301. Jika a, b, c, d > 0 dan a + b + c + d = 1 . Buktikan Jawab : a+ b+ c+ d ≥ 4
1 a
+
1 b
4 + 1c +
⇒
1 d
1 ≥ 4
1 a
+
1 b
4 + 1c +
1 d
1 1 1 1 + + + ≥ 16 a b c d ⇔
1 a
+
1 b
+
1 c
+
1 d
≥ 16
302. Jika a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan real positif, tunjukkan bahwa a b c d + + + ≥ 4 b c d a Jawab : a a + bc + dc + da 4 a b c d + b+ c+ d b ≥ b . c . d . a ⇔ b c d a ≥ 1 ⇔ ba + bc + dc + da ≥ 4 4 4 303. Diketahui akar-akar persamaan x 3 − 3 x 2 + 4 x + 5 = 0 adalah a, b dan c. Tentukan nilai a 3 + b3 + c 3 Jawab : b −3 a+ b+ c = − = − = 3 a 1 c 4 ab + ac + bc = = = 4 a 1 2 2 2 2 a + b + c = ( a + b + c ) − 2 ( ab + ac + bc ) = 32 − 2.4 = 1 x3 − 3x 2 + 4 x + 5 = 0 ⇔ x3 = 3x 2 − 4 x − 5 a 3 = 3a 2 − 4a − 5 b 3 = 3b 2 − 4b − 5 c 3 = 3c 2 − 4c − 5
+ a + b + c = 3 a + b 2 + c 2 − 4 ( a + b + c ) − 15 = 3.1 − 4.3 − 15 = − 24 3
3
(
3
2
)
304. Diketahui akar-akar persamaan x 4 − 8 x 3 + ax 2 − bx + c = 0 membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Tentukan nilai a, b dan c ! Jawab : Misal akar-akar persamaan : x1 = p, x2 = p + 2, x3 = p + 4, x4 = p + 6 x1 + x2 + x3 + x4 = 8 ⇒ p + ( p + 2) + ( p + 4 ) + ( p + 6 ) = 8 ⇔ p = − 1 Maka
x1 = − 1, x2 = 1, x3 = 3, x4 = 5
x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = a ⇒ − 1 − 3 − 5 + 3 + 5 + 15 = a ⇔ a = 14 x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = b ⇒ − 3 − 5 − 15 + 15 = b ⇔ b = − 8 x1 x2 x3 x4 = c ⇒ − 15 = c 305. Diketahui α dan β merupakan dua akar persamaan x 3 − x + 1 = 0 . Tunjukkan bahwa α β merupakan akar-akar persamaan x 3 + x 2 − 1 = 0 Jawab : Misal akar-akar persamaan x 3 − x + 1 = 0 adalah α , β dan γ maka : b α + β + γ = − = 0⇒ α + β = −γ a c α β + α γ + β γ = ⇔ α β + γ (α + β ) = − 1 ⇒ α β − γ 2 = − 1 .....(1) a 1 α βγ = 1⇔ γ = .......( 2) αβ Substitusi (2) ke (1) : 2
1 = − 1 ⇔ (α β ) 2 + α β − 1 = 0 α β − αβ Jadi α β merupakan akar-akar persamaan x 3 + x 2 − 1 = 0
306. Tentukan a 2 + b 2 + c 2 + d 2 jika a2 b2 c2 d2 + + + =1 2 2 − 12 22 − 32 2 2 − 52 22 − 7 2 a2 b2 c2 d2 + + + =1 4 2 − 12 42 − 32 4 2 − 52 42 − 7 2 a2 b2 c2 d2 + + + =1 6 2 − 12 62 − 32 62 − 52 6 2 − 7 2 a2 b2 c2 d2 + + + =1 82 − 12 82 − 32 82 − 52 82 − 7 2 Jawab : a2 b2 c2 d2 + + + =1 x − 12 x − 32 x − 52 x − 7 2 dengan akar-akar x1 = 2 2 , x2 = 4 2 , x3 = 62 dan x4 = 82 . Sistem persamaan di atas memenuhi persamaan
( )( )( ) ( )( )( ) ( d ( x − 1 )( x − 3 )( x − 5 ) = ( x − 1 )( x − 3 )( x − 5 )( x − 7 )
)(
)(
)
a 2 x − 32 x − 52 x − 7 2 + b 2 x − 12 x − 52 x − 7 2 + c 2 x − 12 x − 32 x − 7 2 + 2
2
2
2
2
2
2
2
( x − 1 )( x − 3 )( x − 5 )( x − 7 ) − a ( x − 3 )( x − 5 )( x − 7 ) − b ( x − 1 )( x − 5 )( x − 7 ) − c ( x − 1 )( x − 3 )( x − 7 ) − d ( x − 1 )( x − 3 )( x − 5 ) = 0 x − ( a + b + c + d + 1 + 3 + 5 + 7 ) x + ....... = 0 2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x1 + x2 + x3 + x4 = −
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
b a
2 2 + 4 2 + 6 2 + 82 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + 12 + 32 + 52 + 7 2 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 36 307. Diketahui a, b dan c bilangan real positif. Buktikan bahwa a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ≥ abc ( a + b + c ) Jawab : a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 = 12 (a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) + 12 (a 2b 2 + b 2c 2 + c 2 a 2 ) =
1 2
b2 (a 2 + c 2 ) +
≥
1 2
b 2 (2ac) +
1 2
1 2
c 2 (a 2 + b 2 ) +
c 2 (2ab) +
≥ abc ( a + b + c )
1 2
1 2
a 2 (b 2 + c 2 )
a 2 (2bc)
308. Diketahui a, b dan c bilangan real positif dan a+b+c = 1. Tunjukkan bahwa 1 ab + bc + ac ≤ 3 Jawab : ( a + b + c) 2 = 1 a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1 a 2 + b 2 + c 2 = 1 − 2ab − 2ac − 2bc .......(1) a 2 + b 2 ≥ 2ab a 2 + c 2 ≥ 2ac b 2 + c 2 ≥ 2bc
+ 2a + 2b + 2c ≥ 2 ( ab + ac + bc ) ⇒ 2
2
2
a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc
Dari (1) ⇒ 1 − 2ab − 2ac − 2bc ≥ ab + ac + bc ⇔
ab + ac + bc ≤
1 3
2
309. Jika a, b, c dan d bilangan positif, maka tunjukkan bahwa Jawab :
(
)
2
ad − bc ≥ 0 ⇔ ad + bc ≥ 2 abcd ( a + c ) ( b + d ) = ab + cd + ad + bc Dari (1) :
( a + c) ( b + d ) ≥ ( a + c) ( b + d ) ≥ ( a + c) ( b + d )
ab +
cd
ab + cd + 2 abcd
(
ab +
≥
ab +
Jawab : ( a − b) 2 ≥ 0 ⇒
cd
)
2
cd
( a + b) ( a − b) 2 ≥
a + b − a b − ab ≥ 0 ⇔ 3
≥
......(1)
310. Jika a dan b bilangan real positif, tunjukkan bahwa
3
( a + c) ( b + d )
2
2
3a 3 + 3b3 ≥ 3a 2b + 3ab 2
a 3 + b3 a + b ≥ 2 2
3
0
a + b3 ≥ a 2b + ab 2 3
+ (a 3 + b3 )
4a 3 + 4b3 ≥ a 3 + b3 + 3a 2b + 3ab 2 4a 3 + 4b3 ≥ ( a + b ) a 3 + b3 a + b ≥ 2 2
3
:8
3
311. Diketahui x, y dan z adalah bilangan real positif sedemikian hingga x+y+z = 1. Buktikan bahwa xy ( x + y ) 2 + yz ( y + z ) 2 + zx ( z + x ) 2 ≥ 4 xyz Jawab : x+ y+ z 3 1 3 ≥ 1 1 1 ⇒ ≥ 1 1 1 ⇔ 1x + 1y + 1z ≥ 9 3 + y+ z 3 x+ y+ z x 1 x
+
1 y
+
1 z
+ 1 ≥ 10
1 x
+
1 y
+
1 z
+ x + y + z ≥ 10
xy + xz + yz + x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ≥ 10 xyz xy + xz + yz + x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ≥ 10 xyz xy + xz + yz − 6 xyz + x 2 yz + xy 2 z + xyz 2 ≥ 4 xyz xy ( x + y ) + yz ( y + z ) + zx ( z + x ) ≥ 4 xyz 2
2
2
