Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý

Pevnost a životnost - Hru III

PEVNOST a ŽIVOTNOST

Hru III Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý

[email protected]

1


Statistické metody vyhodnocování dat

2


Statistické metody vyhodnocování dat •

• •

• • • • • •

Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosaženými pevnostmi nebo životnostmi částí konstrukce? Jaká je pravděpodobnost vzniku statické poruchy při zatížení součásti na danou úroveň napětí? Jaká je pravděpodobnost vzniku poruchy v důsledku únavy materiálu po absolvování zvoleného počtu kmitů (nebo hodin provozu) a pro dané zatížení součásti? Jakou míru rizika mají případná tvrzení, že po absolvování určitého počtu kmitů je pravděpodobnost porušení konstrukce stále dostatečně malá? Jak lze získat tzv. bezpečné únavové křivky, kterým lze přiřadit konkrétní hodnotu pravděpodobnosti porušení? Jak souvisí volba velikosti součinitele bezpečnosti s rizikem možného vzniku poruchy? Jak se statisticky významně od sebe odlišují dva soubory dat (např. výsledků zkoušek), případně lze je považovat za jeden stejný soubor? Které parametry jednoznačně popisují stochastický zatěžovací proces? Jakým způsobem lze simulovat stochastické zatížení při zkouškách?

3


4

Základní pojmy a vztahy náhodná veličina: veličina která může nabývat různé hodnoty, jež se ale řídí určitými zákonitostmi distribuční funkce F(x):

každému reálnému číslu x0 přiřazuje pravděpodobnost P, že náhodná veličina x bude mít hodnotu menší či rovnu než toto reálné číslo x0. 1 0.9

F ( x )  P x  x 0 

0.8 0.7

F ( )  1

F(x)

F ( )  0

0.6 0.5 0.4 0.3

P x1  x  x2   F ( x2 )  F ( x1)

0.2 F(x0.1 0) 0 0

x0

20

40

60 x

80

100


5

Základní pojmy a vztahy hustota pravděpodobnosti: 0.025

f x  

d F x  dx

0.02

0.015

F x    f x  d x 

f(x)

x

f(x0)

0.01

x2

P x1  x  x 2    f x  d x  F x 2   F x1  0.005 x1

0 0

x0

20

40

60 x

80

100


6

Centrální momenty každé rozdělení náhodné veličiny lze charakterizovat několika čísly, tzv. charakteristikami; nejužívanějšími charakteristikami jsou centrální momenty (k-tého řádu):

 k x  



k  x f x  d x

 k x  

k 1

k

k 1

centr. moment prvního řádu

 x   1x   rozptyl:

 x  1x  f x  d x





střední hodnota:





Sx   S 2 x 



směrodatná odchylka

 xf x  d x

centr. moment druhého řádu S x    x   2

2



2     x   x f x  d x 1 



šikmost:

centr. moment třetího řádu

špičatost:

centr. moment čtvrtého řádu

v x  

S x 

 x 

variační součinitel


Druhy rozdělení • normální (Gaussovo)

• logaritmicko-normální (lognormální) • Studentovo • „Chí“-kvadrát • Weibullovo • Exponenciální

• Maxwellovo • Fisherovo • rovnoměrné

7


Gaussovo normální rozdělení náhodné veličiny • • • • •

je to model rozdělení časté použití v technické praxi náhodný proces je tvořen součtem různých nezávislých vlivů velký počet vlivů každý vliv má pouze malý příspěvek

f x   F x  

2  x   

1 S 2 1

S 2

x

e

e



2S 2

2  x   

2S 2

dx

8


9

Gaussovo normální rozdělení náhodné veličiny normovaná náhodná veličina:

u

u normálního rozdělení leží v oblasti: 1S 68,3 %, 2S 95,5 %, 3S 99,7 % výsledků

x S

normovaný tvar distribuční funkce: u  

u

1 2

e



u2 2

du



0.4 0.35

kvantil:

S xP  SuP  

0.25

f(u)

uP 

0.3

xP  

0.2 0.15



0.1 

P



0.05 0

-4

-3

u -2P

-1

0 u

1

2

3

4


10

Pravděpodobnostní papír

x F x      S 

inverzní funkce x 1 uF  x       F x   S 

tento kvantil je lineární funkcí náhodné proměnné, distribuční funkce je tak zobrazena jako přímka a nikoli jako křivka

3

99.9 P [%]

2[1]

84.1

1

50.0

0

15.9

-1

uP

s log

s log

-2

0.1

-3 0

x50

10

x

20


Př.: Okurky nakladačky Okurky nakladačky při sklizni mají rozdělení velikosti N(11; 6) v cm. Stanovte, kolik procent okurek je:

a) menších než 9 cm b) větší než 12 cm c) v intervalu 9÷12 cm  u   1  u 

Pravděpodobnost výběru jedné konkrétní hodnoty je nulová pro nekonečný základní soubor nebo konečný základní soubor, který danou velikost neobsahuje, nenulová pokud diskrétní množina náhodné veličiny přesně hodnotu obsahuje!!!

