abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000

Hal. 1 / 7

METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015

BIDANG WAKTU

: MATEMATIKA : 120 MENIT

PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat. 2. Isikan jawaban Anda pada Lembar Jawaban Komputer. 3. Perhatikan agar lembar jawaban ujian tidak kotor, tidak basah, tidak terlipat, dan tidak sobek. PILIHAN GANDA 1. Berapakah banyaknya bilangan asli 5 digit abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan 𝑏, 𝑑 adalah bilangan ganjil ? A. 2000 B. 2250 C. 2500 D. 2750 E. 3000

A. B. C. D. E.

96 104 112 120 128

2. Berapakah banyaknya cara menyusun hurufhuruf pada kata LAPTOP sehingga tidak ada dua buah huruf vokal yang bersebelahan? A. 100 B. 105 C. 110 D. 115 E. 120

n n! . Untuk setiap    k  k ! n  k  ! bilangan bulat tak negatif n, k, n  k . Tentukan  5  10    9  9   nilai dari             k  0  2k    k  0  k   A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 E. 2047

3. Berapakah banyaknya bilangan asli yang tidak lebih dari 2015 dengan sifat yang tidak habis dibagi 2, tidak habis dibagi oleh 5, tetapi habis dibagi oleh 3. A. 266 B. 267 C. 268 D. 269 E. 270

6. Tentukan hasil penjumlahan semua bilangan asli n n 𝑛 yang memenuhi      .  2  4 A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 E. 6

4. Sebanyak 4 pasang suami istri duduk pada 8 buah kursi yang disusun melingkar. Berapakah banyaknya cara mengatur tempat duduk 8 orang tersebut sehingga setiap suami dan istri duduk bersebelahan.

2015  2015  7. Misalkan S   2k   . Tentukan dua digit k 0  k  terakhir dari 𝑆. A. 81 B. 43 C. 21

5. Definisikan

Copyright © Lembaga Olimpiade Pendidikan Indonesia Jl. Pramuka Raya No. 19A Jakarta Timur 13140 Telp. (021) 8515070, Fax. (021) 85916291

Hal. 2 / 7

D. 07 E. 01 8. Sepuluh buah kartu diberi nomor 10 bilangan prima pertama dikocok lalu dipilih 2 buah kartu secara acak. Peluang selisih kedua bilangan prima pada kartu juga merupakan bilangan prima adalah … 4 A. 45 5 B. 45 6 C. 45 7 D. 45 8 E. 45 9. Tentukan banyaknya faktor positif dari 20152 yang tidak habis dibagi oleh 2015. A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 E. 23 10. Tentukan banyaknya bilangan asli 3 digit yang memuat tepat sebanyak genap digit ganjil. A. 100 B. 125 C. 250 D. 450 E. 500 11. Berapakah banyaknya persegi panjang yang terdiri dari 16 kotak yang termuat pada papan catur berukuran 8 × 8. A. 30 B. 33 C. 36 D. 39 E. 42 12. Berapakah banyaknya bilangan asli 7 digit di mana setiap digitnya adalah 1 atau 0 dan tidak ada tiga buah digit berurutan yang digit-digitnya adalah bilangan yang sama?

A. B. C. D. E.

11 15 20 21 28

13. Tentukan banyaknya bilangan 8 digit yang memuat tepat 3 buah digit 3. A. 1240029 B. 1837080 C. 3077109 D. 3174580 E. 3785204 14. Berapakah banyaknya fungsi 𝑓: {1,2,3,4,5} → {1,2,3,4,5} sehingga 𝑓(𝑓 (𝑎)) = 𝑎 untuk setiap 𝑎 ∈ {1,2,3,4,5}. A. 21 B. 26 C. 31 D. 36 E. 41 15. Tentukan banyaknya bilangan negatif yang dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑎0 × 30 + 𝑎1 × 31 + 𝑎2 × 32 + 𝑎3 × 33 + 𝑎4 × 34

dengan 𝑎𝑖 ∈ {−1,0,1} untuk 𝑖 = 0,1,2,3,4. A. 81 B. 108 C. 121 D. 169 E. 243 16. Tentukan 2 angka terakhir dari 1002 + 992 + 982 + ⋯ + 22 + 12 . A. 45 B. 50 C. 55 D. 60 E. 65 17. Berapakah banyaknya 𝑥 dengan (0∘ ≤ 𝑥 ≤ 360∘ ) yang memenuhi sin 𝑥 + cos 𝑥 = √2 ? A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 E. 2


