Nejistoty měření Pro každé přesné měření potřebujeme informaci s jakou přesností bylo měření provedeno. Nejistota měření vyjadřuje interval ve kterém se nachází skutečná hodnota měřené veličiny s určitou pravděpodobností. Nejistota měření nezávisí jenom na přesnosti použitých přístrojů, ale také na zvolené metodě měření a dále na náhodných vlivech, které nemůžeme předem vyloučit. Podle způsobu vyhodnocení rozlišujeme nejistotu typ A a typ B. Jejich sloučením vzniká nejistota typu C (kombinovaná). Více informací viz. [1]. Příklad 1 Opakovaným měřením napětí AA baterie jsme získali hodnoty v tabulce. Experiment probíhal za stejných podmínek a byl prováděn analogovým voltmetrem s rozlišením 0,05V. Budeme také uvažovat chybu způsobenou nepřesným čtením ze stupnice, nedokonalým osvětlením a nesprávným umístěním přístroje (vertikální/horizontální umístění). Velikost této chyby je odhadnuta na 0,1 V. Úkolem je určit nejistotu typu A, B (za předpokladu rovnoměrného rozložení pravděpodobnosti) a kombinovanou nejistotu typu C s úrovní spolehlivosti 95 procent. Nejistota typu A Nejistota typu A je určována statistickými metodami ze změřených dat. Důležité je nezávislé opakování experimentu za stejných podmínek. Tab. 1 – změřené a vypočtené hodnoty i 1 2 3 4 V (V) 1,49 1,53 1,49 1,50
(x − x )
2
i
0,78
0,14
0,78
0,32
5 1,49
6 1,56
7 1,55
8 1,50
9 1,49
10 1,58
0,78
1,76
1,02
0,32
0,78
3,84
Σ 15,18 10,56
(mV) Protože počet provedených měření je i = 10, můžeme to povařovat za dostatečný počet opakování experimentu a vypočítat přímo nejistotu typu A jako směrodatnou odchylku výběrového průměru. Pokud je počet měření menší, je nutné interval rozšířit vynásobením příslušným koeficientem. Aritmetický průměr n
x=
∑x i =1
i
n
=
15,18 = 1,518 V 10
(1)
Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
∑ (x − x ) n
u A = sx =
sx = n
2
i =1
i
n(n − 1)
= 0,01 V
(2)
Nejistota typu B Při vyhodnocení nejistoty typu B používáme nestatistické metody vyhodnocení. Způsobů určení je více, zejména: a) Odhad velikosti nejistoty můžeme založit na racionální úvaze vlastností měřících přístrojů, zkušenosti z předchozích experimentů, informací z kalibračních certifikátů, katalogových listů, manuálů apod. V tomto případě odhadujeme většinou přímo velikost nejistoty typu B jednotlivých částí měřícího řetězce a na základě zákona o šíření nejistot určujeme celkovou nejistotu typu B. b) V některých případech lze nejistotu typu B najít přímo v informacích výrobce přístroje a v kalibračním certifikátu. Pak lze nejistotu typu B vypočítat ze známé rozšířené nejistoty U a daného koeficientu kr. uB =
U kr
(3)
c) V některých případech je znám interval, ve kterém se “musí” nacházet skutečná hodnota měřené veličiny “téměř jistě”. Pak je možné vypočítat nejistotu typu B z velikosti tohoto intervalu a z předpokládaného typu rozložení pravděpodobnosti měřené veličiny (normální, rovnoměrné, trojúhelníkové atd.). Je to případ např. měřicích přístrojů u kterých je známo rozlišení ∆. uB =
∆ k
(4)
Kde k je koeficient pro předpokládané rozdělení pravděpodobnosti měřené veličiny. Výběr koeficientů pro některá rozdělení pravděpodobnosti je v Tab. 5. V našem případě je z informací výrobce známo rozlišení 0,05 V. Je “téměř jisté”, že skutečná hodnota se nachází v tomto intervalu ±∆. Za předpokladu rovnoměrného rozložení pravděpodobnosti určíme nejistotu typu B jako resolution 0,05 (5) u B1 = = = 0,014 V 2 3 2 3 Pro nejistotu čtení z přístroje platí reading error 0,1 uB 2 = = = 0,028 V 2 3 2 3
(6)
Rovnoměrné rozložení pravděpodobnosti pro obě veličiny bylo zvoleno v tomto případě proto, že nemáme další informace o vnitřních jevech v přístroji, neznáme princip měření, způsob zaokrouhlení apod. Rovnoměrné rozlišení má v celé intervalu stejnou pravděpodobnost. Obecně vychází nejistota větší než při uvažování normálního rozdělení, ale pravděpodobnost určení správného intervalu je větší.