312. Diketahui a, b dan c bilangan positif dan (1+a) (1+b) (1+c) = 8. Buktikan bahwa abc ≤ 1 Jawab : (1+a) (1+b) (1+c) = 8 1 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc 1 2 1 + 3 ( abc ) 3 + 3 ( abc ) 3 + abc ≤ 8
(1 + ( abc) ) ≤ 8 1 3
3
1 + ( abc ) 3 ≤ 2 1
( abc )
1 3
≤1 abc ≤ 1
313. Diketahui a, b, c dan d bilangan real positif dan a+b+c+d = 1. Buktikan bahwa 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 + 4d + 1 < 6 Jawab :
(
) (
) (
2
) (
2
4a + 1 +
2
4b + 1 + 4
4c + 1 +
4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 + 4d + 1 ≥ 4 4a + 1 +
8 ≥ 4
4d + 1
4a + 1 +
4b + 1 + 4c + 1 + 4
)
2
4a + 1 +
≥
4b + 1 + 4c + 1 + 4
4b + 1 + 4c + 1 + 4
4d + 1
4d + 1
4d + 1
4a + 1 +
4b + 1 +
4c + 1 +
4d + 1 ≤ 4 2
4a + 1 +
4b + 1 +
4c + 1 +
4d + 1 < 6
314. Tentukan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan : 2x 1 + y + y2 = 3 1 + y4
( ) ( ) 2 y (1 + z + z ) = 3 (1 + z ) 2 z (1 + x + x ) = 3 (1 + x ) 2
4
2
4
Jawab : Misal x ≥ y ≥ z maka : 2x 1 + y + y2 = 3 1 + y4
(
)
(
)
⇒
(
)
(
2 y 1 + y + y2 ≥ 3 1 + y4
)
3 y4 − 2 y3 − 2 y2 − 2 y + 3 ≤ 0
( y − 1) 2 (3 y 2 +
)
4y + 3 ≤ 0
(
)
Karena 3 y 2 + 4 y + 3 > 0 maka ( y − 1) 2 3 y 2 + 4 y + 3 ≤ 0 hanya dipenuhi oleh y = 1 sehingga x = 1 dan z = 1 315. Jika a 2 + b 2 = 1 dan c 2 + d 2 = 1 , tunjukkan bahwa ac + bd ≤ 1 Jawab : a 2 + c 2 ≥ 2ac b 2 + d 2 ≥ 2bd
+ a + b + c + d ≥ 2ac + 2bd 1 + 1 ≥ 2ac + 2bd ac + bd ≤ 1 2
2
2
2
316. Jika diketahui a 2 + b 2 + c 2 = 1 , buktikan bahwa Jawab : ( a + b + c) 2 ≥ 0
1 ≤ ab + ac + bc ≤ 1 2
a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc ≥ 0 1 ......(1) 2 a 2 + b 2 + c 2 = 12 (a 2 + b 2 ) + 12 (a 2 + c 2 ) + 12 (b 2 + c 2 )
1 + 2ab + 2ac + 2bc ≥ 0 ⇔
1≥
1 2
ab + ac + bc ≥ −
.2ab + 12 .2ac + 12 .2bc
1 ≥ ab + ac + bc ........(2) Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : -
1 ≤ ab + ac + bc ≤ 1 2
317. Tunjukkan bahwa jika a, b dan c adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga, maka : 2 3 ( ab + ac + bc ) ≤ ( a + b + c ) < 4 ( ab + ac + bc )
Jawab : ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc =
1 2
(a
2
) (a
+ b2 +
1 2
2
) (b
+ c2 +
1 2
2
)
+ c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a + (a +
b + c ) ≥ ab + ac + bc + 2ab + 2ac + 2bc
(a +
b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a.a + b.b + c.c + 2ab + 2ac + 2bc
(a + (a +
b + c ) < a ( b + c ) + b ( a + c ) + c ( a + b ) + 2ab + 2ac + 2bc
2
b + c ) ≥ 3ab + 3ac + 3bc .........(1) 2
2
2
b + c ) < 4ab + 4ac + 4bc .........(2) 2
Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : 3 ( ab + ac + bc ) ≤ ( a + b + c ) 2 < 4 ( ab + ac + bc ) 318. Buktikan bahwa Jawab :
1 3 5 99 1 . . ....... < 2 4 6 100 10
1 3 5 99 2 4 6 98 . . ....... dan Q = . . ....... maka : 2 4 6 100 3 5 7 99 1 2 3 98 99 1 = PQ = . . ......... . 2 3 4 99 100 100 1 P < Q ⇒ P 2 < PQ ⇔ P 2 < 100 1 P< 10 1 3 5 99 1 . . ....... < 2 4 6 100 10 Misal P =
Catatan : Bentuk umum persamaan polinom berderajat n adalah : an x n + an − 1 x n − 1 + an − 2 x n − 2 + ........ + a1 x + a0 = 0 ........(1) xn +
an − 1 n − 1 an − 2 n − 2 a a x + x + ...... + 1 x + 0 = 0 ........( 2) an an an an
Jika x1 , x2 ,......, xn akar − akar persamaan polinom, maka :
( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ).........( x − xn ) = x n − ( x1 + x2 + ....... + xn ) x n − 1 + ( x1 x2 +
0 x1 x3 + ..... + xn − 1 xn ) x n − 2 + ....... + (− 1) n x1 x2 ....xn = 0
...........(3) Dari (2) & (3) didapat : a x1 + x2 + ....... + xn = − n − 1 an x1 x2 + x1 x3 + ....... + xn − 1 xn =
an − 2 an
........ x1 x2 x3 .........xn = (− 1) n
a0 an
319. Diketahui x1 , x2 , x3 merupakan akar-akar persamaan x 3 − 2 x 2 − 3 x + 1 = 0 . Tentukan nilai 1 1 1 + + x1 x2 x3
Jawab : x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = (− 1) 2 x1 x2 x3 = (− 1)3
a3− 2 − 2 = = −2 a3 1
a3− 3 − 1 = = −1 a3 1
1 1 1 x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 − 2 + + = = = 2 x1 x2 x3 x1 x2 x3 −1 320. Akar-akar persamaan x 3 − 14 x 2 + px + q = 0 merupakan deret geometri dengan rasio 2. Tentukan nilai p dan q yang memenuhi ! Jawab : Misal akar-akar tersebut adalah x1 = a, x2 = 2a, x3 = 4a − 14 x1 + x2 + x3 = − = 14 ⇒ a + 2a + 4a = 14 ⇔ a = 2 1 Berarti x1 = 2, x2 = 4, x3 = 8 x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = x1 x2 x3 = − q ⇒
p ⇒ 8 + 16 + 32 = p ⇔ p = 56 1 2.4.8 = − q ⇔ q = − 64
321. Jika α dan β akar-akar persamaan x 2 − ax + b = 0 ( a, b ∈ R ) . Bentuklah persamaan kuadrat yang akar-akarnya
α3 β3 dan β α
Jawab : α + β = a dan α β = b
α3 β3 α 4+ β + = β α αβ
4
=
(α
2
+ β
)
2 2
− 2α 2 β
2
αβ
=
{(α
α 3 β 3 ( a 2 − 2b ) − 2b 2 a 4 − 4a 2b + 2b 2 + = = β α b b
+ β
)2 −
2α β αβ
}
2
− 2(α β
)2
2
α3 β3 2 . = (α β ) = b 2 β α Jadi persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah : a 4 − 4a 2b + 2b 2 x + b 2 = 0 atau bx 2 − ( a 4 − 4a 2b + 2b 2 ) x + b3 = 0 x 2 − b 322. Jika a, b dan c adalah akar-akar persamaan kubik x 3 + 2 x 2 − 3 x − 5 = 0 . Tentukan 1 1 1 persamaan kubik yang ketiga akarnya , dan a b c Jawab : 2 a+ b+ c = − = −2 1 −3 ab + ac + bc = = −3 1 −5 abc = − = 5 1 1 1 1 ab + ac + bc − 3 + + = = a b c abc 5 1 1 1 a+ b+ c − 2 + + = = ab ac bc abc 5 Persamaan kubik yang dimaksud adalah :
