𝑥 1 +𝑥 2 +𝑥 3 +𝑥 4 1 𝑥 2 +𝑥 2 𝑥 3 +𝑥 3 𝑥 4 +𝑥 4 𝑥 1 +𝑥 2 𝑥 4 +𝑥 1 𝑥 3

< 0,

maka

batas – batas nilai m adalah … a. m < -3 atau -3< m <1

d. m < -3 atau m >5

b. -3<m < 1 atau m >5

e. m >5

c. m < -3 atau 0< m <5 4. Pada ∆ABC ditarik garis – garis bagi AD dan BE. Kedua garis bagi tersebut saling 𝐴𝐸

berpotongan. Jika AB = 1, BC = 15 dan CA = 24, maka nilai 𝐵𝐷 adalah… a. 4,5

b. 4

c. 3,5

d. 3

e. 2

5. Nilai dari satu bilangan asli ditulis secara berurutan 12345678910111213…… angka digit yang berada pada posisi 2001 adalah… a. 8

b. 3

c. 7

d. 2

e. 5

6. Keliling suatu segitiga adalah p. Suatu titik q berada di dalam segitiga tersebut. 𝑝 Jika jumlah jarak dari titik q ketiga sisi segitiga adalah s, maka nilai 𝑠 adalah… a. 2 3

b. 3 3

c.

3 2

3


d.

2

e. 3 2

11

1

7. Diketahui 𝑓 𝑥 = 1−𝑥 . Jika 𝑓1 𝑥 = 𝑓(𝑥) dan untuk k = 2,3,5,… berlaku 𝑓𝑘 𝑥 = 𝑓(𝑓𝑘−1 𝑥 ), maka nilai 𝑓2006 (2006) adalah… a. 1

b.

2003

c.

2006

2005

2007

d.

2006

e. 2

2006

8. Bilangan bulat positip n jika berturut – turut dibagi 2, 3, 4, 5 dan 6, masing – masing bersisa 1, 2, 3, 4 dan 5. Bilangan n terkecil adalah … a. 40

b. 55

c. 60

d. 120

e. 140

9. Barisan : 9,99,999,9999,………,9999…9 jika dijumlahkan akan mempunyai jumlah 99 angka 9 angka digit … a. 99

b. 98

c. 97

d. 100

10. Jika 𝑎 = lim𝑦 →∞ 2𝑦 + 1 − 4𝑦 2 − 4𝑦 + 3 geometri 1 + log 𝑎 (sin 𝑥) + log 𝑎 sin 𝑥 pada selang … a. b.

𝜋 6 𝜋 6

<𝑥< <𝑥<

𝜋

c.

2 𝜋

d.

4

𝜋 4 𝜋 4

2

𝜋

maka untuk 0 < 𝑥 < 2 , deret

+ log 𝑎 sin 𝑥

<𝑥< <𝑥<

e. 103

3

+ ⋯, konvergen hanya

𝜋

e.

3

𝜋 3

<𝑥<

𝜋 2

𝜋 2

11. Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3. Peluang Pak Badu terpilih 0,5. Kalau Pak Ali terpilih, maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih, maka peluang kenaikan iuran adalah masing – masing 0,1 dan 0,4. Bila seorang merencanakan masuk jadi anggota koperasi tersebut tapi menundanya beberapa minggu dan kemudian mengetahui bahwa iuran telah naik. Berapakah peluang Pak Cokro terpilih jadi ketua? a. 5/37

b. 6/37

c. 7/37

d. 8/37

e. 9/37

12. Sebagai kawat panjangnya 10 m dilengkungkan bentuk tutup terdiri empat persegi panjang dan setengah lingkaran, agar luas bangunan maksimum maka jari – jari lingkaran adalah… a.

5

b.

𝜋+4

13. Nilai

x

dan

5 𝜋+2

y

c.

10 𝜋+2

yang memenuhi 1 = log 𝑥 100 log 𝑦

d.

10 𝜋+3

system

log 𝑥 𝑦 𝑥 = log 𝑦 𝑥 𝑦

12


e.

10 𝜋+4

persamaan

adalah … a. 16 dan 4

c. 2 dan 4

b. 2 dan 8

d. 8 dan 16

e. 4 dan 8

14. Diketahui PA membentuk sudut 𝛼° dengan garis l, AB ┴ PA, A’ dan B’ masing – masing proyeksi dari titik – titik A dan B pada garis l. Jika PA = 4 satuan, AB = 3 satuan dan besar sudut 𝛼 berubah – ubah, maka selisih nilai terbesar dan terkecil dari BB’ adalah… a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

15. Dalam paradoks Zeno versi lain, Archiles mampu berlari sepuluh kali lebih cepat dibandingkan kura – kura, tetapi kura – kura tersebut melakukan “start” 100 meter di depannya. Menurut Zeno, Archilles tidak akan mampu mengejar kura – kura karena ketika Archilles berlari 100 meter, kura – kura telah bergerak 10 meter di depannya, ketika Archiles berlari 10 meter, kura – kura telah bergerak 1 meter di depannya, dan seterusnya. Tugas anda adalah meyakinkan Zeno bahwa Archiles bisa mengejar kura – kura dan mengatakan kepadanya berapa meter tepatnya Archiles harus berlari untuk melakukan hal ini. 1

a. 110 3

1

b. 110 9

1

c. 111 3

1

d. 111 9

1

e. 112 3

16. Diagram pada gambar di bawah ini mempresentasikan segitiga sama sisi dimana di dalamnya terdapat banyak lingkaran tak terhingga yang bersinggungan dengan segitiga dan lingkaran tetangganya, dan mengarah ke sudut – sudut segitiga. Berapa bagiankah luas dari segitiga yang ditempati oleh lingkaran – lingkaran ?


13

a. b. c. d.

7𝜋 6 9𝜋 8 10𝜋 9 11𝜋 10

17. Banyaknya penyelesaian dari 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 7 dengan 𝑥𝑖 adalah bilangan bulat non-negatif, adalah… a. 110

b. 115

c. 120

d. 125

e. 130

18. Jika 𝐴 = {1,2,3,4,5,6,7} dan 𝐵 = {𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧}, maka banyaknya pemetaan surjektif dari A ke B adalah… a. 8211

b. 8400

c. 8478

d. 8500

e. 8575

19. Perhatikan gambar di bawah ini. Jika mula – mula Maman berada pada tempat dengan koordinat (1,2) kemudian berpindah ke tempat (7,5), maka ada berapa cara Maman pindah ke tempat yang dimaksud? Perpindahan hanya boleh ke kanan dan ke atas. a. 62 b. 67 c. 79 d. 84 e. 87

20. Hitung pendekatan fraksional berikut 1

1+ 1+

a. 21.

14

1+ 5 2 1 ∞ 𝑛=1 𝑛 2 +𝑛

b.

2+3 5 4

1 1 1+1+⋯

c.

1+2 5 2

d.

1+2 5 4

konvergen jika lim𝑛 →∞ 𝑆𝑛 ada. Nilai dari deret itu adalah…


e.

2+ 5 2

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

22. Besar jari – jari dan tinggi tabung dengan isi terbesar yang dibuat dalam bola berjari – jari R adalah… a. 𝑟 = 𝑅 2, 𝑕 = 𝑅 2 b. 𝑟 = 𝑅 2, 𝑕 =

c. 𝑟 = 𝑅 2

d. 𝑟 =

𝑅 2 2 𝑅 2 2

,𝑕 = 𝑅 2 ,𝑕 =

e. 𝑟 =

𝑅 2 2

,𝑕 =

𝑅 2 2

𝑅 2 2

2

23. Suatu cairan pembersih sedimen dituangkan melalui filter berbentuk kerucut. Diasumsikan ketinggian kerucut 16 m dan jari – jari dasar kerucut 4 m. Jika cairan mengalir keluar dari kerucut dengan laju 2 m3/menit, ketika ketinggian 8 m berapa cepat kedalaman cairan brubah ketika itu? a. 0,64 m/menit

d. 0,5 m/menit

b. 0,128 m/menit

e. 0,32 m/menit

c. 0,16 m/menit 24. Nilai dari a.

3

4𝑥 3 − 12𝑥 + 9

2𝑥 − 3

7

5 3

+

2/3

𝑑𝑥 adalah… c.

2 7

𝐶 b.

3 7

5 3

2𝑥 − 3

+

e.

𝐶 d.

3 + 𝐶

3

7

2𝑥 − 3

5 3

+

𝐶

2𝑥 − 7 3

1

7 3

2

2𝑥 −

7

+𝐶

25. Segiempat mempunyai sudut bawah pada sumbu x dan dua sudut atas pada kurva 𝑦 = 16 − 𝑥 2 . Jika panjang dari segiempat berada di sumbu x, lebar dari segiempat agar luas segiempat tersebut maksimum adalah… a. 3 0/3

c.

b. 31/3

2/3

26. Jika 𝑍 = 4. Tentukan a dan b sehingga 𝑎 ≤ 63

a. 𝑎 = 𝑧 3 −1 , 𝑏 =

3 d. 33/3 e. 34/3

𝑧 3 +1 𝑧 3 −1

64

b. 𝑎 = 𝑧 3 −1 , 𝑏 =

≤𝑏 65

c. 𝑎 = 𝑧 3 −1 , 𝑏 =

65

65

67

𝑧 3 −1

𝑧 3 −1

𝑧 3 −1


15

66

d. 𝑎 = 𝑧 3 −1 , 𝑏 =

67

e. 𝑎 = 𝑧 3 −1 , 𝑏 =

68

69

𝑧 3 −1

𝑧 3 −1

27. Bidang datar 𝐻: 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0 memotong bola 𝐵: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 − 10 = 0 menurut sebuah lingkaran. Berapa titik pusat lingkaran potong tersebut? 1 2

a.

2

, ,−3

c.

3 3

b.

2 1

2

3 3

3

, ,−

d.

1 3

2 2

,−3,3

e.

2 1 2

−3,3,3

2 2 1

− , ,

3 3 3

28. Nilai dari sec 6 𝑥 𝑑𝑥 adalah… a. b.

1 5 1 5

2

tan5 𝑥 + 3 tan2 𝑥 + tan 𝑥 + 𝐶 2

tan5 𝑥 + 3 tan3 𝑥 + tan2 𝑥 +

d. e.

1 5 1 5

2

tan5 𝑥 + 3 tan4 𝑥 + tan 𝑥 + 𝐶 2

tan5 𝑥 + 3 tan3 𝑥 + tan 𝑥 + 𝐶

𝐶 c.

1 5

2

tan5 𝑥 + 3 tan4 𝑥 + tan3 𝑥 +

𝐶 29. 𝑌 = sin 𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 diputar pada garis l yang melalui titik – titik A(-1,0) dan B(0, -1). Berapakah volume benda putar yang terjadi? a.

3𝜋 2 +4𝜋 4 2

5𝜋 2 +8𝜋

b.

2 2 7𝜋 2 −2𝜋

c.

3 2 7𝜋 2 +2𝜋

d.

3 2

e.

16

9𝜋 2 −4𝜋 4 2


30. ABCD adalah persegi dengan panjang sisinya 1 m. Busur lingkaran dengan pusat A, B, C, D terlihat seperti gambar luas daerah yang diarsir adalah… 1 c. 1 − 2 3 + 3 𝜋 𝑚2 1

a.

1 + 3 + 3 𝜋 𝑚2

b.

1 − 3 + 3 𝜋 𝑚2


1

d.

1 + 2 3 − 3 𝜋 𝑚2

e.

1 − 2 3 − 3 𝜋 𝑚2

1

1

17

Soal Babak Penyisihan OMITS 2008 1.

Banyak pembagi positif dari 2.520.000 adalah . . . . . a. 105

2.

b. 140

c. 175

d. 210

e.245

Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 5 cm. Tentukan panjang busur ketiga lingkaran tersebut . . . . . a. 75 𝜋 cm b.

175

𝜋 cm

2

c. 50 𝜋 cm d. 25 𝜋 cm e. 3.

75 2

𝜋 cm

Berapa banyak cara semut dapat memakan gula dengan melintasi satuan-satuan panjang kawat tersebut dengan lintasan terpendek?

semut

a. 35 b. 31 c. 30

gula

d. 27 e. 19 4.

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥

Invers dari 𝑦 = 𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 adalah . . . . . a. ln 𝑥 + 𝑥 2 + 1 b. ln 𝑥 + 𝑥 2 − 1 c. d.

1 2 1 2

𝑥−1 1+𝑥

ln

e. ln 5.

𝑥+1

ln

1−𝑥 1

+ 𝑥

1+𝑥 2 𝑥

Suku banyak 1 − 𝑥 + 𝑥 2 − 𝑥 3 + … − 𝑥17 dapat ditulis sebagai polynomial dalam 𝑦 = 1 + 𝑥 . Koefisien 𝑦 3 adalah . . . . . a. -3060 b. 3060 c. 2576 d. -2576 e. 2381

6.

Diketahui 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑎 ≠ 0 . Jika 𝑎, 𝑓 𝑎 , 2𝑏 membentuk barisan aritmatika dan 𝑓 𝑏 = 6 maka 18

1 𝑓 0

𝑥 𝑑𝑥 = . . . . .


a. b. c. d. e. 7.