Hal. 3 / 7

18. Jika (2𝑥 403 − 𝑥 + 1)5 = 𝑎2015 𝑥 2015 + 𝑎2014 𝑥 2014 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 maka nilai dari 𝑎2015 + 𝑎2014 + ⋯ + 𝑎1 adalah … A. 16 B. 31 C. 32 D. 63 E. 64 19. Terletak di interval manakah bilangan real positif 𝑥 terkecil sehingga ada bilangan real positif 𝑦 yang memenuhi 𝑥 + 𝑦 2 = 𝑥𝑦. A. (1,3) B. (3,5) C. (5,7) D. (7,9) E. (9,11) 20. Tentukan 3 digit terakhir dari 𝑆 dimana 𝑆 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ⋯ + 2014.2015.2016

F. G. H. I. J.

75 80 85 90 95

21. Sebuah fungsi 𝑓 memenuhi sifat berikut: i. 𝑓 (3 − 𝑥 ) = 𝑓(3 + 𝑥) untuk setiap bilangan real 𝑥 ii. Terdapat tepat tiga buah bilangan real 𝑎, 𝑏, 𝑐 sehingga 𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑏) = 𝑓 (𝑐 ) = 0 Tentukan dua digit terakhir dari (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )2015 A. 09 B. 49 C. 01 D. 29 E. 81 22. Tentukan nilai minimum dari 𝑎2 𝑏2 𝑐2 + + 2𝑏𝑐 + 𝑎2 2𝑎𝑐 + 𝑏2 2𝑎𝑏 + 𝑐 2 dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah bilangan real positif. 1 A. 3 1 B. 2 C. 1 3 D. 2 E. 2

23. Jika (𝑥 + 2𝑦 + 3)2 + |𝑥 + 𝑦 + 2| = 0 tentukan nilai dari 𝑥 2 + 𝑦 2. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 24. Jumlah semua akar real yang berbeda dari persamaan 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 0 adalah A. −3 B. −2 C. −1 D. 0 E. 1 25. Tentukan 2 digit terakhir dari ekspresi 992 + 982 + 972 − 962 − 952 − 942 + 932 +922 + 912 − ⋯ + 32 + 22 + 12 (dengan tiga tanda kurang diikuti tiga tanda tambah dan sebaliknya secara terus menerus) A. 32 B. 36 C. 40 D. 46 E. 50 26. Tentukan koefisien 𝑥 2 dari ekspansi 1 − (1 + 𝑥) + (1 + 𝑥)2 − (1 + 𝑥)3 + ⋯ + (1 + 𝑥)18

A. B. C. D. E.

54 63 72 81 90 3

3

27. Jika 𝑥 = √4 + √2 + 1. Maka tentukan nilai 6  x 1 dari   .  x  A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 E. 32 28. Barisan 𝑎𝑛 didefinisikan dengan 𝑎1 = 0, 𝑎2 = 1 dan 𝑎𝑛+2 − 2𝑎𝑛+1 + 𝑎𝑛 − 2 = 0 untuk setiap 𝑛 ≥ 1. Hitunglah nilai 𝑎20 .


Hal. 4 / 7

A. B. C. D. E.

256 289 324 361 400

29. Jika fungsi 𝑓 memenuhi 𝑓(𝑥 − 𝑓(𝑦)) = 1 − 𝑥 − 𝑦 untuk setiap bilangan real 𝑥, 𝑦. Tentukan nilai −2𝑓(2015) A. 2015 B. 2016 C. 4025 D. 4027 E. 4029 30. Polinomial 𝑃 (𝑥 ) = 5𝑥 3 + 2011𝑥 + 2015 memiliki tiga buah akat 𝑎, 𝑏, 𝑐. Hitunglah nilai dari (𝑎 + 𝑏 ) 3 + (𝑏 + 𝑐 )3 + (𝑎 + 𝑐 ) 3 . A. 403 B. 806 C. 1209 D. 1512 E. 2015 31. Sebuah segitiga memiliki sisi dengan panjang 4,5,6. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut. A. 1 B. 2 C. 4 D. √7 7 E. 2 32. Diketahui garis bagi dari segitiga 𝐴𝐵𝐶 berpotongan di titik 𝐼, jika 𝐴𝐼 memotong 𝐵𝐶 di AI 4  dan keliling dari segitiga titik 𝐷. Jika DI 3 𝐴𝐵𝐶 adalah 21, tentukan panjang 𝐵𝐶. A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10 33. Sebuah segitiga memiliki panjang jari-jari lingkaran luar 4 dan sebuah sudut yang besar nya 30∘ . Dari kelima pilihan berikut, yang