1 1 1 x− x− x− = 0 a b c 1 1 1 1 1 1 1 x3 − + + x 2 + + + = 0 x− abc a b c ab ac bc 1 x 3 − ( −53 ) x 2 + ( −52 ) x − = 0 5 3 2 5 x + 3x − 2 x − 1 = 0 Catatan : 1. Keterbagian a habis dibagi b ditulis b/a a tidak habis dibagi b ditulis b/a Sifat-sifat keterbagian : 1. a/b dan b/c maka a/c 2. ab/c maka a/c dan b/c 3. a/b dan a/c maka a/(ax+by) dimana x,y ∈ B A. Keterbagian oleh 2 n
1. Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya habis dibagi 2 2. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirnya habis dibagi 4 3. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 angka terakhirnya habis dibagi 8
B. Keterbagian 3, 9, 11 Misal bilangan a = an an − 1an − 2 ........a1a0 1. Bilangan a habis dibagi 3 jika ( an + an − 1 + an − 2 + ..... + a1 + a0 ) habis dibagi 3 2. Bilangan a habis dibagi 9 jika ( an + an − 1 + an − 2 + ..... + a1 + a0 ) habis dibagi 9 3. Bilangan a habis dibagi 11 jika ( an − an − 1 − an − 2 − ..... − a1 − a0 ) habis dibagi 11 323. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b ! Jawab : 72 = 8 x 9 maka 8/a1989b sehingga 8/89b atau b = 6 9/a1989b sehingga 9/(a+1+9+8+9+6) atau 9/(33+a) atau a = 3 324. Tentukan semua pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga a 2 − b 2 = 1991 Jawab : (a-b)(a+b) = 1.1991 atau (a-b)(a+b) = 11.181 a+b = 1991 a+b = 181 a-b = 1 a-b = 11 Maka a = 996 dan b = 995 maka a = 96 dan b = 85 Catatan : Bilangan Kuadrat 1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6 dan 9 2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1 3. Jika p bilangan prima dan p/ n 2 maka p 2 / n 2 325. Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah : k(k+1)(k+2)(3k)(k+3) Jawab : 1. Angka pertama k yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9 2. Angka keempat 3k yang mungkin adalah 0,1,2,3 Dari (1) dan (2) maka k yang mungkin adalah 1,2,3 Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 23465 atau 34596 12334 dibagi 4 sisa 2 , jadi 12334 tidak mungkin 23465 dibagi 5 adalah 4693 tidak dapat lagi dibagi 5, jadi 23465 tidak mungkin 34596 = 2 2 x32 x312 merupakan bilangan kuadrat yang dimaksud.
Catatan :
Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n ditulis a ≡ b(mod n) jika a dan b memberikan sisa yang sama jika dibagi oleh n. 326. Jika a dan b kongruen modulo m, buktikan bahwa selisihnya dapat dibagi m Jawab : a ≡ b(mod m) ⇒ a = q1m + r dan b = q2 m + r a − b = (q1 − q2 )m ⇒
m /(a − b)
327. Buktikan bahwa ( an + b ) m ≡ b m mod(n) Jawab : Membuktikan bahwa ( an + b ) m ≡ b m mod(n) sama artinya dengan membuktikan ada bilangan bulat k sehingga ( an + b ) m − b m = kn
( an + b ) m −
b m = ( an ) + m( an ) m
{
= a( an ) = kn
m− 1
m− 1
b + ...... + m( an ) b m − 1 + b m − b m
+ am( an )
m− 2
+ ..... + am( b )
m− 1
}n
328. Tentukan angka satuan bilangan 19971991 Jawab : Angka satuan 19971991 ≡ sisa pembagian 19971991 oleh 10 ≡ (199 x10 + 7 )
1991
mod(10)
≡ 71991 mod(10) ≡ 7 4 x 497 + 3 mod(10)
( )
≡ 74
497
x73 mod(10)
≡ ( 2421) x343 mod(10) ≡ 1x3 mod(10) ≡ 3 mod(10) Jadi angka satuan 19971991 adalah 3. 497
329. Tentukan sisa 319 dibagi 14 Jawab : 319 mod(14) ≡ 33 x 6 + 1 mod(14)
( )
6
≡ 33 x31 mod(14) ≡ ( 2 x14 − 1) x3 mod(14) 6
≡ ( − 1) x3 mod(14) 6
319 ≡ 3 mod(14) Jadi sisa pembagian 319 oleh 14 adalah 3. 330. Tentukan sisa pembagian 31990 oleh 41 Jawab : 31990 mod(41) ≡ 34 x 497 + 2 mod(41)
( )
≡ 34
497
x32 mod(41)
≡ ( 2 x 41 − 1)
497
x9 mod(41)
≡ ( − 1) x9 mod(41) ≡ − 9 mod(41) ≡ ( 41 − 9 ) mod(41) ≡ 32 mod(41) Jadi sisa pembagian 31990 oleh 41 adalah 32. 497
331. Tentukan bilangan empat digit abcd yang memenuhi 4x(abcd) = dcba Jawab : 4x(abcd) = dcba (empat digit), maka nilai a yang mungkin adalah 1 atau 2
4x(abcd) = ……..a (bersatuan genap), maka a tidak mungkin 1. Jadi a = 2 sehingga d = 8 3 2bc8 4 x 8cb2 4xb < 10 maka b yang mungkin 0,1,2 4xc+3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2, jadi b = 1 Karena b = 1 maka c = 7 Jadi bilangan yang dimaksud 2178. 332. Jika ditulis dalam bilangan basis 10, tentukan banyaknya angka bilangan 416 x525 Jawab : 416 x525 = 232 x525 = 27 x 225 x525 = 128 x10 25 = 1,27 x10 27 Jadi banyaknya 28 angka 333. Tentukan banyaknya angka 0 terakhir dari 1000! Jawab : Angka satuan yang menghasilkan angka 0 adalah kelipatan 5 dikali kelipatan 2, yakni 1000 = 200 sebanyak 5 1000 = 40 Angka puluhan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 25 1000 1000 + = 9 Angka ratusan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 125 625 Jadi banyak angka 0 terakhir dari 1000! Adalah 200+40+8+1=249 334. Tentukan dua angka terakhir dari 31234 Jawab : Dua angka terakhir 31234 = sisa pembagian 31234 oleh 100 31234 mod(100) ≡ 35 x 206 + 4 mod(100)
( )
≡ 35
206
≡ ( 243) ≡ ( 43)
x34 mod(100)
206
x81mod(100)
2 x103
x81mod(100)
≡ (1989 ) ≡ ( 49 )
103
x81mod(100)
2 x 51+ 1
x81mod(100)
≡ ( 2401) x 49 x81mod(100) 51
≡ 151 x3969 mod(100) ≡ 69 mod(100) Jadi dua angka terakhir dari bilangan 31234 adalah 69. 335. Tunjukkan bahwa 3105 + 4105 habis dibagi 7 Jawab : 105 3105 + 4105 mod(7) ≡ 3105 + ( 7 − 3) mod(7) ≡ 3105 + ( − 3) mod(7) ≡ 0 mod(7) habis dibagi 7. 105
Jadi 3105 + 4105
336. Untuk n bilangan asli, buktikan bahwa n3 + 5n habis dibagi 6 Jawab : n3 + 5n = n3 − n + 6n = (n − 1)n(n + 1) + 6n Karena (n-1)n(n+1) habis dibagi 6 dan 6n juga habis dibagi 6 maka n3 + 5n habis dibagi 6.