17 4 21 4 25 4 13 4 11 4

Jika untuk segitiga ABC diketahui :

cos 𝐴 cos 𝐵 = sin 𝐴 sin 𝐵 maka segitiga ABC sin 𝐴 cos 𝐵 = cos 𝐴 sin 𝐵

adalah segitiga . . . . . a. Tumpul b. Samakaki c. Siku-siku tak samakaki d. Samakaki tak siku-siku e. Siku-siku dan samakaki 8.

4

Parabola 𝑦 = 𝑘𝑥 2 − 9 𝑥 + 1 memotong sumbu 𝑦 dititik (0, 𝑝) serta memotong sumbu 𝑥 dititik 𝑞, 0 dan (𝑟, 0) . Jika 𝑝, 𝑞, 𝑟 membentuk barisan geometri yang jumlahnya 13 , maka 𝑘 = . . . . . a. b. c.

1 27 4 27 1 9

d. 3 e. 1 9.

Jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi (2𝑥 2 − 6𝑥 + 4)𝑥

2 −7𝑥−60

= 1 adalah . . . . .

a. 0 b. 2 c. 5 d. 7 e. 10 10. Jika 𝑥1 dan 𝑥2 memenuhi persamaan 2 log 𝑥 − 1

xlog

1 10

= log 10, maka 𝑥1 𝑥2 = . . . .

. a. 5 10 b. 4 10 c. 3 10 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

19

d. 2 10 10

e.

1

11. Pada ∆𝐴𝐵𝐶 diketahui cos 𝐶 = − 10 10 . Jika tan 𝐴 + tan 𝐵 = 1 maka tan 𝐴 𝑡𝑎𝑛 𝐵 = . . ... 1

a.

3

b. 4 2

c.

3

d. 2 3

e.

4 1

1

1

12. Jumlah suku pertama deret alog 𝑥 + alog 𝑥 2 + alog 𝑥 3 + ⋯ adalah . . . . . a. −55 alog 𝑥 b. −45 alog 𝑥 1 a

c.

55 1 a

d.

45

log 𝑥 log 𝑥

e. 55 alog 𝑥 𝑥 2 +𝑥−2

13.

3𝑥 3 −𝑥 2 +3𝑥−1

𝑑𝑥 = . . . .

7

2

3

a. − 15 ln 3x − 1 + 5 ln x 2 + 1 + 5 tan−1 x + c 7

2

3

b. − 15 ln 𝑥 − 1 + 5 ln 𝑥 2 + 5 tan−1 𝑥 2 + 𝑐 c.

4 15

3

ln 𝑥 + 1 + 5 tan−1 𝑥 + 𝑐 7

2

d. − 15 ln 𝑥 − 1 + 5 ln 𝑥 + 1 + 𝑐 7

4

3

e. − 15 ln 2𝑥 − 1 + 15 ln 𝑥 2 + 5 + 5 tan−1 𝑥 + 𝑐 1

14. Dapatkan volume benda padat yang terjadi bila daerah antara 𝑓 𝑥 = 2 + 𝑥 2 dan 𝑔 𝑥 = 𝑥 yang terletak pada [0,2] diputar terhadap sumbu x . a. b. c. d. e.

20

69𝜋 10 𝜋 10 3𝜋 8 69 𝜋 𝜋 70


15. Dapatkan nilai dari 3

a.

4

𝜋

5 3

c.

𝜋

4

d. e.

𝜋

5

b.

∞ 3 −𝑥 𝑥 2 𝑒 𝑑𝑥 0

5

𝜋

8 2

𝜋

5

6𝑘 ∞ 𝑘=1 3𝑘 +1 −2𝑘+1 3𝑘 −2𝑘

16.

=.....

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 𝑑𝑦

17. Dapatkan 𝑑𝑥 jika 𝑦 = ln a.

1−cos 𝜋𝑥 1+cos 𝜋𝑥

𝜋 sin 𝜋𝑥 𝜋

b. 𝜋 cos 2 𝑥 c. 𝜋 sin 𝜋𝑥 d. 𝜋 cos 𝜋𝑥 e.

𝜋 2

𝜋

sin 2 𝑥

18. 3 22 + 1 24 + 1 28 + 1 216 + 1 232 + 1 264 + 1 = . . . . . a. 2128 − 1 b. 3 2126 + 1 c. 3 2126 − 1 d. 2128 + 6 e.

1 2

2128 + 1

19. Sebuah kerucut tegak tanpa alas diletakkan terbalik. Kedalam kerucut dimasukkan sebuah bola yang berdiameter 16 cm sehingga semua bagian bola masuk kedalam kerucut. Kerucut dengan volume terkecil yang mungkin mempunyai ukuran tinggi . . . . . cm. a. 8 2 b. 8 3 c. 16 2 d. 24 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

21

e. 32 20. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥 + 𝑞 dan 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥

= 8𝑥 + 21 , maka 𝑝 + 𝑞 = . . . . .

a. 5 b. 2 c. 3 d. 8 e. 21 21. Jika 𝑎 = 0,333 … .. dan 𝑏 = a.

3 3 3 3 … , maka log 𝑎𝑏 = . . . . .

1 3

b. 1 c. 0 d. 3 e. 2 22. Jumlah dari koefisien 𝑥 21 dan koefisien 𝑥17 dalam suku banyak 1 + 𝑥 5 + 𝑥 7

20

adalah .

.... a. 4560 b. 3420 c. 1140 d. 4650 e. 3240 23. Antara 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan. Bilangan ini bersama dengan bilangan semula membentuk sebuah deret hitung. Jumlah deret hitung adalah . . . . . a. 952 b. 884 c. 880 d. 816 e. 768 𝑛 3 𝑘=1 𝑘

24. Diberikan

= 13 + 23 + … + 𝑛3 . Jika 𝑛 = 100, maka hasil jumlahan tersebut

adalah . . . . . a.

6060

2

b.

5050

2

c.

6060

3

d.

5050

22


10000

e.

3

25. Akar-akar peramaan 3𝑥 3 − 3𝑝 + 2 𝑥 2 + 52𝑥 − 24 = 0 membentuk barisan geometri , maka jumlah semua akar-akarnya adalah . . . . . a. b. c. d. e.

32 3 29 3 26 3 22 3 19 3

26. Ditentukan rasio deret geometri tak hingga adalah 7log(4𝑥 − 1) . Jika deret ini mempunyai jumlah (konvergen), maka nilai 𝑥 yang memenuhi adalah . . . . . a. b. c. d. e.

2 7 3 2 2 7

3

<𝑥<2 <𝑥<2 <𝑥<2

1

1

<𝑥<2 4 1 4

<𝑥<2

27. 𝑋 dan 𝑌 bilangan nyata, 𝑋 > 1999 dan 𝑌 > 2000. Jika 1999

𝑋 + 1999 + 𝑋 − 1999 + 2000

1

𝑌 + 2000 𝑌 − 2000 = 2 𝑋 2 + 𝑌 2 .

Maka nilai dari 𝑋 + 𝑌 = . . . . . a. 3999 2 b. 3999 3 c. 7998 2 d. 7998 3 e. 3999 5 𝑞−𝑠

28. Jika tiga bilangan 𝑞, 𝑠, dan 𝑡 membentuk barisan geometri, maka 𝑞−2𝑠+𝑡 = . . . . . a. b. c. d. e.

𝑠 𝑠+𝑡 𝑠 𝑠−𝑡 𝑞 𝑞+𝑠 𝑠 𝑞−𝑠 𝑠 𝑞+𝑠


23

29. Andaikan 30 siswa dalam suatu kelas mempunyai nilai ujian yang berbeda satu dengan yang lainnya dan setiap dua nilai yang berdekatan berbeda 0,3 . Jika nilai rata-rata 75 , maka nilai tertinggi adalah . . . . . a. 87,25 b. 82,25 c. 81,25 d. 79,35 e. 73,55 30. 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 dan 𝑥4 adalah akar-akar dari persamaan : 𝑥 4 + 𝑚 − 5 𝑥 3 + 𝑚 + 3 𝑥 2 − 𝑚 − 1 𝑥 + 2𝑚 = 0 . Jika 𝑥

𝑥 1 +𝑥 2 +𝑥 3 +𝑥 4 1 𝑥 2 +𝑥 2 𝑥 3 +𝑥 3 𝑥 4 +𝑥 4 𝑥 1 +𝑥 2 𝑥 4 +𝑥 1 𝑥 3

< 0, makabatas-batas nilai 𝑚

adalah . . . . . a. 𝑚 < −3 atau − 3 < 𝑚 < 1 b. −3 < 𝑚 < 1 atau 𝑚 > 5 c. 𝑚 < −3 atau 0 < 𝑚 < 5 d. 𝑚 < −3 atau 𝑚 > 5 e. 𝑚 > 5 31. Persamaan bola yang melalui titik T(3,2,3) serta memotong tegak lurus bola-bola B1 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2𝑥 + 1 = 0 B2 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥 + 1 = 0 B3 : 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 3𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 adalah . . . . . 7 2

a. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 − 2 7 2

b. 𝑥 2 + 𝑦 − 2

+ 𝑧2 = 7 2

c. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 + 2

7 2

d. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 − 2 7 2

e. 𝑥 2 + 𝑦 − 2

=

= =

53 4 53 4 51 4 51 4 7 2

+ 𝑧−2

𝑥 2 −3

=

32. Jika 𝑡 = 3𝑥+7 , maka log 1 − 𝑡

53 4

dapat ditentukan untuk . . . . .

a. 2 < 𝑥 < 6 b. −2 < 𝑥 < 5 c. −2 ≤ 𝑥 ≤ 6 d. 𝑥 ≤ −2 atau 𝑥 > 7

24


e. 𝑥 < −1 atau 𝑥 > 3 33. Misal 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 dengan 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 + 𝑥 3 + 1 untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 , dan 𝑔 𝑥 = 𝑓 −1 (𝑥) . Berapakah nilai 𝐹 ′ (3) ? a. 33 b. 44 c. 55 d. 66 e. 77 34. Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 dan 𝑔 𝑥 =

9−𝑥 2 𝑥 2 −4𝑥

, maka domain dari (𝑓 + 𝑔) adalah . . . . .

a.

𝑥 −3 ≤ 𝑥 ≤ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 3 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑥 ∈ 𝑅

b.

𝑥 −3 ≤ 𝑥 ≤ −1, 𝑥 ∈ 𝑅

c.

𝑥 −3 ≤ 𝑥 < 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 3 ≤ 𝑥 < 4, 𝑥 ∈ 𝑅

d.

𝑥 −3 ≤ 𝑥 < 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑥 ∈ 𝑅

e.

𝑥 −3 ≤ 𝑥 ≤ −1 𝑎𝑡𝑎𝑢 1 ≤ 𝑥 ≤ 4, 𝑥 ∈ 𝑅

35. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut (2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20),..... Bilangan yang terletak ditengah pada kelompok ke15 adalah . . . . . a. 170 b. 198 c. 226 d. 258 e. 290 36. Keliling suatu segitiga yang sisi-sisinya membentuk deret aritmatika adalah 12 cm. Jika sudut dihadapan sisi terpanjang adalah 120° , maka luas segitiga tersbut adalah . . . . . a. b. c. d. e.

12 5 12 7 11 5 13 15 3 5

3 3 5 3 3

37. Eko dan Dwi bermain lotere dengan cara bergantian melemparkan sepasang dadu. Bagi yang pertama mendapatkan jumlah 7 akan menjadi pemenangnya. Sebut orang pertama adalah orang memulai lemparan pertama pada urutan pertama, kedua adalah orang Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

25

melakukan lemparan pertama pada urutan kedua. Tentukan peluang bahwa orang pertama akan menang. a. b. c. d. e.

6 11 5 36 1 6 5 6 5 11

38. Jika 𝑛 = lim𝑦 →0 3𝑦 + 2 − 9𝑦 2 + 1 , maka untuk 0 < 𝑥 <

𝜋 2

deret 1 + nlog(sin 𝑥) +

n

log2(sin 𝑥) + n log3(sin 𝑥) + ⋯ konvergen hanya pada selang . . . . .

a. b.

𝜋 6 𝜋 4

<𝑥< <𝑥<

c. 0 < 𝑥 < d. e.

𝜋 4 𝜋 3

<𝑥< <𝑥<

𝜋 2 𝜋 2 𝜋 2 𝜋 3 𝜋 2

39. Sebuah talang air akan dibuat dari lembaran seng yang lebarnya atas tiga bagian yang sama, seperti terlihatpada gambar. Jika 𝜃 menyatakan besar sudut dinding talang tersebut dengan bidang alasnya 0 < 𝜃 <

𝜋 2

maka volume air yang tertampung paling banyak

adalah bila 𝜃 sama dengan . . . . . a. 75° b. 60° c. 45° d. 30° e. 22,5° 40. Pada segitiga ABC diberikan A1 pertengahan sisi AC, B1 pertengahan sisi BC, A2 pertengahan sisi A1C, B2 pertengahan sisi B1C , dan seterusnya. Sehingga didapat An pertengahan sisi An-1C dan Bn pertengahan sisi Bn-1C. Jika 𝑆 = 𝐴𝐵 + 𝐴1 𝐵1 + 𝐴2 𝐵2 + … + 𝐴𝑛 𝐵𝑛 , maka S adalah . . . . . a. 4𝐴𝐵 b. 2𝐴𝐵 c.