11


12

Odvození přepočtu na bezpečný únavový život 

S 2 x    2 x  

 x   x  f x  d x 2



uP 

S 2 konst  0 S 2 konst X   konst2S 2  X  S  X  Y   S  X   S Y  2

2

 

2

S 2  X    X 2    X 2

uP 

 a   cx S



 a   cx Sa2  Sc2

logNB  logN S



logNB  logN 2 2 Slog n  Slog N


13

Logaritmicko-normální rozdělení náhodné veličiny •

•

• •

je to model rozdělení, snaha využit výhodné vlastnosti normálního rozdělění pro veličiny které sice rozdělení normální nemají, ale vhodnou transformaci je na normální lze převést) časté použití v technické praxi (rozdělení doby do opotřebení výrobku, prostojů při opravách apod., plocha říčních rýžovišťových ložisek, propustnost sedimentárních hornin) náhodný proces je tvořen součinem různých nezávislých vlivů velký počet vlivů, každý vliv má malý příspěvek f x  



M Sx 2

log x   2

e

jiný pravděpodobnostní papír

2S 2

log x   

2

F x  

M S 2

10 x



0

M

1



e

x 1 ln10

2S 2

dx

 log x    uF x    1F x     S  


Studentovo rozdělení  n  1 n 1    2  x  2 f x    2   1    n n     n 2



m    e c c m 1 d c 0

„Chí“-kvadrát rozdělení    0... x  0  f x    n 1  x  1 x 2 e 2 ... x  0  n  2 2  n   2

14


15

Základní soubor vs. náhodný výběr

základní soubor (množina hodnot náhodné veličiny s daným rozdělením)

náhodný výběr

(skupina n hodnot ze základního souboru)

jiný náhodný výběr (skupina n hodnot ze základního souboru)


16

Statistické zkoumání Popisná statistika – je znám celý statistický soubor a pomocí statistických metod jsou charakterizovány skutečnosti, které již nastaly. Statistický soubor je konečný a jedinečný. Statistická indukce – pracuje se souborem údajů, které tvoří zpravidla jen malou část základního souboru, jehož hodnoty čekají na svoji realizaci. Úkolem tedy je vyjádřit skutečnost, která teprve nastane, nebo skutečnost, která již nastala, ale která může být pozorována pouze částečně. Základním předpokladem induktivních přístupů je, že část základního souboru, se kterou se pracuje, je reprezentativním vzorkem – náhodným výběrem.


17

Statistický odhad Bodový odhad – odhad charakteristiky rozdělení náhodné veličiny (neznámého čísla) výběrovou charakteristikou (známým vypočteným číslem). Výběrová charakteristika, která představuje bodový odhad je náhodnou veličinou, a proto se její hodnoty při opakovaném odhadování liší od odhadované charakteristiky a výrok o přesnosti odhadu je nejistý. Bodové odhady musí mít určité vlastnosti, podle nichž lze posoudit vhodnost použití dané veličiny k odhadu charakteristiky. Protože k odhadu lze použít zpravidla různé výběrové charakteristiky, je třeba stanovit kriteria pro jejich volbu.

Intervalový odhad – odhad charakteristiky rozdělení náhodné veličiny, při němž kromě čísla, kterým se charakteristika odhaduje, udává ještě přesnost a spolehlivost této přesnosti. Jinými slovy, určuje se interval (konfidenční interval), který s předem zvolenou pravděpodobností (konfidenční koeficient, koeficient spolehlivosti) zahrnuje hodnotu neznámé charakteristiky rozdělení náhodné veličiny.


18

Př.: Únavová zkouška Při statistickém zjišťování Wöhlerovy křivky se zkouší na každé zvolené hladině napětí daný počet vzorků, vyhodnocením podle navrženého modelu rozdělení – Gaussovo normální rozdělení pro log(N) – lze získat Wöhlerovu křivku pro danou pravděpodobnost P porušení.