337. Tentukan
lim x → y 1−
x y
tan x − tan y + (1 − xy ) tan x tan y
Jawab : tan x − tan y 1 lim lim − y . tan( x − y ). x = x− y x → y 1 + tan x tan y 1 − y x→ y Misal x – y = z maka : lim tan z .− y = − y = z→ 0 z 338. Tiga bilangan real a, b dan c memenuhi persamaan : (a+b)(a+b+c) = 120 (b+c)(b+c+a) = 96 (c+a)(c+a+b) = 72 Tentukan nilai 3a + 2b + c Jawab : Misal a+b+c = x maka : a+b = x–c, x+c = x-a, c+a = x-b ( x − c ) x = 120 ⇔ x 2 − cx = 120
( x − a) x = ( x − b) x =
96 ⇔ x 2 − ax = 96 72 ⇔ x 2 − bx = 72 + 3 x − x( a + b + c ) = 288 2
3 x 2 − x 2 = 288 2 x 2 = 288 x = 12 2 x − cx = 120 ⇒ 144 − 12c = 120 ⇔ c = 2 x 2 − ax = 96 ⇒ 144 − 12a = 96 ⇔ a = 4 a + b + c = 12 ⇒ b = 6 Jadi 3a + 2b + c = 12 + 12 + 2 = 26 339. Persamaan x 2 − nx + 3n = 0 mempunyai akar-akar α dan β . Tentukan n untuk nilai minimum α 3 + β 3 Jawab : b α + β = − = n a c α β = = 3n a 3 Misal z = α 3 + β 3 = (α + β ) − 3α β (α + β ) = n3 − 9n 2 z ' = 0 ⇒ 3n 2 − 18n = 0 n = 0 ⇒ z = 0 max n = 6 ⇒ z = − 108 min
340. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret 7 log 2+ 7 log 8+ 7 log 32 + ...... Jawab :
8 b = 7 log 8− 7 log 2= 7 log = 7 log 4 2 1 S n = 2 n( 2a + (n − 1)b ) = 12 n 2.7 log 2 + (n − 1).7 log 4 = n 2 .7 log 2
(
(
)
)
2
t+ 2 2t 341. Tentukan nilai dari 2 t −t + 42 .2 2 .2 Jawab : 2 2t + 4 − 22t + 2 22.2 2t + 2 − 2 2t + 2 = = 4− 1= 3 22t + 2 2 2t + 2
342. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x 2 − 2 x + 3 = 0 , maka tentukan persamaan 1 1 dan 2 kuadrat yang akar-akarnya 2 p + 2 q + 2 Jawab : p+ q = 2 ⇒ p 2 + q 2 = ( p + q ) 2 − 2 pq = 4 − 6 = − 2 pq = 3 Misal α =
1 1 dan β = 2 maka : p + 2 q + 2 2
p2 + q2 + 4 − 2+ 4 2 = = 2 ( pq ) + 2 p 2 + q 2 + 4 9 − 4 + 4 9 1 1 1 1 αβ = 2 . 2 = = p + 2 q + 2 9− 4+ 4 9 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah : x 2 − (α + β ) x + α β = 0 ⇒ x 2 − 92 x + 19 = 0 atau 9 x 2 − 2 x + 1 = 0 1 1 + 2 = 2 p + 2 q + 2
α + β =
(
)
343. ABCD adalah bidang empat beraturan (tetrahedron) dengan panjang rusuk 4 cm. Hitung jarak antara AB dan CD ! Jawab : D D F F C
A C
E
E B
ED = EC = EF =
( 12 )
4 − 2 = 2
2
2
12
− 22 = 2 2
344. Tentukan persamaan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (3,0) dan (-3,0) adalah 10 ! Jawab : x2 y 2 Berupa ellips dengan persamaan 2 + 2 = 1 a b 2a = 10 ⇔ a = 5 dan c = 3 sehingga b 2 = 25 − 9 = 16 Jadi persamaan ellipsnya
x2 y2 + =1 25 16
π 2
345. Tentukan nilai
dθ
∫
tan 2 θ − sin 2 θ
π 6
Jawab : π 2
∫
π 6
dθ
=
tan 2 θ − sin 2 θ
π 2
∫
π 6
π
cosθ −1 2 d θ = sin θ π = − 1 + 2 = 1 sin 2 θ 6
346. Polinomial derajat tiga x 3 + ax 2 + bx + c = 0 dengan a = b+c mempunyai akar-akar x1 , x2 dan x3 . Tentukan nilai x12 + x2 2 + x32 Jawab : 2 b c 2 2 2 2 2 x1 + x2 + x3 = ( x1 + x2 + x3 ) − 2 ( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) = − − 2 = ( − a ) − 2b = a 2 − 2b a a 2 2 2 = (b + c) − 2b = b + ( 2c − 2)b + c 347. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan bidang alas ABCD. Berapakah sudut antara diagonal AF dan BH ? Jawab : H
G
E
F
H
P
P
Q D
C
Q
α
R A HP =
s2 +
( 12 s ) 2
B =
5 4
s2
s 2 2 s 3 HQ = 12 HB = 2 3 2 2 2 s + 4 s − 54 s 2 4 cosα = = 0 ⇒ s 3 s 2 2. . 2 2 PQ =
1 2
PR =
α = 90
348. Berapakah umur B jika diketahui kuadrat umur A dikurangi kuadrat umur B adalah 1817 tahun ? Jawab : A2 − B 2 = 1817 ⇔ ( A + B ) ( A − B ) = 1817 ⇒ A = 51 th dan B = 28 th 349. Berapakah radius alas kerucut dalam sebuah bola yang berjari-jari a cm agar kerucut volumenya maksimum ? Jawab : A t O