3 2

𝐴𝐵

d. 5𝐴𝐵 26


e. Tak hingga 41. Garis 𝑕 menyinggung parabola dititik 𝑝 dengan absis −1. Jika garis 𝑔 tegak lurus 𝑕 di 𝑝 ternyata melalui (0,0) maka 𝑎 adalah . . . . . a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 42. Berbentuk apakah grafik dari persamaan berikut 𝑥 + 2

2

− 𝑦−3

2

= 4𝑥 + 6𝑦 − 5

adalah . . . . . y

a.

x

√18

-√18

b.

y

√18

x -√18

y

c.

x -√18

y

d.

√18

x


27

y

e.

√18

x

43. Sebuah kantong memuat 3 koin, satu koin mempunyai muka pada kedua sisinya , sedang dua koin yang lainnya normal. Satu koin dipilih secara acak dari kantong dilempar 3 kali. Jika muka muncul 3 kali, berapa peluang bahwa itu berasal dari koin yang mempunyai 2 muka. a. b. c. d. e.

1 12 5 12 4 5 3 5 2 5

44. Diketahui dua buah setengah lingkaran yang sama dan sebuah lingkaran yang saling bersinggungan dan terletak dalam sebuah siku empat (empat persegi panjang) seperti dalam gambar. Maka nilai r adalah . . . . . a. b. c. d. e.

2 3 1 3 3 5 2 5 1 5

𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎

45. Nilai n yang memenuhi

4+6+ …+2(𝑛+1) 2𝑛−3

= 5 + 4(0,2)1 + 4(0,2)3 + … adalah . . . . .

a. 2 dan 3 b. 2 dan 5 c. 2 dan 6 d. 3 dan 5 e. 3 dan 6

28


Soal Babak Penyisihan OMITS 2011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan … A. Bulat

B. Asli

C. Rasional

D. Real

E. Irasional

2. Adi dan Beni membersihkan rumah setiap 6 dan 9 hari sekali. Jika keduanya membersihkan rumah pertama kali secara bersamaan pada hari senin tanggal 7 Februari 2011, maka keduanya akan membersihkan rumah secara bersamaan untuk kedua kalinya pada hari senin tanggal … A. 20 Maret 2011

B. 21 Maret 2011

D. 13 Juni 2011

E. 17 Oktober 2011

C. 12 Juni 2011

3. C

A

D

B

Jika diketahui panjang 𝐴𝐵 = 20 cm, panjang 𝐵𝐶 = 5 cm, dan besar sudut 𝐶𝐵𝐷 = 75°, maka nilai dari tan ∠𝐵𝐴𝐶 adalah … 6− 2

A. 16+

6+ 2

6+ 2

B. 16+

6− 2

C.

16+ 6− 2 6+ 2

D.

16+ 6+ 2 6− 2

E.

20+ 6− 2 6+ 2

4. Didefinisikan sebuah operasi bilangan ∗ mengoperasikan 2 bilangan bulat 𝑎 dan 𝑏 dengan definisi 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑎𝑏 Jika𝑥 ∗ (2 ∗ 𝑥) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat 𝑥 yang memenuhi adalah … A. -5

B. -1

C. 0


D. 1

E. 5

29

5. Bentuk paling sederhana dari 1 − 2+ 2+ 2+⋯ 4

49 + 2400 adalah … A. 3 − 2

B. 3 + 2

C. 5 + 2 6

2

D.

5+2 6

1

E. 5+2

6

6. Bilangan 2011! memiliki digit 0 di posisi paling belakang pada representasi desimalnya sebanyak … A. 499

B. 500

C. 501

D. 502

E. 506

7. Dalam sebuah termasuk perguruan tinggi negeri, peluang Adi diterima 0,8, peluang Budi diterima 0,75, peluang Edi diterima 0,7, dan peluang Tedi diterima 0,6. Tentukan peluang paling sedikit 3 dari 4 siswa tersebut diterima di perguruan tinggi negeri ! A. 0,252

B. 0,486

8. Sisa pembagian dari20112011 A. 2

C. 0,586 2011

B. 3

D. 0,638

E. 0,675

D. 9

E. 11

oleh 14 adalah … C. 5

9. Diberikan sebuah segitiga𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 4 cm dan 𝐴𝐶 = 5 cm. Titik 𝐷 berada pada ruas garis 𝐵𝐶 dengan 𝐵𝐷 = 2 cm dan 𝐷𝐶 = 3 cm. Panjang 𝐴𝐷 adalah … 1

A. 5 85

2

B. 5 85

3

C. 5 85

4

D. 5 85

E. 85

10. Diberikan sebuah himpunan garis-garis lurus𝑙1 , 𝑙2 , … , 𝑙2011 dengan 𝑙𝑖 ≠ 𝑙𝑗 untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗. Jika 𝑙𝑖 ⊥ 𝑙𝑖+1 untuk setiap 𝑖 = 1, 2, … , 2010, maka himpunan garis-garis tersebut membagi bidang koordinat-𝑥𝑦 menjadi … bagian. A. 1.009.020

B. 1.011.030

C. 1.013.042

D. 1.017.072

E. 1.021.110

11. Dalam sebuah turnamen sepak bola setiap tim bertemu dengan tim lain sebanyak tepat satu kali. Tim yang kalah, seri dan menang masing-masing mendapatkan poin 0, 1, dan 3. Poin-poin peserta membentuk barisan aritmatika dengan beda tidak sama dengan nol. Jika tidak ada tim yang selalu kalah, banyaknya tim yang mengikuti turnamen tersebut paling sedikit adalah … tim. 30


A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

12. Banyaknya bilangan 4 digit yang bersisa 2 jika dibagi oleh 3, bersisa 3 jika dibagi oleh 5, bersisa 5 jika dibagi oleh 7 dan bersisa 7 jika dibagi oleh 11 adalah … A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

E. 10

13. Sebuah polynomial monik 𝑝(𝑥), berderajat 3, jika dibagi oleh 𝑥 + 1, 𝑥 + 2, dan 𝑥 − 3 memberikan sisa yang sama yaitu 6. Jika semua koefisien dari 𝑝(𝑥) merupakan bilangan bulat, maka banyaknya bilangan bulat 𝑥 yang menyebabkan 𝑝(𝑥) merupakan bilangan prima adalah … A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

14. Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 10 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya adalah 46. Jika bilangan-bilangan dari 1 sampai dengan 2011 semua digitnya dijumlahkan, maka hasilnya adalah … A. 27432

B. 27968

C. 28000

D. 28070

E. 28072

15. Diberikan sebuah trapezium 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐴𝐵 ∥ 𝐶𝐷 dan ∠𝐴 = ∠𝐷 = 90°. Sebuah lingkaran dengan diameter 𝐴𝐷 menyinggung 𝐵𝐶 di titik 𝑃. Jika panjang 𝐴𝐵 = 3 cm dan panjang 𝐴𝐷 = 8 cm maka luas trapesium 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah … A. 30

B. 32

C.

100

D.

3

203 6

E. 36

16. Diberikan vektor-vektor 𝑆 = 4𝑖 + 5𝑗 + 6𝑘 𝑇 = 7𝑖 + 8𝑗 + 9𝑘 𝑈 = 8𝑖 + 4𝑗 + 6𝑘 Nilai dari 𝑆 × 𝑇 ∙ 𝑈 adalah … A. −18

B. −12

C. 0

D. 12

E. 18

17. Sebuah segitiga ABC memiliki panjang sisi𝐴𝐵 = 3 cm, 𝐵𝐶 = 4 cm dan 𝐴𝐶 = 5 cm. Jarak antara pusat lingkaran dalam dan pusat lingkaran luar dari segitiga 𝐴𝐵𝐶 sama dengan … cm A.

1 4

5

B.

1 3

5

C.

1 2

5


D. 5

E. 2 5

31

18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (𝑚, 𝑛) sedemikian sehingga 𝑚, 𝑛 < 11 dan terdapat bilangan bulat 𝑥 dan 𝑦 sedemikian sehingga 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 5 adalah … A. 59

B. 60

C. 63

D. 64

E. 65

19. Nilai dari 1

cos5 𝑥 𝑑𝑥 0

adalah … 6

7

A. 15

8

B. 15

9

C. 15

10

D. 15

E. 15

20. Seutas tali sepanjang 2 meter dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu bagian dibentuk menjadi sebuah lingkaran, sedangkan bagian yang lain dibentuk menjadi sebuah segitiga sama sisi. Agar total luas kedua bangun tersebut minimum, berapakah panjang tali yang dibentuk menjadi lingkaran? 𝜋 3

A. 9+𝜋

2𝜋 3

B. 9+𝜋

3

3𝜋 3

C. 9+𝜋

3

4𝜋 3

D. 9+𝜋

3

3

4𝜋 3

E. 18+𝜋

3

21. Jika 𝑥 menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 𝑥 dan 𝑥 menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan 𝑥, maka nilai dari 12 − 1 +

22 − 1 + +

32 − 1 +

42 − 1 + ⋯ +

20102 − 1

D. 2.026.084

E. 2.030.112

20112 − 1

adalah … A. 1.011.030

B. 1.013.042

C. 2.022.060

22. Tentukan koefisien dari 𝑥 3 pada polinomial 𝑝 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 A. 165

B. 176

C. 198

11

!

D. 245

E. 275

23. Misalkan 𝛼 menyatakan panjang garis singgung persekutuan dalam dan 𝛽 menyatakan panjang garis singgung persekutuan luar dari 2 buah lingkaran yaitu lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 dan 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 − 6𝑦 = −24. Tentukan nilai dari 𝛽 ! A. 4 24

32

B. 20

C. 4 26

D. 4 27

E. 8 7


24. 11 orang duduk melingkar di dalam sebuah forum. Adi, Beni, dan Cepi merupakan anggota dari forum tersebut. Jika Adi tidak mau duduk berdampingan dengan Beni maupun Cepi, banyaknya posisi duduk dari 11 orang tersebut adalah … A. 9!

B. 6 ∙ 9!

C. 56 ∙ 8!

D. 60 ∙ 8!

E. 8 ∙ 9!

25. Sani dan 3 adiknya sedang mengamati kartu keluarga mereka dan menemukan fakta berikut  Umur Sani kurang dari 30 tahun  Umur Sani dan 3 adiknya membentuk barisan geometri dengan rasio tidak sama dengan 1. Jika umur mereka merupakan bilangan bulat, berapakah jumlah terbesar dari umur mereka? A. 40

B. 45

C. 54

D. 60

E. 65

26. Di dalam sebuah peti terdapat 4 buah kotak kardus berbeda yang masing-masing berisi 5 bola dengan perincian Kotak1 : 2 bola merahdan 3 bola putih Kotak2 : 3 bola merahdan 2 bola putih Kotak3 : 4 bola merahdan 1 bola putih Kotak4 : 5 bola merah Jika dimbil 1 bola dari masing-masing kotak, berapakah peluang terambilnya 3 bola merah dan 1 bola putih? 58

A. 125

1

B. 25

4

12

C. 25

D. 25

16

E. 25

27. Jumlah semua bilangan polindrom 5 digit yang semua digitnya ganjil adalah …

A. 6.720.000

B. 6.888.820

C. 6.900.820 2

9

6

D. 6.940.800

E. 6.944.375

1

28. Tentukan nilai minimum dari𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 untuk 𝑥 ∈ ℝ ! A. −6

B. −5

C. −1

D. 1

E. 6

29. Sebuah lingkaran dengan pusat (0,3) dan jari-jari 2 mengalami rotasi dengan pusat (0,0) sebesar 45 kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Pusat lingkaran hasil transformasi tersebut adalah … Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

33

1

5

5

A. − 2 2, − 2 2 5

1

B. − 2 2, 2 2

1

D. − 2 2, − 2 2

E.

5

5

C.

2

1

2, − 2 2

1

2, 2 2

2

30. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negative (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) yang memenuhi 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 11 dan 𝑥1 ≤ 5 adalah … A. 45

B. 55

C. 56

D. 57

E. 60

31. Banyaknya nilai dari 𝐴 dengan 0 ≤ 𝐴 ≤ 𝜋 yang memenuhi persamaan sin 𝐴 + sin 2𝐴 + sin 3𝐴 = 0 adalah … A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

32. 𝑥1 dan 𝑥2 merupakan akar-akar persamaan 𝑎𝑥 2 + 𝑎2 𝑥 + 1 = 0 nilai dari 𝑥14 + 𝑥24 adalah … 2

A. 𝑎2

4

B. 𝑎4 − 4𝑎 + 𝑎 2 2

C. 𝑎4 + 4𝑎 + 𝑎 2

4

D. 𝑎4 + 2𝑎 + 𝑎 2

E. 𝑎4 − 2𝑎 + 𝑎 2

1 33. Jika determinan matriks 𝐴 = 4 6

2 𝑎 𝑎2

3 5 7

0 dan 𝐵 = 3 6

1 1 4 5 7 9

sama, maka nilai

minimum dari 𝑎 adalah … A.

1

B.

7

34. Berapakah nilai dari 4022 2011 2011 2011 D. 2 1005 A.

34

4

C. 1

7

2011 0

2

+

2011 1 B.