Celková nejistota typu B je u B = u B21 + u B2 2 = 0,014 2 + 0,0282 = 0,032 V
(7)
Standardní kombinovaná nejistota typu C je uC = u A2 + u B2 = 0,012 + 0,032 2 = 0,034 V
(8)
S ohledem na tvar hustoty pravděpodobnosti pokrývá standardní kombinovaná nejistota typu C pouze přibližně 60 % všech možných výsledků. Abychom rozšířili interval na zadanou pravděpodobnost 95 %, rozšíříme interval a určíme rozšířenou standardní nejistotu typu C. U = k ⋅ uC = 2 ⋅ 0,034 = 0,068 V
(9)
Výsledek zapíšeme ve tvaru: Aritmetický průměr ± rozšířená standardní nejistota (úroveň pravděpodobnosti) = = 1,518 ± 0,068 V (P = 95 %) Analogový měřicí přístroj: Příklad 2 Analogový měřicí přístroj s rozsahem 300 V a třídou přesnosti Tp = 1 měří napětí 60 V. Jeden dílek přístroje je 2,5 V. Jak velká je absolutní a relativní chyba měření a nejistota měření? Pro výpočet nejistoty (typ B) uvažujte nejistotu způsobenou vlastnostmi přístroje, zanedbejte nejistotu způsobenou čtením ze stupnice. Tp – třída přesnosti – maximální relativní chyba přístroje vztažená na celý rozsah, Obvykle je: (10) 5; 2,5 (2); 1; 0,5; 0,2; 0,1 (%) Absolutní chyba ∆ max = Tp. rozsah = 1% . 300 = 0,01 . 300 = 3 V
(10)
Relativní chyba absolutní chyba 3 (11) ⋅100[%] = ⋅100 = 5 % měěřen hodnota 60 Poznámka.: Relativní chyba 5% je podstatně větší, než by odpovídalo pouhému jednoduchému posouzení podle třídy přesnosti přístroje. Je to proto, že neměříme na maximální výchylku maximální rozsah) k němuž je třída přesnosti vztažena. Relativní chyba se snižuje se zvětšující se výchylkou. Proto s analogovým přístrojem vždy měřte pokud je to možné na co největší výchylku. Pak bude relativní chyba měření nejmenší. Znamená to vybrat vhodný přístroj pro měření s rozsahem přizpůsobeným měřené veličině.
δ=
Nejistota je kvantitativní popis v jakém intervalu a s jakou stanovenou úrovní spolehlivosti můžeme očekávat výsledek. Protože v tomto případě jsme experiment neopakovali a nemůžeme tudíž provádět jeho statistické vyhodnocení, budeme vyhodnocovat nejistotu typu B. Pokud budeme předpokládat, že pravděpodobnost odchylky měřené veličiny od správné hodnoty je v celém intervalu stejná, použijeme rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti. Rozlišovací schopnost je dána nejmenším dílkem stupnice přístroje stupnice 2,5 (12) = = 0,72 V 2 3 2 3 V tomto případě jsme zanedbali nejistotu způsobenou čtením ze stupnice a výsledná nejistota je tedy přímo 0,72 V. uB =
dílek
Pokud bychom prováděli podrobnější vyhodnocení, mohli bychom tuto nejistotu také zahrnout. Zkušený operátor je schopný na analogové přístroji odečítat s rozlišením přibližně 1/3 dílku stupnice, nezkušený operátor přibližně ½ dílku stupnice. Nejistota čtení je tedy pro zkušeného operátora je 1 dílek ur = 3
stupnice 2 3
1 2,5 =3 = 0,24 V 2 3
(13)
Z výsledku je zřejmé, že nejistota způsobená nepřesným čtením je menší než nejistota způsobená vlastnostmi přístroje, ale pro přesná měření není její velikost zanedbatelná. Digitální měřicí přístroj: Přesnost digitálního měřícího přístroje je dána: 1. přesností analogově/digitálního převodníku, např. 0,1 % (dáno počtem bitů převodníku) 2. chybou způsobenou počtem nejméně významných míst tzv. digitů (nejmenší rozlišitelný dílek), např. 2 digity Všechny tyto parametry přístroje je třeba nalézt v dokumentaci. U některých přístrojů lze nalézt i informaci přímo o nejistotě měření (typu B). Někteří výrobci udávají přesnost jako ±( x % měřené hodnoty + n digitů) Jiní jako ±( x % rozsahu + n digitů) Např. digitální multimetr Axio MET AX-18B udává v uživatelské příručce přesnost měření stejnosměrného napětí tabulkou Tab. 2 Tab. 2 – údaj výrobce o přesnosti měření stejnosměrného napětí multimetrem Axio MET AX-18B (přeloženo) Rozsah: Rozlišení Přesnost 600 mV
0,1 mV
±( 0,5 % měřené hodnoty + 8 digitů)
6V
1 mV
±( 0,8 % měřené hodnoty + 5 digitů)
60 V
10 mV
600 V
100 mV
1000 V
1V
±( 1,0 % of měřené hodnoty + 10 digitů)
Příklad 3 Digitální voltmetr má na rozsahu 60 V definované rozlišení 10 mV a přesnost ±(0,8% měřené hodnoty + 5 digitů). Měřená hodnota je 55,3 V. Vypočtěte nejistotu měření typu B. Přesnost ±(0,8% měřené hodnoty + 5 digitů) = ±(0,008 . 55,3 + 5 . 0,01) = ±0,49 V Přesnost vyjadřuje interval ve kterém se s 100% nachází měřená veličina. Protože předpokládáme přístroj dobře udržovaný a kalibrovaný, můžeme tento předpoklad pokládat za platný. Za předpokladu rovnoměrného rozložení pravděpodobnosti (stejná pravděpodobnost v celém intervalu) určíme nejistotu jako uB =
presnost 0,49 = = 0,14 V 2 3 2 3
(14)
Literatura [1] Bell S.: A Beginner's Guide to Uncertainty of Measurement, online (19.12.2010) on http://www.wmo.int/pages/prog/gcos/documents/gruanmanuals/UK_NPL/mgpg11.pdf