r
C
x
B
D
(
V = 13 π x 2t = 13 π x 2 a + V '= 2 3
2 3
)
a 2 − x 2 = 13 π ax 2 + 13 π x 2 a 2 − x 2
π ax + 23 π x a 2 − x 2 + 13 π x 2 . 12 ( a 2 − x 2 ) 2 .( − 2 x ) = 0 −
π ax + 23 π x a 2 − x 2 = 13 π x 3 ( a 2 − x 2 )
(
−
1 2
1
:π x
)
2a a 2 − x 2 + 2 a 2 − x 2 = x 2 2a a 2 − x 2 = 3 x 2 − 2a 2 8a = 9 x 2
x=
2 3
dikuadratkan
2
a 2
350. Jika x, y dan z adalah suku ke-m, ke-n dan ke-p dari deret geometri, berapakah nilai dari x p− m.y m− p Jawab : y = xr dan z = xr 3 1 1 1 m− p x p − n . y m − p = x p − n .( xr ) = x m − n .r m − p = . 3 = = z − 1 = z m − n x r z 351. Diketahui persamaan kuadrat 2 x 2 + x + q = 0 dengan akar-akar x1 dan x2 . Jika x1 , x2 dan 12 x1 x2 membentuk deret geometri, maka tentukan nilai q ! Jawab : 1 1 x1 + x2 = − ⇔ x2 = − x1 − .......(1) 2 2 q x1 x2 = ⇔ q = 2 x1 x2 2 1 x2 2 x1 x2 2 2 2 = ⇔ x2 = 12 x1 x2 ⇒ x2 = 12 x1 .......(2) x1 x2 Substitusi (1) ke (2) : 1 2 2 − x1 − = 12 x1 ⇔ ( x1 + 1) = 0 ⇒ 2 1 Jadi q = 2.( − 1). = − 1 2
x1 = − 1 ⇒
x2 = − (− 1) −
1 1 = 2 2
352. Tentukan suku negatif pertama dari barisan 500, 465, 430, 395, …… Jawab : U n < 0 ⇒ 500 + (n − 1)(− 35) < 0 ⇔ n > 15 U16 = 500 + 15.(− 35) = − 25 353. Garis 3x - 4y – 11 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + c = 0 . Tentukan nilai c! Jawab : 3 x − 11 Substitusi y = ke x 2 + y 2 − 2 x − 6 y + c = 0 maka akan didapat : 4 165 5 x 2 − 34 x + 77 + = 0 c 165 Syarat b 2 − 4ac = 0 ⇒ ( − 34) 2 − 4.5.(77 + )= 0 ⇔ c = −6 c
354. Jika garis x − 3 y − 3 2 = 0 diputar dengan pusat O(0,0) sebesar 45 berlawanan arah dengan jarum jam, maka tentukan bayangannya ! Jawab : x' cos 45 − sin 45 x 12 2 x − 12 2 y = = 1 1 y ' sin 45 cos 45 y 2 2x + 2 2 y x' = y' =
2x − 2x +
1 2 1 2
1 2 1 2
2 y x '+ y ' ⇒ x= 2 y 2
y=
y '− x' 2
x − 3y − 3 2 = 0 x'+ y ' y '− x' − 3 x 2 −3 2= 0 2 2 2 x'− y '− 3 = 0 atau 2 x − y − 3 = 0 355.
Y y=
2
x
I II 0
4
X
Berapa luas I : luas II ? Jawab : Luas persegi panjang = L = 4 x 2 = 8 4 4 3 16 LII = ∫ x dx = 23 x 2 = 0 3 0 LI = L − LII = 8 − LI : LII =
16 8 = 3 3
8 16 : = 1: 2 3 3
356. s1 s2 x
s3
Radius lingkaran besar adalah R. Hitung keliling daerah yang diarsir ! Jawab : s = s1 + s2 + s3 = 12 .2π R + 12 .2π ( R − x ) + 12 .2π .x = 2π R
357. Suatu lingkaran dengan jari-jari 5 cm dipotong pada bagian yang bersudut 144 . Sisanya dibuat kerucut. Tentukan volume kerucut yang terjadi !
Jawab :
⇒
144
5 t 3
t=
25 − 9 = 4
V = 13 .Lalas .t = 13 .π .32.4 = 12π 358. Pada persegi ABCD, AE adalah garis bagi pada ∠ BAC. Jika sisi persegi adalah 10 cm, maka tentukan panjang AB + BE ! Jawab : D 10 C
10
E o
o
A tan 45 =
B
2 tan 22,5 1 − tan 2 22,5
⇔
tan 2 22,5 + 2 tan 22,5 − 1 = 0
− 2+
4 − 4.1.(− 1) = 2 − 1 karena 22,5 di kuadran I 2 AB + BE = 10 + 10 tan 22,5 = 10 + 10 ( 2 − 1) = 10 2
tan 22,5 =
(
)
359. Tentukan koordinat fokus dari ellips 9 x 2 + 16 y 2 + 36 x − 96 y + 36 = 0 Jawab : ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 1 ⇒ c = 16 − 9 = 7 16 9 Fokus = F ± 7 − 2 , 3
(
)
360. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = ( cos x ) sin x di titik A(0,3) Jawab : sin x − 1 m = y ' = sin x ( cos x ) .(− sin x ) = − sin 2 x(cos x)sin x − 1 x = 0 ⇒ m = − sin 2 0.(cos 0)sin 0 − 1 = 0 y − y1 = m( x − x1 ) y − 3 = 0( x − 0) y= 3
361.