D. 2

2

+

2011 2

2

+⋯+

E. 4

2011 2011

2

2011 2011 2 1

E. 22012


? C. 24022

35. Di dalam sebuah kelas terdapat beberapa siswa sedemikian sehingga setiap siswa mengenal tepat setengah dari siswa lainnya. Banyaknya siswa pada kelas tersebut paling sedikit adalah … A. 3

B. 5

C. 7

D. 11

36. Jumlah semua bilangan bulat 𝑥 sedemikian sehingga

E. 13 3

𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 3 juga

merupakan bilangan bulat adalah … A. −2

B. −1

C. 0

D. 1

E. 2

37. Banyaknya solusi bulat dari system persamaan 𝑥 𝑦 + =1 𝑦+𝑧 𝑥+𝑧 𝑧 1 24 − = 𝑥𝑦 𝑧 𝑥𝑦𝑧 adalah … A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. Tak berhingga

38. Sebuah jam pasir berbentuk kerucut terbalik dengan jari-jari 50 cm dan tinggi 80 cm. Jam tersebut menjatuhkan pasir dengan debit 1 cm3/detik. Berapakah kecepatan perubahan kedalaman pasir saat kedalaman pasirnya 10 cm? (dalam cm/detik) A.

2500 𝜋 64

64

B. 2500 𝜋

36

C. 2500 𝜋

D.

2500 𝜋 36

E.

400 3𝜋

39. Diberikan sebuah segi empat tali busur 𝐴𝐵𝐶𝐷. Garis 𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶 berpotongan di titik 𝑃 𝐴𝐶 2 +𝐵𝐷 2

yang terletak di luar lingkaran. Jika panjang 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵, maka nilai dari 𝐴𝐵∙𝐶𝐷+𝐴𝐷∙𝐵𝐶 = ⋯ 1

A. 2

1

B. 2 3

C. 1

D. 3

E. 2

40. Dalam sebuah permainan, Adi diminta menuliskan dua buah bilangan bulat. Pada setiap langkah, Adi diminta menghapus keduanya kemudian menggantinya dengan jumlah dan selisih keduanya. Setelah 1000 langkah, hasil kali dua bilangan yang dihasilkan tidak mungkin bernilai … A. 1000

B. 1004

C. 2012


D. 2014

E. 2016

35

41. Suatu barisan bilangan 𝑈 = {𝑈𝑛 }∞ 𝑛=1 didefinisikan sebagai 𝑈𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 + 1. Jumlah 100 suku pertama dari barisan bilangan tersebut adalah … A. 333.500

B. 334.500

C. 338.500

D. 343.500

E. 348.500

42. Misalkan 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 merupakan bilangan real. Tentukan nilai terbesar dari 𝑧 sedemikian sehingga 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2 dan 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 1 A. 0

1

B. 2

!

3

C. 4

D. 1

4

E. 3

43. Diberikan sebuah bilangan 4 digit. Bilangan tersebut jika dibaca dari belakang sama dengan 3 kali bilangan itu sendiri. Banyaknya bilangan yang memenuhi kondisi ini adalah … A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

44. 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 merupakan bilangan real sedemikian sehingga 𝑥 2 + 𝑦 2 = 144 𝑥 2 + 𝑥𝑦 3 + 𝑦 2 = 25 𝑦 2 + 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 169 Nilai dari 𝑦𝑧 3 + 𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 adalah … A. 30

B. 60

C. 120

D. 150

E. 180

45. Banyaknya himpunan bagian dari himpunan 𝑆 = {1, 2, 3, … , 11} sedemikian sehingga tidak memuat 7 bilangan berurutan adalah … A. 1999

B. 2000

C. 2001

D. 2002

E. 2003

46. Tentukan banyaknya segitiga yang panjang setiap sisinya merupakan bilangan bulat dan panjang sisi terpanjangnya 100 satuan! A. 4951

B. 5000

C. 9902

D. 10000

E. 10050

47. Banyaknya solusi positif dari system persamaan 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑥32 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑥42 36


𝑥3 + 𝑥4 = 𝑥12 𝑥4 + 𝑥1 = 𝑥22 adalah … A. 0

B. 1

C. 4

D. 8

E. Tak berhingga

48. Sisa pembagian 𝑥 2010 − 2𝑥1006 + 1 oleh 𝑥 2 − 1 adalah … A. 0

C. 2𝑥

B. 2

D. −2

E. −2𝑥

49. Diberikan sebuah lingkaran dengan pusat 𝑂 dan jari-jari 6 cm. Sebuah garis melalui titik 𝑃, yang terletak di luar lingkaran, menyinggung lingkaran di titik 𝐴. 𝐵 dan 𝐶 titik titik pada lingkaran sedemikian sehingga 𝑃𝐵 = 𝐵𝐶. Jika panjang 𝐴𝑃 = 6 cm dan titik 𝐵, 𝐶 dan 𝑃 segaris, maka panjang 𝑃𝐵 = … cm A. 3

B. 2 3

C. 3 2

D. 3 3

E. 6

50. Sebuah lingkaran berpusat di titik 𝑂 dan berjari-jari 3 cm. Tali busur 𝐴𝐵 melewati titik 𝑂. Tali busur 𝐶𝐷 memotong 𝐴𝐵 di titik 𝑀. 𝐸 adalah titik pada 𝐶𝐷 sedemikian sehingga 𝐴𝐸 ⊥ 𝐶𝐷. Jika panjang 𝐴𝐶 = 5 cm dan panjang 𝐴𝐷 = 2 cm, maka panjang 𝐴𝐸 =… cm 6

A. 5

4

3

B. 3

5

C. 2

D. 3

E. 2

BAGIAN II. ISIAN SINGKAT

1. Diberikan sebuah matriks 𝐴 =

1 0 . Nilai dari 𝐴2011 adalah … 2 2

2. Suatu fungsi 𝑚 dan 𝑛 memetakan himpunan bilangan asli pada bilangan bulat dengan 𝑚(𝑥) dan 𝑛(𝑥) masing-masing menyatakan hasil kali dan penjumlahan digit-digit dari 𝑥. Jika 0 < 𝑥 < 100, maka nilai maksimum dari

𝑚 (𝑥) 𝑛(𝑥)

adalah …

3. Jika setiap 2 dari 3 persamaan kuadrat 𝑥 2 − 𝑎2 𝑥 + 𝑎 + 1 = 0 𝑥2 − 𝑎 + 1 𝑥 + 𝑎 = 0 𝑥 2 − 3𝑎𝑥 + 𝑥 + 𝑎2 + 2 = 0 selalu memiliki tepat satu akar real yang sama, maka nilai dari 𝑎 adalah … 4. Diberikan suatu barisan bilangan 𝑎𝑛

∞ 𝑛=1 .

Jika𝑎1 = 2, 𝑎2 = 3, dan 𝑎𝑛+2 = 5𝑎𝑛+1 − 6𝑎𝑛 .

Carilah sisa pembagian 𝑎2011 oleh 13 !


37

5. Diberikan sebuah segienam beraturan 𝐴1 dengan panjang sisi 1 cm. Untuk setiap bilangan asli 𝑖 yang lebih dari 1, 𝐴𝑖 merupakan segienam beraturan yang titik-titik sudutnya merupakan titik tengah sisi-sisi segienam beraturan 𝐴𝑖−1 . Tentukan nilai terkecil dari 𝑛 1

sedemikian sehingga luas 𝐴𝑛 kurang dari 15 kali luas 𝐴1 ! 6. Tentukan banyaknya bilangan 5 digit yang jumlah digit-digitnya samadengan 10 ! 7. 4 pasang suami istri beserta anaknya masing-masing 1 orang hadir dalam sebuah jamuan makan. Jika mereka duduk melingkar, tentukan banyaknya posisi duduk mereka sehingga setiap anak duduk diapit oleh kedua orang tuanya ! 8. Diberikan sebuah segitiga sama sisi 𝐴𝐵𝐶 dengan panjang sisi 6 cm. Sebuah lingkaran dengan jari-jari 3 cm melewati titik 𝐵 dan 𝐶. Lingkaran ini memotong sisi 𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 masing-masing di titik 𝑃 dan 𝑄. Di dalam bidang 𝐴𝑃𝑄 dibuat sebuah lingkaran. Jari-jari lingkaran terpanjang yang bisa dibuat adalah … cm. 9. Banyaknya cara menyusun 7 benteng pada papan catur berukuran 8 × 8 sedemikian sehingga tidak ada benteng yang bisa saling memangsa adalah … 10. Diberikan sebuah segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 12 cm, 𝐴𝐶 = 13 cm dan ∠𝐴𝐵𝐶 = 90°. Sebuah lingkaran menyinggung sisi 𝐵𝐶, perpanjangan garis 𝐴𝐵 dan perpanjangan garis 𝐴𝐶. Panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah … cm.

38


Soal Babak Penyisihan OMITS 2012 Soal Pilihan Ganda 𝑂, 𝑀, 𝐼, 𝑇, 𝑆 yang memenuhi : 𝑂 + 𝑀 + 𝐼 + 𝑇 + 𝑆 = 12 Dimana 𝑂 ≤ 3, 𝑀 ≤ 4, 𝐼 ≤ 5, 𝑇 ≤ 6, dan 𝑆 ≤ 7, adalah . . . a. 2380 b. 2830 c. 3280 d. 3820 e. 8230

1. Banyaknya pasangan bilangan bulat non negatif

2. Jumlah semua bilangan bulat 𝑛 yang memenuhi bahwa 𝑛! memiliki tepat 2012 angka

nol di belakang pada representasi desimalnya adalah . . . a. 43.100 b. 43. 010 c. 41.300 d. 40.130

e. 40.310

3. Diberikan sebuah bilangan real x yang memenuhi persamaan :

𝑥 + 1922 𝑥 − 2012 + 2012 − 𝑥 − 4119 + 2𝑥 2012 − 𝑥 Jumlah 2012 digit pertama di sebelah kanan tanda koma dari nilai J adalah . . . a. 5079 b. 5097 c. 7059 d. 9057 e. 9075 𝐽 =1+

4. Terdapat pasangan bilangan bulat (𝑥, 𝑦, 𝑛) yang memenuhi :

𝑥! + 𝑦! = 3𝑛 𝑛! Nilai maksimum dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑛 adalah . . . a. 1 b. 2 c. 3

d. 4

e. 5

5. Di sebuah perpustakaan terdapat beberapa orang yang suka membaca buku. Pada hari

selasa tanggal 31 Januari 2012 ada 5 orang yang datang meminjam buku secara bersamaan di perpustakaan daerah, mereka adalah Puput, Nadia, Dina, Dika dan Aulia. Jika Puput datang untuk meminjam buku ke perpustakaan setiap 2 hari sekali, nadia setiap 3 hari sekali, Dina setiap 5 hari sekali, Dika setiap 7 hari sekali dan Aulia setiap 11 hari sekali, maka mereka berlima akan meminjam buku secara bersamaan lagi pada hari selasa tanggal . . . a. 29 Januari 2018 b. 29 Februari 2018 c. 29 Maret 2018 d. 29 April 2018 e. 29 Mei 2018 6. Jika 𝑥 =

15+ 35+ 21+5

, maka nilai dari

3+2 5+ 7 2011 2010

𝑥 2012 + 2𝑥 − 5𝑥 − 10𝑥 2009 + 𝑥 2008 + 2𝑥 2007 + 2012𝑥 5 + 3𝑥 4 − 10060𝑥 3 − 15𝑥 2 + 2012𝑥 + 2012 adalah . . . a. 2009 b. 2010 c. 2011 d. 2012 e. 2013 7. Persegi di samping merupakan persegi ajaib karena jumlah angka 16 – angka setiap kolom, setiap baris dan setiap diagonalnya adalah 5 Sama besar dan tidak ada angka yang dipakai lebih dari satu kali. 9 Jika persegi ajaib berukuran 4 × 4 maka jumlah angka Setiap baris adalah 34 . Jika persegi ajaib tersebut berukuran 12 × 12 4 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

2

3

13

11

10

8

7

6

12

14

15

1

39

maka jumlah angka setiap barisnya adalah . . . (catatan : persegi ajaib 𝑛 × 𝑛 hanya terisi oleh angka – angka dari 1 sampai 𝑛2 ) a. 505 b. 671 c. 870 d. 1105 e. 1379 𝑥

2𝑥

𝜋 1

𝜋

8. Diketahui Z = sin + sin 1

1

+ sin

3𝑥 𝜋

+ sin

4𝑥 𝜋

+ sin

5𝑥 𝜋

+ sin

6𝑥 𝜋

,

1

Jika = 12 + 22 + 32 + 4 2 + ⋯ , berapakah Z? a. 1 + d. 1 +

9. Tentukan

56+8 24

b. 1 +

2 60+16 24

e. 1 +

3 𝑎𝑏 𝑏𝑎

60+16 24

c. 1 +

2

64+20 24 2

16+60 24 3

, jika a dan b merupakan bilangan bulat yang memenuhi persamaan

2 2

12𝑎 𝑏 + 28𝑏 2 − 108 = 3(𝑎2 + 2012) ! a.

64 81

125

b. 243

c.

512 81

343

d. 128

e. 4

10. Diberikan sebuah himpunan 𝐴 = 1,2,3, … ,4022 . Jika subhimpunan dari A yang

terdiri dari k elemen selalu memuat dua bilangan yang saling prima, maka nilai dari k yang memenuhi pernyataan tersebut adalah . . . a. 2 b. 2012 c. 2013 d. 4022 e. 4023

11.

