PENGGUNAAN TURUNAN
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
fungsi genap & fungsi ganjil Fungsi yang berbentuk f(-x)=f(x) disebut fungsi genap yang grafiknya simetri terhadap sumbu y Fungsi yang berbentuk f(-x)=-f(x) disebut fungsi ganjil yang grafiknya simetri terhadap titik asal
y = x2 – 2 Fungsi genap
y = x3 – 2x Fungsi ganjil
kesimetrian grafik 1
• Simetris terhadap sumbu y bila (x,y) maupun (-x,y) terletak pada grafik tersebut fungsi genap.
2
• Simetris terhadap sumbu x bila (x,y) maupun (x,-y) terletak pada grafik tersebut.
3
• Simetris terhadap titik asal [(0,0)] bila (x,y) maupun (-x,-y) terletak pada grafik tersebut fungsi ganjil.
y
y x
(-x, y)
x
(x, y)
(x, y)
x (-2, 1)
2
2
(2, 1)
(x, -y)
x
(ii) x = y2 + 1
(i) y = x2 - 3
y
(x, y) x (-x, -y)
(iii) x = y3
asimtot grafik-asimtot tegak Garis x=c adalah asimtot tegak/vertikal dari grafik y=f(x) jika salah satu pernyataan berikut berlaku
1. lim f ( x) x c
2. lim f ( x) x c
3. lim f ( x) x c
4. lim f ( x) x c
x=c
(1)
x=c
(2)
x=c
(1)
asimtot grafik-asimtot datar Garis y=b adalah asimtot datar/horisontal dari grafik y=f(x) jika salah satu pernyataan berikut berlaku 1. lim f ( x) b & utk bil. N, f ( x) b jika x N x
2. lim f ( x) b & utk bil. N, f ( x) b jika x N x
y=b y=b
(1)
(1)
y=b
y=b
(2)
(2)
Contoh 1 Tentukan asimtot-asimtot grafik dengan persamaan xy2-2y2-4x=0
untuk
xy 2 y 4 x 0 2
2
y x 2 4 x 2
4x x y y 2 x2 x2 2
Ada dua fungsi x 1. y1 f1 ( x) 2 x2 x 2. y2 f 2 ( x) 2 x2 DA f1 dan f2 adalah (-,0)(2,+)
fungsi f1 lim f1 ( x) lim 2
x2
x2
x x2
Jadi x 2 asimtot tegak f1 lim f1 ( x) lim 2
1 1 2
lim f1 ( x) lim 2
1 1 2
x
x
x
x
2 x
2 x
Jadi y 2 asimtot datar f1
fungsi f 2 lim f 2 ( x) lim 2
x2
x2
x x2
Jadi x 2 asimtot tegak f 2 lim f 2 ( x) lim 2
1 x2
2
lim f 2 ( x) lim 2
1 x2
2
x x
x x
Jadi y 2 asimtot datar f 2
2
2
x y 2y 4x 0 y1
y2
1. PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
Pada materi turunan dijelaskan bahwa kemiringan garis singgung merupakan tafsiran geometris dari TURUNAN fungsi, sehingga turunan dapat digunakan sebagai alat bantu menggambar grafik fungsi.
Bantuan tersebut dalam hal penentuan titik-titik garis singgung atau penentuan interval dimana grafik terletak di atas garis singgung atau dibawahnya dst.
M E T O D E
Tentukan daerah asal f
Tentukan perpotongan dng sb x & sb y Uji kesimetrian thd sb x, y & titik asal (fungsi genap atau fungsi ganjil) Hitung f’(x) dan f”(x) Tentukan bilangan kritis untuk f Terapkan uji turunan I dan uji turunan II untuk mencari ekstrim relatif
M E T O D E
Tentukan interval f naik /turun Cari titik belok, yaitu f”(x) berganti tanda & grafik punya garis singgung Tentukan interval f cekung keatas atau cekung kebawah
Cari asimtot tegak ataupun asimtot datar
Contoh 2 Diberikan fungsi f(x)=x3-3x2+3. Sketsa grafik f. Daerah asal f adalah (-,) Perpotongan dengan sumbu y (0,3) f(-x)=(-x)3–3(-x)2+3=-x3–3x2+3 f(x)≠-f(x) bukan fungsi genap/bukan fungsi ganjil.