U: Zpracovat statisticky výsledky zkoušky na hladině i =65 MPa.

D: zkoušeno n=14 vzorků do poruchy Vzorek Nx103 [-] Vzorek Nx103 [-]

1

2

3

4

5

6

7

219,2

203,0

124,4

213,4

283,8

221,0

274,0

8

9

10

11

12

13

14

391,2

168,7

213,4

254,0

346,6

187,2

215,7

Data z příkladu jsou vlastně náhodným výběrem 14 vzorků z daleko širšího základního souboru všech možností!


19

Relativní četnost a rel. kumulativní četnost i

Xi = Ni x 103 [-]

xi = log(Ni) [-]

P [%]

1

124,4

5,095

6,67

2

168,7

5,227

13,33

0.4

3

187,2

5,272

20,00

4

203,0

5,307

26,67

5

213,4

5,329

33,33

6

213,4

5,329

40,00

7

215,7

5,334

46,67

8

219,2

5,341

53,33

9

221,0

5,344

60,00

10

254,0

5,405

66,67

11

274,0

5,438

73,33

12

283,8

5,453

80,00

13

346,6

5,540

86,67

14

391,2

5,592

93,33

relativní četnost

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 x

relativní kum ulativní četnost

1 0.9 0.8 0.7 0.6

P x i  

i

100 % n 1

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 x

Ni [kC] = Xi náhodná proměnná, log(Ni) = xi transformovaná náhodná proměnná, P(xi) pořadová pravděpodobnost (udává poměrnou část výběru mající hodnoty menší než daná hodnota xi).


20

Bodový odhad Název Výběrový aritmetický průměr

Vzorec

x  log(N ) 

Hodnota

1

n

 xi

5,358

n i 1 Výběrový geometrický průměr

1

x geom

Medián

m  xk , m

k

n 1

pro n liché;

2

xk   xk 1

k

,

2

Modus Výběrový rozptyl

Výběrový variační součinitel

n

5,338

pro n sudé

2

Nejčastější hodnota

5,329

 xi  x 

0,0157

ˆ2

S  Směrodatná odchylka výběru

5,356

 n n    xi     i 1 

Sˆ  K Sˆ 2

1

n

2

n  1 i 1

K n  1  13  1,019

vˆ 

Sˆ x

0,128

0,024


21

Intervalový odhad střední hodnoty Hladina spolehlivosti a: pravděpodobnost s jakou je očekáváno, že určovaný parametr rozdělení se bude vyskytovat ve vypočteném intervalu (v technice 95 %, 90 % i 97,5 %) pro příklad Riziko: b=1-a Intervalový odhad střední hodnoty normálního rozdělení je založen na skutečnosti, že náhodná proměnná t podléhá Studentovu rozdělení s (n-1) stupni volnosti, tj. nv=13 ve výrazu pro St. rozdělení a intervalový odhad.

t

x  nv ˆ S

výběrový odhad střední hodnoty

skutečná střední hodnota


Intervalový odhad střední hodnoty   x  P   ta  nv  ta   a Sˆ  

x  ta

Sˆ

   x  ta

nv x  5,358 Sˆ  0,128

Sˆ nv

nv  13 ta  2,16 5,281    5,434 190 985  N  271 644

22


Intervalový odhad rozptylu   n  1 2

Sˆ 2

n 1

 2n 1, 1 b 2 

 S 2  Sˆ 2

 2n 1, b 2  





n 1

Sˆ 2  0,0157 n  1  13

 214 1, 1  0,05   24,74 2



 214 1,  0,05   5,01 

2

0,0082  S 2  0,041 0,091  S  0,202



Sˆ 2 S2

23


Dolní interval spolehlivosti z příkladu je možné určit: xP  x  uP Sˆ nutné rozšířit o informaci, jak je spolehlivý:





xP,b  x  kP ,b uP , u b Sˆ uP  u b kP,b 

u b2  1 uP2 1   n  2n  1 2n  1 u b2 1 2n  1

24


Pravděpodobnostní papír příkladu

xlog  logN  2 Sˆlog 

1

1

n

logNi  n i 1

2   log N  log N  i n

n  1 i 1

2 Sˆlog  K Sˆlog

logNP  logN  uP Sˆlog





logNP ,b  logN  kP ,b uP , u b Sˆlog

Existuje 5% riziko, že po nacyklování 44 241 cyklů se poruší 1 z 10 000 zkušebních vzorků základního souboru.

25

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý

Recommend Documents