6 − 6 − 6 − ⋯ + 12 − 12 − 12 − ⋯ + 42 − 42 − 42 − ⋯

+ 102 − 102 − 102 − ⋯ + 506 − 506 − 506 − ⋯ + ⋯ Diketahui lima suku awal dari sebuah deret diatas. 𝑆2012 (𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎𝑕 2012 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡) = ⋯ a. 643.085.276.277 b. 652.038.277.647 c. 664.052.873.727 d. 678.042.375.267 e. 686.072.724.537

40


12. Jika 𝑛 menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan n,

maka Banyaknya solusi real dari persamaan 4𝑥 2 − 40 𝑥 + 51 = 0 adalah . . . a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 13. Diberikan sebuah segitiga 𝐼𝑇𝑆, dengan 𝑇𝑆 = 5, 𝐼𝑆 = 12 dan 𝐼𝑇 = 13 . titik O dan M

berturut – turut pada 𝐼𝑇 dan 𝐼𝑆 sedemikian sehingga 𝑂𝑀 membagi segitiga 𝐼𝑇𝑆 menjadi dua bagian dengan luas yang sama. Panjang minimum 𝑂𝑀 adalah . . . a. 2 b. 3 c. 2 2 d. 2 3 e. 3 2 14. Diketahui :

𝜋 = 3,141592 … . (𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑃𝑖) ∅ = 1,618033 … (𝑔𝑜𝑙𝑑𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜) 𝛾 = 0,577215 … . (𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑎 𝑒𝑢𝑙𝑒𝑟) 𝑒 = 2,718282 … . (𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙) Manakah diantara bilangan berikut yang mempunyai nilai terbesar ? a. 𝜋 𝑒 b. 𝑒 𝜋 c. 𝑒 𝛾 d. 𝜋 ∅ e. ∅𝛾 15. 𝑛 buah dadu dengan enam sisi dilempar satu persatu oleh Tomi, kemudian dia akan

menghitung jumlah 𝑛 angka yang muncul. Jika : 𝐴(𝑛) = peluang jumlah ke − 𝑛 angka yang muncul adalah 5 𝐵(𝑛) = peluang jumlah ke − 𝑛 angka yang muncul adalah 6 𝐶(𝑛) = peluang jumlah ke − 𝑛 angka yang muncul adalah 7 Pernyataan di bawah ini yang bernilai tidak benar adalah . . . a. 𝐵 1 = 𝐶(2) b. 𝐵 3 < 𝐶(4) c. 𝐶 6 = 𝐴(5) d. 𝐴 3 < 𝐵(2) e. 𝐴 6 = 𝐶(1) 16. Diberikan sebuah bilangan :

𝐴 = 1.111.111.111.111.111.111 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 19 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 1

𝐵 = 11.111.111.111 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 11 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 1

jika 𝑥 menyatakan banyaknya factor positif yang genap dari bilangan 𝐴 dan 𝑦 menyatakan banyaknya faktor positif yang ganjil dari bilangan 𝐵, Maka nilai dari 𝑥 + 𝑦 adalah . . . a. 1 b. 2 c. 4 d. 8 e. 16 17. Diketahui bahwa 𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽 merupakan akar – akar persamaan kuadratik 𝑥 2 − 2𝑥 − 1 =

0. Nilai dari 5𝛼 4 + 12𝛽 3 adalah . . . a. 81 b. 100 c. 121 d. 144 e. 169 18. Di bawah ini merupakan suatu hubungan integrasi yang benar, kecuali . . . a. csc 𝜃𝑑𝜃 = − ln csc 𝜃 + cot 𝜃 + 𝑐 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

41

b. c. d. e.

csc 𝜃 𝑑𝜃 = − ln csc 𝜃 − cot 𝜃 + 𝑐 csc 𝜃 𝑑𝜃 = ln csc 𝜃 − cot 𝜃 + 𝑐 sec 𝜃 𝑑𝜃 = ln sec 𝜃 + tan 𝜃 + 𝑐 tan 𝜃 𝑑𝜃 = ln sec 𝜃 + 𝑐

19. Jika 3𝑎 0 + 3𝑎 1 + 3𝑎 2 + 3𝑎 3 + ⋯ + 3𝑎 𝑛 = 2012 , maka nilai dari 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 +

𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 adalah . . . a. 11 b. 21

c. 31

d. 41

𝑛 𝑛! = 𝑛 −𝑟 !𝑟! , maka nilai dari 𝑟 2012 2012 2012 2012 2012 + + 0 1 1 2 2

e. 51

20. Jika

2012 2012 + ⋯+ 3 2011

22013 −1

a.

4024 2012

b.

d.

4024 2013

e. 24024

c.

2014

21. Polinomial 𝑃(𝑥) dengan koeffisien rasional yang memenuhi 𝑃

2012 =... 2012

4025 2011

3

3

3

3+ 9 = 3+ 3

merupakan polinomial berderajat . . . a. Tidak ada yang memenuhi b. 1 c. 2 d. 3 e. 2 dan 3 22. Diketahui sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :

𝑓 1 𝑛 = 𝑛! 𝑓 2 𝑛 = 𝑛! ! 𝑓 3 𝑛 = 𝑛! ! ! Dan seterusnya. Banyaknya nilai n yang memenuhi 𝑓 2012 𝑛 = 𝑛! adalah . . . a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 23. Banyaknya Bilangan yang tidak lebih dari 2012 dan jika dibagi oleh 2, 3, 4, 5 𝑑𝑎𝑛 7 memberikan sisa 1 adalah . . . a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 24. Diketahui 𝑤1 , 𝑤2 , 𝑤3 , 𝑤4 , 𝑤5 , 𝑤6 , 𝑤7 , 𝑤8 merupakan akar – akar dari persamaan :

−1 − 5 =0 2 1− 5 1+ 5 Jika jumlah dari akar – akar persamaan tersebut adalah 𝑣, maka nilai dari 𝑣 2 adalah . . . a. −49 b. −16 c. d. e. 𝑤8 +

42

1

4

+

1

4

+


25. Di pagi yang cerah, Meyta mencari banyaknya bilangan komposit dua digit yang habis

dibagi oleh masing – masing digitnya. Banyaknya bilangan yang diperoleh Meyta adalah . . . a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 26. Bilangan pecahan

2012 619

dinyatakan dalam bentuk pecahan berlanjut (continued

fraction) adalah : 2012 = 𝐴0 + 619 𝐴2 +

1 𝑛

Jika 𝐴2𝑘+1 = ln lim𝑛→∞ 1 + 𝑛

𝐴1 𝐴3

𝐴4 +

𝐴5 𝐴 … + 𝐴2011 2012

,dengan 𝑘 bilangan bulat positif, maka nilai dari

𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 + ⋯ + 𝐴2012 adalah . . . a. 1163 b. 1164 c. 1165 d. 1166

e. 1167

27. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :

𝑓 𝑎 = 𝐹𝑃𝐵(2012, 𝑎) 𝑔 𝑎 = 𝐹𝑃𝐵(𝑎, 2012) 𝑔2 (𝑎) = 𝑔(𝑔(𝑎)) 𝑔3 𝑎 = 𝑔(𝑔(𝑔(𝑎))) Dan seterusnya Nilai dari 𝑔2012 (𝑓(100)) adalah . . . a. 1 b. 2 c. 4

d. 100

e. 2012

28. Bilangan 2012 merupakan bilangan yang dapat dibaca dari dua sisi yaitu atas dan

bawah. Bilangan tersebut jika dibaca dari atas bernilai 2102 dan jika dibaca dari bawah bernilai 2012. Banyaknya bilangan 4 digit yang dapat dibaca dari dua sisi dan terbaca tetap sebagai bilangan 4 digit adalah . . . a. 1296 b. 900 c. 625 d. 400 e. 300

29. Diberikan fungsi 𝑓 dan 𝑔 adalah bukan fungsi konstan, dapat diturunkan

(differensiabel), dan terdefinisi real pada (−∞, +∞). Setiap pasangan bilangan real x dan y memenuhi : 𝑓 𝑥+𝑦 =𝑓 𝑥 𝑓 𝑦 −𝑔 𝑥 𝑔 𝑦 𝑔 𝑥+𝑦 =𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 +𝑔 𝑥 𝑓 𝑦 2

Jika𝑓 ′ (0) = 0 , maka nilai dari 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 a. 0 b. 1 c. 2

2

adalah . . . d. 10

e. 12

30. Diberikan sebuah fungsi :

𝑓 𝑥 =

log 2012 3 sin 2012 4 + cos 2012 4 −2( sin 2012 6 + sin 2012 6 ) 𝑥 2 +2𝑥+1


43

Nilai dari 2013 𝑓(2012) adalah . . . a.

2012

0

b. 2013

2013

c.

d. 2012

e. 2012

31. Matriks Refleksi terhadap garis 𝑦 = 𝑥 tan 𝛼 adalah . . .

−cos 2𝛼 sin 2𝛼 sin 2𝛼 cos 2𝛼 cos 2𝛼 −sin 2𝛼 sin 2𝛼 cos 2𝛼 cos 2𝛼 sin 2𝛼 −sin 2𝛼 cos 2𝛼 cos 2𝛼 sin 2𝛼 sin 2𝛼 −cos 2𝛼 sin 2𝛼 cos 2𝛼 −cos 2𝛼 sin 2𝛼

a. b. c. d. e. 32.

1 2

2

3

5

8

13

21

+ 3 + 10 + 24 + 65 + 168 + 442 + ⋯ = ⋯

a.

1

3

b. 1

2

c. 2

d. 2

5

e. 2

33. Berapakah digit terakhir dari :

20122011 a. 0

2010 2009

+ 20132012 b. 1

2011 2010

+ 20142013 c. 2

2012 2011

2013 2012

+ 20152014 d. 3 e. 4

?

34. Ardo, Romdhoni, Ahmad, Aji dan Romi mengikuti pemilihan Presiden Republik

Indonesia secara independen bukan dari partai politik. Pada akhir perhitungan suara, yang mendapatkan suara tertinggi pertama akan menjadi Presiden dan yang memperoleh suara tertinggi kedua menjadi wakilnya. Jika, Ardo mendapat suara 2012 lebih banyak dari Romdhoni dan 2056 lebih sedikit dari Ahmad . Romi menerima 2012 suara lebih sedikit dari Aji dan 2076 suara lebih banyak dari Romdhoni. Maka yang terpilih sebagai Presiden dan wakilnya adalah ... a. Ardo dan Romi d. Aji dan Ahmad b. Romi dan Romdhoni e. Ahmad dan Ardo c. Romdhoni dan Aji 35. Zakiyyah menggambar poligon 2012 sisi di sebuah kertas, kemudian Sulastri datang

menghampirinya. Sulastri meminta Zakiyyah untuk menarik garis – garis diagonal dari setiap sudut poligon 2012 sisi tersebut. Banyaknya diagonal yang dihasilkan adalah . . . a. 2.012.054 b. 2.021.054 c. 2.027.090 d. 2.072.090 e. 2.092.070 36. Nilai eksak dari :

1 1 1 1 + + − ° 2 ° 2 ° 2 (cos 10 ) (sin 20 ) (sin 40 ) (cos 45° )2 adalah . . . 44


a.

1

−2

b. 0

c. 1

d. 5

e. 10

37. Diketahui 2012 buah titik pada suatu bidang dan tidak ada 3 titik yang segaris.

Banyaknya garis lurus yang dapat ditarik melalui titik – titik tersebut adalah . . . a. 1006 × 2011 b. 1006 × 2012 c. 2011 × 2011 d.

2012 × 2011

e. 2012 × 2012

38. Diberikan sebuah alfametik sebagai berikut:

𝑂𝑁𝐸 + 𝑁𝐼𝑁𝐸 + 𝑇𝑊𝐸𝑁𝑇𝑌 + 𝐹𝐼𝐹𝑇𝑌 = 𝐸𝐼𝐺𝐻𝑇𝑌 Nilai dari 𝐸 + 𝐹 + 𝐺 + 𝐻 + 𝐼 + 𝑁 + 𝑇 + 𝑊 + 𝑌 = ⋯ a. 35 b. 36 c. 37 d. 38 e. 39 39. Diketahui sistem persamaan sebagai berikut :

𝑥2 = 2 𝑥 + 𝑥 − 𝑦 − 𝑚 𝑥2 = 1 − 𝑦2 Banyaknya nilai 𝑚 yang memenuhi persamaan diatas adalah . . . a. 0 b. 1 c. 2 d. 3

e. 4

40. 1 ∆ 2 ∆ 3 ∆ 4 ∆ 5 ∆ 6 ∆ 7 ∆ 8 ∆ 9 ∆ 10 = 29

Banyaknya cara mengganti tanda diatas benar adalah . . . a. 8 b. 11 41. Untuk 𝐿 =

c. 14

2 4

dengan tanda ′′+′′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 ′′ − ′′ sehingga operasi d. 17

e. 20

, nilai dari :

4

4− 5+2 5− 125

1 log (1−𝐿) 5

+

1 log (1−𝐿)2 5

+

1 log (1−𝐿)3 5

+ ⋯+

1 log (1−𝐿)2012 5

adalah . . . a.

1.203.519 2

1.301.259

b.

2

c.

1.012.539 2

d.

1.032.159 2

e.

