Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
VI.11. TORONY-HÁZ-TETŐ A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Szögfüggvények derékszögű háromszögben, szinusztétel, koszinusztétel, Pitagorasz-tétel. Előzmények Pitagorasz-tétel, derékszögű háromszög trigonometriája, számológép használata szögfüggvények kiszámítására (oda-vissza, szögből szögfüggvényt és viszont), szinusztétel ismerete. Koszinusztétel ismerete előny, de nem szükségszerű. Cél A matematikai szövegértés és modellalkotás fejlesztése derékszögű és általános háromszögekkel modellezhető valós életbeli problémákkal. A szinusztétel használata és alkalmazása gyakorlati feladatokban, a tétel alkalmazásának buktatói, ezek felismerésének fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata
+ + + + + +
Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei
+ + + + +
+
Felhasználási útmutató A feladatsort elsősorban tanórai feldolgozásra ajánljuk. Használjunk trigonometrikus függvények számítására alkalmas számológépet. Ragaszkodjunk hozzá, hogy a tanulók minden feladat megoldása előtt készítsenek ábrát, azon jelöljék be és nevezzék el a feladat megoldása szempontjából fontos pontokat! Keressenek olyan háromszögeket, melyekben elég adatot ismerünk ahhoz, hogy a többi szöget és oldalt meghatározzuk! A feladat megoldása során fokozottan ügyeljünk a diákok figyelmes, értelmező szövegolvasására, mert enélkül nehéz megfelelően elképzelni a szituációt, és megfelelő ábrát készíteni! Érdemes arra figyelni, hogy a feladatok valóságosnak tekinthető szituációkat modelleznek, olyan adatokból indulnak ki, melyek ténylegesen mérhetőek lennének. Így a megoldások végén is célszerű meggondolni, életszerű-e az a végeredmény, amit kaptunk. Figyeljünk arra is, hogy milyen pontossággal érdemes megadni a válaszokat. Erre vonatkozóan a megoldás részletes eligazítást ad, amelyet a csoport képességeitől függően beszéljünk meg a tanulókkal. VI. Síkgeometria
VI.11. Torony-Ház-Tető
1.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
Gyengébb képességű csoport esetén mindenképpen a tanár segítsen megtalálni a feladatok megoldásához szükséges ötletet, aztán a tanulók dolgozzák ki a számításokat. Jobb képességű csoportok esetén az első feladat közös megoldása után a tanulók önállóan (egyedül vagy csoportosan) is megpróbálkozhatnak a további feladatokkal, a megoldás során tapasztaltakat azonban minden esetben beszéljék meg közösen is! Mindenképpen ki kell térni a szinusztétel legnagyobb buktatójára, hogy ugyanis (a koszinusztétellel ellentétben) a 0° és a 180° között két olyan szög is van, melyeknek szinusza azonos, ezért a szinusztételt ismeretlen szögek keresésére csak kellő körültekintéssel szabad használni. Hangsúlyozandó továbbá, hogy ismeretlen oldalak esetén ez a probléma nem merül fel, ilyen esetekben a szinusztétel biztonságosan és rendszerint a koszinusztételnél egyszerűbben alkalmazható. Arra is fel kell hívni a tanulók figyelmét, hogy bizonyos esetekben viszont éppen a koszinusztételt lehet egyszerűbben alkalmazni. Érdemes többféle megoldási lehetőséget is bemutatni. A feladatsor megoldása során érdemes megfigyelni a térbeli helyzet szöveg alapján való helyes elképzelésének készségét, vagyis azt, hogy tudnak-e a tanulók a feladatnak megfelelő ábrát készíteni. Fontos továbbá ellenőrizni a térbeli helyzet látványszerű ábrázolásának készségét, valamint a szögfüggvények, szinusz- és koszinusztétel használatában való jártasságát. Ez a feladatsor lehetőséget ad arra is, hogy ellenőrizzük a tanulók realitásérzékét az eredmények megadásánál.