manakah yang pasti merupakan panjang sisi dari segitiga tersebut? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 34. Sebuah segitiga sama sisi, ketiga titik sudutnya terletak pada lingkaran dalam segitiga sama sisi. Tentukan rasio luas kedua segitiga sama sisi tersebut. A. 1:1 B. 2:1 C. 3:2 D. 3:1 E. 4:1 35. Sebuah trapezium memiliki lingkaran luar dan kedua diagonalnya berpotongan tegak lurus. Jika salah satu diagonal memiliki panjang 6, tentukan luas dari trapezium tersebut. A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 E. 36 36. Sebuah segi 𝑛 beraturan 𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 memenuhi hubungan ∠𝐴1𝐴2 𝐴3 = 8∠𝐴1 𝐴3 𝐴2 . Tentukan 𝑛. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 37. Pada sebuah segitiga siku-siku dibuat tiga buah setengah lingkaran ke arah luar dari segitiga tersebut dengan diameternya adalah ketiga sisisisi segitiga siku-siku tersebut. Jika luas dua buah setengah lingkaran pada sisi siku-siku memiliki luas 100𝜋 dan 212𝜋, tentukan luas setengah lingkaran yang ketiga. A. 310𝜋 B. 312𝜋 C. 314𝜋 D. 316𝜋 E. 318𝜋


Hal. 5 / 7

38. Dua buah lingkaran memiliki tiga buah garis singgung persekutuan. Jika jari-jari kedua lingkaran adalah 10 dan 8. Tentukan panjang salah satu garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran. A. 8 B. 8√2 C. 8√3 D. 16 E. 8√5 39. Lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 menyingung sisi 𝐵𝐶 di titik 𝐷. Tentukan panjang 𝐵𝐷 jika panjang 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 adalah 7,5,8 berturut-turut. 1 A. 2 B. 1 3 C. 2 5 D. 4 E. 2 40. Jika panjang diameter lingkaran dalam segitiga siku-siku adalah 4 dan luas segitiga tersebut adalah 30, tentukan panjang sisi miring dari segitiga siku-siku tersebut. A. 5 B. 10 C. 13 D. 15 E. 20 41. Dua buah lingkaran berpotongan di titik 𝑋, 𝑌. Titik 𝑃 pada segmen 𝑋𝑌. Sebuah garis melewati 𝑃 memotong kedua lingkaran di empat buah titik berbeda 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 dalam urutan tersebut (𝑃 antara 𝐵 dan 𝐶). Jika 𝐴𝐵, 𝐵𝑃, 𝑃𝐶 memiliki panjang 6,2,3 berturut-turut, tentukan panjang 𝐶𝐷. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13 42. Jika 𝐻 adalah titik dari segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan 𝐴𝐻 = 6 dan ∠𝐴 = 30∘ , tentukan panjang jarijari lingkaran luar segitiga 𝐴𝐵𝐶.