Y A B
x 0
C
X
x
g
Jika luas segitiga ABC = 24 dan luas daerah yang diarsir adalah tentukan persamaan garis g ! Jawab : Y
1 4
( 36 − 9π )
, maka
A (0,a) a-x
B
x C (b,0)
0 x
b-x
X
g
Misal persamaan garis g : ax + by = ab 1 ab = 24 ⇔ ab = 48 .......(1) 2 1 4
( 36 − 9π ) =
24 − 14 π x 2 −
1 2
( b − x ) x − 12 ( a − x ) x
x4
36 − 9π = 96 − π x 2 − 2bx + 4 x 2 − 2ax Ambil x = 3 ⇒ 36 − 9π = 96 − 9π − 6a − 6b + 36 ⇔ a + b = 16 Dari (1) dan (2) ⇒ a = 4 ⇒ b = 12 atau a = 12 ⇒ b = 4 Jadi g1 : 4 x + 12 y = 48 atau x + 3 y = 12
.....(2)
g 2 : 12 x + 4 y = 48 atau 3 x + y = 12 362. Sejumlah murid SMA X ingin mengumpulkan uang sebanyak Rp 960 dimana setiap murid membayar sama. Ternyata diketahui ada 4 orang tidak bisa membayar. Untuk menutupi kekurangannya, murid-murid menambah iurannya masing-masing Rp 20. Tentukan banyaknya murid yang membayar iuran ! Jawab : Misal jumlah murid = x dan jumlah iuran masing-masing = p 960 Maka : 960 = px atau p = x 960 = ( x − 4)( p + 20) 960 = px + 20 x − 4 p − 80 960 960 2 x + 20 x − 4 − 80 ⇔ x − 4 x − 192 = 0 x x x = − 12 TM x = 16 M jadi jumlah murid yang membayar = x – 4 = 16 – 4 = 12 murid 960 =
363. Bila 4 log 5 = − Jawab : 0 , 04
3 maka tentukan 2x
0 , 04
log 8
35 3 1 3 1 3 1 3 1 log 2 = − 2 = − 4 = − = − 4 4 2 2 log 5 2 log 25 2 2 log 5 4 log 5 3 1 1 = − = x 3 4 − 2x 2 −2
log 8= 5 log 23 = −
364. Tentukan nilai sin 72 sin 54 sin 36 sin 18 Jawab : 1 − 2 sin 72 sin 18. − 2 sin 54 sin 36 4
(
=
1 4
( cos 90
=
1 4
cos 54 cos18
=
1 8
( cos 72
)
)(
− cos 54 cos 90 − cos18 + cos 36
)
)
sin 72 cos 72 + 2 sin 36 1 2 cos 72 sin 36 + sin 72 = 8 2 sin 36 =
1 8
sin 108 − sin 36 + sin 72 2 sin 36 2 sin 72 − sin 36 = 161 sin 36 =
1 8
2 sin 72 1 sin 144 − 1 = − 1 16 sin 36 cos 72 sin 36 1 1 = 161 − 1 = 161 − 1 cos 72 sin 18 =
1 16
=
1 16
1 − sin 18 = sin 18
1 − sin 18 sin 18
1 16
=
1 16
1 − 2 sin 18 +1= sin 2 18
=
1 16
cos18 − sin 36 +1= sin 2 18 cos18
=
1 16
2 cos 54 sin 18 +1= sin 2 18 cos18
=
1 16
4 cos 54 +1= sin 36
=
1 16
5
1 16
1 16
1−
sin 36 cos 18 2
sin 18 1 16
1 16
2
+1
sin 72 − sin 36 +1 sin 2 18 cos18 2 cos 54 +1 sin 18 cos18
4 sin 36 +1 sin 36
365. Jika n bilangan asli, buktikan bahwa ( n + 1)( n + 2)( n + 3)......( n + 2004)( n + 2005) ≤ ( n + 1003) 2005 Jawab :
( n + 1)( n + ( n + 1)( n +
2005) ≤
( n + 1) + ( n +
2005) ≤ ( n + 1003)
2005)
2
= n + 1003
2
(n + 2)(n + 2004) ≤ ( n + 1003)
(n + 3)(n + 2003) ≤ ( n + 1003) .........
2
2
(n + 1002)(n + 1004) ≤ ( n + 1003)
2
x ( n + 1)( n + 2)( n + 3)......( n + 2004)( n + 2005) ≤ ( n + 1003) 2004
( n + 1)( n + 2)( n + 3)......( n +
2004)( n + 2005) ≤ ( n + 1003)
(tanpa (n+1003))
2005
366. Jika n bilangan bulat positif sehingga 2n + 1 kuadrat murni, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dua bilangan kuadrat berurutan ! Jawab : Misal 2n + 1 = s 2 Karena s 2 ganjil maka s juga ganjil atau misal s = 2t + 1, maka : 2n + 1 = ( 2t + 1) ⇔ n = 2t 2 + 2t 2
Sehingga n + 1 = 2t 2 + 2t + 1 = t 2 + t 2 + 2t + 1 = t 2 + ( t + 1)
2
367. Jika 3n + 1 bilangan kuadrat sempurna, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dari tiga bilangan kuadrat sempurna Jawab : Misal 3n + 1 = s 2 Kemungkinan s adalah s = 3t + 1 atau s = 3t – 1 9t 2 + 6t 2 2 1. 3n + 1 = ( 3t + 1) = 9t + 6t + 1 ⇔ n = 3 2 9t + 6t 2 n+ 1= + 1 = t 2 + t 2 + ( t + 1) 3 9t 2 − 6t 2 2 2. 3n + 1 = ( 3t − 1) = 9t − 6t + 1 ⇔ n = 3 2 9t − 6t 2 n+ 1= + 1 = ( t − 1) + t 2 + t 2 3 368. Jika a, b > 0 dan a ≠ b , buktikan a 3 + b3 > a 2b + ab 2 Jawab : a 2 + b 2 > 2ab ( karena a, b > 0)
(a
2
)
+ b 2 ( a + b ) < 2ab ( a + b )
a + b + a 2b + ab 2 > 2a 2b + 2ab 2 3
3
a 3 + b3 > a 2b + ab 2 369. Untuk x, y ∈ Asli dengan x > y , buktikan bahwa x !+ y !≥ ( x − 1)!+ ( y + 1)! Jawab : 1. Untuk x = y + 1 ⇒ x != ( y + 1) !⇔ ( x − 1)!= y ! .......(1) 2. Untuk x > y + 1 ⇒ x !> ( y + 1) ! ........(2) Jika (1) + (2) ⇒ x !+ y !≥ ( x − 1) !+ ( y + 1) !
370. Jika a, b, c > 0, a ≠ b ≠ c , buktikan ( a + b + c ) 2 > 3( ab + ac + bc ) Jawab :
( a − b) 2 + ( a − c) 2 + ( b − c) 2 >
0
a 2 + b 2 + c 2 > ab + ac + bc a 2 + b 2 + c 2 > 3(ab + ac + bc ) − 2(ab + ac + bc) a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc) > 3(ab + ac + bc ) (a + b + c) 2 > 3ab + 3ac + 3bc 371. Jika a, b, c > 0, a ≠ b ≠ c , buktikan bahwa ( ab + ac + bc ) 2 > 3abc ( a + b + c ) Jawab : ( ab − ac ) 2 + ( ab − bc ) 2 + ( ac − bc ) 2 > 0 (ab) 2 + (ac) 2 + (bc) 2 > a 2bc + ab 2c + abc 2 (ab) 2 + (ac) 2 + (bc) 2 > 3(a 2bc + ab 2c + abc 2 ) − 2(a 2bc + ab 2c + abc 2 ) (ab) 2 + (ac) 2 + (bc) 2 + 2(a 2bc + ab 2c + abc 2 ) > 3(a 2bc + ab 2c + abc 2 ) (ab + ac + bc ) 2 > 3abc ( a + b + c ) 372. Untuk setiap bilangan asli, buktikan bahwa n n ≥ 1.3.5.7.....( 2n − 1) Jawab : 1 + 3 + 5 + 7 + ..... + (2n − 1) n ≥ 1.3.5.7......(2n − 1) n 1 n (1 + 2n − 1) n 2 ≥ 1.3.5.7......(2n − 1) n n ≥ n 1.3.5.7......(2n − 1) n n ≥ 1.3.5.7.....(2n − 1) 373. Diketahui 2 x + 2− x = 5 . Tentukan nilai 4 x + 4− x = ….. Jawab :
(2
x
+ 2− x
)
2
= 25 ⇔ 4 x + 4 − x = 25 − 2 = 23
374. Diketahui 2 x + 2− x = 5 . Tentukan nilai 8 x + 8− x = ….. Jawab :
(
)
3
8 x + 8− x = 2 x + 2− x − 3.2 x.2 − x (2 x + 2− x ) = 125 − 3.1.5 = 110 375.