1.052.139 2

42. Jika :

𝑛! = 273 334 521 711 116 135 174 194 233 292 312 372 41 × 43 × 47 × 53 × 59 × 61 × 67 × 71 × 73 maka nilai 𝑛 yang memenuhi adalah . . . a. 74 b. 75 c. 76 d. 77 e. 78 43. 𝑥 dan 𝑦 merupakan bilangan real dan memenuhi persamaan :

1 1 + = 𝑥 2 + 3𝑦 2 (3𝑥 2 + 𝑦 2 ) 𝑥 2𝑦 𝑑𝑎𝑛 1 1 − = 2(𝑦 4 − 𝑥 4 ) 𝑥 2𝑦 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

45

Persamaan kuadrat yang akar – akarnya 32𝑥 5 − 80𝑥 4 + 80𝑥 3 − 40𝑥 2 + 10𝑥 − 3 + 𝑖 dan 32𝑦 5 + 80𝑦 4 + 80𝑦 3 + 40𝑦 2 + 10𝑦 − 1 − 𝑖 adalah . . . a. 𝑥 2 + 1 = 0 b. 𝑥 2 + 2 = 0 c. 𝑥 2 − 2 = 0 d. 𝑥 2 − 6𝑥 + 10 e. 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 𝑛

44. Diberikan 𝑥 =

𝜃1 + 𝜃2 = ⋯ a. 240° 45. Jika 𝑧 = cos

3 + 2 , dan tan 𝜃 = b. 270°

2𝜋 𝑛

+ 𝑖 sin

2𝜋 𝑛

𝑥 𝑛 + 𝑥 −𝑛 6

c. 300°

, dimana 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 , nilai dari d. 330°

e. 0°

, dimana 𝑛 adalah sebuah bilangan ganjil positif, maka

1 1 1 1 + + + ⋯ + =⋯ 1 + 𝑧 1 + 𝑧2 1 + 𝑧3 1 + 𝑧 2012 a.

1

1

b.1006

2012

c. 1

d. 1006

e. 2012

46. Yusti menuliskan lima bilangan secara acak a, b, c, d dan e. Dari kelima bilangan

tersebut masing – masing besarnya tidak kurang dari 503 dan tidak lebih dari 2012. Sedangkan yuyun menuliskan lima bilangan yang merupakan kebalikan dari bilangan 1 1 1 1

– bilangan Yusti secara acak juga yaitu 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑑 𝑑𝑎𝑛

1 𝑒

, kemudian yusti dan yuyun

menjumlahkan masing – masing kelima bilangannya tersebut. Jika jumlah kelima bilangan yusti adalah I dan jumlah kelima bilangan yuyun adalah T, maka nilai maksimum dari 𝐼 × 𝑇 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑆. Maka 𝑆 sama dengan . . . a.

33

b.

2

55 2

c.

77 2

d.

99 2

e.

2012 503

47. Banyaknya Solusi bulat dari sistem di bawah ini adalah . . .

𝑥 𝑥 +𝑦 = 𝑦 12 𝑦 𝑥+𝑦 = 𝑥 3 a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 48. Jumlah 6036 suku pertama dari sebuah deret geometri adalah 1141 dan jumlah 4024 suku pertama adalah 780, jumlah 2012 suku pertama adalah . . . a. 340 b. 361 c. 380 d. 400 e. 484 49. Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 mewakili digit – digit suatu bilangan yang dituliskan dalam basis

tertentu dan memenuhi : 𝑎𝑏𝑐𝑑 7 = 2012 𝑒 Maka banyaknya solusi (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒) adalah . . . a. 0 b. 1 c. 2 d. 3

e. 4

50. Sisa pembagian dari suku banyak 𝑓(𝑥) oleh (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) adalah . . .

a. b. c. 46

𝑥−𝑎 𝑎−𝑏 𝑥−𝑏

𝑥−𝑏

𝑓(𝑎) + 𝑏−𝑎 𝑓(𝑏) 𝑥−𝑎

𝑓(𝑎) + 𝑏−𝑎 𝑓(𝑏) 𝑎−𝑏 𝑥−𝑎 𝑎−𝑏

𝑥−𝑏

𝑓(𝑏) + 𝑏−𝑎 𝑓(𝑎) Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

d. e.

𝑥−𝑏

𝑥−𝑎

𝑓(𝑏) + 𝑏−𝑎 𝑓(𝑎) 𝑎−𝑏 𝑥−𝑎 𝑥−𝑏

𝑥−𝑏

𝑓(𝑏) + 𝑥−𝑎 𝑓(𝑎)

Soal Isian Singkat

1. Diberikan sebuah alfametik : BELGIS x 6 = GISBEL. Maka nilai dari SI + BELGIS + BELI + ES + LEGI adalah . . .

2. Persamaan kuadrat dengan koeffisien bilangan bulat yang akar – akarnya cos 72° dan cos 144° adalah . . .

3. Nilai dari 2012 0

1

+

2012 1

2

+

2012 2

3

+ ⋯+

2012 2012

2013

adalah . . .

4. Jika : 1945 × 1946 × … × 2011 × 2012 19𝑞 merupakan sebuah bilangan bulat, maka 𝑞 sama dengan . . .

5. Bilangan positif 𝑥 yang memenuhi 2012 = 𝑥

𝑥 𝑥𝑥

…𝑥

2012

𝑡𝑒𝑟𝑑𝑖𝑟𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 2012 𝑥,adalah . .

.

6. Nilai maksimum dari perbandingan antara bilangan empat digit 𝑎𝑏𝑐𝑑 dan jumlah digit – digitnya adalah . . .

7. Beberapa tim mengikuti turnamen sepak bola. Setiap tim bertemu tepat satu kali dengan tim lainnya. Pemenang setiap pertandingan memperoleh nilai 3, dan yang kalah 0. Untuk pertandingan yang berakhir seri, kedua tim memperoleh nilai masing – masing 1. Jika di akhir turnamen angka 2012 tidak pernah muncul pada setiap perolehan poin total masing – masing tim, maka banyaknya tim yang mengikuti kompetisi sepak bola tersebut ada . . . tim 8. Sebuah barisan didefinisikan bahwa suku – sukunya merupakan penjumlahan faktor – faktor dari suku sebelumnya kecuali dirinya sendiri. Ji𝑘𝑎 𝑢1 = 2012, maka nila𝑖 𝑛 yang memenuh𝑖 𝑢𝑛 = 𝑛 pada barisan tersebut adalah . . .

9. Diketahui sebuah persamaan trigonometri : Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

47

2(tan 2𝜃 − tan 𝜃) = 𝑖 + −𝑖 tan 2𝜃 (dengan 𝑖 = −1) Jika0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋dan 𝜃1 ≥ 𝜃2 , maka nilai dari cot 𝜃1 − csc 𝜃2 adalah .

10. Jika sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk : 𝑓 𝑓 𝑎+1 +𝑓 𝑎+𝑓 𝑎

=𝑎+2

Dan 𝑓 1 = 1, maka nilai dari 𝑓 22 + 42 + 82 + 642 adalah . . .

48


Soal Babak Semifinal OMITS’12 Soal Isian Singkat 1. Jarak terdekat antara titik 𝑀, 𝑇 dengan garis yang mempunyai persamaan 𝑂𝑥 + 𝐼𝑦 + 𝑆 adalah… 2. Banyaknya bilangan prima yang mempunyai sifat jika angka terakhir dihapus maka bilangan yang diperoleh merupakan faktor dari bilangan semula adalah… 3. Banyaknya pembagi positif dari 1005010010005001 adalah… 4.

1 1×2×3×4

1

1

1

+ 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + ⋯ + 2012 ×2013 ×2014 ×2015 = ⋯

5. Diketahui balok 𝐾𝐿𝑀𝑁, 𝑂𝑃𝑄𝑅 dan bidang empat QLMN. Jika 𝐿𝑁 = 𝑖, 𝐿𝑂 = 𝑡 dan 𝑁𝑂 = 𝑠, volume balok tersebut dalam 𝑖, 𝑡 dan 𝑠 adalah… 6. Bilangan tiga digit yang merupakan jumlah dari faktorial digit-digitnya adalah… 7. Pada 100000001 suku pertama dari barisan Fibonacci, terdapat suku yang berakhiran paling sedikit 𝑆 angka nol, nilai dari 𝑆 adalah… 1 + 42𝑥−𝑦 51−2𝑥+𝑦 = 1 + 22𝑥−𝑦+1 8. 𝑦 3 + 4𝑥 + 1 + log 𝑦 2 + 2𝑥 = 0 Solusi dari persamaan di atas adalah… 9. Jika segiempat 𝑃𝑄𝑅𝑆 mempunyai luas 𝐿 dan 𝑃𝑄 + 𝑄𝑆 + 𝑅𝑆 = 16, maka nilai dari 𝑃𝑅 supaya 𝐿 mencapai maksimum adalah… 10. Diketahui 𝐼, 𝑇, 𝑆 merupakan digit-digit bilangan yang memenuhi 𝐼𝑆𝑇 + 𝑇𝐼𝑆 + 𝑇𝑆𝐼 + 𝑆𝑇𝐼 + 𝑆𝐼𝑇 − 1 = 2012, tentukan bilangan tiga digit 𝐼𝑇𝑆! 11. 𝑆 𝑥 = 1 + 𝑥 1000 + 𝑥 1 + 𝑥 999 + 𝑥 2 1 + 𝑥 998 + ⋯ + 𝑥 1000 Jumlah semua koefisien dari 𝑆(𝑥) adalah… 12. Tentukan nilai minimum dari : 1 1 1 log 𝑥 1 𝑥2 − + log 𝑥 2 𝑥3 − + ⋯ + log 𝑥 2012 𝑥1 − 4 4 4 1 Di mana 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … , 𝑥2012 , ∈ 4 , 1 13. Pada sebuah balok 𝐾𝐿𝑀𝑁, 𝑂𝑃𝑄𝑅 dengan 𝐾𝐿 = 24, 𝐵𝐶 = 32 dan 𝐾𝑂 = 30 digambarkan bola luar dan jari-jarinya disebut 𝐽. Volume tembereng bola yang terdapat antara bidang bola dan bidang 𝐾𝐿𝑀𝑁 adalah… 14. Banyaknya bilangan bulat positif 𝑛 yang tidak lebih dari 2012 dan memenuhi kondisi 𝑛 × 2𝑛 + 1 habis dibagi 3 adalah… 15. Diberikan 𝐼𝑛 merupakan suku ke - 𝑛 dari barisan Fibonacci, 𝐼1 = 𝐼2 = 1 dan 𝐼𝑛+1 = 𝐼𝑛 + 𝐼𝑛−1 . Tentukan nilai dari : 2012 2012 2012 2012 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + ⋯ + 𝐼2012 3 2012 1 2 16. Diberikan sebuah fungsi 𝑉(𝑛) yang memenuhi tiga kondisi berikut ini untuk semua bilangan bulat positif 𝑛 : a. 𝑉(𝑛) adalah bilangan bulat positif b. 𝑉(𝑛 + 1) > 𝑉(𝑛) c. 𝑉 𝑉 𝑛 = 3𝑛 Tentukan 𝑉(2012)!


49

17.

1 2

𝜋

+ cos 20

1 2

3𝜋

+ cos 20

1 2

9𝜋

1

+ cos 20

2

27𝜋

+ cos

20

=⋯

18. Diberikan sebuah persamaan fungsi tangga: 𝑘 2012 Jika 𝑥 didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan 𝑥 dan terdapat bilangan bulat 𝑘, maka nilai 𝑘 yang memenuhi sebanyak… 2012

19. Jika 𝑓 𝑥 20.

2012 0 4024 2011

+

2012 cos 2012 𝑥 = 0 22012 + 2012 2012 1 2 4024 + 4024 + ⋯ + 2012 2013

=

2012 +

2012 cos 2010 𝑥 1 22012 2012 2012 4024 = ⋯ 4023

+⋯+

2012 cos 2012 −2𝑘 𝑥 𝑘 22012

1. Dalam sebuah permainan, 𝑆𝑇𝐼𝑀𝑂 meminta anda untuk memikirkan sebuah bilangan tiga digit 𝐼𝑇𝑆 di mana 𝐼, 𝑇, dan 𝑆 merepresentasikan digit dalam basis 10. Kemudian 𝑆𝑇𝐼𝑀𝑂 meminta anda untuk memikirkan bilangan baru dengan bentuk 𝐼𝑆𝑇, 𝑇𝑆𝐼, 𝑇𝐼𝑆, 𝑆𝑇𝐼 dan 𝑆𝐼𝑇 dan menjumlahkan kelima bilangan baru tersebut. 𝑆𝑇𝐼𝑀𝑂 dapat menebak bilangan tiga digit 𝐼𝑇𝑆 yang anda pikirkan jika anda memberi tahu jumlah kelima bilangan baru tersebut. Jika jumlah kelima bilangan baru tadi adalah 3194 maka 𝑆𝑇𝐼𝑀𝑂 menebak bilangan tiga digit 𝐼𝑇𝑆 dengan benar. Berapakah bilangan tiga digit 𝐼𝑇𝑆 yang anda pikirkan? 2. Perhatikan fungsi Ackermann yang didefinisikan oleh beberapa fungsi berikut: o 𝑓 0, 𝑦 = 𝑦 − 1 o 𝑓 𝑥 + 1, 𝑦 − 1 = 𝑓 0, 𝑓 𝑥, 𝑦 o 𝑔 𝑥, 0 = 3 o 𝑔 𝑥 − 2, 𝑦 + 1 = 𝑓 𝑥 − 1, 𝑔 𝑥, 𝑦 o 𝑕 𝑥, 0 = 2 o 𝑕 𝑥 − 1, 𝑦 = 𝑔 𝑥 − 1, 𝑕 𝑥 − 2, 𝑦 − 1 o 𝑖 0, 𝑦 + 1 = 𝑦 − 1 o 𝑖 𝑥, 𝑦 = 𝑕 𝑦 − 1, 𝑖 𝑥 − 1, 𝑦 Nilai dari 𝑖(6, 7) adalah… 3.

