Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
VII.6. KISKOCKÁK A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Térgeometria, algebra (és számelmélet). Előzmények A kocka térfogata és felszíne. Cél A térszemlélet fejlesztése. Invariancia felismerése. Módszerek „térlátóknak” és másoknak. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + + + + +
+
Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához jól felhasználhatók kiskockák (esetleg csak a tanári asztalon, ahonnan a „rászorulók” bármennyit elvihetnek). Érdemes lenne – mondjuk dobókockák öszszeragasztgatásával – modelleket készíteni hozzá. Ha van az iskolának például kétféle színű kiskockája, akkor a „lyukas ” ábrákat ki lehet rakni úgy, hogy az egyik színű kocka a lyuk. Lehet kockacukorral is dolgozni. Mivel a feladatok részben egymásra épülve nehezednek, így javasoljuk a diákoknak, hogy sorban oldják meg azokat. Lehet kiscsoportban (2–3 fő) is dolgozni. A 4. feladat, az 5.b) utolsó feladata és a 6. lehet házi feladat is. A feladatok beosztását a gyerekek igényeihez, felkészültségéhez és gyorsaságához érdemes igazítani. Az 1. feladat megoldásához sokféle gondolatmenet elvezethet. Lehetőség szerint a tanulók különböző gondolatmeneteit beszéljük meg, és esetleg egészítsük ki. Mivel a fontos gondolatok fokozatosan, a nehezedő feladatokon keresztül jönnek elő, így időben észre kell venni azt, ha valaki már az egyszerű feladatnál is megakad. Ilyenkor lehet, hogy még könnyebb példán keresztül kell eljutnia a „horpasztási”, a „kanyarodási” vagy az „eltolási” invarianciához (2., 3. és 4. feladat). Az 5. feladat a) része készíti elő a b) feladatot. A b) utolsó két kérdése nehéz, még a rétegelési stratégia is mély, alapos végiggondolást igényel, nem beszélve a logikai szitára hasonlító rudas megoldásról. Az 5.c), 6. inkább csak ízelítő, kedvcsináló az önálló keresgéléshez, kutatáshoz az interneten. A feladatok jól differenciálják majd a gyerekeket, de mindenki számára van megoldható feladat. A nagyon jóknak könnyű további nehezebb feladatot, általánosításra vonatkozó kérdést adni. VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
1.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
KISKOCKÁK Feladat sor A
RÚD
1. Az alábbi testek 1 cm élhosszúságú kockákból állnak. a) Mekkora a testek felszíne?
A1=
A2=
A3=
A4=
A5=
b) Mekkora lenne a 20 kockából álló rúd felszíne? c) Írd le szövegesen, hogyan lehet kiszámolni a rúd felszínét, akármennyi kockából is áll! d) Add meg a számolást megkönnyítő képletet! Mekkora az n. rúd felszíne? e) Hány kockából áll az a test, aminek 2006 cm2 a felszíne? f) András szerint van olyan rúd, amelynek 352 cm2 a felszíne. Igaza van Andrásnak?
VIVA
L A CU BE
2. Az alábbi testek 2 cm élhosszúságú kockákból állnak. (A harmadik test az elsőből úgy készült, hogy egy kockát elvettünk, a negyedik test a másodikból úgy készült, hogy minden csúcsnál 1 kockát elvettünk.) Mekkora a testek térfogata és felszíne?
K Í GY Ó 3. Az alábbi testek 3 cm élhosszúságú kockákból állnak. Mekkora a testek felszíne? a)
VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
2.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
b)
c)
4. A testeket 6,38 cm élhosszúságú kiskockákból építettük. Melyiknek nagyobb a felszíne?
K U KU C S 5. Az alábbi testek hány darab egységkockákból állnak? (A járatok egyenesen végigmennek a kockákban.) a)
I.
VII. Térgeometria
II.
III.
VII.6. Kiskockák
3.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
b)
I.
II.
