MATEMATIKA EKONOMI (Hubungan Linear)

“ Add your company slogan ” www.febriyanto79.wordpress.com

MATEMATIKA EKONOMI (Hubungan Linear)

Febriyanto, SE, MM.

LOGO

HUBUNGAN LINEAR  

Hubungan sebab-akibat antara berbagai variabel ekonomi - misalnya antara permintaan dan harga, antara investasi dan tingkat bunga - dapat dengan mudah dinyatakan serta diterangkan dalam bentuk fungsi. Di antara berbagai macam hubungan fungsional yang ada, hubungan linear merupakan bentuk paling dasar dan paling sering digunakan dalam analisis ekonomi.

1. Pembentukan Persamaan Linear  Berikut empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear, yaitu: a. Cara Dwi-Koordinat b. Cara Koordinat-Lereng c. Cara Penggal-Lereng d. Cara Dwi-Penggal

a. Cara Dwi-Koordinat  Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linear yang memenuhi kedua titik tersebut.  Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaanya adalah

 Andaikan diketahui bahwa titik A (2, 3) dan titik B (6, 5), maka persamaan -linearnya adalah Y = 0.5x + 2

PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

 Dwi Koordinat  Y-Y1 = X-X1



Y2-Y1 X2-X1 

 Misal  A: (2,3) B: (6,5)  Tentukan persamaan linearnya  X1 = 2  X2 = 6  Y-3 = X-2 5-3 6-2

  

Y1 = 3 Y2 = 5







Y-3 = X-2 5-3 6-2 Y-3 = X-2 2 4 4Y-12 = 2X-4 4Y = 2X – 4 + 12 4Y = 2X + 8 Y = 0.5X + 2 Jadi Persamaan Linearnya adalah Y = 2 + 0.5X

b. Cara Koordinat-Lereng

 Dari sebuah titik dan suatu lereng dapat dibentuk sebuah persamaan linear yang memenuhi titik dan lereng tersebut. Apabila diketahui sebuah titik A dengn koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah

 Jika diketahui titik A (2, 3) dan lereng garisnya adalah 0.5     

maka persamaan linear yang memenuhi kedua data ini adalah: Y – y1 = b (x – x1) Y – 3 = 0,5 (x – 2) Y – 3 = 0.5 x – 1 Y = 0.5x – 1 + 3 Y = 0.5x +2

PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

 Koordinat Lereng  Y-Y1 = b (X-X1)  b = Lereng

   

      

Misal A: (2,3) Lereng (b): (0,5) Tentukan persamaan linearnya X1 = 2 Y1 = 3 Y-Y1 = b (X-X1) Y – 3 = 0.5 (X – 2)

 

Y-Y1 = b (X-X1) Y – 3 = 0.5 (X – 2) Y – 3 = 0.5X – 1 Y = 0.5X – 1 + 3 Y = 0.5X + 2 Jadi Persamaan Linearnya adalah Y = 2 + 0.5X

c. Cara Penggal-Lereng  Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam hal ini rumus persamaan linearnya adalah

 Y = a + bx  a = Penggal  b = Lereng

 Andaikan penggal dan lereng garis y = f(x) masingmasing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan linearnya ialah  Y = 2 + 0.5x.

d. Cara Dwi-Penggal  Terakhir, sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing-masing sumbu, yakni penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0), Apabila a dan c masingmasing adalah penggal pada sumbu-sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah

y

a

a x c

 a = penggal vertikal c = penggal horizontal  Jika penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horizontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan linear yang memenuhinya ialah  Y = 2 + 0.5x

y

a

a x y 2 c

2 x 4

2. Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear  Mencari akar-akar persamaan maksudnya ialah menghitung besarnya nilai variabel-variabel di dalam persamaan yang bersangkutan. Dengan perkataan lain, menghitung harga dari bilangan tak-diketahui (bilangan anu) dalam persamaan tersebut. Pada prinsipnya, jumlah bilangan anu yang dapat diselesaikan berbanding lurus dengan jumlah persamaannya.

 Pencarian besarnya harga bilangan-bilangan anu dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penyelesaian persamaan-persamaan linear secara serempak (simultaneoust'y), dapat dilakukan melalui beberapa macam cara:  Subtitusi  Eliminasi

2. Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear a. Cara Substitusi  Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menyelesaikan terlebih dahulu sebuah persamaan untuk salah satu bilangan anu, kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang lain.

 Contoh :  Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut 2x + 3y = 21 dan x + 4y =23.

 Penyelesaian  Selesaikan lebih dahulu salah satu persamaan untuk bilangan tertentu. Dalam hal ini, mengingat pertimbangan praktis, kita selesaikan lebih dahulu persamaan kedua untuk variabel x, diperoleh x = 23 - 4 y. Kemudian substitusikan hasil x (yang masih mengandung y) ini ke dalam persamaan pertama, sehingga

2. Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear

 2x + 3y = 21  2(23-4y) + 3y = 21  46-8y + 3y = 21  46-5y = 21  25 = 5y  Y =5  Untuk mendapatkan nilai x, masukkan hasil y = 5 ini ke dalam salah satu persamaan semula.  2 x + 3(5) = 21 atau x + 4(5) = 23  2 x + 15 = 21 x + 20 = 23  2x = 6, x =3 X =3 Jadi, akar-akar persamaan tersebut adalah x = 3 dan y = 5.

2. Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear  b. Cara eliminasi  Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.

 Contoh:  Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut 2 x + 3 y = 21 dan x + 4 y = 23

 Misalkan bilangan anu yang hendak dieliminasikan adalah x, maka kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 2, sehingga: 2x + 3y = 21

x1

2x + 3y = 21

x + 4y = 23

x2

2x + 8y = 46

2. Pencarian Akar-Akar Persamaan Linear

 Agar x hilang (habis) berarti kedua persamaan baru di

    

atas harus saling dikurangkan. 2x + 3y = 21 2x + 8y = 46 -5y = -25 Y =5 Dengan memasukkan hasil y = 5 ini ke dalam salah satu persamaan semula, seperti halnya dalam cara substitusi di atas, diperoleh x = 3. Jadi, akar-akar, persamaannya adalah x = 3 dan y = 5.

“ Add your company slogan ” www.febriyanto79.wordpress.com

LOGO