D 3 6 A
C 3
4 B
Tentukan nilai cos ∠ BAD ! Jawab : ∠ C = 180 − ∠ A
(
BD 2 = BD 2 ⇒ 62 + 42 − 2.6.4 cos A = 32 + 32 − 2.3.3 cos 180 − A 36 + 16 − 48 cos A = 9 + 9 − 18.(− cos A) 34 17 cos A = = 66 33
376. Diketahui sin α cosα = 0,32. Nilai Jawab :
1 1 − = ....... sin α cosα
)
1 1 cosα − sin α − = sin α cosα sin α cosα 2
cos 2 α + sin 2 α − 2 sin α cosα 1 − 2.0,32 225 cosα − sin α = = = 2 (0,32) 2 64 ( sin α cosα ) sin α cosα 1 1 − = sin α cosα
225 25 = 64 8
377. Seorang murid diminta menyelesaikan 10 dari 17 soal, namun setiap nomor genap harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil ! Jawab : Banyaknya soal wajib sebanyak 8 butir, jadi banyaknya soal pilihan = (17 − 8 ) C(10 − 8 ) = 9 C2 = 36 378. Tentukan himpunan penyelesaian dari x 2 − 2 x − 15 ≤ 0 Jawab : x 2 − 2 x − 15 ≤ 0 ⇔ ( x − 5)( x + 3) ≤ 0 Karena x + 3 definit positif , maka : x − 5≤ 0⇔ x ≤ 5⇔ −5≤ x ≤ 5 379. Jika x 2 − 4 x − 12 < 0 maka tentukan Jawab : x 2 − 4 x − 12 < 0 ⇒ − 2 < x < 6 x2 + 4x + 4 +
x 2 − 14 x + 49 =
x2 + 4x + 4 +
( x + 2) 2 + ( x − 7 ) 2
x 2 − 14 x + 49 = ......
= x+ 2 + x− 7
Jika − 2 < x < 6 disubstitusi ke x + 2 + x − 7 maka x + 2 + x − 7 = 9 380. Diketahui f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + 2, f (1) = f (2) = 0 dan g ( x) = x 3 − (a + b) x + ab maka tentukan nilai g(-1) = …… Jawab : f (1) = 1 + a + b + 2 = 0 ⇔ a + b = − 3 ......(1) f ( 2) = 8 + 4a + 2b + 2 = 0 ⇔ 2a + b = − 5 ......(2) Dari (1) dan (2) didapat a = − 2 dan b = − 1 g ( x) = x 3 + 3x + ab = x 3 + 3 x + 2 g (− 1) = − 1 − 3 + 2 = − 2 381. Jika f ( x) = x 3 − 3 x + 1 dan f − 1 (a ) = 1 maka tentukan nilai a ! Jawab : f − 1 (a ) = 1 ⇔ f (1) = a = 1 − 3 + 1 = − 1 382. Jika α dan β akar-akar nyata dari x 2 + x + 1 =
12 maka tentukan nilai α β = ….. x + x+ 2 2
Jawab : Misal y = x 2 + x + 1 maka : 12 y= ⇔ ( y + 4) ( y − 3) = 0 ⇔ x 2 + x + 5 x 2 + x − 2 = 0 y+ 1 Karena α dan β akar-akar nyata maka x 2 + x − 2 = 0 sehingga α β = − 2
(
21
)(
383. Tentukan nilai k jika ∫ 3k ( x − 5)( x − 19) dx = − 64 13
Jawab :
)
21
∫ 3k ( x − 5)( x − 19) dx =
− 64
13
21
3k ∫ ( x − 5)( x − 19) dx = − 64 13 8
3k ∫ ( x − 2)( x − 6) dx = − 64 0
4
3k ∫ ( x + 2)( x − 2) dx = − 64 −4
3k
[
1 3
]
4
x 3 − 4 x − 4 = − 64
k = −2 384. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P terletak di tengah-tengah CD, maka tentukan jarak titik B ke bidang APH ! Jawab : H G E
F D
P
A
C
B T D’
C’
A’
B’
Q B.QC’H berupa limas beraturan. Luas segitiga ABC’ = 12 . AB.BC ' = 12 .BT . AC ' BT =
AB.BC ' 4.4 2 8 = = AC ' 4 3 6
385. Diketahui bidang empat T.ABC dengan TA = TB = 5, TC = 2, CA = CB = 4 dan AB = 6. Jika α sudut antara TC dengan bidang TAB, maka tentukan cos α ! Jawab : T PT = 4 PC = 7 16 + 4 − 7 13 α cosα = = 5 2.4.2 16 A C P
B
386. Tentukan jarak terdekat garis 3x + 4y + 18 = 0 terhadap lingkaran ( x − 1) 2 + ( y − 1) 2 = 4 Jawab :
d r
Q
P(1,1)
Pusat lingkaran P(1,1) dengan jari-jari r = 2 3.1 + 4.1 + 18 PQ = = 5 32 + 42 d = PQ − r = 5 − 2 = 3 x7 + x + 1 ax + b = H ( x). maka tentukan nilai a – b = …… 2 ( x − 1) ( x − 1) 2 Jawab :
387. Jika
1 1 0 1 1 1 1 1
0 1 1 2
0 1 1 3
0 1 1 4
0 1 1 5
1 1 1 2 2 3 6
1 2 3 4 5 6 8
S1 S2
Sisa = S2.P1+S1 = 8(x-1) + 3 = 8x – 5 = ax + b a = 8 dan b = -5 Sehingga a – b = 13 388. Apabila x1 dan x2 akar-akar persamaan x 2 − 5 x + 3 = 0 maka tentukan nilai dari 2 2 x1 − 2 x1 + 4 x2 − 2 x2 + 4 = ...... Jawab : 2 2 2 2 x1 − 2 x1 + 4 x2 − 2 x2 + 4 = x1 − 5 x1 + 3 + 3 x1 + 1 x2 − 5 x2 + 3 + 3 x2 + 1
( (
)( )(
= ( 0 + 3 x1 + 1) ( 0 + 3 x2 + 1)
) ) (
)(
)
= 9 x1 x2 + 3 ( x1 + x2 ) + 1 = 9.3 + 3.5 + 1 = 43
389. Jika abc = 900 dan 2 log a = 3 log b = 5 log c maka tentukan nilai a + b + c = …… Jawab : abc = 900 dan 2 log a = 3 log b = 5 log c maka a = 4, b = 9 dan c = 25 Jadi a + b + c = 4 + 9 + 25 = 38 2 3 390. Jika A(-2,5), B(4,1) dan C(2,5) ditransformasikan oleh matriks maka tentukan 2 5 luas segitiga bayangannya ! Jawab : 2 3 L' = xL = (10 − 6) x 12 .4.4 = 32 2 5
a c a b + = 4 dan + = 2 maka tentukan nilai b d c d Jawab : ad + bc ad + bc = 4 dan = 2 ⇒ 4bd = 2cd ⇔ bd cd
391. Jika
392. Tentukan bentuk sederhana dari Jawab :
6 4 3
2
2 + 23 + 1
b c b 1 = c 2
2
Misal x = 2 3 maka : 6 2 3 − 1 6 6 x − 1 6 ( x − 1) = 2 = 2 . = = 2 3 x + x+ 1 x + x+ 1 x− 1 x −1 4− 1 2
(
3
)
4−1
1 1 1 1 393. Tentukan jumlah dari 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...... 2 4 8 16 Jawab : A = 1 + 22 + 34 + 84 + 165 + ......... 1 2
A=
1 2
A = 1+
1 2
A=
1 2
+ 1 2
2 4
+
+ 1 4
3 8
+
+ 1 8
+ .........