III.
c)
6. Nézz utána, ki volt Oscar Reutersvärd (pl. az Interneten)!
VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
4.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1. a) A1 = 6 cm2, A2 = 10 cm2, A3 = 14 cm2, A4 = 18 cm2, A5 = 22 cm2. b) A20 = 82 cm2. c)–d) Négy gondolatmenet, négy képlet: I. gondolatmenet A rudak felszíne rendre 4 cm2-rel nő. Ez azért van, mert egy újabb kocka hozzáillesztésével egy lap eltűnik, és 5 új lap beépül a felszínbe. Így például a 20 kockás rúd felszínét úgy lehet kiszámolni, hogy az eredeti 6 cm2-hez hozzáadunk 19-szer négyet. An = 6 + 4 · (n – 1). II. gondolatmenet A rúd két végén álló kockának öt lapja, a belsőknek négy-négy lapja látszik. Így a felszínt mindig lehet úgy számolni, hogy a végfelszínhez (mindig 10 cm2, kivéve az első testet) hozzáadjuk a belsők felszínét, azaz a kockák darabszámánál kettővel kevesebbszer négyet. An = 10 + 4 · (n – 2). III. gondolatmenet A rúd két vége az 2 cm2, a rúd „alja, oldalai és teteje” ugyanolyan, területük annyi négyzet területe (annyi cm2), ahány kockából áll a rúd. Így 4-szer kell venni a kockák számát és még hozzá kell adni kettőt. An = 4n + 2. IV. gondolatmenet Ha a kockák külön állnának, akkor annyiszor 6 cm2 lenne a felszín, ahány kocka van. Mivel az összeillesztésnél mindig 2 cm2 „elvész”, így le kell vonni annyiszor 2 cm2-t, ahány illesztés van. Az illesztések száma pedig eggyel kevesebb a kockák számánál. An = 6n – 2 · (n–1). Természetesen mind a négy képlet algebrailag ugyanazt adja. A III. a leghasználhatóbb. e) Akármelyik gondolatmenetet, képletet használhatjuk (visszafelé kell számolni, azaz egy kis egyenletet lebontogatni). A legkevésbé a IV. kényelmes. Például a III. összefüggéssel számolva: 2006 = 4n + 2, ahonnan n = 501. f) Direkt: A III. képlet alapján csak a néggyel osztva 2 maradékot adó felszínértékek jöhetnek szóba. A 352 nem ilyen, így ilyen test nincs. Andrásnak nem volt igaza. Indirekt: Ha a rúd n db kockából áll, akkor a 352 = 4n + 2-ből kiszámolva n = 87,5, vagyis n nem lesz egész szám, azaz feltéve, hogy van ilyen test ellentmondásra jutunk. Tehát nincs ilyen test. Andrásnak nem volt igaza. 2.
A kockák éle rendre 4 cm és 6 cm. Használjuk az A = 6a2 és a V = a3 képleteket! V1 = 64 cm3, A1 = 96 cm2, illetve V2 = 216 cm3, A2 = 216 cm2. A sarokkockák elvétele a felszínt nem változtatja. Egy kiskocka térfogata 8 cm3. V3 = 56 cm3, A3 = 96 cm2, illetve V4 = (27 – 8) · 8 = 152 cm3, A4 = 216 cm2.
VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
5.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
3. a) A kocka egy lapja most 9 cm2 területű. A 9 kockából álló rúd felszíne 1. alapján 38 · 32 = 342 cm2. Ez nem változik meg a kanyargásoktól. b) A 9 kockából álló első test felszíne A = 18 · 9 + 8 · 2 · 9 + 4 · 9 = 38 · 9 = 342 cm2. Ez nem változik meg a tologatásoktól. Vagyis ugyanannyi, mint a 9 kockából álló rúdé. c) Mindegyik test felszíne ugyanakkora, mint a 13 kockából álló rúdé, azaz A = (4 · 13 + 2) · 9 = 486 cm2. 4.