27sin 3 9 °+9 sin 3 27 °+3sin 3 81 °+sin 3 243 ° sin 9°

4. Diberikan untuk 𝑈𝑛 =

=⋯

𝑛 𝑛−3 𝑛−1 𝑛−2 + + + + ⋯ untuk 𝑛 ≥ 1 0 3 1 2

Tentukan nilai dari 𝑈2012 !

50


Soal Babak Penyisihan 7th OMITS SOAL PILIHAN GANDA 1) Sebuah barisan baru diperoleh dari barisan bilangan bulat positif 1, 2, 3, 4, … dengan menghilangkan bilangan kuadrat yang ada di dalam barisan tersebut. Suku ke-2013 dari barisan baru tersebut adalah ... a. 2055 b. 2056 c. 2057 d. 2058 e. 2059 2) Persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 memiliki panjang sisi 5. Titik 𝐸 dan 𝐹 berada di luar persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan 𝐵𝐸 = 𝐷𝐹 = 3 dan 𝐴𝐸 = 𝐶𝐹 = 4. Panjang 𝐸𝐹 adalah ...

a. 6 b. 6 3 c. 7 d. 7 2 e. 7 3 3) Bilangan positif 𝑥, 𝑦, 𝑧 memenuhi persamaan 𝑥𝑦𝑧 = 1081 dan log 𝑥 log 𝑦 + log 𝑧 log 𝑥𝑦 = 468. Tentukan log 𝑥 2 + log 𝑦 2 + log 𝑧 2 . a. 74 b. 75 c. 74 2 d. 75 2 e. 76 4) Nilai dari sin 18° dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎𝑐+𝑏 . Nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 adalah ... a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9 5) 𝑁 = 9 × 99 × 999 × 9999 × 999 … 999 (2013 digit). Nilai dari 𝑁 mod 1000 adalah ... a. 891 b. 109 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

51

c. 991 d. 199 e. 190 6) Diberikan persamaan 𝑥 2 + 𝑦 2 = 14𝑥 + 6𝑦 + 6, berapakah nilai maksimum yang mungkin dari 3𝑥 + 4𝑦? a. 72 b. 73 c. 74 d. 75 e. 76 7) Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 (tidak perlu berbeda) dipilih secara acak dari himpunan 1, 2, 3, 4, 5 , berapakah peluang 𝑎𝑏 + 𝑐 adalah bilangan genap? a. b. c. d. e.

2 5 59 125 62 125 65 125 3 5

8) Untuk setiap bilangan bulat positif 𝑥, berlaku log 8 𝑥 , jika log 8 𝑥 adalah bilangan rasional 𝑓 𝑥 = 0 Maka, nilai dari 2013 𝑓 𝑥 adalah ... 𝑛=1 a. 555 b. 6 c. d.

55 3 58 3

e. 585 55

5

9) Jika 𝑁 = 55 , maka digit kelima dari akhir dari 𝑁 adalah ... a. 0 b. 1 c. 2 d. 5 e. 7 10) Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif (𝑥, 𝑦) yang memenuhi persamaan 3𝑥 − 2𝑦 = 1? a. 3 b. 4 c. 9 d. 23 e. ∞ 11) Bila pasangan bilangan bulat (𝑥, 𝑦, 𝑧) memenuhi persamaan 52


𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 4𝑥𝑦𝑧 = −1, maka kemungkinan dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 adalah ... a. -1 atau 3 b. 3 atau 1 c. 1 atau -1 d. -3 atau 1 e. -3 atau -1 12) Nilai dari ∞

𝑘=1

6𝑘 (3𝑘 − 2𝑘 )(3𝑘+1 − 2𝑘+1 )

adalah… a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. ∞ 13) Berapakah nilai minimum dari 𝑥𝑦𝑧 jika (𝑥, 𝑦, 𝑧) memenuhi persamaan log 2𝑥𝑦 = log 𝑥 log 𝑦 log 𝑦𝑧 = log 𝑦 log 𝑧 log(2𝑧𝑥) = log 𝑧 log 𝑥 a. 4 b. 2 c. 1 d. e.

1 2 1 4

14) Diberikan sebuah fungsi 𝑓 𝑥 =2 𝑓 𝑥+1 +𝑓 𝑥−1 dengan 𝑥 bilangan bulat. Bila diketahui 𝑓 1 = −2 dan 𝑓 3 = 0, maka nilai dari 𝑓 6 adalah ... a. -2 b.

7 4

c. 4 d. -3 e. -4 15) Sebuah segitiga siku-siku 𝑋𝑌𝑍 dengan sudut siku-sikunya di 𝑋 memiliki panjang sisi 1

𝑋𝑍 = 2 − 2 ( 6 +

2) cm. Bila diketahui besar sudut 𝑌 adalah 7,5°, luas dari

lingkaran luar segitiga 𝑋𝑌𝑍 adalah ... cm². a. 𝜋(4 + 6 + 2) b. c. d.

1 4 1

𝜋 4+ 6+ 2 𝜋(4 − 6 − 2)

4 1

16

𝜋 4− 6− 2


53

1 4

e.

1 8

𝜋(4 − 6 − 2)

16) Diberikan sebuah fungsi trigonometri sebagai berikut sin 𝑥 ; 𝑥 𝑡𝑎𝑘 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 cos 𝑥 ; 𝑥 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 360 Jika 𝑥 ∈ 𝑍 dan 𝑥 dalam derajat, maka 𝑥=0 𝑓(𝑥) adalah ... a. -1 b. -2 c. 0 d. 1 e. Tidak ada jawaban yang benar 17) Lingkaran 𝐿 berpusat di 𝑀. Jika 𝐷 adalah titik yang diperoleh dari perpanjangan garis tengah 𝐴𝐵 sedemikian sehingga garis singgung 𝐷𝐶 pada lingkaran 𝐿 membentuk ∠𝐵𝐷𝐶 sebesar 10°. Maka ∠𝐶𝐴𝐵 sama dengan ... 𝑓 𝑥 =

a. 30° b. 40° c. 45° d. 50° e. 60° 18) Liyana menuliskan suatu bilangan yang terdiri dari 6 digit di papan tulis, tetapi kemudian Anas menghapus 2 buah angka 5 yang terdapat pada bilangan tersebut. Sehingga bilangan yang terbaca menjadi 2013. Berapa banyak bilangan dengan enam digit yang dapat Liyana tuliskan agar hal seperti di atas dapat terjadi? a. 5 b. 10 c. 15 d. 20 e. 25 19) Garis 𝐴𝐵 dan 𝐶𝐷 sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan 𝐴𝐷 memotong 𝐵𝐶 di titik 𝑃 diantara kedua garis. Jika 𝐴𝐵 = 4 dan 𝐶𝐷 = 12, berapa jauh titik 𝑃 dari garis 𝐶𝐷 ... a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2 20) Pada gambar di samping diketahui 𝐴𝐵𝐶𝐷 persegi panjang, panjang 𝐴𝑂 = 6 cm, panjang 𝐷𝑂 = 5 cm dan panjang 𝐶𝑂 = 4 cm. Panjang 𝐵𝑂 adalah ... cm. 54


a. b. c. d. e.

3 3 3 3 3

21) Jika a. b. c. d. e.

1 2 1 4 1 2 1 2 1 4

2 3 5 7 𝑏 𝑎

𝑐𝑜𝑠

𝑥 𝑐

− 𝜋 𝑑𝑥 = 𝑐, 𝑐 ≠ 0. Maka nilai dari

𝑏 𝑎

𝑥

𝑠𝑖𝑛2 2𝑐 𝑑𝑥 adalah ...

𝑎+𝑏+𝑐 𝑎−𝑏+𝑐 𝑎−𝑏+𝑐 −𝑎 + 𝑏 + 𝑐 −𝑎 + 𝑏 + 𝑐

22) Suatu lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 2𝑦 + 21 = 0 merupakan persamaan dari suatu lingkaran setelah ditransformasikan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks −1 0 0 −1 dan dilanjutkan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks . 0 −1 1 0 Lingkaran asalnya adalah ... a. 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥 − 12𝑦 + 21 = 0 b. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 + 12𝑦 + 21 = 0 c. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 2𝑦 − 21 = 0 d. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 − 2𝑦 + 21 = 0 e. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 12𝑥 + 12𝑦 + 21 = 0 23) Pada gambar disamping diketahui bahwa 𝐴𝐷: 𝐷𝐵 = 1: 2 dan 𝐵𝐸: 𝐸𝐶 = 4: 3. Maka perbandingan 𝐴𝐹 dengan 𝐴𝐶 adalah ...

a. 2 : 5 b. 3 : 7 c. 1 : 3 d. 2 : 6 e. 3 : 5 24) Salah satu faktor dari 95 + 35 adalah ... Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

55

a. b. c. d. e.

1618 2729 3830 4941 5052 1

1

1

1

25) Berapakah nilai dari 3 + 15 + 35 + 63 + ⋯ a. 1 b. c. d. e.

1 2 1 3 1 4 1 5

26) Bilangan bulat positif terbesar 𝑛 yang memenuhi (𝑛 − 11) | (𝑛3 − 111) adalah ... a. 1121 b. 1231 c. 1331 d. 1341 e. 1351 27) Jika 𝑛 adalah bilangan bulat positif, maka sisa dari 5𝑛! jika dibagi oleh 5𝑛 adalah ... a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 28) Nilai dari

a. b.

𝐵𝐷 × 𝐶𝐸 × 𝐴𝐹 𝐷𝐶 × 𝐸𝐴 ×𝐹𝐵

jika 𝐸𝐶 = 𝐴𝐸 = 3 dan 𝐶𝐷 = 12 adalah ...

1 2 3 4

c. 1 d. 2 e. 3 29) Jika 𝑥1 dan 𝑥2 adalah akar dari persamaan 𝑥 2 − 3𝑥 + 7 = 0 , maka nilai dari 𝑥1 4 + 𝑥2 4 adalah ... a. 9132 b. 6722 c. 9846 d. 5021 e. 1134 56


30) Dalam sebuah perusahaan internasional, setiap pegawai memiliki kode masing-masing. Kode-kode tersebut terdiri dari sembilan digit. Sebuah kode dikatakan cantik jika ada tiga digit berurutan yang sama dengan tiga digit berurutan lainnya, misal adalah 123957123. Jika 54.321 buah kode cantik telah terpakai, maka jumlah kode cantik yg masih tersedia adalah ... a. 8.946.549 b. 9.135.419 c. 7.065.129 d. 8.513.769 e. 9.408.159 31) Jika diameter lingkaran adalah 15, 𝑂𝑃 = 3𝑃𝐶 dan sudut 𝐴𝑃𝐷 = 30𝑜 , maka 𝑃𝐷 × 𝑃𝐵 adalah ...

a. b. c. d. e.

20,00 20,25 20,50 20,75 21,00

32) Nilai dari 2013 + a. b. c. d. e.

2014 7

+

2015 72

+

2016 73

+ ⋯ adalah ...

98643 42 98644 42 98645 42 98646 42 98647 42

33) Banyaknya kemungkinan bilangan lima digit 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒 dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 ≤ 𝑑 ≤ 𝑒 dan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah barisan aritmatika adalah ... a. 100 b. 101 c. 102 d. 103 e. 105 34) Banyaknya penyelesaian bilangan bulat positif 𝑎 dan 𝑏 untuk persamaan

1

1

1

+ 𝑏 = 2013 𝑎

adalah ... a. 9 b. 18 c. 27 d. 36 Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

57

e. 45 35) Jika 2𝑎+𝑏 × 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏888 dengan 𝑎𝑏 adalah bilangan dua digit, maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 adalah ... a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 36) Nilai dari 𝑓(7) jika 𝑓(0) ≠ 0, 𝑓(1) = 3, dan 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦) = 𝑓(𝑥 + 𝑦) + 𝑓(𝑥 − 𝑦) adalah ... a. 337 b. 415 c. 698 d. 759 e. 843 37) Banyaknya bilangan 1 yang muncul jika semua bilangan dari 7 sampai 2013 diurutkan (7891011...20122013) adalah ... a. 1604 b. 1605 c. 1606 d. 1607 e. 1608 1

1

1

1

1

1

38) Nilai dari 1 + 72 + 82 + 1 + 82 + 92 + ⋯ + 1 + 2012 2 + 2013 2 adalah ... 2004

a. 2005 + 7 ∙ 2011 2005

b. 2006 + 7 ∙ 2012 2006

c. 2007 + 7 ∙ 2013 2007

d. 2008 + 7 ∙ 2014 2008

e. 2009 + 7 ∙ 2015 39) Diberikan 𝑝(𝑥) = 2𝑥 5 + 3 mempunyai akar-akar 𝑟1 , 𝑟2 , 𝑟3 , 𝑟4 , 𝑟5 dan diberikan 𝑞 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 4𝑥 + 4. Nilai dari perkalian 𝑞(𝑟1 )𝑞(𝑟2 )𝑞(𝑟3 )𝑞(𝑟4 )𝑞(𝑟5 ) adalah ... a. 20152 b. 20263 c. 20374 d. 20485 e. 20596 40) Jika a.

cos 3𝑥

cos 𝑥 24

1

= 7 maka nilai

sin 3𝑥 sin 𝑥

untuk 𝑥 yang sama adalah ...