3 2 f(x)=x -3x +3
titik kritis f’(x) = 0 3x2-6x=0 3x(x-2)=0 x=0 & x=2
2 f’(x)=3x -6x,
f”(x)=6x-6, dicari f”(x)=0 6x-6=0 6(x-1)=0 x=1
x x<0
x=0
3
0<x<1 x=1
1
1<x<2
x=2 x>2
f " ( x)
Keterangan
+
-
Naik,cekung kebawah
0
-6
Max,cekung kebawah
-
-
Turun,cekung kebawah
-3
0
Turun,titik belok
-
+
Turun,cekung keatas
0
6
Min,cekung keatas
+
+
Naik,cekung keatas
f (x) f ' ( x)
-1
Contoh 3 Sketsa grafik berikut
2
x f ( x) 2 x 4
Daerah asal f adalah (-,) dng x-2 & x2 Perpotongan dgn sb y (x=0)(0,-¼) Perpotongan dgn sb x (y=0)(0,0) Merupakan fungsi genap ( x) 2 x2 f ( x) 2 f ( x) 2 ( x) 4 x 4
2
x f ( x) 2 x 4 8x f ' ( x) 2 , titik kritis f ' ( x) 0 x 0 2 ( x 4) 24 x 64 x 128 f " ( x) f " ( x) 0 2 4 ( x 4) 4
2
24 x 64 x 128 0 x 2 dan x 2 2 4 ( x 4) 4
2
x
f (x) f ' ( x)
x < -2
+
f " ( x)
Keterangan
+
Naik,cekung keatas -
x = -2
-2< x <0 x=0 0<x<2
-¼
+
-
naik,cekung kebawah
0
0
Turun,titik belok
-
-
Turun,cekung kebawah
-
x=2 x>2
-
+
turun,cekung keatas
2. PENCARIAN NILAI OPTIMUM
Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
[email protected]
Disamping untuk menggambar grafik fungsi, turunan juga dapat digunakan untuk membantu mencari nilai optimum dari suatu permasalahan nyata yang dimodelkan kedalam model matematika. Bantuan tersebut dalam hal menentukan titik-titik optimal sehingga keputusan yang diambil dalam menyelesaikan suatu permasalahan tersebut dapat optimal pula, diluar asumsi-asumsi tertentu.
M E T O D E
Buat sketsa memungkinkan)
gambar
(jika
Berikan variabel yang sesuai pada sketsa tsb.
Tulis rumus besaran yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum) dalam bentuk variabel. Nyatakan besaran yang dicari sebagai fungsi dari satu variabel.
M E T O D E
Tentukan himpunan nilai yang mungkin (daerah asal biasanya berupa interval). Tentukan titik kritis (titik-titik optimum) Gunakan teorema turunan yang ada untuk menentukan nilai optimumnya (maksimum dan minimum).
Contoh 4 Sebuah surat selebaran memuat 50 cm persegi bahan cetak. Jalur bebas cetak diatas dan dibawah selebar 4 cm dan disamping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapa ukuran surat selebaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin
x 4cm
y
2cm
2cm
Misalkan x lebar surat edaran y tinggi surat edaran
4cm
Luas surat selebaran yang akan diminimumkan A = xy Sedang ukuran bahan cetakan adalah 50 ( x 4)( y 8) 50 y 8 x4
50 x 8 x 2 18 x A xy A 8x x4 x4 dengan x 4 0 x 4 atau x (4, ) syarat titik kritis A'( x) 0 dA (16 x 18)( x 4) (8 x 18 x) 0 2 dx ( x 4) 2
8 x 64 x 72 8( x 1)( x 9) 0 2 2 ( x 4) ( x 4) diperoleh x 9 dan x 1 (4, ) 2
Menurut teorema diperoleh
uji
turunan
I,
dA dA 0 untuk (4,9) dan 0 untuk (9, ) dx dx
Sehingga A mencapai nilai minimum pada x = 9 dan y = 18. Jadi ukuran surat edaran dengan pemakaian kertas paling sedikit (minimum) adalah 9 18 cm
Contoh 5 Cari ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak. a-h r a h
b
Andaikan a tinggi kerucut (konstanta) b jari-jari kerucut (konstanta) h tinggi tabung r jari-jari tabung V volume tabung
Volume tabung adalah V πr h dari setiga segitiga serupa diperoleh a-h a a ha r r b b a a 3 2 2 V r a r ar r b b dengan 0 r b 2
syarat titik kritis V ' (r ) 0 dV a 2 2b 2 ar 3 r 0 r dr b 3 diperoleh titik kritis 0, 23b , b V (0) 0 2b a 2b V maksimum 3 3 3 V (b) 0 jadi ukuran adalah 2b a r dan h 3 3 2
Contoh 6 Lapangan berbentuk empat persegi panjang, yang terbentang ditepi sungai, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi sungai tidak ikut dipagari. Jika harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan sungai adalah Rp. 120.000 permeter dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya Rp. 80.000 permeter. Tentukan ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar keseluruhan seharga Rp. 36.000.000
x
y
Andaikan x sisi lapangan yang tidak sejajar dengan sungai y sisi lapangan yang sejajar dengan sungai.
luas lapangan adalah L xy dengan biaya 80000x 80000x 120000y 36000000 atau 8 x 8 x 12 y 3600
8 x 8 x 12 y 3600 16 x 12 y 3600 y 300 4 x 3 4 4 2 sehingga L( x) x (300 3 x) 300x 3 x syarat titik kritis L' ( x) 0 300 83 x 0 x 112,5 Jadi luas lapangan terbesar yang ditutupi pagar jika panjang sisi lapangan yang tidak sejajar dengan sungai adalah 112,5 m dan sisi lapangan yang sejajar sungai adalah 150 m dengan luas16875 m2.