A két test felszíne egyenlő. A második test az elsőből olyan eltolások végrehajtásával származtatható, amelyek a felszínt nem változtatják meg. Mindenhol egy négyzetoldalnyi kapcsolódási terület áthelyezése történt csak.
5. a) I. Lehetséges megszámlálások: 6 · 2 + 1 = 13 vagy 5 + 4 · 2 = 13 vagy 3 · 5 – 2 = 13 db kiskocka. II. Lehetséges megszámlálások: 7 + 7 + 5 + 5 + 9 = 33
vagy 49 – 4 · 4 = 33
vagy 6 · 7 – 9 = 33 db kiskocka. (6 darab 7 hosszúságú rúd összeillesztve, az illesztésnél 1-1 kocka kipottyan – kétszer számoltuk.)
VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
6.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
III. Lehetséges megszámlálások: 33 – 6 – 1 = 20 db kiskocka vagy 12 · 3 – 8 · 2 = 20 db kiskocka. (12 három kockából álló rúd összeillesztve, az illesztésnél 2–2 kocka kipottyan – a csúcskockákat ugyanis háromszor számoltuk.)
b) I. 53 – (3 · 5 – 2) = 112 db kiskocka. [Az a) feladat I. teste hiányzik a kockából.] II. 1. megoldás Bontsuk a kockát 5 rétegre!
A kiskockák száma: 3 · (25 – 4) + 2 · 9 = 81. II. 2. megoldás 53 – (12 · 5 – 2 · 8) = 81 db kiskocka Az 5 5 5-ös kockából 12 db 5 hosszú rúd hiányzik. A 8 db belső találkozásnál három rúd fut össze. Ha 53 – 12 · 5 -öt válaszolnánk minden találkozást 3-szor vonnánk ki. Ezért kell 2 · 8-cal kevesebbet kivonni. (Másképp: az 53 – 12 · 5 + 2 · 8 alakban írva a visszapótlást is jelezhetjük [logikai szita].) VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
7.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
III. 1. megoldás Bontsuk a kockát 5 rétegre!
A kiskockák száma: 2 · (25 – 3) + 2 · 15 + 14 = 88. III. 2. megoldás A kockából 9 rúd hiányzik. Mindhárom lapközépen áthaladó csak egymással találkozik a középső kockában. A többi 6 rúd páros találkozásokat generál; mindegyik 2 másikkal találkozik. Így a páros találkozások száma: 6 · 2 : 2 = 6. Így a kiskockák száma: 53 – (9 · 5 – 2 – 6) = 88. c) Ilyen testeket (legalábbis, amit látni vélünk) kockákból nem lehet összeállítani (amenynyiben úgy záródnak, ahogy azt az ábra sejteti). Lehetetlen testek. 6.
„Lehetetlen alakzatokkal már korábban is foglalkozott a nyugati művészet, de igazán markánsan csak Oscar Reutersvärd munkáiban jelent meg 1934-től. Még középiskolás diák, amikor véletlenül rajzolt egy paradox ábrát. S noha matematikai enciklopédiákban nem talált semmiféle utalást erre a különleges geometriai alakzatra, a következő években folytatta a tér logikájának ellentmondó ábrák készítését. Eljátszott a paradox kombinációkban álló kockákkal, megalkotta a végtelen lépcsőt és az ördögvillát, ami kicsit különbözött a ma ismert alaktól.
VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
8.oldal/9
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
Az ördögvilla mai változata Reutersvärd: Végtelen lépcső 1958-ban vált tudatossá benne, hogy amiket kisfiúként rajzolt, valójában lehetetlen tárgyak. Ekkor szerzett ugyanis tudomást egy cikkből arról, hogy tőle függetlenül Lionel Penrose is felfedezte a végtelen lépcsőt. Elmélyedt hát a paradox alakzatok témájában, s azóta több mint 2500 lehetetlen ábrát rajzolt.” (http://www.jgypk.u-szeged.hu/tanszek/matematika/speckoll/1999/Escher/index.html)
VII. Térgeometria
VII.6. Kiskockák
9.oldal/9