7

b. 3 c. d. e. 58

18 7 15 7 12 7


41) Dalam sebuah rumah, sepasang tikus dapat berkembang biak menjadi dua kali lipat dalam sehari. 75 % tikus akan mati ketika berumur tepat 5 hari, dan sisanya akan mati ketika berumur tepat 7 hari. Berapa banyak tikus yang masih hidup pada hari ke-13 jika pada hari pertama terdapat satu tikus. a. 430 b. 676 c. 824 d. 1088 e. Tidak ada jawaban yang benar 42) Suku selanjutnya dari deret 𝑜, 𝑡, 𝑡, 𝑓, 𝑓, 𝑠, 𝑠, 𝑒 adalah ... a. 𝑒 b. 𝑜 c. 𝑛 d. 𝑏 e. 𝑥 43) Nilai dari 1 a. b. c. d. e.

1 2+2

+2 1

1 3+3

+3 2

1 4+4

+⋯+ 3

1 (2013 2 −1)

2013 2 +2013 2

(2013 2 −1)

adalah ...

2010 2013 2011 2013 2011 2012 2012 2013 2013 2014

44) Titik 𝐷, 𝐸, dan 𝐹 masing-masing terletak pada garis 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, dan 𝐴𝐵 dengan 𝐴𝐹 = 𝐵𝐷 =

a. b. c. d. e.

𝐵𝐶

, 𝐶𝐸 = 3

𝐶𝐴 3

𝐴𝐵 3

,

. Jika luas 𝐴𝐵𝐶 adalah 1, maka luas 𝐺𝐻𝐼 adalah ...

1 7 1 8 3 8 2 7 1 6

45) Seperti dalam ilustrasi di bawah ini, kita dapat membagi setiap segitiga ABC menjadi empat bagian sedemikian hingga bagian ke-1 adalah segitiga yang sebangun dengan segitiga 𝐴𝐵𝐶, dan tiga bagian lainnya dapat disusun menjadi sebuah segitiga yang juga sebangun dengan segitiga 𝐴𝐵𝐶. Tentukan rasio dari ketiga segitiga tersebut.


59

a. 16 : 9 : 4 b. 25 : 16 : 9 c. 36 : 25 : 16 d. 49 : 36 : 25 e. 64 : 49 : 36 46) Dalam segilima 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, panjang sisi-sisinya adalah 1, 2, 3, 4, dan 5 (bisa tidak berurutan). Misalkan 𝐹, 𝐺, 𝐻, dan 𝐼 adalah titik tengah dari 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷, dan 𝐷𝐸. 𝑋 adalah titik tengah 𝐹𝐻, dan 𝑌 adalah titik tengah 𝐺𝐼. Panjang dari 𝑋𝑌 adalah sebuah bilangan bulat. Panjang sisi 𝐴𝐸 adalah ... a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1 47) Tentukan nilai dari 5+ 6+ 7

5+ 6− 7

5− 6+ 7 − 5+ 6+ 7 .

a. 104 b. 102 c. 100 d. 98 e. 96 48) Tentukan nilai dari 1+ 1+

a.

1 2014

𝑎

20

1+

1 1 𝑎2

1+

1 𝑎

22

… 1+

1 𝑎2

2013

.

1 𝑎 1 2 2013

1− 1+

b.

𝑎

1 𝑎 1 2 2014

1+ 1−

c.

𝑎

1 𝑎 1 2 2013

1+ 1−

d.

𝑎

1 𝑎 1 2 2014

1+ 1−

e.

𝑎2

1

𝑎

1−

1 𝑎

49) Diberikan 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 18𝑥 3 + 𝑘𝑥 2 + 200𝑥 − 1984 = 0. Jika akar-akar dari 𝑓(𝑥) adalah 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 dan 𝑎𝑏 = −32, maka nilai 𝑘 adalah ... a. 50 60


b. 62 c. 74 d. 86 e. 98 50) Terdapat sembilan rumah berjejer dalam sebuah kampung. Misalkan rumah tersebut dilabeli dari A sampai I (tidak berurutan), maka :  A berada di sebelah kiri B, B berada di sebelah kiri C  D berada di sebelah kiri E, E berada di sebelah kiri F  G berada di sebelah kiri A, A berada di sebelah kiri C  B berada di sebelah kiri D, D berada di sebelah kiri H  I berada di sebelah kiri C, C berada di sebelah kiri E Banyaknya kemungkinan susunan deret rumah yang mungkin adalah ... a. 11 b. 22 c. 33 d. 44 e. 55

SOAL ISIAN SINGKAT 1) Temukan nilai 𝑐 > 0 jika 𝑟, 𝑠, 𝑡 adalah akar-akar dari persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑐, dan berlaku 1 1 1 1= 2 + 2 + 2 . 2 2 𝑟 +𝑠 𝑠 +𝑡 𝑡 + 𝑟2 2) Temukan bilangan bulat positif 𝑎, 𝑏, 𝑐 sehingga berlaku 𝑎+ 𝑏+ 𝑐=

219 + 10080 + 12600 + 35280. 𝑎2

3) Diberikan sebuah deret dengan 𝑎1 = 2 dan 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑛 −1 untuk semua 𝑛 ≥ 3. Jika 𝑎2 dan 𝑎5 𝑛 −2

adalah bilangan bulat positif dan 𝑎5 ≤ 2013, maka kemungkinan-kemungkinan untuk 𝑎5 adalah? 4) Temukan sebuah fungi 𝑓(𝑥) dengan domain bilangan bulat 𝑥 tak negatif sehingga berlaku 𝑓 𝑓 𝑚 +𝑓 𝑛 =𝑚+𝑛 untuk semua bilangan bulat tak negatif 𝑚 dan 𝑛. 5) Tentukan pada akhir dari 107 ! terdapat berapa angka 0. 6) Temukan bilangan bulat terbesar 𝑛 sehingga 2𝑛 + 𝑛|8𝑛 + 𝑛. Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika ITS Tingkat SMA

61

7) Ada berapa banyak bilangan 5 digit yang digit-digitnya diambil dari {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} jika digit-digit dari bilangan tersebut menunjukkan barisan tidak naik atau barisan tidak turun? 8) Jika setiap sisi kubus diwarnai dengan merah, kuning, hijau, biru, hitam, putih dan tidak ada warna yang sama pada setiap sisi, maka banyaknya kemungkinan pewarnaan yang berbeda adalah ... 9) Terdapat lima ekor kuda yang sedang mengikuti kontes pacuan kuda. Berapa banyak susunan urutan kuda-kuda tersebut melewati garis finish jika dimungkinkan kuda-kuda tersebut melewati garis finish bersamaan dengan kuda-kuda yang lain. 10) Nyatakan persamaan dibawah ini kedalam bentuk yang sesederhana mungkin. 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 1 +2 +3 +⋯+𝑛 1 2 3 𝑛

62


Soal Babak Semifinal 7th OMITS Isian Singkat 𝑎

1) Dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶, 𝑏 = 2 + 3 dan ∠𝐶 = 60°. Temukan berapa besar ∠𝐴 dan ∠𝐵. 2) Jika 𝑓(𝑥 + 7) = 2013𝑓(𝑥), maka 𝑓(𝑥) yang memenuhi adalah ... 3) Diberikan 10000

𝐴=

1

𝑛=1

4) 5) 6) 7) 8)

𝑛

.

Tentukan 𝐴 . Tentukan ada berapa banyak pasangan bilangan real (𝑠, 𝑡) dengan 0 < 𝑠, 𝑡 < 1 sehingga menyebabkan 3𝑠 + 7𝑡 dan 5𝑠 + 𝑡 keduanya bernilai bilangan bulat. Nilai 𝑥 dan 𝑦 yang memenuhi 7𝑥 2 + 56𝑥 + 145 2013𝑦 2 − 8052𝑦 + 8113 = 2013 adalah ... Temukan bilangan prima terkecil 𝑝 sehingga terdapat bilangan bulat 𝑛 yang mengakibatkan 𝑝 membagi 𝑛2 + 5𝑛 + 23. Faktorkan 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 − 3𝑎𝑏𝑐 ke dalam bentuk (𝑎) × (𝑏). Segienam 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 berada di dalam lingkaran, dengan 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 2 dan 𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐴 = 1. Jari-jari lingkaran tersebut adalah ...

9) Nyatakan 2 1 − cot 22° ke dalam bentuk 𝑎 − 𝑓(𝑏). Dengan 𝑓(𝑏) sebuah fungsi trigonometri. 10) Tentukan ada berapa banyak cara kita bisa menyusun sebuah persegi panjang dengan ukuran 66 × 62 dengan menggunakan persegi panjang berukuran 12 × 1. 11) Diberikan 𝑎 adalah bilangan bulat yang memenuhi 1 1 1 𝑎 1 + + + ⋯+ = . 2 3 23 23! Sisa dari 𝑎 jika dibagi oleh 13 adalah ... 12) Ada berapa banyak bilangan bulat pisitif 7 digit yang diambil dari 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dengan aturan terdapat satu digit yang muncul sekali dan terdapat tiga digit yang muncul dua kali? Contohnya adalah 4321234. 13) Tentukan ada berapa banyak penyelesaian bulat positif untuk 𝑥 2 + 𝑦 2 = 72013 .


63

14) Berapa banyak cara kita bisa mendapatkan lima buah kartu yang mengandung setidaknya satu buah kartu dari masing-masing jenis (diamond, heart, ...) dari 52 buah kartu remi standar. 15) Tentukan ada berapa banyak penyelesaian bilangan bulat 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 yang memenuhi 𝑎2 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 + 𝑒 − 8, 𝑏 2 = −𝑎 − 5𝑏 − 𝑐 + 2𝑑 + 2𝑒 − 6, 𝑐 2 = 𝑎 + 5𝑏 + 𝑐 + 4𝑑 + 3𝑒 − 16, 𝑑 2 = 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 + 3𝑑 + 𝑒 − 17, 𝑒 2 = 3𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 + 𝑑 + 𝑒 − 8. 16) 27 unit kubus (25 diantaranya berwarna hitam dan 2 berwarna putih) dibentuk menjadi kubus berukuran 3 × 3 × 3. Ada berapa banyak macam kubus yang dapat dibedakan bisa dibentuk? (Dua kubus tidak dapat dibedakan jika salah satu dari kubus tersebut dapat dirotasikan hingga menjadi seperti kubus kedua. Contoh dari dua kubus yang tidak bisa dibedakan adalah seperti di bawah ini.)

17) Temukan nilai bilangan real 𝑥 yang memenuhi persamaan 5 1 − 𝑥 + 1 + 𝑥 = 6𝑥 + 8 1 − 𝑥 2 . 18) Tentukan ada berapa banyak bilangan 10 digit dimana setiap digit dari 0 sampai 9 muncul dalam bilangan tersebut dan bilangan tersebut merupakan kelipatan dari 11111. 19) Diberikan 𝐴𝐵𝐶 adalah sebuah segitiga tumpul sebarang. Maka nilai dari persamaan di bawah ini adalah... 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 𝐶 𝐴 tan tan +tan tan +tan tan 2 2 2 2 2 2 20) Diberikan 1 + tan 1° 1 + tan 2° … 1 + tan 45° = 2𝑛 . Temukan nilai 𝑛. Uraian 1) Isilah setiap kotak dengan sebuah bilangan bulat positif sehingga memenuhi beberapa aturan dibawah ini :  Setiap bilangan terdiri dari tiga digit dan jumlah digit-digitnya adalah 15. 0 tidak boleh menjadi digit pertama. Satu digit dari setiap bilangan telah diberikan dalam setiap kotak.  Tidak boleh terdapat dua bilangan dalam dua kotak yang berbeda memiliki digit-digit yang sama. Sebagai contoh, tidak diperbolehkan untuk dua kotak yang berbeda memiliki bilangan 456 dan yang lainnya 645.  Dua kotak yang yang disatukan oleh sebuah panah harus diisi oleh bilangan yang memiliki nilai ratusan yang sama, atau nilai puluhan yang sama, atau nilai satuan yang sama. Misalnya 607 dan 638 (memiliki nilai ratusan yang 64


sama). Dan juga, kotak yang berada pada pangkal panah, harus lebih kecil dari pada kotak yang berada pada ujung panah.

2) Diberikan bilangan prima 𝑝, dan 𝑎𝑘 ∞ 𝑘=0 adalah sebuah barisan bilangan bulat dengan 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 1 dan 𝑎𝑘+2 = 2𝑎𝑘+1 − 𝑝𝑎𝑘 Untuk 𝑘 = 0,1,2, … . Temukan semua kemungkinan nilai 𝑝 jika -1 muncul dalam barisan tersebut. 3) Jika 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan tidak negatif, buktikan bahwa 𝑎2 − 𝑏𝑐

𝑎2 + 4𝑏𝑐 + 𝑏 2 − 𝑐𝑎

𝑏 2 + 4𝑐𝑎 + 𝑐 2 − 𝑎𝑏

𝑐 2 + 4𝑎𝑏 ≥ 0.

4) Terdapat bilangan bulat positif 𝑁 yang terdiri dari 13 digit dan 𝑁 dapat dibagi oleh 213 . Temukan nilai 𝑁 jika semua digit-digitnya hanya diambil dari angka 8 atau 9 (contoh dari bilangan yang semua digit-digitnya hanya diambil dari angka 8 atau 9 adalah 889889). Jelaskan jawaban anda.


65

e. 238 a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e Bilangan bulat ganjil positip disusun sebagai berikut Angka yang terletak pada baris 40, kolom 20 adalah

Recommend Documents