VI. Síkgeometria
VI.11. Torony-Ház-Tető
2.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
TORONY-HÁZ-TETŐ Feladat sor
1.
Megmérjük egy torony árnyékának hosszát, ez 10,5 méternek adódik. Tudjuk továbbá, hogy a napsugarak ekkor kb. 75o-os szögben érik a talajt. Milyen magas a torony?
2.
Egy tízemeletes ház legfelső emeletének ablakából kilógatunk egy 30 méter hosszúságú kötelet. Ha a kötelet megfeszítve a végét a talajhoz rögzítjük, akkor a kötél 68o-os szögben hajlik a talajhoz. Milyen magasan van az ablak?
3.
Egy ház háromszög alakú tetőszerkezete kissé aszimmetrikus, az északi oldalon a tető dőlésszöge (α) nagyobb, mint a délin (β). Lásd az ábrát! C γ A
α
β
B
Tudjuk, hogy az északi oldalon AC = 4,0 m, α = 55,0°, a déli oldalon pedig β = 32,0°.
a) Mekkora a tetőszerkezet magassága, azaz a C pont távolsága az AB alaptól? b) Mekkora a déli oldalon mért BC hossz? c) Mekkora a tető teljes AB szélessége?
4.
Cseréljünk most meg egy ismert és egy ismeretlen adatot: legyen az AC oldal 4,0 m, a BC oldal 6,0 m és az AC oldal dőlésszöge α = 55,0°. Keressük a BC oldal β dőlésszögét!
5.
Legyenek most adva a következő adatok: AC = 4 m, BC = 6 m, γ = 140°. Keressük a tető AB szélességét!
VI. Síkgeometria
VI.11. Torony-Ház-Tető
3.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
MEGOLDÁSOK 1.
Legyen a torony magassága t. tg 75
t , ebből t 10,5 tg75 39,2 (m). 10,5
Tehát 39,2 méter magas a torony. [a) ábra.] Természetesen a kapott eredmény pontossága kérdéses. A fenti számolás során az adatokat pontos értékeknek feltételezve számoltunk, s a végeredményt egy tizedesjegyre kerekítettük. Ha a 10,5 tized méter és a mért szög fok pontosságú adat, akkor az árnyék l hosszúsága 10,45 l 10,55 és az
α szögre
74,5 75,5 . A két szélső értékkel számolva 10,45 tg 74,5 h 10,55 tg 75,5 , azaz egy tizedesjegy pontossággal 37,6 h 40,8 . Vagyis dm és fok pontosságú mérés esetén körülbelül 1,6 méteres pontossággal mondható, hogy a torony 39,2 m magas. A végeredményt helyesen így érdemes megadni: a torony 39,2 1,6 m magas. Ha a kiindulási adatok l = 10,50 m és α = 75,0, akkor a végeredményben h = 39,2 0,1 m, tehát sokkal pontosabb!
a) 2.
b)
Jelöljük az ablak földtől számított távolságát t-vel. Erre teljesül, hogy sin 68
t . 30
Ebből t 30 sin 68 27 ,8 (m). Tehát 27,8 m magasan van az ablak. [b) ábra.] Az előző példához hasonlóan, ha a kötél k hosszát méterben mérve 29,5 k 30,5 és a mért
α
szögre
67,5 α 68,5 ,
akkor
az
ablak
t
magasságára
29,5 sin 67,5 t 30,5 sin 68,5 , azaz 27,3 t 28,4 . (Mivel a szinuszfüggvény ezen az intervallumon monoton nő, ezért a szorzat minimális, ha a szög és a hossz is minimális, és maximális, ha mindkettő maximális.) Az ablak magassága tehát körülbelül 27,8 0,5 méter. Ha a mért adatok ennél pontosabbak, azaz k = 30,0 m és α = 68,0, akkor 27,8 t 27,9 .