A. B. C. D. E.

2 2√2 2√3 4 5

43. Misalkan 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga dengan ∠𝐶 = 120∘ dan ∠𝐴 = 20∘ . Pilih titik 𝐷 pada 𝐴𝐵 sehingga 𝐷𝐶 tegak lurus dengan 𝐵𝐶. Diketahui 𝐴𝐶 − 𝐴𝐷 = 2, tentukan panjang 𝐵𝐷. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 44. 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah trapezium dengan 𝐵𝐶 sejajar 𝐴𝐷. Diketahui panjang 𝐴𝐷 = 2015, ∠𝐴 = 50∘ dan ∠𝐷 = 40∘ . Misalkan 𝑋, 𝑌 adalah titik tengah 𝐴𝐷 dan 𝐵𝐶. Jika 𝑋𝑌 = 2000, tentukan panjang 𝐵𝐶. A. 995 B. 1000 C. 1005 D. 1010 E. 1015 45. Pada persegi 𝐴𝐵𝐶𝐷 dengan luas 100, diabut segitiga 𝐶𝐷𝐸 dengan 𝐷𝐸 = 𝐶𝐸 sehingga irisan segitiga 𝐷𝐶𝐸 dengan 𝐴𝐵𝐶𝐷 memiliki luas 60. Tentukan jarak dari 𝐸 ke sisi 𝐶𝐷. A. 7.5 B. 8.75 C. 10 D. 11.25 E. 12.5 46. Suatu bilangan asli 𝑛 apabila dibagi 2015 akan memberikan sisa 1993. Tentukan sisa pembagian apabila 𝑛 dibagi 31. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 E. 14 47. Diketahui suatu bilangan asli 𝑛 apabila dibagi 15 memberikan sisa 3 dan apabila dibagi 10 memberikan sisa 8. Tentukan banyaknya bilangan asli 𝑛 seperti ini dengan 𝑛 ≤ 2015.


Hal. 6 / 7

A. B. C. D. E.

63 64 65 66 67

D. 10 E. 12

48. Dua buah bilangan asli dikatakan relatif prima jika faktor persekutuan terbesar dari kedua bilangan tersebut adalah 1. Tentukan banyaknya bilangan asli yang kurang dari 2015 dan relatif prima dengan 108. A. 667 B. 669 C. 671 D. 673 E. 675 49. Tentukan banyaknya bilangan asli yang kurang dari 2015 dan relatif prima dengan dengan 2015. A. 1430 B. 1435 C. 1440 D. 1445 E. 1450 50. Misalkan 𝑋 adalah himpunan semua kemungkinan sisa pembagian dari pangkat tiga suatu bilangan asli jika dibagi oleh 9. Tentukan hasil penjumlahan semua elemen di 𝑋. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 E. 13 51. Hitunglah sisa pembagian dari 20152016 oleh 2017 . A. 2015 B. 2 C. 2016 D. 1 E. 0

2017

52. Tentukan banyaknya bilangan asli 𝑛 sehingga 𝑛2015 + 𝑛2000 + 𝑛1985 + 𝑛1970 + ⋯ + 𝑛5 𝑛−1 adalah bilangan bulat A. 4 B. 6 C. 8

53. Tentukan hasil penjulahan dari semua kemungkinan sisa pembagian 2𝑛 + 𝑛3 oleh 9. A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20 54. Jika 𝑥, 𝑦 adalah bilangan ganjil, bilangan asli terbesar yang pasti habis membagi 𝑥 2 − 𝑦 2 adalah … A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 16 55. Bilangan 𝑝 dan 𝑝 + 2 keduanya adalah bilangan prima dua digit, tentukan bilangan prima terbesar yang mungkin habis membagi 𝑝 + 1. A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7 56. Tentukan banyaknya pasangan bilangan asli (𝑝, 𝑞) dengan 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑞 ≤ 100 sehingga 𝑝 habis membagi 𝑞 dan 𝑞 + 2 habis membagi 𝑝 + 2. A. 40 B. 45 C. 90 D. 100 E. 200 57. Barisan 𝑎𝑛 didefinisikan dengan 𝑎1 = 1 dan 𝑎𝑛 = 𝐹𝑃𝐵(𝑎𝑛−1 , 𝑛) + 1 untuk setiap 𝑛 > 1. Hitunglah 𝑎2015. A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 E. 1


Hal. 7 / 7

58. Berapakah banyanya bilangan asli dengan 𝑝 dengan 1 ≤ 𝑝 ≤ 200 sehingga 𝑝𝑝 adalah bilangan kuadrat sempurna. A. 100 B. 104 C. 107 D. 110 E. 200 59. Berapakah banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) dengan m  n sedemikian sehingga m3  n n3  m dan . Keduanya adalah m2  n2 m2  n2 bilangan bulat. A. 4 B. 3

C. 2 D. 1 E. 0 60. Diketahui hanya ada 1 buah pasangan bilangan asli (𝑥, 𝑦) yang memenuhi 𝑥 2 + 4𝑥 + 2015 = 𝑦 2 . Tentukan nilai dari 𝑦 − 𝑥. A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 E. 3

# Selamat Bekerja #


abcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000

Recommend Documents