4 16
+
1 16
a 1 = = 2 ⇒ 1 − r 1 − 12
394. Tentukan nilai dari Jawab : lim x→ ∞ lim x→ ∞ lim x→ ∞ 12 − 4 + = 2 4
-
+ .........
A= 4
lim x→ ∞
4 x 2 + 12 x + 1 −
4 x 2 + 12 x + 1 −
x2 + x − 1 −
x2 − x + 1
x2 − x + 1 =
4 x 2 + 12 x + 1 − 2 x 2 + x − 1 + 4 x 2 + 12 x + 1 −
x2 + x − 1 −
x2 + x − 1 −
4x2 + 4x − 4 +
x2 + x − 1 −
x2 − x + 1 = x2 − x + 1
1 − (− 1) = 3 2 1
395. Hasil dari 125 − 7.12 4 − 58.123 + 16.122 − 460.12 − 200 = ...... Jawab : 12 1 -7 12 1 5
-58 16 -460 -200 60 24 480 240 + 2 40 20 40
Hasil yang diminta.
396. Hitung nilai sin 54 sin 18 Jawab :
Cara I : sin 54 sin 18 = sin 54.
sin 36 cos 36 sin 36 12 sin 72 1 = = = 2 cos18 2 cos18 2 sin 72 4
Cara II : p = sin 54 sin 18 p sin 36 = sin 54 sin 36 sin 18 = − 12 (cos 90 − cos18 ) sin 18 = p sin 36 = Cara III :
. sin 36
1 1 2 2
⇒
p=
1 4
1 2
cos18 sin 18
sin 54 = cos 36 sin 3.18 = cos 2.18 3 sin 18 − 4 sin 3 18 = 1 − 2 sin 2 18 4 sin 3 18 − 2 sin 2 18 − 3 sin 18 + 1 = 0
(sin 18
)(
)
− 1 4 sin 2 18 + 2 sin 18 − 1 = 0
sin 18 = 1 tidak mungkin
( 4 sin 18 2
sin 18 = −
)
+ 2 sin 18 − 1 = 0 1 4
+
1 4
5
(
sin 54 = cos 36 = 1 − 2 sin 2 18 = 1 − 2 − sin 54 sin 18 =
(
1 4
+
1 4
)(
5 −
1 4
+
1 4
)
5 =
1 4
+
1 4
)
5 =
1 4
+
1 4
5
1 4
Cara IV : Dengan pendekatan geometri D
C 36 E
36
36 A
x
x
36 72
x
B
Pada segitiga ABE dengan aturan cosinus : 1 x 2 = x 2 + 12 − 2.x.1. cos 72 ⇔ cos 72 = = sin 18 2x Pada segitiga BEC dengan aturan cosinus : x 12 = 12 + x 2 − 2.1.x. cos 36 ⇔ cos 36 = = sin 54 2 x 1 1 sin 54.sin 18 = . = 2 2x 4 397. Tentukan jumlah semua penyelesaian persamaan 1 1 1 3 + + = x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 2) ( x + 2 ) ( x + 3) 4 Jawab : 1 1 1 = − x ( x + 1) x x + 1 1 1 1 3 + + = x ( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 3) 4 1 1 1 1 1 1 3 − + − + − = x x+ 1 x+ 1 x+ 2 x+ 2 x+ 3 4 1 1 3 −3 − = ⇔ x 2 + 3 x − 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = = −3 x x+ 3 4 1
398. Jika a, b dan c akar-akar persamaan x 3 − 2 x 2 − x + 5 = 0 maka tentukan nilai ( 2 − a ) ( 2 − b) ( 2 − c ) Jawab : Cara I :
b = 2 a c ab + ac + bc = = − 1 a d abc = − = − 5 a (2 − a ) (2 − b) (2 − c) = 8 − 4 (a + b + c ) + 2 (ab + ac + bc) − abc = 8 − 4.2 + 2(− 1) + 5 = 3 a+ b+ c = −
Cara II : x3 − 2 x 2 − x + 5 = 0 ( x − a ) ( x − b) ( x − c ) = 0 ⇒
x= 2
Substitusi x = 2 ke x 3 − 2 x 2 − x + 5 = 8 − 8 − 2 + 5 = 3 2 399. Tentukan himpunan penyelesaian x − 2 − 6 + 2 x < 0 Jawab : x 2 − 2 − 6 + 2 x < 0 ⇔ x 2 − 2 < 6 − 2 x ⇔ − (6 − 2 x ) < x 2 − 2 < 6 − 2 x
i ) − 6 + 2 x < x 2 − 2 ⇔ x 2 − 2 x + 4 > 0 definit positif ( x ∈ R ) ii ) x 2 − 2 < 6 − 2 x ⇔ x 2 + 2 x − 8 < 0 ⇔ − 4 < x < 2 Dari (i ) dan (ii ) : HP : { x − 4 < x < 2}
400. Jika 0 < θ < 90 sehingga cosθ cos 2θ = 0,25 maka tentukan nilai θ Jawab : Cara I : cosθ cos 2θ = 14 sin 54 sin 18 = Cara II : cosθ cos 2θ =
⇔ cos 36 cos 72 =
1 4
sin θ cosθ cos 2θ = sin 2θ cos 2θ =
1 4
sin 4θ =
1 4
⇒
θ = 36
x sin θ
1 4
1 2
1 4
1 4
1 4
sin θ
sin θ
sin θ
4θ = θ + k .360 atau 4θ = (180 − θ ) + k .360 3θ = k .360 atau θ = 36 + k .72 θ = 36 401. Diketahui OA = i + 2 j + 2k dan OB = i + 2 j + 3k . P pada AB sehingga AP = OB . Tentukan AP.OA Jawab : O’ B
A
O
AP =
1+ 4 + 9 =
14
OA =
1+ 1+ 4 =
6
AB =
1+ 1 =
2
P
6 + 2 − 14 −3 3 = ⇒ cos ∠ BAO' = 2. 2 . 6 2 3 2 3 3 AP.OA = AP OA cos ∠ BAO' = 14 . 6 . = 3 7 2 3
cos ∠ OAB =
402. Tentukan x jika Jawab :
x2 − 4x + 4 = 2 − x
x2 − 4x + 4 = 2 − x ⇔
( x − 2) 2
= 2− x ⇔ x− 2 = 2− x ⇒
(
x≤ 2
)(
403. Jika x 2 − x − 3 = 0 akar-akarnya p dan q, maka tentukan p 2 + q + 2 q 2 + p + 5 Jawab : x 2 − x − 3 = 0 ⇔ x 2 = x + 3 ⇒ p 2 = p + 3 dan q 2 = q + 3
)
( p 2 + q + 2) (q 2 + p + 5) = ( p + 3 + q + 2) ( q + 3 + p + 5) = ( p + q + 5)( p + q + 8) = (1 + 6)(1 + 8) = 63 404. Jika ( a + 2) , ( a − 1) , ( a − 7 ) merupakan barisan geometri, maka tentukan rasionya ! Jawab : U 3 − U 2 ar 2 − ar ar ( r − 1) = = = r U 2 − U1 ar − a a (r − 1) r= 405.
(a − 7) − (a − 1) = 2 (a − 1) − (a + 2)