VI. Síkgeometria
VI.11. Torony-Ház-Tető
4.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
3. a) Először oldjuk meg a feladatot derékszögű háromszögekkel. Bontsuk a tető háromszögét két derékszögű háromszögre az AB alaphoz tartozó h magassággal! C x
4m h A
55° s1
32° B
s2
T
Az ATC háromszögben a szinuszfüggvény segítségével meghatározható: h 4 sin 55 3,28. Tehát a keresett magasság 3,28 m.
Ennyi lenne a végeredmény, ha feltételezzük, hogy az adatok pontosak voltak, s a végeredményt két tizedesre kerekítjük. A bemenő adatok pontosságát figyelembe véve 3,95 sin 54,95 h 4,05 sin 55,05 , vagyis 3,23 h 3,32 , vagyis a magasság tényleg körülbelül 3,28 m, de helyesebb, ha jelezzük, hogy ±0,05 m pontossággal. b) Hasonlóan a BTC háromszögben: h x sin 32 , ebből x-et kifejezve: x
h 3,28 6,19 (m), tehát BC = 6,19 m. sin 32 sin 32
A bemenő adatok pontosságát figyelembe véve
3,95 sin 54,95 4,05 sin 55,05 x , sin 32,05 sin 31,95
azaz 6,1 x 6,3 . Ezek szerint BC ≈ 6,2 m. c) Az ATC háromszögben szinuszfüggvény segítségével meghatározható:
s1 4 cos 55 2,29 (m), továbbá s 2
h 3,28 5,25 (m). tg 32 tg 32
A teljes AB szélesség tehát s1 + s2 7,54 m. Hibahatárokat figyelembe véve:
3,95 cos 55,05
3,95 sin 54,95 4,05 sin 55,05 s1 s2 4,05 cos 54,95 , azaz tg 32,05 tg 31,95
7,4 s1 s 2 7,7 . A teljes AB szélesség tehát körülbelül 7,55 m. 4.
Az ATC háromszögben a szinuszfüggvény segítségével meghatározható: h 4 sin 55 ( 3,28). Hasonlóan a BTC háromszögben: h 6 sin , ebből sin egyenlőségből ide h értékét behelyettesítve: sin
VI. Síkgeometria
h . Az előző 6
4 sin 55 0,5461 , amiből 33 . 6
VI.11. Torony-Ház-Tető
5.oldal/6
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára
5.
A kézenfekvő megoldás a koszinusztétel:
c 2 4 2 6 2 2 4 6 cos140 c 9,42 m. 4m
6m
140° α
β c
A feladat azonban megoldható kizárólag szinusztétellel is, igaz, ehhez ismernünk kell a trigonometrikus addíciós tételeket: β = 180° – 140° – α = 40° – α
sin 40 4 sin 6 sin 40 cos cos 40 sin 4 sin 6 sin 40
cos sin 4 cos 40 sin sin 6
sin 40 ctg cos 40
2 3
2 cos 40 ctg 3 2,2289, ebből pedig 24,16 . sin 40 Innen egy újabb szinusztétellel:
sin140 c , s ebből c 9,42 m. sin 24,16 6
Tekintve, hogy a trigonometrikus addíciós képletek levezetéséhez nincs szükség a koszinusztételre, kimondhatjuk, hogy az általános háromszögre vonatkozó feladatokat a koszinusztétel teljes hiányában is meg lehetne oldani, legfeljebb kicsit bonyolultabban. Hasonlóképpen azonban azt is be lehet bizonyítani, hogy a szinusztétel is „körbekerülhető”, azaz helyettesíthető több koszinusztétellel. Így az általános háromszögek trigonometriájának e két fő tétele egymással párhuzamosan létezik, egyik sem előfeltétele a másiknak, mindig az adott feladatra kényelmesebben alkalmazhatót kell elővenni, amint azt egyes korábbi feladatok megoldása közben már tapasztaltuk.
VI. Síkgeometria
VI.11. Torony-Ház-Tető
6.oldal/6
